素养培优6、7 平面向量数量积的最值与范围问题&极化恒等式和等和线定理-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

[第一部分]专题二平面向量、三角函数与解三角形 方法归纳》 角为行，且合气流矢量a与基底矢量e: 求解向量数量积最值问题的两种思路 相互垂直，则a= () (1)直接利用数量积公式得出代数式，依 据代数式求最值， B C.5 D.3 (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算 2.[多选]已知向量a=(m+1,一1)，b= 得出函数式，转化为求函数的最值 (1一m,2),则下列说法正确的是（) 跟踪训练 A.a+bl=5 1.我国自主研制的JF-22超高速风洞，是 B.当m=1时，a在b上的投影向量的坐标为 航空航天高端研发的国之重器.在风洞平 (0,-1) 面流场研究中，取平面内一组不共线的单 C.若a∥b,则m=3 位气流矢量e,e2作为平面基底，风洞内 D.存在m∈R,使得a⊥b 某位置的合气流矢量a可以唯一表示为 @温馨提 a=e1十e2,已知基底矢量e1与e2的夹 学习至此，请完成配套训练专题精准强化6 素养培优6平面向量数量积的最值与范围问题 与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档.主要考 查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围 研析考点层级突破 点一 向量模的最值、范围 规律方法》… 典题例析 求模的范围或最值常见方法 (1)通过|a2=a2转化为实数问题； [例1] 在△ABC中，∠ACB=120°，|AC (2)数形结合； =3,|BC|=4,DC·DB=0,则|AB+ (3)坐标法， AD的最小值为 跟踪训练 1.(2026·北京卷)已知向量a,b满足|a一b A.63-2 B.219-4 =2,a=(2,0),则|bl的最大值为() C.33-1 D.√/19-2 A.0 B.2C.4D.6 27 数学 春点二 向量数童积的最值、范围 专点向量夹角的最值、范圃 典题例析 典题例析 AB [例2]已知△ABC是边长为2的等边三 [例3] 在平行四边形ABCD中， ABI 角形，点D在边BC上，且BD=2DC,则 3AD_AC ,A∈[√7,3]，则cos∠BAD AD·BC JADI ACI ;若平面内动点P满足 的取值范围是 (PA十PC)·AB=0,则PB·PD的最小 A[-2-6】 B[] 值为 规律方法》… c[引 D.[-,- 规律方法》… 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将 向量夹角取值范围的计算，解题的关键就 数量积用某个变量表示，转化为函数的值 是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不 等式来求解 域问题，其中选择的变量要有可操作性， 跟踪训练 跟踪训练 3.已知非零向量a,b的夹角为0，a+b=2, 2.△ABC中，BC=23,A=60°，则BA· 且ab≥号，则夹角0的最小值为 BC的最大值为 ( A. B. c. D A.6 B.3+2√3 @温馨提 学习至此，请完成配套训练素养培优6 C.12 D.6+43 素养培优7极化恒等式和等和线定理 平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查.平面向量的 极化恒等式、等和线，对于解决平面几何问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。 研析考点层级突破 吉点一 极化恒等式 1.几何意义：如图1向量的数量 核心知识 积可以表示为以这组向量为 [a+b)2-a 邻边的平行四边形的“和对角 极化恒等式：a·b= 图1 b)2]. 线”与“差对角线平方差的子 28 [第一部分]专题二平面向量、三角函数与解三角形 2.平行四边形模式：如图2，在 跟踪训练 平行四边形ABCD中，O是 1.如图，在四边形ABCD 对角线的交点，则AB·AD 中，B=60°，AB=3, 图2 (IAC-BD) BC=6,且AD=λBC, A,A店=一，则实数A的值为 3.(1)三角形模式：如图3，在 △ABC中，设D为BC的 若M,N是线段BC上的动点，且|MN 中点，则AB·AC=AD12 =1,则DM·DN的最小值为 图3 -|BD12. 