素养培优2、3 导数中函数的构造问题&同构函数-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

[第一部分]专题一函数与导数、不等式 素养培优2 导数中函数的构造问题 构造法是高中数学学习中一种极其重要的思维方法与学科方法，通过对数学问题的已 知条件和结论进行深入分析，抓住问题的本质特征，恰当地构造辅助元素或数学模型，转化 原问题的结构，重组条件和结论之间的关系，产生一种新的结构，通常这种新结构的构思精 巧，联想丰富、思维灵活，通过构造所得新问题的解决出奇制胜地解决了原问题. 研析考点)层级突破 考点一 构造函数解抽象函数不等式 c.<r<r 典题例析 [例1][多选]已知函数f(x)为定义在 D.f2)<f2)f (一∞，0)U(0,十∞)上的奇函数，若当 专点二构造具体函数比较实数的天小门 x<0时，xf(x)-f(x)<0,且f(1)=0,则 典题例析 [例2] (1)已知a=sin0.5,b=3.5,c= A.2f(e)>ef(2) log.30.5,则a,b,c的大小关系是() B.当m<2时，f(m)>mf(1) A.a<b<c B.a<c<6 C.3f(-π)+元f(3)<0 C.c<a<b D.c<b<a D.不等式f(x)>0解集为（一1,0）U(1,十∞) (2)已知正数a,b,c满足e=1.13,5b2+ …规律方法》… 10b-3=0,e=1.3,则 () 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数 A.a<c<6 B.b<a<c 不等式，要设法将隐性化归为显性的不等 C.c<a<6 D.c<b<a 式来求解，方法是： 规律方法》 (1)把不等式转化为f[g(x)]>f[h(x)]; 要注意实数的形式，二要分析实数间的 (2)判断函数f(x)的单调性，再根据函数 关系才能恰当构造函数，利用其单调性比 的单调性把不等式的函数符号“f”脱 较大小： 掉，得到具体的不等式（组），但要注意 跟踪训练 函数奇偶性的区别. 2.设x1,x2∈(0，十o∞)，且e十lnx2=1, 则 () 跟踪训练 1.已知定义在(0，十∞)上的函数f(x)满足 A若4=则x∈（合，》 xf'(x)=(1-x)f(x),且f(1)>0,则 B.若x1x2=1,则x1存在且不唯一 ( C.x1+x2>1 Af2下f1)<f2) D.x1+In x2>0 ©温馨提 B.f2<f1)<f2） 学习至此，请完成配套训练素养培优2 17 数学 素养培优3同构函数 同构法在近几年的高考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表 示成两侧具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题. 研析考点层级突破 点一 地位同等同构型 跟踪训练 典题例析 1.若对于0<x1<x2<a,都有x2lnx1 [例1] 若实数a,b满足4十log3a=8+ x1lnx2≤x1-x2成立，则a的最大值为 31og27b,则 ( () Ae<曾 R6>曾 A.2 B.1 C.e D.2e C.a>b3 D.a<b3 专点二 指对跨阶同构型 …规律方法》… 典题例析 含有二元变量x1,x2的函数，常见的同构 [例2] 已知正实数a,b满足lna十a= 类型有以下几种： 2026,b(1nb-2)=e2o28,则ab的值为 (1)g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]台 g(x1)+入f(x1)>g(x2)+入f(x2),构 A.e402 B.e2 造函数p(x)=g(x)十入f(x); C.e2027 D.e2028 （2)fx)-fx）>k(,<)台fx) 规律方法》 C1-x2 指对跨阶同构的基本模式有： f(x2)<kx-kx2f(x1)-kx< f(x2)一x2,构造函数P(x)=f(x) (1)积型：ae≤blnb,一般有三种同构方式： 一kx; ①同左：ae“≤blnb台ae≤(lnb)enb,构 (3)fx)-fx）<b(,<)9 造函数f(x)=xe; x1一x2 X1X2 ②同右：ae≤blnb台elne≤blnb,构 f(x)-f(x)>(x-)=及_飞 X1X2 x2 1 造函数f(x)=xlnx; 台f(1)+>f(,)+,构造函数 ③两边同取自然对数：ae≤blnb台a十 lna≤lnb十ln(lnb),构造函数为f(x) p(x)=f(x)+ In 18 [第一部分]专题一函数与导数、不等式 (2)南型：日<品6一叔也有三稀同方式： 专点三 零点同构型 典题例析 b台e<eh @同左：<nba,nb’构造函数 [例3]已知f(x)=xnx+x+1,若关 为f✉)-g: 于x的方程xe=f(x)-受x+ax-1 有两个不同的实数解，求a的取值范围. ②同右：名<品6品<品。为黄脑 一b 数为f(x)= In x ③两边同取自然对数： <品 a a-lna<lnb-ln(lnb),构造函数为 f(x)=x-In x. (3)和差型：e士a>b士lnb,一般有两种同 构方式： ①同左：e士a>b士lnb台e±a>enb± lnb,构造函数为f(x)=e士x; ②同右：e“士a>b士lnb台e士lne> 规律方法》 b士lnb,构造函数为f(x)二x士lnx. 在涉及函数的零点问题时，可根据函数式 跟踪训练 的结构或转化为方程后构造函数，其实质 2.已知函数f(x)=e2+x和g(x)= 是把函数式简化，以达到研究函数零点的 目的. ln(xe),若存在实数a,B,使得f(a)一 跟踪训练 g(β)=0，则a8的最小值为 3.已知x是函数f(x)=xe-2+lnx-2 A.-e B.-1 的零点，则e2-。十lnxo= c-& D.-3 C温攀提污 学习至此，请完成配套训练素养培优3 19又x→一∞时，h(x)十∞， 故h(x)在(-∞，x3)上存在唯一零点， 即y=kx一1(k>0)与f(x)有唯一交点； 综上所述：直线y=kx一1(k>0)与曲线y=f(x)的交点 个数为1. 跟踪训练 解析：因为f(x)=十x(2-xe-,则f(2)=号≠0， 令f()=0,显然x≠2，则λ=2(x-②)” e 令gx）--2)x∈0,2U2,+oo), 则g(x）=e(x-2x)-e(3x2-4) x4(x-2)3 =(x-1)(x-4)e x3(x-2)2 令g(x)=0,得1=4，x2=1,所以，当x变化时，g'(x), g(x)变化如下表： x(0,1) 1 (1,2)(2,4) 4 (4,十∞) g'(x) 十 0 0 :单调 g(x)递增 单调单调极小值 极大值递减递减 单调 递增 所以，函数g(x)的增区间为(0,1)，(4，十∞)，减区间为 (1,2),(2,4), 、e 且极大值为g(1)=-e,极小值为g(4)=32 当x→0时，g(x)→一0， 当x→2时（从左边趋于），g(x)→一∞； 当x→2时（从右边趋于），g(x)→十∞， 当x→+∞时（从右边趋于），g(x)→十∞ 由周象可知，当-e<A<D时，直线 y=入与曲线y=g(x)没有交点， 32 即f(x)在(0，十∞)上没有零点. 0 24 因此，实数入的取值范围 e" 是(-e32 答案：一e32) 考点三 例3[解](1)当a=2时，f(x)=ln(1+2x)-x, 2 则f(x)=1+2z-1,即f(0)=1,f0)=0, 故所求切线方程为y=x. (2)由f(x)=ln(1+ax)-x,a>0, -1=ata1(x> 则f(x)=1十ax 1+ax 令f>0,则-8<a<1-日 a 1 令f(x)<0,则x>1一 a 故f)的单润远增区间为（一日，1一日）单调递减区 间为(1-a+∞） (3)当a>1时，1-1>0， 由(2)知f(x)在（日1-]上单洞递蹄，在 (1-日+∞)上单河递减， 又f(0)=0,所以x=0是f(x)的一个较小的零，点，不妨 设x1=0, 22 讲解册参考答案 要证十>2-2，只需证，>2- 因为2-)>1-日，且fx)在(1-+∞）上单 调递减， 从而只需证f(2-名)）>fx,)=0即可. -)[+a-月-2+ =h(2a-1D-2+2, 