微专题 2 基本初等函数、函数与方程-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

数学 则f(1)+f(2)+…+f(50)=2+4+…+100-51 _50×(2+10)-51=2499,故D正确. 2 [答案] ABD 跟踪训练 1 1.D[定义城为R,f(-)=-+12+=f, f(x)是偶函数，A错误；f(x)=sinx是奇函数，但在定 义域上不单调递增，B错误；定义域为R,f(一x)=2一 2=-(2x一2)=-f(x),f(x)是奇函数.因为y= 2工，y=一2均在R上单调递减，所以f(x)=2一2 在R上单满适成，C错误：◆+>0，中<0，得-5 <1<5,所以)=h三的定又域为（一5,5），关于 原点对称一)=h-h写至-，将以 5-x f(x)是奇函数.f(x)=n5+=1n二(5-x-10)- 5-x 5-x n(一1一”)y=nx在定又接上单河遂增y=-】 一”写在定义战上单调运增，片以x）-h与在 (-5,5)上单调递增，D正确.] 2.BCD[对于A,f(0)=一2，所以f(x)不是奇函数，错误； 对于B:因为(-是)为寺函数， 所以f-)=-(星) 由fx)=-f(+)} 可得(-)--+)-f(+) 所以-f(-x)-f(+) 即()f+) 所以f(一x)=f(x),为偶函数，正确； 对于C:由f(x)=-f(x+?) 3 可得fx+3)=-f(+昌)=fx),所以f)是周期 为3的周期函数，正确； 对于D,f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1, 所以f(0)十f(1)十f(2)=0, 由周期性可得：f(0)+f(1)+…+f(30) =10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2.] 微专题2基本初等函数、函数与方程 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]当x>0时，f(x)=1-e,-x<0, f(-x)=e--1 =e2-1=-f(x); 当x<0时，f(x)=e-1,-x>0,f(-x)=1-e =-f(x); 且当x=0时，f(x)=0,所以f(x)为奇函数， 易知f(x)为R上的减函数， 则f(2x)+f(x-3)>0台f(2x)>-f(x-3) =f(3一x)→2x<3一x→x<1, 所以原不等式的解集为（一∞，1）. [答案]A (2)[解析]由题意画教A)=lg十3x>0)具有性 质M(2), 即存在x>0,满足：h(x。+2)=h(x)+h(2), 2 代入2得：l8十2+3-l8年3+g号， a +2+=(3×号） a 整理得：7(x号十3)=a(x号+4xo十7). 因为存在x>0满足等式， 分离参数得：a=7x2+3) x2+4x+7 =7- 8>0. 令t=x+1(t>1), 换元化简：a=7一2十2十4 28t =7-28 +4+2 由蒸本不等式，对>1，叶4≥…耳=4， 当且仅当t=2(即x=1>0)时取等号， 代入得≥器名周此实发。的最小值为子、 [答案]子 跟踪训练 1.C[当x≥0时，e≥e,f(x)=e, 因为f(x)=e在[0，十∞)上是单调递增函数， 所以e≥e°=1，即f(x)≥1； 当x<0时，e<e,f(x)=e, 因为f(x)=e在（一∞，0）上是单调递减函数， 所以ex>e°=1，即f(x)>1; 综上可知，f(x)=(e*e)的值域为[1，十o∞).] 2.C[由函数f(x)=e-m的定义域为（一∞，m)U(m,十∞）， 设zn则)， 又y=e单调递增， 当m=0时，t=0,f(x)=e°=1，无单调性，不成立； 当m<0时，t=m在（一∞，m）和(m,十）上单调递增， x-m 即f(x)=e产在(-o∞，m)和(m,十o)上单调递增， 所以(2，+∞)二(m,+o),则m2,即m<0: 当m>0时，t=m在(-c∞，m）和(m,十o∞)上单调递减， x一m 即f(x)=e”m在(-o∞，m和(m,十∞)上单调递减，不成立； 综上所述m<0.] 