微专题 1 函数的图象与性质-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

[第一部分]专题一函数与导数、不等式 第一部分聚热点·题型突破 专题一 函数与导数、不等式 函数奇偶性的二级结论 函数周期性与图象对称性的二级结论 函数单调性的二级结论 ①f(x)为奇函数曰f(x)的图 ①若f(x十a)=f(x)(a≠0)，则函数 ①f(x)与f(x)十c(c为常数)其有 象关于原点对称：f(x)为偶 f(x)是周期函数，其巾一个周期为T 相同的单调性。 函数台f(x)的图象关于y轴 =al. ②当k>0时，函数f(x)与kf(x)的 对称 ②若f(x+a)=f(x一a)(a≠0)或f(x 单调性相同：当k<0时，函数 ②偶函数的和、差、积、商是偶函 十a)=-f(x)(a≠0)或f(x十a)= f(x)与kf(x)的单调性相反. 数；奇函数的和、差是奇函 ③当f(x)恒不为0时，函数f(x)与 数，积、商是偶函数；奇函数 fmu≠0，fx)≠0)或f(x+a) )的单调性相反 1 与偶函数的积、商是奇函数， ③复合函数的奇偶性 a≠0，fx)≠0)，则函数fr) ④当f(x)非负时，f(x)与√f(x)具 若y=f()为偶函数， 是周期函数，其巾一个周期为T=2a 有相同的单调性 g(x)为奇函数或偶函数，则 ③若f(x十a)=f(x十b)(a≠b),则函数 ⑤当f(x),g(.x)同时为增（减）函数 y=f(g(.x))为偶函数.若y f(x)是周期函数，其小一个周期为T 时，f(x)十g(x)为增（减）函数. =f()为奇函数，则当以 a-b. ⑥设f(x),g(x)都是增（减）函数，则当 g(x)为奇函数时，y ④若(x)的图象在定义域内有两条对称 两者邵恒大于0时，f(x)·g(x)是增 f(g(x)为奇函数；当4= 轴x=a,x=b.则f(x)的一个周期为 (减)函数：当两者都恒小于0时， g(x)为偶函数时，y= T=21b-a1. f(x)·g(x)是减（增）函数. f(g(x)为偶函数， ⑤若f(x)的图象在定义域内有两个对称 ⑦奇函数在对称的两个区间上有相 ④定义域含0的奇函数的图象 中心(a,0),(b,0),则f(.x)的一个周期 同的单调性，偶函数在对称的两 必过原点，即有f(0)=0. 为T=2|b-a. 个区间上有相反的单调性. ⑤存在既是奇函数，乂是偶函数 ⑥若f代z)的图象在定义域内有对称轴x=。 ⑧复合函数的单调性，简记为“同增 的函数f(x)=0(定义域关于 和对称巾心(b,0),则f(x)的一个周期 异减”. 原点对称) 为T=4|b-a. 零点存在定理 3类结论 函数y=f(x) 基本初等函数的导数公式 在区间[a,b1上 的图象是一条连 ①e'=0(c为常数). 续不断的曲线 构建 ②(.x)'=ar一(a∈Q,且e≠0) 条件 满足f(a)· 1个定理 [函数与 3 (sin )'cos x,(cos )'=-sin .c. 导数 ④(1nx)/=1(x>0),(logx)'= f(b)<0 知识 个公式 体系 (x>0,a>0.且a≠1). 结论 存在c∈(a,b),使 ⑤(e*)'=e,(a)'=a'lna(a>0, 得f(c)=0 且a≠1). 2种关系 导数与函数单调性的关系 函数与极值点之间的关系 ①f(x)>0(<0)是f(x)在区间(a,b)内单调递 ①定义在D上的可导函数f(x)在x=处收得极值的 增（减）的充分不必要条件. 充要条件是f(x,)=0,并且f(x)在x=x。两侧异 ②f(x)≥0（≤0）是f(x)在区间(a,)内单调递 号，若“左负右正”，则x=x。为极小值点，若“左正右 增（减）的必要不充分条件， 负”，则x=为极大值点. ③若了(x)在区间(，)的任意了区间内都不恒等 ②函数f(x)在x=x处取得极值时，它在这点的导数不- 于零，则f(x)≥0（≤0）是函数f(x)在区间 定存在.例如，函数y=|x,结合图象知它在x=0处有 (a,b)内单调递增（减）的充要条件. 