微专题 6 平面向量-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

数学 专题二 平面向量、三 三角函数的概念、诱导公式及同角关系 (1)三角函数：设α是一个任意角，它的终边OP与 单位圆交于点P(x,以，则sina=y,cos=x,tana =￥c≠0)，各象限角的三角函数值的符号；一 全正，二正弦，三正切，四余弦。 2)洞角关系：sira+cos2a=l,0&=tana(a≠受+hm, k∈Z). (3)诱导公式：在7+a,k∈Z的诱导公式中“奇 变偶不变，符号看象限” 个 单位圆 P(cos a,sin a) 构 a 建 三角 0 性质 数 函数 y=sin x y=cOSx y=tanx y 解 三 图象 1 T 形 在受+2kπ， 在[-T+2km 在（罗+林m, 知 受+2kT](k∈ 2kπ]k∈Z) 识 上单调递增； 罗+6m)k∈Z) 体 单 Z)上单调递增 上单调递增 系 在受+2km, 在[2kT,T+ 2kT]k∈Z) 3π+2kmk∈ 上单调递减 Z)上单调递减 对称中心： 对称中心： 对称中心： 对 kπ，0k∈Z): 受+hπ，0 (罗，0) 对称轴：x+ (k∈Z)；对 k∈Z) kT(k∈Z) 称轴：=kT (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 24 角函数与解三角形 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(a±B)）片sin acos B±cos sin B; cos(B)=cos acos B sin asinB; tan(a±B上tana±tanB 1干tanctanB； sin(a+B)sin(a-B)=sinr2a-simr2B(平方正弦公式)： cos(a+B)cos(a-B)=cos2a-sin2B(平方余弦公式). 二倍角公式、辅助角公式 (1)二倍角公式 sin 2 q=2sin acos a cos 2 a =cos2 a-sin2 a=2cos2 a-1=1-2sin2 o 2tan q tan2o=1-tan'a 11+sin 2=(sin a+cos a)2. 21-sin 2 a=(sin a-cos a)2. (2辅助角公式 y=asin x+bcos(sinxcosp+cosxsin) sink+p),其中角p的终边所在象限由a,b的符号 确定，角φ的值由amga≠0确定， 定理 定理 正弦定理 余弦定理 b 品A=品B=c2R a=b2+c2-2bccosA; 内容(R为△ABC外接圆的半径)bP=a2+c2-2 accos B: c2=a2+b2-2abcos C (1)a=2RsinA,b=2Rsin B, c=2Rsin C; 2R,sin B=b (2)sin A=a ' imC COS A=tc2-a 2be 变形(3)a:b:c=sinA:sinB: cos B= c2+a2-b2 sinC; 2ac (4)asin B=bsin A,bsin C= cos C= a2+b2-c2 csin B,asin C=csin A. 2ab [第一部分]专题二平面向量、三角函数与解三角形 微专题6平面向量 ★[高考定位]高考中经常直接考查向量的概念和运算，以解决有关长度、垂直、夹角等问题，此 类题一般以客观题形式出现，难度不大.有时也考查平面向量的综合应用.常与解析几何、三角函 数等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅.综合性比较强，难度也比较大. 研析考点层级突破 点一 平面向量的概念及线性运算 跟踪训练 核心知识 1.已知A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),若点 在用三角形加法法则时要保证“首尾相 D满足AB=DC,则点D的坐标为 接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后 一个向量的终点；在用三角形减法法则时要保 证“同起点”，结果向量的方向是由减向量的终 A.(2,2) B.(3,1) 点指向被减向量的终点， C.(1,3) D.(5,5) 典题例析 2.