专点二】 等和线定理 (2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终 核心知识 极模式，几乎所有的问题都是用它解决 平面内一组基底OA,OB及任一向量OP', (3)记忆规律：向量的数量积等于第三边的 OP'=AOA+uOB(,∈R),若点P'在直 中线长与第三边边长的一半的平方差. 线AB上或在平行于AB的直线上，则入+： =(定值)；反之也成立，我们把直线AB以 典题例析 及与直线AB平行的直线称为等和（高）线. [例1](1)如图，BC,DE是半 (1)当等和线恰为直线AB时，k=1; 径为1的圆O的两条直径， (2)当等和线在O点和直线AB之间时，∈ BF=2FO,则FD·FE= (0,1); (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈ A.-B-8C-D.-号 (1,+∞)； (4)当等和线过O点时，=0； (2)在△ABC中，点E,F分别是线段 (5)若两等和线关于O点对称，则定值1， AB,AC的中点，点P在直线EF上，若 k2互为相反数； (6)定值的变化与等和线到O点的距离 △ABC的面积为2，则PB·PC+BC的 成正比. 最小值为 典题例析 [例2] (1)如图，在 规律方法》… 平行四边形ABCD 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积 中，AC,BD相交于 进行转化，体现了向量的几何属性，特别适 点O,E为线段AO的中点.若BE=λBA十 合于以三角形为载体，含有线段中点的向 BD(入，∈R),则λ十= 量问题， A.1 B是 c号 D.Z 29 数学 (2)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动 跟踪训练 点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 2.如图，四边形OABC是边长为1的正方 上.若AP=λAB十uAD,则入十u的最大 形，点D在OA的延长线上，且OD=2, 点P是△BCD内任意一点（含边界），设 值为 OP=λOC+uOD,则入十4的取值范围 A.3 B.2√2 为 C.5 D.2 规律方法》 要注意等和（高）线定理的形式，解题时一 般要先找到k=1时的等和（高）线，以此来 ©温鉴提 求其他的等和（高）线. 学习至此，请完成配套训练素养培优7 素养培优8奔驰定理与四心问题 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表 达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考 查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 研析考点层级突破 春点一 奔驰定理 2sin 8PB+1 ysin a PC 核心知识 如图，已知P为△ABC内一点，则有S,· 合yzin(a+0PA+7 sinP店+ PA+S2·PB+S9·PC=0(其中S,S2, 2 ysin a PC,① S3分别为△PBC,△PAC,△PAB的面积) 把①式两边与向量PA作数量积得 (S,PA+S2PB+SPC)·PA =ysin(a+月十名ga血ase叶 1 证明：设∠APB=a,∠APC=B,|PA=x, yzsin acos B PB=y,|PCI=x. y-sin (a++sin Bcosa+ 根据三角形正弦定理面积公式得 sin acosβ]=0. S PA+S,PB+SPC 同理：①式两边与向量PB,PC作数量积 =2im2x-(a+m]·PA+ 都得0. 30因为AD=AE=2, 则F(一2,0)，B(2,2), A(0,2),H(4,2), 所以FB=(4,2),AH=(4,0), 所以FB·AH=16. [答案]16 跟踪训练 1.C[由a⊥e1,得a·e1=(e1十 e2）·e1 =e112+e1·e2=0, 因为e1,e2是单位向量， 所以|e1|=e2|=1, 又6与：的夹角为经， =2' 所以e1·e2=1X1Xcos3 1 所以1+A×(合）=0，解得入=2， 所以a=e1十2e2, 1a2=(e1+2e2) =e2+46·6+4e:12=12+4×(合）+4x1 =3, 所以|a=√3.] 2.AB[对于A,a+b=(2,1)→|a+b|=√22+12=√5， 选项A正确； 对于B,当m=1时，a=(2,-1),b=(0,2), 国为96合-=号×号0,2)=0，-， -2、 所以a在b上的投影向量的坐标为(0，一1)，选项 B正确； 对于C,因为a∥b,所以有2(m十1)=-(1-m)→m= -3,选项C不正确；对于D,a⊥b→(m十1)(1-m)-2 =0→m2=一1，该方程无实根， 因此选项D不正确，故选AB.] 