素养培优4 切割线放缩-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

所以函数p(x)=x一nx在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞) 上单调递增， 所以p(x)min=p(1)=1, 当x→0时，(x)→十∞， 当x→十∞时，p(x)→十∞， 所以a>1, 综上，a的取值范围为(1，十∞). 跟踪训练 3.解析：令x2e-8+lnx-2=0, 可得x2e-2=2-lnx, 即xe =2-lnx, 'e-2e-e'ln z,xe'-2e-eIn x, xx 即xe=glng 两边同取自然对数， In xtz-In(in) 所以1ng=,即2-1nx=x, x 即lnx=2-x, ..e2-*=x,.e2-%0 +In xo=xo+In zo=2. 答案：2 素养培优4切割线放缩 研析考点层级突破 考点一 例1[解](1)由题设得f(x)=e-2ax, /f1)=e-2a=6 1f(1)=e-a=b+1' 解得，a=1,b=e-2. (2)由(1)知，f(x)=e-x2, 令函数h(x)=e-x-1,.h'(x)=e-1, 当x<0时，h(x)<0,h(x)单调递减； 当x>0时，h'(x)>0,h(x)单调递增； .h(x)≥h(0)=0,即e≥x+1 ∴.当x∈[0,1]时，f(x)=e-2x≥x十1-2x=1-x≥0， 且仅当x=1时f(x)=0, 故f(x)在[0,1]上单调递增， .f(x)im=f(0)=1. (3)由题要证：当x>0时，g(x)f(x), 即证：e+(1-e)x-xlnx-1≥0， 因为f(0)=1,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y=(e-2)x+1, 故可猜测：当x>0且x≠1时，f(x)的图象恒在切线 y=(e-2)x十1的上方. 下面证明：当x>0时，f(x)≥(e-2)x+1, 方法一：证明：设p(x)=f(x)-(e-2)x-1,x>0, 则p'(x)=e-2x-(e-2),令F(x)=p(x), F(x)=e-2, 当x∈(0，ln2)时，F'(x)<0,9(x)单调递减； 当x∈(ln2,+o∞)时，F(x)>0,9(x)单调递增， 又p(0)=3-e>0,9(1)=0,0<ln2<1, p(1n2)<0, 所以，存在x。∈(0,1)，使得0(x)=0, 当x∈(0，xo)U(1,+∞)时，9'(x)>0; 当x∈(xo,1),p'(x)<0, 故(x)在(0，xo)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增. 又p(0)=p(1)=0,∴.p(x)=e-x2-(e-2)x-1≥0， 当且仅当x=1时取等号. 故e+(2-e)x-1≥x,x>0. 由(2)知，e≥x十1，故x≥ln(x十1)，∴。x-1≥lnx,当 且仅当x=1时取等号. 2 讲解册参考答案 :.e+(2-e)x->≥x≥nx+1. 即e+(2-e)x-≥lnx+1. ∴.e+(2-e)x-1≥xlnx+x, 即e+(1-e)x-xlnx-1≥0成立，当x=1时等 号成立. 故当x>0时，g(x)≤f(x), 方法二：要证xlnx-x2十(e-1)x十1≤e-x2,等价于 xlnx十(e-1)x十1-e≤0，又x>0,可转化为证明 lnx+e-1+1-g≤0 xx 令F()=lnx+e-1+⊥-e xx F()=1-A-e(x-D=x-1)1-e) xx x x>0,因此当x∈(0,1)时，F(x)>0,F(x)单调递增； 当x∈(1，十∞)时，F'(x)<0,F(x)单调递减； ∴.F(x)有最大值F(1)=0,即F(x)≤0恒成立， 即当x>0时，g(x)≤f(x). 跟踪训练 1.解：(1)f(x)=4e-1+2ax,由曲线y=f(x)在x=1处 的切线方程为y=bx十1知： (f1)=4十2a=b,解得a=-1,b=2. {f(1)=4+a=b+1, (2)由题意只需证：当x>0且x≠1时，4e1-x2>2x十1； 设g(x)=4e1-x2-2x-1,则g(x)=4e-1-2x-2, g"(x)=4e-1-2,易知g"(x)在(0，十∞)上单调递增；且 g"(1)=2>0,g"(0)=4-2<0,必定存在∈(0， 1),使得g(x。)=0,则g(x)在(0，xo)上单调递减，在 (x,十∞)上单调递增，其中g(0)=4-2<0, e g(1)=0,即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单 调递增，g(x)m=g(1)=0,即当x>0且x≠1时， g(x)>0成立； 所以当x>0且x≠1时，曲线y=f(x)的图象在切线y =bx+1的上方. (3)要证：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0， 只需证4e-1-x2-32nt≥0. x 由(2)知x>0时，4e-1-x2≥2x十1. 