正六边形ABCDEF中，用AC和AE表示 [例1](1)在如图所示的方格里，向量 e1与e2均为单位向量，则向量a一b= CD,则CD () A-号AC+a正 B-5ac+号a正 C.-号AC+号A正 D.-号Ac+}A正 专点二”共线向量定理与苹面向量基本定理 A.e1+3e2 B.-3e1+e2 核心知识 C.-e+3ez D.3e1+e2 1.共线向量定理 (2)在△ABC中，BD-}BC,点E是AD 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：当 且仅当存在唯一一个实数入，使得b=a. 的中点，记AB=a,AC=b,则BE= 2.平面向量基本定理 A.-1 如果e,e2是同一平面内的两个不共线 a+ B.- 2 3a+ 向量，那么对于这一平面内的任意向量 c30-b 2 D. 3a- a,有且只有一对实数入1，入2，使a 方法归纳》 =λ1e1十入2e2 平面向量的线性运算技巧 典题例析 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一 [例2]（1)已知平面向量e1,e2不共线， 组基底，同时注意共线向量定理的灵活 a=(2k-1)e1+2e2,b=e1-e2,且a∥b, 运用. 则k= () (2)运算过程中要重视数形结合，结合图 形分析向量间的关系. A.- B.0 C.1 D. 25 数学 (2)大约在公元222年，赵爽为《周髀算 经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦 称“赵爽弦图”（如图1）.某数学兴趣小组 类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正 三角形，AD,BE,CF围成的△DEF也为 正三角形.若D为BE的中点，①△DEF 与△ABC的面积比为 ;②设 AD=λAB十4AC,则λ十= 图1 图2 方法归纳》 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运算 条件. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来 解决，但应注意向量共线与三点共线 的区别与联系，当两向量共线且有公 共点时，才能得出三点共线。 (3)OA=λOB十uOC(入，4为实数)，若 A、B、C三点共线，则入十=1. 跟踪训练 1.已知不共线的平面向量a,b满足(a十b) ∥(a+2b),则正数λ= () A.1 B.2C.3 D.2 2.[多选]设点M是△ABC所在平面内一 点，则下列说法正确的是 () A若AM=AB+2AC,侧则点M是边 BC的中点 2 B.若AM=2AB-AC,则点M是边BC的 三等分点 C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC 的重心 D.若AM=zAB+yAC,且x+y=号，则 △MBC的面积是△ABC面积的号 专点 平面向量的数量积 核心知识 平面向量的三个性质 1.若a=(x,y),则a=√a·a =√x2十y2. 2.若A(x1,y1),B(x2y2), 则|AB=√(x2-x1)+(y2-y). 3.若a=(c1y),b=(x2,y2),0为a与b的夹 角，则cos0=ab-√++ 、a·bx1x2十y1y2 典题例析 [例3](1)(2026·全国Ⅱ卷)已知向量a,b 满足|a十b=1,|a-b|=√3，则a·b= () 1 A.2 3 D.一2 (2)大约在公元222年，赵 爽为《周髀算经》一书作注 时介绍了“勾股圆方图”， 即“赵爽弦图”.如图是某 同学绘制的赵爽弦图，其中四边形 ABCD,EFGH均为正方形，AD=AE=2, 则FB·AH= 6 [第一部分]专题二平面向量、三角函数与解三角形 方法归纳》 角为行，且合气流矢量a与基底矢量e: 求解向量数量积最值问题的两种思路 相互垂直，则a= () (1)直接利用数量积公式得出代数式，依 据代数式求最值， B C.5 D.3 (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算 2.[多选]已知向量a=(m+1,一1)，b= 得出函数式，转化为求函数的最值 (1一m,2),则下列说法正确的是（) 跟踪训练 A.a+b=5 1.