令8=ln(2z-1)-2+2>10, g仙一益二>06准+)上单消路 8>g)=0,即证(2吕)>0，即证4+>2号 跟踪训练 解：/心)=a+1》-年的定义线为(-1，+eo. ra-, 1 2 ①当=2时，f(x)≥0，f(x)在(-1，十o∞)上单调递增； ②当k>2时，x∈（-1,0)时，f(x)>0,f(x)在(-1,0) 上单调递增. x∈(0，k2-2k)时，f(x)<0,f(x)在(0，k-2k)上单调 递减， x∈(k-2k,十∞)时，f(x)>0,f(x)在(k2-2k,十∞)上单 调递增. (21得，当k=3时，)=ln+1D-平g) 在(0,3)上单调递减， 即当x∈(0,3)时，f(x)<f(0)=0, 所以1n(x+1)<3r x十3 3 令x=(mEN)得，nm+1< 3 3 m m 1+33m+i4 m 即lnm十13 4’ 所以1n+n+…+n -1a+1<号+…+号-得江 素养培优2导数中函数的构造问题 研析考点层级突破 考点一 例1[解析]构造函数g(x)=,其中x≠0， 因为函数f(x)为定义在(-∞，0)U(0,十∞)上的奇函 数，则f(一x)=一f(x), 所以g(-x=二=f=g(x, 一x x 故函数g(x)为偶函数， 当x<0时，g()=f()f<0, x2 所以函数g(x)在（一∞，0）上单调递减， 在(0，十∞)上单调递增， 因为f1)=0,则g1)=f0=0,则g(-1D=g1)=0. 1 因为e>2,所以g(e)>g(2),即fe>f2), e 2； 2f(e)>ef(2),故A正确； 数学 不妨取m=1,则f(1)=0,mf(1)=0,B错误； 因为偶函数g(x)在(0，十∞)上单调递增， 则g(-π)=g(π)>g(3), 即f-)>f3）,整理可得3f(-x)+f(3)<0,C正 -π3 确；当x<0时，由f(x)>0可得g(x)=f）<0 g(-1),解得-1<x<0,当x>0时，由f(x)>0可得 g(x)=fC四>0=g1),解得x>1.综上所述，不等式 元 f(x)>0解集为(-1,0)U(1,十∞)，D正确. [答案]ACD 跟踪训练 1.D 考点二 例2(1)[解析]对x∈(（0，受）因为y=sinx-x,则y =cosx-1<0,即函数y=sinx-x在(0,2)单调 递减， 且x=0时，y=0,则sinx一x<0,即sinx<x,所以a= sin0.5<0.5, 因为2log.30.5=log.30.25>log0.30.3=1且log.30.5 <loga.30.3=1,所以0.5<c=1ogo.30.5<1, 又b=3.5>3°=1，所以a<c<b. [答案]B (2)[解析]由56+106-3=0，解得6=-1+22 √5 构造函数Kx)=x-合t2-ln(z+1D(x>-1D, 显然r-活<0， 故f(x)是减函数，结合f(0)=0, 故x>0时，f(x)<0, 故1n(x+1D>E-合(x>0, 再令gx)=x-22+号2-h(x+10,(x>-1D. ga)=舌2当>0时0 故g(x)在(0，十∞)上单调递增，结合g(0)=0, 故1nx+1)<x-r+号，(>0 则c=n1.3=h1+0.3)<0.3-2×0.09+号× 0.027=0.264, a=3n1.1>3×(0.1-2×0.01）=0.285, 所以(a+1)2>(1+0.285)2=1.651225, 6+12=号=1.6，c+12=1+0.2642=1.597696, 故(a+1)2>(b+1)2>(c+1)2, 由a,b,c都是正数，故a>b>c. [答案]D 跟踪训练 2.C 素养培优3同构函数 研析考点层级突破 考点一 例1[解析]由题意知a>0,b>0, 44=220,80=23b,3l0g27b=l0g3b, .22a+log3a=2驰+logb, ∴.224+log3a十log32=26+log3b+log32, p22+loga 2a=23+logs 26, y=log3x在(0，十∞)上单调递增， 2 ∴.1og32b1og33b, .22a+log32a<236+log33b. 