考点二 例2[解析]函数f(x)=e+1-m的定义域为R, 由f(1一x)=f(x-1),得f(-x)=f(x), 函数f(x)是R上的偶函数，即e-+1-ml=e+1-ml台 1x-1十ml=|x+1-ml,则m=1,f(x)=e, 对于A,B,f(0)=1,f(m)=e,A,B错误； 对于C,当x≤0时，f(x)-x=eF-x>0,当x>0时， 令g(x)=f(x)-x=e-x, 求导得g(x)=e-1>0,函数g(x)在(0，十∞)上单调 递增，g(x)>g(0)=1>0, 函数f(x)一x无零点，C错误； 对于D,函数f(x)一m=e一1有唯一零点，D正确. [答案]D 例3[解析]令f(x)=2十22-x一m=0, 得2+22-*-m=0,即2*+22-*=m, 令t=2,则2十22-x-m=0, 即t+4-m=0,t2-mt+4=0(t>0), t 则一元二次方程t2-mt十4=0(t>0)有两个正根， 那么A三m_160→m4或m<-4→m>4, lt1+t2=m>0{m>0 所以m的取值范围是(4，十∞). [答案](4，十∞) 0 跟踪训练 1.D[当x>0时，由f(x)=0,可得lnx=0,解得x=1, 合乎题意； 当x≤0时，由于k>0,由f(x)=0,可得kx十1=0， 解得红-一名<0，合子题念 因此，函数y=f(x)的零点个数为2.] 2.BC[依题意，x1十e5=0台e =-x,x2+lnx2=0台lhx2= 一x2, 则x,x2分别是直线y=一x与 函数y=e,y=lnx图象交点的 横坐标， x-Y=00 x+y=0 而函数y=e与y=lnx互为反 函数，它们的图象关于直线y=x对称， 又直线y=一x垂直于直线y=x, 则点(x1,e)与点(x2,lnx2)关于直线y=x对称， 则x2=e1=-x1>0,于是x1十x2=0,x1x2<0,e7十 lnx2=0,BC正确，A错误； x1x2-x1十x2-1=(x1+1)(x2-1)<0, 即x1x2一x1十x2<1,D错误.] 考点三 例4(1)[解析]设当N取10个单位、1.024×10°个单 位、4.096×10°个单位时所需时间分别为T1,T2,T3, 由题意，T1=k1og210°=6klog210, T2=k1og2(1.024×10°)=k10g2(210×10) =k(10+61og210), T3=k1og2(4.096×10°)=k1og2(22×10) =k(12+61og210), 因为T2-T1=(10+61og210)-6k1og210=10k=20, 所以k=2, 所以T3-T2=k(12+61og210)-k(10+6l0g210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到 4.096×10°个单位时，训练时间增加4小时. [答案]B (2)[解析]由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的 算力已提升至2250 PetaFLOPS, 到2026年，其算力提升至2250×1.5 PetaFLOPS, 到2027年，其算力提升至2250X1.52 PetaFLOPS,.…, 以此类推可知，从2025年起，到第n(n∈N)年， DeepSeek的算力提升至2250×1.5 PetaFLOPS, 由2250× (侵)广>150，可餐(2)>9 10 10=g3 所以，n>log号3 1-1g3 、1-0.477 =g3-1g2≈0.477-0.301 1g2 ≈2.972， 所以，DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500 PetaFLOPS. [答案]C 跟踪训练 D[当x=e时，A=k·1.52=2.25k=22.5,即k=10. 当A=135时，10×1.57=135，即13.5=1.57， 则1n13.5=1n1.5,即1nx=2h13.5 2 ln1.5 因为1n18.5=n27=1h27-1n2=3n3-h2 ≈3×1.1-0.7=2.6，ln1.5=ln3-ln2≈0.4， 所以ln≈2X2.6=13. 0.4 令x=10",则lnx=nln10≈2.3n, 所以n心品≈5.7，则102.门 2 讲解册参考答案 微专题3不等式 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]由题意可知，A={x|x2-x一6≤0) ={x|-2≤x≤3}， B={≥0}=-1K≤. 