极小值，但它在x=0处的导数不存在 数学 微专题1函数的图象与性质 ★[高考定位]考查关于此部分内容的命题多集中于函数的概念、性质及分段函数等，主要 考查求函数的定义域，分段函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别.此部 分内容有时出现在选择题、填空题、压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题， 难度较大. 研析考点层级突破 考点一 函数及其表示 方法归纳》 核心知识 求函数值时的三个关注点 1.函数的三要素 (1)形如f(g(x)的函数求值时，应遵循 定义域、值域和对应关系是确定函数的三 先内后外的原则； 要素，研究函数问题务必遵循“定义域优 (2)对于分段函数的求值（解不等式）问 先”的原则 题，必须依据条件准确地找出利用哪 2.分段函数 一段求解； 对于分段函数，已知函数值或函数值范围 (3)对于利用函数性质求值问题，必须依 求自变量的值或范围时，应根据每一段的 据条件找到函数满足的性质，利用该 解析式分别求解，但要注意检验所求自变 性质求解 量的值或范围是否符合相应段的自变量 的取值范围， 典题例析 2+2-x,x≤3， x1(x<0) 1.已知函数f(x) [例1] (1)已知f(x)= ,x>3, sinπx(x≥0) 则f(f(一3)= ( 则f(1og29)= A.、3 2 B.0 c A. C. D (2)[多选]下列说法中正确的是( ) 2.[多选]下列命题正确的是 ) A.若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函 A.y=√x与y=x不是同一个函数 数f(2x)的定义域为[0,4] B.y=√J2十1的值域为(1，+o∞) B.若f(1+√元)=2x+1,则f(x)= 2x2-4x+3,x∈[1，+∞) C.函数f(x)=】的单调递减区间是 C.函数y=4+2z+1的值域为(1，+∞) (-∞，0)U(0,+∞) D.f)在(-0,1DU1,+o)上 D.若函数f(x)的定义域为[2,5]，则函 单调递减 数f(x+1)的定义域为[1,4] [第一部分]专题一函数与导数、不等式 春点三函数的图象及应用 [角度2]函数图象的变换 核心知识 [例3](1)函数y=lg(x+1)|的图象是 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点 法，二是图象变换法，其中图象变换有平 移变换、伸缩变换、对称变换， B 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇 偶性，作图时要准确画出图象的特点， 典题例析 0 [角度1]函数图象的识别 (2)若函数f(x)的图象向左平移一个单 [例2](1)已知y=1-alog2x是减函数， 位长度，所得图象与曲线y=e关于y轴 则函数f(x)=|x|(x一a)的大致图象为 对称，则f(x)= () A.e+1 B.e-1 C.e-t+1 D.e-x-1 方法归纳》… 函数图象的几种常见变换 (1)平移变换：左右平移一“左加右减”； 上下平移—“上加下减”， (2)翻折变换：①将y=f(x)在x轴下方 的图象翻折到上方，与y=f(x)在x 轴上方的图象合起来得到y=|f(x) 的图象；②将y=f(x)在y轴左侧的 图象去掉，再作右侧部分关于y轴对 称的图象，两者合起来得到y= (2)(2026·天津卷)函 f(x)的图象. 数f(x)的部分图象如图 (3)对称变换：①若y=f(x)的图象关于 所示，则f(x)的解析式 直线x=a对称，则有f(a十x)=f(a 可能为 -x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a) =f(-x);②y=f(x)与y=f(-x) A.f(x)=x+sin元x 的图象关于y轴对称；y=f(x)与y B.f(x)=x-sin nx 一f(x)的图象关于x轴对称；③y C.f(x)=-x十sinπx f(x)与y=-f(-x)的图象关于原 D.f(x)=x·sinπx 点对称. 