故只需证2x十1≥3+2n工，即证x2-x-1nx≥0， 设p(x)=x2-x-lnx,则9(x)=2x-1- x 2x2-x-1=(2x+1)(x-1),易知p(x)在(0,1)上单调 递减，在(1，十∞)上单调递增， .e(x)≥p(1)=0； 即不等式：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0成立. 考点二 例2[解](1)当a=1时，f(x)=xlnx-x3-1, x∈(0，+o), 则f(x)=lnx+1-3x2, 令h(x=f(x),则()=1-6x, 令K(x)=-6x>0, x x>0, 0<语， :f(x)在区间（0，得)上单调递减增，在区同 (怎，+上单调运减， 29 数学 rc(得)-a+号 =2(+1)0， .f(x)的单调递减区间是(0，十∞)，无增区间. (2)x∈(0，十∞)， 当x∈(0,1]时，f(x)<0显然成立， 当x∈(1，+o∞)时，f(x)=a(lnx十1)-3x2, 令g(x)=f(x), ·g(x)=a=6x<0, f(x)在区间(1，十∞)上单调递减， .f(x)<f(1)=a-3≤0， ∴f(x)在区间(1，十∞)上单调递减， .f(x)<f(1)=-2<0, 综上所述，当0≤a≤3时，f(x)<0. (3)h(x)=xln x, (x)=lhnx+l,令()<0，则0<x<1 h在区同(0，)上单润造减，在区（，+o∞） 单调递增， 不坊设<，则西(0，日）（日，1 先证：x2-x1<b+1, 易知h(x)在x=1处的切线方程为y=x一1，该切线上 直线y=b的交点的横坐标为x3=b十1， 令g(x)=h(x)-(x-1)=xhx-x十l,则g(x)=lnx, 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,此时g(x)>g(1)=0, .当x∈(0,1)时，y=x一1图象在h(x)下方. ,.x3>x2一x1, …x2-x1<x3<b+1, 再证x->e+1,设A(日，-是）B1,0, 易知直线OA方程为y=一x,直线AB方程为 ye-1, 则直线OA,AB与直线y=b交点的横坐标为x4=一b x=(e-1)b+1, .x5-x4=be+1, x4=一b=一xnx1>x1,同理可证：z4<x2, ∴x<4<x2,类似的可以证明x1<x6<x2, ..Is-x<x:-,be+1<z-, .be+1<|x1-x2<b+1. 跟踪训练 2解：油题意，通数)-1，今1=-0， 得x=士1， 所以函数f(x)的零点x。=士1， 又由f)=t-2x-1,可得(-1)=2e, e f(-1)=0, 所以曲线y=f(x)在x=一1处的切线方程为 y=2e(x+1). 又由了)=-吕1)=0，所以曲线y=)在x 处的切线方程为y=一2（工一1）. e (2)由(1)知f(x)=t2-2x-1 e 令了()=0，即-2红-1=0，解得x=1士2， e 当x∈(-∞，1-√2)U(1十√2，十∞)时，f(x)>0: 当x∈(1-√2,1+√2)时，f(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，1一√2）， (1十√2，十∞)，单调递减区间为(1-√2,1十√2)， 由(1)知，当x<-1或x>1时，f(x)<0; 当-1<x<1时，f(x)>0. 下面证明：当x∈(-1,1)时，2e(x十1)>f(x). 当x∈(-1,1)时，由2e(x+1)>f(x), 即2(x+1)+t1>0,可得e*1+,1>0, e 令g)=e1+号，可得ga)=e1+>0, 所以g(x)在x∈(-1,1)上单调递增， 所以g(x)>g(-1)=0对任意x∈(-1,1)恒成立， 当x∈(-1,1)时，2e(x+1)>f(x. 由x+D,可得器-1，记=是-1 ly=m 不妨设x1<x2,则-1<x1<1-√2<x2<1, 所以1西，-<1x’-=x一x'=-(0-1小 要证1x-|<2-m（1+e）只需证x (器-1）2-m(+20)即证≤1-m, 又因为m= 1,只需证，≤1-1丝 即(x2-1)·[e2-(x2十1)]≤0， 因为x2∈(1-√2,1)，所以x2-1<0, 所以只需证e2一（x2十1)≥0， 令p(x)=e-(x十1)，则(x)=e-1. 