素养培优6平面向量数量积的最值与范围问题 研析考点层级突破 考点一 例1[解析]由题意，以C为 坐标原，点，CB所在直线为x 轴，过C垂直CB的直线为y轴 建立如图所示的平面直角坐 标系， 333,B(4,0), 则A(-22) 由DC·DB=O,可得D是以BC为直径的圆， 所以D的轨迹方程为(x一2)2十y2=4, 取BD的中点为M,设M(x,y),D(xy), x=。十4 可得 y=6+0,所以。二2x二4 (y%=2y 2 所以(2x-6)2+(2y)2=4, 所以点M的轨迹方程为(x一3)2+y=1,圆心为H(3,0), 半径为， 由AB+AD=2AM,所以|AB+AD|=2|AM|, 所以|AB+ADlin=2|AMnm 所以AM=AH-1 -9+-0-1=38-1 所以|AB+AD|min=6N3-2. [答案]A 2 讲解册参考答案 跟踪训练 1.C[因为|a一b=2,且a=(2,0),则|a=2,所以|b|= |a-(a-b)|≤|a+|a-b|=2十2=4，所以当a,a-b 反向时，b取最大值为4.] 考点二 例2[解析]建系如图所示， 因为△ABC是边长为2的等 边三角形，BD=2DC,∴A(0, √3)，B(-1,0),C(1,0), D(号o) A=(片- BC=(2,0), A.B心=号 设P(x,y),x,y∈R, ∴PA=(-xW3-y), PC=(1-x,-y), AB=(-1,-W3). ∴PA+PC=(1-2x,W3-2y), .(PA+PC)·AB=2x+23y-4=0, ∴x=2-3y, .P(2-3yy),PB=(W3y-3,-y), Pi=y-号-w, --+5=气)+是 当y7登时P店.P取将小位，录小位为品 [答案] 跟踪训练 2.D 考点三 例3[解析] 设与AB同方向的单位向量AB =e,与AD AB 同方向的单位向量 AD =e2,与AC同方向的单位向量 AD AC IACI 由题意，所以e1十3e2=eg, 所以(e+3e2)2=λ2e32,即e2+6e1·e2+9e22=2e2, 所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2， 所以cos∠BAD=-10 6 因为λ∈[√7,3]，所以A2∈[7,9]， 所以。[ 6 11 即cos∠BADe[-,-G] [答案]A 跟踪训练 3.C[由|a+b|2=4有|a2+lb2+2a·1 blcos0=4, 即4≥2a·b11+cos0≥号1+cos0, 33 数学 前一个学号成立条件为a=b1,整理得c0s0≤分由 于0E[0,],所以晋≤0≤x,于是夫角为0的最小值 为登] 素养培优7极化恒等式和等和线定理 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]BF=2FO,圆O的半径为1， Po=3 法-FD·FE=(FO十OD)·(FO+OE) =FO+FO·(OE+OD)+OD·OE =(3)）广+0-1=-8 91 法二由极化恒等式得 D成=前-D=-1=- 2 4 [答案]B (2)[解析]取BC中点O,连接 PO,作PN⊥BC交BC于点N, 由极化恒等式得PB·PC -ò-}， E 所以PB·PC+BC NO -PO+ 2 在△ABC中，Sx=|BC·2IPN=BCPN=2, 则IBC=2 一 IPNI 又由图可得|POI≥PNI, 2 3-2 32 所以PO+BC≥PN+ 3 4 IPNI2 c2 PNI2· 3 -=2√3， IPN2 当且仅当POLBC,且PNI?=3 IPNI 即PN|=3时等号成立. 所以PB·PC十BC的最小值为2√3. [答案]2√5 跟踪训练 1.解析：依题意得AD∥BC,∠BAD=120°， 由AD·AB=|AD|·|AB|·coS∠BAD= -是AD=-是得1Ad=1,BC=6AD, 因此入=6 1 取MN的中点E,连接DE(图略)， 则DM+DN=2DE, DM.DN-[(DM+DN)-(DM-DN)] =n成-N成=n- 2 2 当点M,N在线段BC上运动时，DE的最小值等于，点D 到直线BC的距离， 心 即|AB·sinB=33 2 2 因此DE 即DM.DN的最小值为 13 答案日号 考点 例2(1)[解析]法一（通法） ,E为线段AO的中点， ∴BE=2(BA+BO)=2(BA+2BD） =号BA+BD=ABA+BD, 4 =1 1 2μ=4 则计=是 法二（等和线法） A D 如图，AD为值是1的等和 线，过E作AD的平行线， 设入十μ=k, 则k=BE B BF 由图易知， IBEL=3」 4 BF [答案]B (2)[解析]如图所示，由平面向量 D 基底等和线定理知，当等和线1与圆 相切时，A十以最大，此时入十以一AB AF AB+BE+EF_3AB-3. AB AB [答案]A 跟踪训练 2.