所以A∩B={x-1<x≤3}. [答案]B (2)[解析]A选项，关于x的不等式ax2十bx十c>0 的解集为(-∞，一2)U(3,十∞)， ∴.a>0,A选项正确； BC选项，已知一2和3是关于x的方程ax2十bx十c=0的 两根， -2+3=- 由根与系数的关系得 a -2X3=C a 则b=-a,c=-6a, 不等式bx十c>0,即-az-6a>0,解得x<-6,B正确； 且a十b+c=-6a<0,C错误； D选项，不等式cx2-bx十a<0,即-6ax2十ax十a<0, 即6x2-x-1>0, 解得K一吉我>合D正确 [答案]ABD 跟踪训练 1.D[不等式x2+bx+c≤1(b,c∈R)的解集 为[2 则方程2+bx十6一1=0的两根为=-号=2， 由韦达定理得十=-6=一多十2=， 1 4x,=6-1=-号×2=-3 可得b=一2，c=一2， 故6叶c=--2=-号] 2.ABD[解出各选项中的不等式后可判断. A选项，x2十x一2>0台(x一1)(x十2)>0→x<一2或x >1,A正瑰：B选项，}<12号-10% x-2 x-2 0xt3)x-2)≤0台-3≤<2，B正确， 1x-2≠0 C选项，|x-2|≥1台x-2≥1或x-2≤-1， 即x≥3或x≤1，C错误； D选项，x-1<10<<2,+4<09(z+4(z-5)<0 x-5 台-4<x<5,而{x0<x<2}二{x-4<x<5},D正确.] 考点二 例21D[解析]对于A,因为ab>0,品<品故a>0, 故A选项正确；对于B,取a=1,b=2,此时满足1>0，但 a<b,B选项错误；对于C,ab-ab>a-b可得：a2b十b >ab+a, 则b(a2+1)>a(6+1),因为a,b>0,即+1>+1， 所以a+日>b+名，因为函数y=x+是在(0，十∞)不 a 单调，所以C选项错误； 对于D,由ln(a2+1)>ln(6+1)可知，a2>b,因为a,b>0, 所以a>b,故D选项正确， [答案]AD[第一部分]专题一函数与导数、不等式 跟踪训练 2.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足 1.(2026·北京卷)下列函数f(x)是奇函数 f(x)=- +),-1)=1,fo)= 且在定义域上单调递增的是 2,且(。-)为奇函数，则 () 1 A.f(x)= x2+1 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 B.f(x)=sin x C.f(x)是周期为3的周期函数 C.f(x)=2-x-2 D.f(0)+f(1)+.+f(30)=-2 D.f(x)=In 5+z C温馨提 5-x 学习至此，请完成配套训练专题精准强化1 微专题2基本初等函数、函数与方程 ★[高考定位]基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，常以选择 题、填空题的形式出现.有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数模型的选择使用.函 数与方程主要是函数零点个数的判断，零点所在区间、求参数取值范围等方面， 研析考点层级突破 专点-基本初等函数的图象与性质 0<a<1,a>1两种情况：当a>1时，两 核心知识 函数在定义域内都为增函数，当0<a<1 1.指数式与对数式的8个运算公式 时，两函数在定义域内都为减函数、 （1)am·a”=am+"; 典题例析 (2)(a")"=a"m; e*-1,<0 (3)(ab)m=a"bm; [例1](1)已知函数f(x)= 1-e,x>0, (4)log (MN)=log M+log N; 则f(2x)+f(x一3)>0的解集是() (5)og.-og.M-log.N A.(-∞，1) B.(1,+∞) (6)log M"=nlog M; C.(-∞，-3) D.(-3,+∞) (7)ag.N=N; (2)给出如下定义：函数f(x)的定义域为 （81og,N-ed 1oeN,其中，a>0,且a≠1，b>0 D,若3x∈D,使得f(x+)=f(x)十 且b≠1，M>0,N>0. f(k),则称函数f(x)具有性质M().已知 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y=a(a>0,a≠1)与对数函数 函数()=lg年3(x>0)具有性质 y=logx(a>0,a≠1)的图象和性质，有 M(2),则实数a的最小值为 5 数学 A.f(x)≥f(m) 方法归纳》 B.f(x-1)≥f(m) 基本初等函数图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于 C.函数f(x)-x有1个零点 其底数的取值，当底数a的值不确定时， D.函数f(x)一m有1个零点 要注意分a>1和0<a<1两种情况 [角度2] 根据零点个数求参数的取 讨论 值范围 (2)研究由指数函数、对数函数与其他函数 [例3](2026·全国Ⅱ卷)若函数f(x)= 复合而成的函数的性质，首先通过换元 2十22-x一m有两个零点，则m的取值范 法转化为两个或多个基本初等函数，然 围是 后根据复合函数的性质与相关函数的性 …方法归纳》 质之间的关系进行判断。 