当x∈(1一√2,0)时，9(x)<0,函数p(x)单调递减； 当x∈(0,1)时，9(x)>0,函数(x)单调递增， 所以p(x)≥p(0)=0,所以e2-(x2十1)≥0， 所以-x<2-m(+20) 素养培优5极值点偏移 研析考点层级突破 考点一 例1[解](1)由题意可得x>0,士>0，所以a>0, f)=(1十1hnx)e始=1+l血z的定义战为(0，十o), ax 又fz)=2x(1+lnx)·a =-lnx (a.x) ax?, 由(x)=0,得x=1, 当0<x<1时，f(x)>0,则f(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，f(x)<0,则f(x)在(1，十∞)上单调递减， (2)由1+lh2=1,得1+lnx=a,设g(x)=1+血2 ax x 二三·叶n0马由g=0,得x 当0<x<1时，g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，g(x)<0,则g(x)在(1，+)上单调递减， 又8（日）=0，g1)=1,且当x地近于正无穷，8）地 近于0， g(x)=1中血工的因象知图， Y 所以当0<a<1时，方程 1十ln工=a有两个根， 0 x 证明：不妨设x1<x2,则0< x1<1<x2, 1+In x11+In xz 2 230数学 素养培优4切割线放缩 研析考点>层级突破 核心知识 4.三角函数的放缩 1.常见的放缩 (1)对数形式：x≥1+lnx(x>0),当且仅当 (1)snz的放缩：当≥0时x名<≤ x=1时，等号成立. 当0≤x≤时，sinx≤r≤tanx (2)指数形式：e≥x十1(x∈R),当且仅当 x=0时，等号成立. (2)0s上的放缩：当≥0时，1-号≤0sx 2 进一步可得到一组不等式链：e>x十1 >x>1+lnx(x>0且x≠1). ≤1-x x 2.泰勒展开式 点一 切线放缩 e=1+++…++: 典题例析 22 [例1]已知函数f(x)=e-a.x2,g(x)= 1+)=x7子g …+(-1)” xlnx-x2+(e-1)x+1,且曲线y= x0+1 n+1十o(x+1); f(x)在x=1处的切线方程为y=bx十1. (1)求a,b的值； 截取片段：e≥x十1(x∈R) (2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值； 1n(1+x)≤x(x>-1),当且仅当x=0 (3)证明：当x>0时，g(x)≤f(x). 时，等号成立； 进而：lnx≤x-1(x>0)当且仅当x=1 时，等号成立 3.关于lnx的放缩 (1)切线放缩及其变形：1-1≤1n≤x-1; (2)当x≥1时， 2(x-1) x+1 ≤lnx≤ (x) 当0≤x≤1时，2(-)≤nx 规律方法》… <2P 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹 x十1 (3)当x≥1时，1nx≥3r-1) 凸性相反的问题（拆成两个函数），两函数 2+4红+7当0<c 有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础， ≤1时，lnx≤ 3(x2-1) 引入一个中间量，分别证明两个不等式成 2+4x+1 立，然后利用不等式的传递性即可，难点在 (4)对数平均不等式：√ab<lna-lnb<a十b a-b 2 合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线 (a,b>0,且a≠b). 隔板 20 [第一部分]专题一函数与导数、不等式 跟踪训练 规律方法》… 1.已知函数f(x)=4e-1十ax2,曲线y=f(x) 1.割线放缩关键是根据不等式的特点和需 在x=1处的切线方程为y=bx十1. 要，找准相关的函数及其割线，才能恰当 (1)求实数a,b的值； 地割线放缩， (2)x>0且x≠1时，证明：曲线y=f(x) 2.割线夹本质与切线夹类似 的图象恒在切线y=bx十1的上方； 跟踪训练 (3)证明：不等式：4xe-1-x3-3x-2lnx ≥0. 2.已知函数f(x=1一（e为自然对数 的底数) (1)求函数f(x)的零点x,以及曲线y= f(x)在x=x处的切线方程； (2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数 根x1,x2,求证：|x1-x2|<2 m1+20} 吉点二 割线放缩 典题例析 [例2]已知函数f(x)=axIn x-x3-1. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若0≤a≤3，求证：f(x)<0; (3)若()=f)+t+1,3≠使得 a h(x1)=h(x2)=b,求证：be+1<|x1-x2|< b+1. ©温馨提 学习至此，请完成配套训练素养培优4 21