我国自主研制的JF-22超高速风洞，是 B.当m=1时，a在b上的投影向量的坐标为 航空航天高端研发的国之重器.在风洞平 (0,-1) 面流场研究中，取平面内一组不共线的单 C.若a∥b,则m=3 位气流矢量e,e2作为平面基底，风洞内 D.存在m∈R,使得a⊥b 某位置的合气流矢量a可以唯一表示为 @温馨提 学习至此，请完成配套训练专题精准强化6 a=e1十e2,已知基底矢量e1与e2的夹 素养培优6平面向量数量积的最值与范围问题 与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档.主要考 查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围 研析考点层级突破 专点一 向量模的最值、范围 规律方法》… 典题例析 求模的范围或最值常见方法 (1)通过a2=a2转化为实数问题； C例1]在△ABC中，∠ACB=120°，|AC (2)数形结合； =3,|BC1=4,DC·DB=0,则|AB十 (3)坐标法， AD的最小值为 跟踪训练 1.(2026·北京卷)已知向量a,b满足|a一b A.6√3-2 B.219-4 =2,a=(2,0),则|b的最大值为() C.33-1 D.√/19-2 A.0B.2 C.4D.6 27数学 In 得1n号=2a(-x1)a2x,x)@, In 3 由①②知原问题等价于求证 1y 2-x1十2x2' 即证ln>3(x2-) 3(x-1】 x1+2x2 1+2 I1 令t=要，则>1，上式等价于求证n>3-卫， 1+2t 令h()=1nE-32(>1D, 1+2t 则(0=1-31+20)-6-1D-4-1D(4t-1D t (1+2t)2 t(1+2t)2 因为t>1,所以h(t)>0恒成立，所以h(t)单调递增， h(0>1n1-3X02=0, 1+2×1 即1n>3),所以原不等式成立，即1n西十2h>3. 1+2t 专题二平面向量、三角函数与解三角形 微专题6平面向量 研析考点层级突破 考点一 例1(1)汇解析]如图所示， Bi-60 a A a-b-AO-BO-AO+OB-AB--e;+3e:. [答案]C (2)[解析]由题设BE= 2 a+励)=合(i+号 B≤ =2[BA+号(BA+AG] D =-号A店+后AC,所以B成=-号a+号6 [答案]B 跟踪训练 1.A[设点D(x,y), 则AB=(1,2),DC=(3-x,4-y), 又AB=DC,所以=3-xx=2 12=4-y1y=2 所以，点D的坐标为(2,2).] 2.B「设正六边形ABCDEF的边长 为2，如图，设AD,EC交于点O,有 OD=1,AO=3, 则cD-c0+0元-i+A+ aC+应=-号Ac+号a.] 考点二 例2(1)[解析]因为a=(2k-1)e1+2e2,b=e1-e2且 a//b, 所以a=b,即(2k-1)e1+2e2=t(e1-e2), 又e1,e2不共线， 所以{2-1‘解 t=-2 k=一2 [答案]A (2)[解析]如图：连接AE,由题意知 △ABD≌△BCE≌△CAF,且D,E,F 分别为BE,CF,AD的中，点. 1 则SADEF=SAAEF=2 SAAPC' S△ABC=S△AFc+S△ABD十SARCE十 SADEF=7S△DEF, 克 AD-AB+BD-AB+2BE-AB+7(BC+CE) =AB+(Bc+2本) 又BC-AC-AB,C示-AF-AC-号Ad-AC, 化商释方-专店+号记， 所以一号十号-身 [答案]号9 7 跟踪训练 1.B[方法一：由已知有1·2=入·入，A>0,解得A=√2. 方法二：设(a十沾)=4(a十2b),4∈R,由题意 1=以 {d=2w>0,解得入=v2.] 2.ACD[对于A中，根据向量的平行四边形法则，若AM =AB+号AC-号(AB+AO, 则点M是边BC的中点，所以A正确； 对于B中，由AM=2AB-AC,则AM-AB=AB-AC 即BM=CB, 则B为CM的中点，所以B错误； 对于C中，如图所示，由AM=一BM-CM, 可得AM+BM+CM=0, 取BC的中点D,可得MA= -2MD,则点M为△ABC的重 心，所以C正确； 对于D中，由AM=xAB+ 1 yAC,且x+y=3, 所以3AM=3xAB+3yAC且3x+3y=1, 设AN=3AM,可得AN=3xAB+3yAC,且3x+3y=1, 所以N,B,C三点共线， 因为AN=3AM,所以M为AN的 一个三等分点（靠近A),如图所示， 所以SAN@c= SAAc,即△MBC 3 的面积是△ABC面积的号，所以D 正确.] 