已知函数有零点求参数值或取值范围常 (3)对于幂函数y=x的性质，要注意 用的方法和思路 a>0和a<0两种情况的不同. (1)直接法：直接根据题设条件构建关于 跟踪训练 参数的不等式，再通过解不等式确定 1a,a≥b 1.定义一种运算(ab)= ,则函数 参数的取值范围， b,a<6 (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函 f(x)=(eex)的值域为 数值域的问题加以解决， A.(0,1) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(1,+∞) (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一 2.若函数f(x)=em在区间(2，十∞)上单 平面直角坐标系中，画出函数的图象， 调递增，则实数m的取值范围为( ) 然后数形结合求解 A.[-2,0) B.（-∞，-2] 跟踪训练 C.(-∞，0) D.[2,+∞) In x,x>0 吉点三 函数的零点 1.已知函数f(x)= ,则当>0 kx+1,x≤0 核心知识 时，函数y=f(x)的零点个数为() 函数的零点与方程根、函数图象的关系 A.8 B.6 C.4 D.2 函数F(x)=f(x)一g(x)的零点就是方程 2.[多选]已知函数y=x十e的零点为x1, f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象 y=x十lnx的零点为x2,则 () 与函数y=g(x)的图象交点的横坐标 典题例析 A.x1+x2>0 [角度1]函数零点个数的判断 B.x1x2<0 [例2]已知函数f(x)=e+1-m满足 C.e"+In x2=0 f(1-x)=f(x-1),则 D.x1x2-x1+x2>1 6 [第一部分]专题一函数与导数、不等式 点函数模型及其应用 (参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477， 核心知识 1g5≈0.699) 函数的四种常见模型及求法 A.2026年 B.2027年 (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结 C.2028年 D.2029年 合、分类讨论思想求解 :…方法归纳》… (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段 解决函数实际应用题的两个关键点 求解的方法， (1)认真读题，缜密审题，准确理解题意， (3)构建f(x)=x十a(a>0)模型，常用基 明确问题的实际背景，然后进行科学 概括，将实际问题归纳为相应的数学 本不等式、导数等知识求解。 问题. (4)构建指数、对数函数模型，借助指、对运 (2)要合理选取参数变量，设定变量之后， 算求解。 就要寻找它们之间的内在联系，选用 典题例析 [例4幻(1)(2025·北京高考)在一定条件 恰当的代数式表示问题中的关系，建 下，某人工智能大语言模型训练N个单 立相应的函数模型，最终求解函数模 位的数据量所需要时间T=log2N(单 型使实际问题获解。 位：小时)，其中为常数.在此条件下，已 跟踪训练 知训练数据量N从10个单位增加到 在人工智能的图象识别算法优化过程中， 1.024×10°个单位时，训练时间增加20 模型的准确率提升倍数A与训练数据量 小时；当训练数据量N从1.024×10个 x(单位：GB)的关系式为A=k·1.5, 单位增加到4.096×10°个单位时，训练 其中k为常数.当训练数据量为eGB时， 时间增加（单位：小时） 模型的准确率提升倍数为22.5.当准确 A.2 B.4C.20 D.40 率提升倍数A达到135时，模型在识别 (2)深度求索(DeepSeek)公司推出了新 复杂图象时能达到极高的准确率，要想达 一代人工智能大模型，其训练算力需求为 到此标准，应该选择的训练数据量约为 1000 PetaFLOPS(千亿亿次浮点运算 (参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln10≈ 秒).根据技术规划，DeepSeek的算力每 2.3) 年增长50%.截止至2025年，其算力已 A.104.8GB B.105.1GB 提升至2250 PetaFLOPS,并计划继续保 C.105.4GB D.105.GB 持这一增长率.问：DeepSeek的算力预计 在哪一年首次突破7500 PetaFLOPS? ©温蓉提店 学习至此，请完成配套训练专题精准强化2