邯郸市永年区第二中学2026-2027学年高二上学期数学期中考试复习专项练习01—椭圆的定义及其标准方程

期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 邯郸市永年区第二中学高二期中考试复习专项练习01 ——椭圆的定义及其标准方程 一、单选题 1．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3. 【人教A版选择性必修一习题3.1第1题改编】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是( ) A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 4、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例1】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5、已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A． B． C. D． 6．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9、【人教A版选择性必修一习题3.1第4题（3）】焦距是8且离心率等于0.8的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 10．已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为椭圆，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 三、填空题 12. 【人教A版选择性必修一习题3.1.1练习第1题】若椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____ 13.【人教A版选择性必修一习题3.1.2P112页练习第4题（1）】经过，两点的椭圆的标准方程为 . 14.已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 四、解答题 15．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 16、【人教A版选择性必修一习题3.1第10题】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 17.（1）【人教A版选择性必修一复习参考题3第8题】如图,从椭圆()上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点. 又点是椭圆与轴正半轴的交点,点是椭圆与轴正半轴的交点,且,,求椭圆的方程. （2）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. 18. （1）椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,求椭圆的标准方程。 （2）若的两个顶点，，周长为，求第三个顶点的轨迹方程． 19．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 邯郸市永年区第二中学高二期中考试复习专项练习01 ——椭圆的定义及其标准方程 一、单选题 1．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，所以.所以实数k的取值范围为. 2．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，知，得，又，所以， 所以椭圆的标准方程为. 3. 【人教A版选择性必修一习题3.1第1题改编】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是( ) A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】点M的轨迹是椭圆，由满足可知，动点到定点的距离之和为10，且，所以动点的轨迹为椭圆. 4、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例1】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知，，所以， 所以．所以，所求椭圆的标准方程为． 5、已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A． B． C. D． 答案：A 解析：∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴顶点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴顶点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为． 6．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得的坐标，利用点差法建立的关系式，由此求得，进而求得椭圆方程. 【详解】直线过点，令则，所以，即.设，则，两式相减并化简得，所以，，所以椭圆的方程为. 7．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点差法化简即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，，则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得，即， ∴，又，∴，解得，故椭圆的方程为. 8．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：，点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 二、多选题 9、【人教A版选择性必修一习题3.1第4题（3）】焦距是8且离心率等于0.8的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意求出、，再根据，求出，最后根据焦点的位置分类讨论即可； 【详解】根据题意，即，又，所以，因为，所以 若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为．若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为． 10．已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程. 【详解】∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点； ∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确； ②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确； ③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确； 11．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为椭圆，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B错误. 对于C，若C为椭圆，则，解得，故C正确. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 三、填空题 12. 【人教A版选择性必修一习题3.1.1练习第1题】若椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____ 【答案】14 【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点P到焦点的距离等于6，可得的长. 【详解】根据椭圆的定义，又椭圆上一点P到焦点的距离等于6，，故. 13.【人教A版选择性必修一习题3.1.2P112页练习第4题（1）】经过，两点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出椭圆方程,根据椭圆经过点,,得出,代入方程即可. 【详解】设椭圆方程为:,因为椭圆经过点,, ,分别为左顶点和下顶点, 所以得,所以椭圆标准方程为. 14.已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 【答案】 【分析】借助离心率和三角形外接圆的半径，求解椭圆的方程. 【详解】已知椭圆C的离心率为，所以，因为， 所以，因为，，所以为等边三角形，由题知，的外接圆半径为，由正弦定理得，即，解得，所以，， 所以椭圆C的方程为. 四、解答题 15．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）∵椭圆焦点在轴上，∴可设其方程为，其中，半焦距为， ∵椭圆经过点，∴，又，∴，∴椭圆的标准方程为． （2）∵椭圆经过点和，这两点分别为椭圆在轴和轴上的顶点，且， ∴椭圆的长轴在轴上，可设其方程为，其中， 代入两点坐标，得，，∴椭圆的标准方程为． （3）∵椭圆的焦距为，∴半焦距，由得，即， 焦点可能在轴上，也可能在轴上，故设椭圆方程为或， ∵椭圆经过点，两种情形均有，即，解得或． 由，舍去，得，，∴椭圆的标准方程为或． 16、【人教A版选择性必修一习题3.1第10题】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为，半径为，设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有①， 当动圆与圆相内切时，有②， 将①②两式相加，得，∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；∴， ∴ ∴，∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 17.（1）【人教A版选择性必修一复习参考题3第8题】如图,从椭圆()上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点. 又点是椭圆与轴正半轴的交点,点是椭圆与轴正半轴的交点,且,,求椭圆的方程. （2）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）. （1）由题意知,,,,①, 所以,, 因为,所以,即,即. 由知,②. 将②代入①,得,,, 所以椭圆的方程为. （2） 把原椭圆方程化为标准形式得. 因为所求椭圆与原椭圆有相同焦点,所以可设椭圆方程 为. 又椭圆过点,所以,解得或. 当时,不合题意,所以舍去. 因此所求椭圆标准方程为. 18. （1）椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,求椭圆的标准方程。 （2）若的两个顶点，，周长为，求第三个顶点的轨迹方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由椭圆定义知,则的周长为,所以,所以椭圆的方程为.不妨设点在第一象限,则由,均是线段的三等分点, 得是线段的中点,又,所以点的横坐标为,由,得, 所以,所以,.把点的坐标代入椭圆方程得,即,化简得,又, 所以,解得,所以,所以椭圆的标准方程为. （2）因为的两个顶点，，所以，因为三角形周长为，即，所以，由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，所以，，，可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，所以顶点的轨迹方程是：. 19．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）两个分母与都含参数，谁大谁小不确定，故需分类讨论；同时 “表示椭圆”还要求两个分母均为正，这是隐含条件，由焦距为得，故只需按与 的大小分两类，利用建立方程求； （2）动点是动圆的圆心，等量关系来自两个相切条件：外切时圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径之差，设动圆半径为，则两个条件可写成与 ；两式相加即可消去，得到，其中、为定点，且 ，结合椭圆的定义得解. 【详解】（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上，，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上，，，. 由得，解得，符合.当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ，所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得，所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为，动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则，两式相加，得，又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以，故动圆圆心的轨迹方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $