素养培优8 奔驰定理与四心问题-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

易知AD=DE=1,放此时k=号， 显然为的最小值为1，即+a【,号] 答案：[，] 素养培优8 奔驰定理与四心问题 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]由奔驰定理得 SABc·OA+S△c·OB+SAA0B·OC=0, 又OA+2OB+mOC=0, S△c:S△A0c:SAADB=1:2:m. =1++m号解得m=4 m [答案]C (2)[解析]记，点O到AB,BC,CA的距离分别为h1, ha hSnon haSnavha 1 S△amB=2c·h, 因为SAORG·OA+SAac·OB+SAOAB·0C=0, 则2a·h,0A+6:4·0B+2ch:0C=0, 即a·h2·OA+b·h3:OB+c:h·OC=0, 又因为a·OA+b·OB+c·OC=0,所以h=h2=h3, 所以，点O是△ABC的内心. [答案]B 跟踪训练 1.D[0为△ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC =3AB+2 BC+CA, ..0A+20B+3 0C=3(OB-0A)+2(OC-OB)+ (OA-OC)-30A+OB+2OC=0, 'SAc·OA+SAAc·OB+SAADB·OC=0, S△Be:S△A0c:S△A0B=3:1:2, 5oa中动Ta号] S△A0B 考点二 例2(1)[解析]取BC的中点D, 则AB+AC=2AD, 因为OP=OA+A(AB+ AC)(A≥0)， 所以AP=2AAD, 所以AP与AD共线，即直线AP与B D 直线AD重合， 所以直线AP一定过△ABC的重心. 即，点P一定经过△ABC的重心 [答案]D (2)[解析]如图所示，过点A作AD ⊥BC,垂足为D,点. 则BC·一 AB ABcoS∠ABC IBClABIcos(ABC)=-BCl, |ABI cos∠ABC 同理BC· AC -=|BC, IACIcos∠ACD 讲解册参考答案 :动点P满足OP=OA十 AB AC ,λ∈R, |AB|coS∠ABC |ACI cos∠BCA AB Ac .AP=λ ,λ∈R AB cos∠ABC |AClcos∠ACD BC·AB BC·AC ∴AP·BC=λ |AB|cOS∠ABC |ACI cos∠ACD =A(-|BC+|BCI)=0,∴.AP⊥BC, 因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心， [答案]D 跟踪训练 2.B[在AB,AC上分别取点 D,E,使得AD= AB,AE =4 b 则|AD1=|AE1=1. B 以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图， 则四边形ADFE是菱形， 且AF=AD+AE-AB+AC b ∴AF为∠BAC的平分线. .aOA+60B+cOC=0, a·OA+b·(OA+AB)+c·(OA+AC)=0, Ep(a+6+c)OA+6AB+cAC=0, a+6+i+a+i+Ad ∴.AO= bc A,O,F三点共线，即O在∠BAC的平分线上. 同理可得O在其他两角的平分线上， .点O是△ABC的内心，] 微专题7三角函数的图象与性质 研析考点层级突破 考点一 例1(1D汇解析]根据平-x=受-（子十z结合诗子 公式求解即可 sm(f-x）=sm[经-（圣+门=-o(至+） 3 [答案]A (2)[解析]将sina+cosa= 5两边同时平方，整理得 1 1+2sin acos a-25' 所以sin acos a三一250，故D正确】] 又a∈(0，，所以a∈（受x 4 1 所以由sina+cosa=方，解得 sin a= 5 sin a++cos a=1 (cos a=-3' 5 故C正确， 所以5ina-cosa=号，tana=一合，故A正确，B错误。 4 [答案]ACD 35数学 (2)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动 跟踪训练 点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 2.如图，四边形OABC是边长为1的正方 上.若AP=λAB十uAD,则入十u的最大 形，点D在OA的延长线上，且OD=2, 点P是△BCD内任意一点（含边界），设 值为 OP=λOC+uOD,则入十4的取值范围 A.3 B.2√2 为 C.5 D.2 规律方法》 要注意等和（高）线定理的形式，解题时一 般要先找到k=1时的等和（高）线，以此来 ©温鉴提 求其他的等和（高）线. 学习至此，请完成配套训练素养培优7 素养培优8奔驰定理与四心问题 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表 达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考 查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 研析考点层级突破 春点一 奔驰定理 2sin 8PB+1 ysin a PC 核心知识 如图，已知P为△ABC内一点，则有S,· 合yzin(a+0PA+7 sinP店+ PA+S2·PB+S9·PC=0(其中S,S2, 2 ysin a PC,① S3分别为△PBC,△PAC,△PAB的面积) 把①式两边与向量PA作数量积得 (S,PA+S2PB+SPC)·PA =ysin(a+月十名ga血ase叶 1 证明：设∠APB=a,∠APC=B,|PA=x, yzsin acos B PB=y,|PCI=x. y-sin (a++sin Bcosa+ 根据三角形正弦定理面积公式得 sin acosβ]=0. S PA+S,PB+SPC 同理：①式两边与向量PB,PC作数量积 =2im2x-(a+m]·PA+ 都得0. 