数学 跟踪训练 典题例析 1.下列可以作为方程x3+y=3xy的图象 [例4幻(1)(2026·全国Ⅱ卷)已知f(x) 的是 是定义域为R的偶函数，f(x)+f(x一2) =0,且当x∈ [3]时，f)=2+axtb, 则 ( A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 (2)[多选]已知定义在R上的函数f(x)满 足f(2+x)-f(2-x)=4x.若f(2x-3)的 2.若奇函数y=f(x)的图象沿x轴的正方 向平移2个单位所得的图象为C,又设图 图象关于点(2,1)对称，且f(0)=0,则 象D与C关于原点对称，则D对应的函 () 数是 A.y=f(x+2) B.y=f(x-2) A.f(x)的图象关于点(1,1)对称 C.y=f(x)+2 D.y=f(x)-2 B.函数g(x)=f(x)一2x的图象关于直 吉点 函数的性质 线x=2对称 核心知识 1.函数的奇偶性 C.函数g(x)=f(x)一2x的周期为2 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则 D.f(1)+f(2)+…+f(50)=2499 有f(x)是偶函数台f(一x)=f(x)= 方法归纳》… f(x|);f(x)是奇函数台f(一x) =-f(x). 函数的周期的求法 (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性 (1)若函数f(x)为偶函数，且f(a十x)= 质法（如奇函数×奇函数是偶函数）： 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导 f(a一x),则2a是函数f(x)的一个周期. 数法 (2)若函数f(x)为奇函数，且f(a十x)= 3.函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a十x)=2b f(a一x),则4a是函数f(x)的 f(a一x),则函数y=f(x)的图象关于点 个周期， (a,b)对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a十x)= (3)若函数f(x)满足f(a十x)=f(a一x), f(b一x),则函数y=f(x)的图象关于 且f(b十x)=f(b-x)(a≠b),则2(b-a) 直线x=对称。 是函数f(x)的一个周期. [第一部分]专题一函数与导数、不等式 跟踪训练 2.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足 1.(2026·北京卷)下列函数f(x)是奇函数 f(x)=- +),-1)=1,fo)= 且在定义域上单调递增的是 2,且(。-)为奇函数，则 () 1 A.f(x)= x2+1 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 B.f(x)=sin x C.f(x)是周期为3的周期函数 C.f(x)=2-x-2 D.f(0)+f(1)+.+f(30)=-2 D.f(x)=In 5+z C温馨提 5-x 学习至此，请完成配套训练专题精准强化1 微专题2基本初等函数、函数与方程 ★[高考定位]基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，常以选择 题、填空题的形式出现.有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数模型的选择使用.函 数与方程主要是函数零点个数的判断，零点所在区间、求参数取值范围等方面， 研析考点层级突破 专点-基本初等函数的图象与性质 0<a<1,a>1两种情况：当a>1时，两 核心知识 函数在定义域内都为增函数，当0<a<1 1.指数式与对数式的8个运算公式 时，两函数在定义域内都为减函数、 （1)am·a”=am+"; 典题例析 (2)(a")"=a"m; e*-1,<0 (3)(ab)m=a"bm; [例1](1)已知函数f(x)= 1-e,x>0, (4)log (MN)=log M+log N; 则f(2x)+f(x一3)>0的解集是() (5)og.-og.M-log.N A.(-∞，1) B.(1,+∞) (6)log M"=nlog M; C.(-∞，-3) D.(-3,+∞) (7)ag.N=N; (2)给出如下定义：函数f(x)的定义域为 （81og,N-ed 1oeN,其中，a>0,且a≠1，b>0 D,若3x∈D,使得f(x+)=f(x)十 且b≠1，M>0,N>0. f(k),则称函数f(x)具有性质M().已知 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y=a(a>0,a≠1)与对数函数 函数()=lg年3(x>0)具有性质 y=logx(a>0,a≠1)的图象和性质，有 M(2),则实数a的最小值为 5数学 讲解 第一部分 聚热点题型突破 专题一函数与导数、不等式 微专题1函数的图象与性质 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]根据已知f(-3)=-(-3)1= 3 所以-)-f(行）血骨-g [答案]D (2)[解析]对于A选项，因为函数f(x)的定义域为 [0,2], 对于函数f(2x),则0≤2x≤2，解得0≤x≤1，即函数 f(2x)的定义域为[0,1]，A错； 对于B选项，若f(1十√x)=2x十1，令t=√x十1≥1，可得x =(t-1)2, 所以f(t)=2(t-1)2+1=2t-4t+3,其中t≥1， 所以f(x)=2x2-4x十3，x∈[1，十∞)，B对； 对于C选项，因为2>0，y=4+2+1=(2)2+2+1>1, 即函数y=4F+2+1的值域为(1，十∞)，C对； 对于D选项，画数f)=马的减区间为(-∞，1D, (1,+∞)，但不能用（一∞，1）U(1,+∞)表示，D错. [答案]BC 跟踪训练 1.B[由于1og9>3,所以flog9)-f(21og:9） =fg30=2+4=3+号-9】 2.ABD[A.因为y=√x=|x,所以与y=x不是同一 个函数，故正确；B.因为2>0，所以2+1>1，即y>1,所 以y=/2+1的值域为(1，十∞)，故正确； C.函数f)=子的单调递减区间是(-∞，0)，(0，十∞)， 故错误；D.因为函数f(x)的定义域为[2,5]，所以2≤x≤5， 则对于f(x十1)有2≤x十1≤5，解得1≤x≤4，函数f(x+1) 的定义域为[1,4]，故正确.] 考点二 例2(1)[解析]因为y=1一alog2x是减函数，且y= 1og2x是增函数，所以a>0, 因为a)-(, 又唐>0时)=（号）”-号： 所以函数∫()的图象是对称轴为直线x=受>0，顶点 为（受，一）开口向上的艳物线的一事分，只有选项 B符合题意. [答案]B (2)[解析]由题意及图得，函数y=f(x)为奇函数，且 当x=1时，f(x)<0,对A选项，当x=1时，1十sinπ= 1十0=1>0，与图象不符，故A错误；对B选项，当x=1 时，1一sinπ=1-0=1>0，与图象不符，故B错误；对D 选项，当x=1时，1×sinπ=1×0=0，与图象不符，故D 错误；对C选项，在g(x)=一x十sinπx中，g(-x)= -（-x)十sin(-元x)=x-sin元x=-g(x),即该函数为 奇函数，g(1)=-1十sinπ=-1+0=-1<0，与图象相 符，故C正确. [答案]C 21 讲解册参考答案 册参考答案 例3(1)[解析]由于函数y=1g(x十1)的图象可由函数 y=lgx的图象左移一个单位得到，函数y=lgx的图象与 x轴的交点是(1,0)，故函数y=lg(x十1)的图象与x轴的交 点是(0,0)，即函数y=1g(x十1)川的图象与x轴的公共点是 (0,0),显然四个选项只有A选项满足 [答案]A (2)[解析]因为与曲线y=e关于y轴对称的曲线为 y=e*, 向右平移1个单位得y=e-D=e+1, 所以f(x)=ex+1」 [答案]C 跟踪训练 1.B[当x<0时，x3=3xy-y3=y(3x-y)<0,3x-y2<0, 若y<0,则y(3x一y2)>0,不符，故x<0,y<0不可能同时 成立，故A、C、D选项错误.] 