设f(x)=2+logx,则f(2a)<f(3b), :y=2与y=log3x在(0，十∞)上单调递增， f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 2a<36,即a<2 [答案]A 跟踪训练 1.B ['.'z:In z-x In z2<-2, lnx-n≤1-1， T2 x1 即h西+1<n+1,又0<1<，<a, x2 令p(x)=nx十1 小p(x)在(0，a)上单调递增，p'(x)=一lh工， 2? 当x∈(0,1)时，9(x)>0, 当x∈(1，+∞)时，9(x)<0, (x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，故 a≤1，a的最大值为1.] 考点二 例2[解析]对b(Inb-2)=e2o28两边取自然对数， In 6+In(In 6-2)=2 028, Ep In 6-2++In(In 6-2)=2 026, 设F(x)=lnx十x,x>0, 则F(x)=1+1>0, 所以F(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以方程F(x)=2026的解只有一个， 又因为lna+a=2026,所以a=lnb-2, 所以ab=(lnb-2)b=e2o28 [答案]D 跟踪训练 2.C[因为f(x)=e+x=e+lne,g(x)=lnx+x, 所以f(a)=e+lne,g(e)=e+lne,而f(a)-g()=0, 故f(a)=g(e)=g(),又g(x)=lnx十x在定义域上单 调递增，则B=e°，于是8=ae. 设h(a)=ae°，则h'(a)=(a十l)e, 当a∈（-∞，-1)时，h'(a)<0,h(a)单调递减， 当a∈(-1，十o)时，h'(a)>0,h(a)单调递增， 所以h(a)a=h(-1D=-名.】 考点三 例3[解]由xe=f(x)-受x+ax-1(x>0), 即xe-a=xlnx十ax, 即e-a=lnx十a, 即e-a十x-a=x十lnx, ∴.ln(ea)+e-a=lnx十x, 令h(x)=lnx十x(x>0),则h(e-4)=h(x), h(x)=1+1>0,h(z)在(0，十∞)上单调递增， x .e-e=x, x-a=In z,a=x-In x(x>0), 因为关于x的方程xe=f(x)-号x十ax-1有两个 不同的实数解， 则方程a=x一lnx(x>0)有两个不同的实数解. 令p(x)=x-lnx, 则9'(x)=1-1=x-1 ℃ 当0<x<1时，9(x)<0, 当x>1时，p(x)>0, 8 所以函数p(x)=x一nx在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞) 上单调递增， 所以p(x)min=p(1)=1, 当x→0时，(x)→十∞， 当x→十∞时，p(x)→十∞， 所以a>1, 综上，a的取值范围为(1，十∞). 跟踪训练 3.解析：令x2e-8+lnx-2=0, 可得x2e-2=2-lnx, 即xe =2-lnx, 'e-2e-e'ln z,xe'-2e-eIn x, xx 即xe=glng 两边同取自然对数， In xtz-In(in) 所以1ng=,即2-1nx=x, x 即lnx=2-x, ..e2-*=x,.e2-%0 +In xo=xo+In zo=2. 答案：2 素养培优4切割线放缩 研析考点层级突破 考点一 例1[解](1)由题设得f(x)=e-2ax, /f1)=e-2a=6 1f(1)=e-a=b+1' 解得，a=1,b=e-2. (2)由(1)知，f(x)=e-x2, 令函数h(x)=e-x-1,.h'(x)=e-1, 当x<0时，h(x)<0,h(x)单调递减； 当x>0时，h'(x)>0,h(x)单调递增； .h(x)≥h(0)=0,即e≥x+1 ∴.