30 [第一部分]专题二平面向量、三角函数与解三角形 但是S1PA+S2PB+S3PC不可能同时与 专点 - 三角形的四心 PA,PB,PC三个向量垂直，而PA,PB, 核心知识 三角形四心的向量表示及结论（利用奔驰定 PC也不可能都为0，所以S1PA十S2PB 理自行完成证明) +S3PC=0. (1)点O是△P1P2P3的重心台OP1+OP2 该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志， 所以我们把上述结论称为奔驰定理，该定 +OPg=0台S△P,oP,=S△P,or,=SAP,oP, 理对于推导出三角形的四心的向量结论 有直接的作用。 号5anwn 典题例析 (2)点O是△P1P2P3的垂心台OP1·OP [例1](1)已知O是△ABC内部一点，满足 =OP2·OP3=OP3·OP1台tanP1· OA+20B+m0C0,武Q=7则实数 OP1+tanP2·OP2十tanP3·OP=0 m- ( 台S△P,or:SaP,or,:S△P,or,=tanP,: A.2 B.3 C.4 D.5 tanP2:tanP3(△PP2P3不是直角三 (2)△ABC内一点O满足关系式SAc· 角形)； OA十SAOkC·OB+SAOAB·OC=0,即称 (3)点O是△PP2P3的内心台aOP1+ 为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边 bOP2+cOPg=0台S△P,aP,:S△P,o,: 为a,b,c,现有a·OA+b·OB十c·OC SaP,r,=a:b:c(其中a,b,c是 =0,则O为△ABC的 () △PP2P3的三边，分别对应角P1,P2, A.外心B.内心C.重心D.垂心 P3); g…规律方法》 (4)点O是△PP2P3的外心台OP|=|OP, 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格 按照定理的格式，注意定理中的点P为 =OPOP,sin 2P+OP2sin 2P2+ △ABC内一点；定理中等式左边三个向量 OPa sin 2P3=0 SAP,OP:SAP,or, 的系数之比对应三个三角形的面积之比. SAP,oP,-sin 2P1:sin 2P2:sin 2P3. 跟踪训练 典题例析 1.如图，设O为△ABC内 [例2](1)已知点O为△ABC所在平面内 点，且满足OA+2OB+ 一点，若动点P满足OP=OA+λ(AB十 3 OC=3 AB+2 BC+ AC)(A≥0)，则点P一定经过△ABC的 CA,则AA0B () S△ABC A.外心 B.内心 A号 B.z c D号 C.垂心 D.重心 31 数学 (2)O是平面上一定点，A,B,C是平面上 跟踪训练 不共线的三个点，动点P满足OP=OA十 2.已知点O是△ABC所在平面上的一点， AB AC |AB|coS∠ABC |ACI cos∠BCA △ABC的三边为a,b,c,若aOA+bOB十 λ∈R,则P的轨迹一定通过△ABC的( cOC=0,则点O是△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 A.外心 B.内心 …规律方法》… 求解内心和重心一定在三角形内部，而外心 C.重心 D.垂心 和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推 论中的点都在三角形内部，涉及三角形的四 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练素养培优8 心问题时，要注意观察题目有无这一条件。 微专题7三角函数的图象与性质 ★[高考定位]三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度 为中档偏下 研析考点>层级突破 专点一三角函数的定义基本关系及诱导公式] (2)[多选]已知sina十cosa=5e∈(0，， 核心知识 则下列选项中正确的有 () 1.三角函数：设α是一个任意角，它的终边与 单位圆交于点P(x,y),则sina=y,cosa A.sin a-cos a=5 4 =x,tana=义.各象限角的三角函数值的 B.tan a=3 C.cos a=- 3 符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦， 5 2.同角关系：sin'a十cosa=1,sa=tana. D.sin acos a= 12 cos a 25 方法归纳》 3.诱导公式：在领十a,k∈Z的诱导公式中 应用三角函数的概念和诱导 公式应注意以下两点 “奇变偶不变，符号看象限”. (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定 典题例析 的时候要注意分情况解决，机械地使 用三角函数的定义就会出现错误. [例1] (1)已知cos (2)应用诱导公式与同角三角函数的关系 则sim(-xj小 开方运算时，一定要注意三角函数的 符号；利用同角三角函数的关系化简 A-BC2g2D-2 要遵循一定的原则，如切化弦、化异为 同、化高为低、化繁为简等. 32