解析：法一（通法） 分别以边OA,OC所在直线为x,y 轴建立如图所示的坐标系， 则OC=(0,1),0D=(2,0), 设P(x,y),OP=(x,y), ∴.(x,y)=1(0,1)+(2,0)=(2μ，)， {=2+4=号2 y=λ， 2x+y, 1 设之= 2x+y,则y=一立x+, 所以：是直线)y=一弓2十之在y轴上的藏距， 由图可知，当该直线过，点B(1,1)时，它在y轴上的截距 最大，为2； 和直线CD重合时，在y轴上的裁距最小，为1，故z∈ [,]即+，] 法二（等和线法）如图， 、B 设入十H=k,则直线CD为 k=1的等和线，所有与直线 CD平行的直线中，过，点B的 0 0 直线离，点O最远，此时k的值 最大，且此时=0E, lODT' 34 易知AD=DE=1,放此时k=号， 显然为的最小值为1，即+a【,号] 答案：[，] 素养培优8 奔驰定理与四心问题 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]由奔驰定理得 SABc·OA+S△c·OB+SAA0B·OC=0, 又OA+2OB+mOC=0, S△c:S△A0c:SAADB=1:2:m. =1++m号解得m=4 m [答案]C (2)[解析]记，点O到AB,BC,CA的距离分别为h1, ha hSnon haSnavha 1 S△amB=2c·h, 因为SAORG·OA+SAac·OB+SAOAB·0C=0, 则2a·h,0A+6:4·0B+2ch:0C=0, 即a·h2·OA+b·h3:OB+c:h·OC=0, 又因为a·OA+b·OB+c·OC=0,所以h=h2=h3, 所以，点O是△ABC的内心. [答案]B 跟踪训练 1.D[0为△ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC =3AB+2 BC+CA, ..0A+20B+3 0C=3(OB-0A)+2(OC-OB)+ (OA-OC)-30A+OB+2OC=0, 'SAc·OA+SAAc·OB+SAADB·OC=0, S△Be:S△A0c:S△A0B=3:1:2, 5oa中动Ta号] S△A0B 考点二 例2(1)[解析]取BC的中点D, 则AB+AC=2AD, 因为OP=OA+A(AB+ AC)(A≥0)， 所以AP=2AAD, 所以AP与AD共线，即直线AP与B D 直线AD重合， 所以直线AP一定过△ABC的重心. 即，点P一定经过△ABC的重心 [答案]D (2)[解析]如图所示，过点A作AD ⊥BC,垂足为D,点. 则BC·一 AB ABcoS∠ABC IBClABIcos(ABC)=-BCl, |ABI cos∠ABC 同理BC· AC -=|BC, IACIcos∠ACD 讲解册参考答案 :动点P满足OP=OA十 AB AC ,λ∈R, |AB|coS∠ABC |ACI cos∠BCA AB Ac .AP=λ ,λ∈R AB cos∠ABC |AClcos∠ACD BC·AB BC·AC ∴AP·BC=λ |AB|cOS∠ABC |ACI cos∠ACD =A(-|BC+|BCI)=0,∴.AP⊥BC, 因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心， [答案]D 跟踪训练 2.B[在AB,AC上分别取点 D,E,使得AD= AB,AE =4 b 则|AD1=|AE1=1. B 以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图， 则四边形ADFE是菱形， 且AF=AD+AE-AB+AC b ∴AF为∠BAC的平分线. .aOA+60B+cOC=0, a·OA+b·(OA+AB)+c·(OA+AC)=0, Ep(a+6+c)OA+6AB+cAC=0, a+6+i+a+i+Ad ∴.AO= bc A,O,F三点共线，即O在∠BAC的平分线上. 同理可得O在其他两角的平分线上， .点O是△ABC的内心，] 微专题7三角函数的图象与性质 研析考点层级突破 考点一 例1(1D汇解析]根据平-x=受-（子十z结合诗子 公式求解即可 sm(f-x）=sm[经-（圣+门=-o(至+） 3 [答案]A (2)[解析]将sina+cosa= 5两边同时平方，整理得 1 1+2sin acos a-25' 所以sin acos a三一250，故D正确】] 又a∈(0，，所以a∈（受x 4 1 所以由sina+cosa=方，解得 sin a= 5 sin a++cos a=1 (cos a=-3' 5 故C正确， 所以5ina-cosa=号，tana=一合，故A正确，B错误。 4 [答案]ACD 35