当x∈[0,1]时，f(x)=e-2x≥x十1-2x=1-x≥0， 且仅当x=1时f(x)=0, 故f(x)在[0,1]上单调递增， .f(x)im=f(0)=1. (3)由题要证：当x>0时，g(x)f(x), 即证：e+(1-e)x-xlnx-1≥0， 因为f(0)=1,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 y=(e-2)x+1, 故可猜测：当x>0且x≠1时，f(x)的图象恒在切线 y=(e-2)x十1的上方. 下面证明：当x>0时，f(x)≥(e-2)x+1, 方法一：证明：设p(x)=f(x)-(e-2)x-1,x>0, 则p'(x)=e-2x-(e-2),令F(x)=p(x), F(x)=e-2, 当x∈(0，ln2)时，F'(x)<0,9(x)单调递减； 当x∈(ln2,+o∞)时，F(x)>0,9(x)单调递增， 又p(0)=3-e>0,9(1)=0,0<ln2<1, p(1n2)<0, 所以，存在x。∈(0,1)，使得0(x)=0, 当x∈(0，xo)U(1,+∞)时，9'(x)>0; 当x∈(xo,1),p'(x)<0, 故(x)在(0，xo)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增. 又p(0)=p(1)=0,∴.p(x)=e-x2-(e-2)x-1≥0， 当且仅当x=1时取等号. 故e+(2-e)x-1≥x,x>0. 由(2)知，e≥x十1，故x≥ln(x十1)，∴。x-1≥lnx,当 且仅当x=1时取等号. 2 讲解册参考答案 :.e+(2-e)x->≥x≥nx+1. 即e+(2-e)x-≥lnx+1. ∴.e+(2-e)x-1≥xlnx+x, 即e+(1-e)x-xlnx-1≥0成立，当x=1时等 号成立. 故当x>0时，g(x)≤f(x), 方法二：要证xlnx-x2十(e-1)x十1≤e-x2,等价于 xlnx十(e-1)x十1-e≤0，又x>0,可转化为证明 lnx+e-1+1-g≤0 xx 令F()=lnx+e-1+⊥-e xx F()=1-A-e(x-D=x-1)1-e) xx x x>0,因此当x∈(0,1)时，F(x)>0,F(x)单调递增； 当x∈(1，十∞)时，F'(x)<0,F(x)单调递减； ∴.F(x)有最大值F(1)=0,即F(x)≤0恒成立， 即当x>0时，g(x)≤f(x). 跟踪训练 1.解：(1)f(x)=4e-1+2ax,由曲线y=f(x)在x=1处 的切线方程为y=bx十1知： (f1)=4十2a=b,解得a=-1,b=2. {f(1)=4+a=b+1, (2)由题意只需证：当x>0且x≠1时，4e1-x2>2x十1； 设g(x)=4e1-x2-2x-1,则g(x)=4e-1-2x-2, g"(x)=4e-1-2,易知g"(x)在(0，十∞)上单调递增；且 g"(1)=2>0,g"(0)=4-2<0,必定存在∈(0， 1),使得g(x。)=0,则g(x)在(0，xo)上单调递减，在 (x,十∞)上单调递增，其中g(0)=4-2<0, e g(1)=0,即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单 调递增，g(x)m=g(1)=0,即当x>0且x≠1时， g(x)>0成立； 所以当x>0且x≠1时，曲线y=f(x)的图象在切线y =bx+1的上方. (3)要证：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0， 只需证4e-1-x2-32nt≥0. x 由(2)知x>0时，4e-1-x2≥2x十1. 故只需证2x十1≥3+2n工，即证x2-x-1nx≥0， 设p(x)=x2-x-lnx,则9(x)=2x-1- x 2x2-x-1=(2x+1)(x-1),易知p(x)在(0,1)上单调 递减，在(1，十∞)上单调递增， .e(x)≥p(1)=0； 即不等式：4xe-1-x3-3x-2lnx≥0成立. 考点二 例2[解](1)当a=1时，f(x)=xlnx-x3-1, x∈(0，+o), 则f(x)=lnx+1-3x2, 令h(x=f(x),则()=1-6x, 令K(x)=-6x>0, x x>0, 0<语， :f(x)在区间（0，得)上单调递减增，在区同 (怎，+上单调运减， 29