考点三 例3(1)[解析]由a十b=1,得1a+b2=1, 所以(a十b)2=1,即a2+2a·b+b=1; 由a-b=√3，得|a一b|2=3,所以(a-b)2=3, 即a2-2a·b十b2=3.两式相减，得4a·b=-2, 所以a·b=-2 [答案]D (2)[解析]建立直角坐标系，由数量积的坐标表示求解 即可. 以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 232 因为AD=AE=2, 则F(一2,0)，B(2,2), A(0,2),H(4,2), 所以FB=(4,2),AH=(4,0), 所以FB·AH=16. [答案]16 跟踪训练 1.C[由a⊥e1,得a·e1=(e1十 e2）·e1 =e112+e1·e2=0, 因为e1,e2是单位向量， 所以|e1|=e2|=1, 又6与：的夹角为经， =2' 所以e1·e2=1X1Xcos3 1 所以1+A×(合）=0，解得入=2， 所以a=e1十2e2, 1a2=(e1+2e2) =e2+46·6+4e:12=12+4×(合）+4x1 =3, 所以|a=√3.] 2.AB[对于A,a+b=(2,1)→|a+b|=√22+12=√5， 选项A正确； 对于B,当m=1时，a=(2,-1),b=(0,2), 国为96合-=号×号0,2)=0，-， -2、 所以a在b上的投影向量的坐标为(0，一1)，选项 B正确； 对于C,因为a∥b,所以有2(m十1)=-(1-m)→m= -3,选项C不正确；对于D,a⊥b→(m十1)(1-m)-2 =0→m2=一1，该方程无实根， 因此选项D不正确，故选AB.] 素养培优6平面向量数量积的最值与范围问题 研析考点层级突破 考点一 例1[解析]由题意，以C为 坐标原，点，CB所在直线为x 轴，过C垂直CB的直线为y轴 建立如图所示的平面直角坐 标系， 333,B(4,0), 则A(-22) 由DC·DB=O,可得D是以BC为直径的圆， 所以D的轨迹方程为(x一2)2十y2=4, 取BD的中点为M,设M(x,y),D(xy), x=。十4 可得 y=6+0,所以。二2x二4 (y%=2y 2 所以(2x-6)2+(2y)2=4, 所以点M的轨迹方程为(x一3)2+y=1,圆心为H(3,0), 半径为， 由AB+AD=2AM,所以|AB+AD|=2|AM|, 所以|AB+ADlin=2|AMnm 所以AM=AH-1 -9+-0-1=38-1 所以|AB+AD|min=6N3-2. [答案]A 2 讲解册参考答案 跟踪训练 1.C[因为|a一b=2,且a=(2,0),则|a=2,所以|b|= |a-(a-b)|≤|a+|a-b|=2十2=4，所以当a,a-b 反向时，b取最大值为4.] 考点二 例2[解析]建系如图所示， 因为△ABC是边长为2的等 边三角形，BD=2DC,∴A(0, √3)，B(-1,0),C(1,0), D(号o) A=(片- BC=(2,0), A.B心=号 设P(x,y),x,y∈R, ∴PA=(-xW3-y), PC=(1-x,-y), AB=(-1,-W3). ∴PA+PC=(1-2x,W3-2y), .(PA+PC)·AB=2x+23y-4=0, ∴x=2-3y, .P(2-3yy),PB=(W3y-3,-y), Pi=y-号-w, --+5=气)+是 当y7登时P店.P取将小位，录小位为品 [答案] 跟踪训练 2.D 考点三 例3[解析] 设与AB同方向的单位向量AB =e,与AD AB 同方向的单位向量 AD =e2,与AC同方向的单位向量 AD AC IACI 由题意，所以e1十3e2=eg, 所以(e+3e2)2=λ2e32,即e2+6e1·e2+9e22=2e2, 所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2， 所以cos∠BAD=-10 6 因为λ∈[√7,3]，所以A2∈[7,9]， 所以。[ 6 11 即cos∠BADe[-,-G] [答案]A 跟踪训练 3.C[由|a+b|2=4有|a2+lb2+2a·1 blcos0=4, 即4≥2a·b11+cos0≥号1+cos0, 33