2.A[将y=f(x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位 所得的图象为C:y=f(x-2), 因为图象D与C关于原点对称，故D:y=一f(-x一2)， 因为y=f(x)为奇函数，所以y=一f(一x一2) =f(x+2).] 考点三 例4(1)[解析]f(x)十f(x一2)=0， 则f(x十2)十f(x)=0, f(x十4)=一f(x十2)=f(x),即f(x)的周期为4， 结合奇偶性，周期性，故f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5), 在[1.5,3]上满足f(1.5)=f(2.5), 说明f(x)=x2十ax十b的对称轴为x=2, 则-名=2，解得a=-4, 又根据f(x)十f(x一2)=0知f(1)+f(一1)=0， 而f(1)=f(一1)， 则f(-1)=0,于是f(3)=f(-1)=0, 即f(3)=9+3a+b=9-12+b=0,解得b=3. [答案]D (2)[解析]对A,因为f(2x一3)的图象关于点(2,1)对 称，则f(x-3)的图象关于点(4,1)对称， 故f(x)的图象关于点(1,1)对称，故A正确； 对B,g(2-x)=f(2-x)-2(2-x)=f(2-x)十2x-4, g(2+x)=f(2+x)-2(2+x)=f(2十x)-4-2x, 又f(2+x)一f(2-x)=4x, 故g(2+x)-g(2-x)=f(2+x)-f(2-x)-4x=0. 即g(2十x)=g(2-x),故g(x)=f(x)-2x的图象关于 直线x=2对称，故B正确； 对C,由A,f(2+x)=2-f(-x), 且f(2-x)=2-f(x), 又因为f(2十x)一f(2-x)=4x, 故[2-f(-x)]-[2-f(x)]=4x, 即f(x)一f(一x)=4x,故f(x)一2x=f(一x)一2（一x), 即g(x)=g(-x). 由B,g(-x)=g(x+4),故g(x)=g(-x)=g(x+4), 故g(x)=f(x)-2x的周期为4，故C错误； 对D,由f(0)=0,f(x)的图象关于点(1,1)对称，且定义 域为R,则f(1)=1,f(2)=2, 又f(2+x)-f(2-x)=4x, 代入x=1可得f(3)一f(1)=4,则f(3)=5, 又g(x)=f(x)-2x,故g(0)=f(0)=0,g(1)=f(1)- 2=-1,g(2)=f(2)-4=-2,g(3)=f(3)-6=-1, 又g(x)的周期为4，g(4)=f(0)=0. 则g(1)+g(2)+…+g(50) =12×[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2) =12×(-4)-1-2=-51. 即f(1)-2+f(2)-4+·+f(50)-100=-51, 9 数学 则f(1)+f(2)+…+f(50)=2+4+…+100-51 _50×(2+10)-51=2499,故D正确. 2 [答案] ABD 跟踪训练 1 1.D[定义城为R,f(-)=-+12+=f, f(x)是偶函数，A错误；f(x)=sinx是奇函数，但在定 义域上不单调递增，B错误；定义域为R,f(一x)=2一 2=-(2x一2)=-f(x),f(x)是奇函数.因为y= 2工，y=一2均在R上单调递减，所以f(x)=2一2 在R上单满适成，C错误：◆+>0，中<0，得-5 <1<5,所以)=h三的定又域为（一5,5），关于 原点对称一)=h-h写至-，将以 5-x f(x)是奇函数.f(x)=n5+=1n二(5-x-10)- 5-x 5-x n(一1一”)y=nx在定又接上单河遂增y=-】 一”写在定义战上单调运增，片以x）-h与在 (-5,5)上单调递增，D正确.] 2.BCD[对于A,f(0)=一2，所以f(x)不是奇函数，错误； 对于B:因为(-是)为寺函数， 所以f-)=-(星) 由fx)=-f(+)} 可得(-)--+)-f(+) 所以-f(-x)-f(+) 即()f+) 所以f(一x)=f(x),为偶函数，正确； 对于C:由f(x)=-f(x+?) 3 可得fx+3)=-f(+昌)=fx),所以f)是周期 为3的周期函数，正确； 对于D,f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1, 所以f(0)十f(1)十f(2)=0, 由周期性可得：f(0)+f(1)+…+f(30) =10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2.] 微专题2基本初等函数、函数与方程 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]当x>0时，f(x)=1-e,-x<0, f(-x)=e--1 =e2-1=-f(x); 当x<0时，f(x)=e-1,-x>0,f(-x)=1-e =-f(x); 且当x=0时，f(x)=0,所以f(x)为奇函数， 易知f(x)为R上的减函数， 则f(2x)+f(x-3)>0台f(2x)>-f(x-3) =f(3一x)→2x<3一x→x<1, 所以原不等式的解集为（一∞，1）. [答案]A (2)[解析]由题意画教A)=lg十3x>0)具有性 质M(2), 即存在x>0,满足：h(x。+2)=h(x)+h(2), 2 代入2得：l8十2+3-l8年3+g号， a +2+=(3×号） a 整理得：7(x号十3)=a(x号+4xo十7). 因为存在x>0满足等式， 分离参数得：a=7x2+3) x2+4x+7 =7- 8>0. 令t=x+1(t>1), 换元化简：a=7一2十2十4 28t =7-28 +4+2 由蒸本不等式，对>1，叶4≥…耳=4， 当且仅当t=2(即x=1>0)时取等号， 代入得≥器名周此实发。的最小值为子、 [答案]子 跟踪训练 1.C[当x≥0时，e≥e,f(x)=e, 因为f(x)=e在[0，十∞)上是单调递增函数， 所以e≥e°=1，即f(x)≥1； 当x<0时，e<e,f(x)=e, 因为f(x)=e在（一∞，0）上是单调递减函数， 所以ex>e°=1，即f(x)>1; 综上可知，f(x)=(e*e)的值域为[1，十o∞).] 2.C[由函数f(x)=e-m的定义域为（一∞，m)U(m,十∞）， 设zn则)， 又y=e单调递增， 当m=0时，t=0,f(x)=e°=1，无单调性，不成立； 当m<0时，t=m在（一∞，m）和(m,十）上单调递增， x-m 即f(x)=e产在(-o∞，m)和(m,十o)上单调递增， 所以(2，+∞)二(m,+o),则m2,即m<0: 当m>0时，t=m在(-c∞，m）和(m,十o∞)上单调递减， x一m 即f(x)=e”m在(-o∞，m和(m,十∞)上单调递减，不成立； 综上所述m<0.] 考点二 例2[解析]函数f(x)=e+1-m的定义域为R, 由f(1一x)=f(x-1),得f(-x)=f(x), 函数f(x)是R上的偶函数，即e-+1-ml=e+1-ml台 1x-1十ml=|x+1-ml,则m=1,f(x)=e, 对于A,B,f(0)=1,f(m)=e,A,B错误； 对于C,当x≤0时，f(x)-x=eF-x>0,当x>0时， 令g(x)=f(x)-x=e-x, 求导得g(x)=e-1>0,函数g(x)在(0，十∞)上单调 递增，g(x)>g(0)=1>0, 函数f(x)一x无零点，C错误； 对于D,函数f(x)一m=e一1有唯一零点，D正确. [答案]D 例3[解析]令f(x)=2十22-x一m=0, 得2+22-*-m=0,即2*+22-*=m, 令t=2,则2十22-x-m=0, 即t+4-m=0,t2-mt+4=0(t>0), t 则一元二次方程t2-mt十4=0(t>0)有两个正根， 那么A三m_160→m4或m<-4→m>4, lt1+t2=m>0{m>0 所以m的取值范围是(4，十∞). [答案](4，十∞) 0