微专题 4 导数的简单应用&素养培优1 公切线-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

数学 (2)[解析]对于A,取x=3,y=2,则x=3,y2=4.故x <y2,所以A错误；对于B,取x=1.5,y=1.2,则xy= 1.8,x十y=2.7,此时xy<x十y,故B错误；对于C,由于 x>y>1,故x2>x,因此x2>y,C正确；对于D,取x= 3,y=2,则x十y=5,xy=6,此时x十y<xy,故D错误. [答案]C 跟踪训练 1.D[A当>0>6时，>，故A错误：B当a=-1, b=一2时，满足a>b,但a2>b不成立，故B错误；C.当c =0时，ac=blcl,故C错误；D.由a>b,c2+1>0,得 升异故D延瑞门 a 2.AD[对于A,由a<b<c及a十2b十3c=0, 得6a=a十2a十3a<a十2b+3c=0,所以a<0, 又0=a+2b+3c<c+2c十3c=6c,所以c>0,A正确； 对于B,由a<b<c及a+2b十3c=0,得a十2c十3c>0, 所以a+5c>0,得c>-号>0， 所以c2,得a2-25c2<0,B错误 对于C,由a<b<c及a十2b+3c=0, 得3a十3c<a+2b+3c=0,所以a十c<0,C错误. 对于D,由a+2b+3c=0,得a+c=-2(b十c), 所以--8牛+千。=-合+ae 因为a+0,>0,所以。千e<0,所以25<-日， a+c D正确.] 考点三 例3(1)[解析]对于A,y=x(4一3x)的对称轴为x 所以y=x4-3x)取得最大值时x的位为号，故A 错误； 对于B,伞y=+=2+1+1 若K-1+10,-c+120-+0-≥2， 当x=一2时，取等号， 所以+10+≤-2，则y=2+1+中一1≤-3 则y=工寸，1的最大值为一3，故B错误) 对于C,函教f()=+5=F+4+ 1 x2+4 √x2+4 令1=√十4≥2，当t什}=2时，t=1,不满足题意，故 C错误； 对于D,若a>0,b>0,且a十b=2, &+号-2（日+）a+6 -(+2++)≥3计，-， 2 即a=2√2-2，b=4-2√2时，取等号. 所以+号的最小值为3计2，故D正确。 2 [答案]ABC (2[解析]因为(（+)(+)=x+皇+5≥ 22…+5=9,当且仅当2=兰，即父=2，x=士巨 时，等号成立，所以(+)(+)的最小值为9. [答案]B 2 跟踪训练 1.C[由x+y=2,则+6y+6=2z+12y+12 xy 2xy =x十y)x+6(x+y)y十3(x+y)2 2xy -+1-5+2+受≥2·器+号 2xy =25 2 当且收当号-器即=号y号时，等号成立】 2.解析：(1)由f(x)的图象过点(1,2)得，f(1)=1十a十2b =2, 即a+2b=1； 所以（日+号a+20=5+2+2≥5+2=9， b 当且仅当2-铝甲a=6号时等号成立， (2)由(3a十b)≥c恒成主得，t≥3a十b' 因为f(x)的图象过点(c,ab+lnc), f(c)=c2+(a+26)c+In c=ab+In c, 即c2+ac=b(a-2c), 当a=2c时，c=0不合题意舍， 所以4≠2c,即9≠2，则6=g+a9,则由6>0得a>2c, a-2c ac-2c2 所以3a+b3a+c+ac3a2-5ac+c2 'a-2c -2 c 设4-2=m>0, -2 所以 c m 3(m+2)2-5(m+2)+1 m 3m2+7m+3 1 1 一3 3m+三+723m·3+7 m m 当且仅当3m= 3,即m=1,则a=3c,b=4c时，等号成立. 答案：(1)9(2)3 微专题4导数的简单应用 研析考点层级突破 考点一 例1（1)[解析]设切点坐标为(x0,y),函数y =e*+e-* 2, 所以y'=e-er 2, 因为切线与x轴平行，所以y1,,--0, 2 解得，=0为-的_11=1，故切点坐标为0,1D. 2 2 [答案]B (2)[解析]法一：导数为y=e+1, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x十5，可得y=2×0十5=5， 所以切点坐标为(0,5)， 2 因为切点(0,5)在曲线y=e十x十a上， 所以5=e°+0十a,即5=1十a,解得a=4. 法二：对于y=e+x十a,其导数为y=e十1， 假设y=2x十5与y=e+x十a的切点为(x0,y), /e0+1=2 则y=2x十5，解得a=4. yo=eo+zo+a [答案]4 跟踪训练 1.D[由题知，=5十，当x=1时=13，所求切线 方程为y-5=13(x-1),即y=13x-8,选D.] 2.D[f(x)=2x+b,f(2)=4+b,f(2)=4+2b, 则f(x)在(2，f(2)处的切线方程为y-(4十2b) -(4+6x-2,由题意得，切线过(80代入得， -(4+26)=(4+6)(8-2,解得6=.] 考点二 例2[解](1)由g(x)=lnx得g'()=1, r, 设公切线与曲线g(x)=lnx的切点坐标为(xo,lnxo), 由已知得头=2，解得。=分 xo 所以公切线方程为y一h号=2(e-号)} 1 即y=2x-1-ln2, 由)=ar+ 2ax2-x+1+1n2=0, y=2x-1-ln2 由已知得4=1-4×合a×(1+n2)=0, 解得a=2+2ln2 (2)由已知h(x)=2ax2+x-(a+1)1nx(x>0), 则k'(x)=ax十1-a+1-ax+a十1)(x-1) 当a≥0时，ax+a十1>0，令h'(x)>0,得x>1,令h'(x) <0得0<x<1, 这时，h(x)在(1，十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递 减；当a≤-1时，a.x+a十1<0，令h'(x)>0,得0<x1, 令h'(x)<0得x>1,这时，h(x)在(1，+∞)上单调递 减，在(0,1)上单调递增；当-1<a<0时，令h'(x)=0 得x=1或x=-a+1>0, a (_a+11_2a+1 1-（-a = a, ①当a=-合时，k(x)长0，达时，h(x)在0，十0)上单 调递减； ②当-合<a<0时，1<-，令N()>0, a 得1<x<-a+1 令()<0得0<x<1或x>_a+1, a 这时)在(0.1》和（一士，+四）上单调道减，在 （1,-)上单满递增 @当-1<a<-号时，1>-a, a 令(x)>0,得-a+1<<1, a 令(x)<0得0<x<-a+1或x>1, a 2 讲解册参考答案 这时，h(x)在(0，-a十1)和(1，十∞)上单调递减，在 a (，)上单羽道培： 综上，当a≤-1时，h(x)在(1，十o∞)上单调递减， 在(0,1)上单调递增； 当-1a<-合时，h()在(0，-a）和(1，+o)上单调 a 适减在（士，）上单调递增： 当a=一合时，h(x)在(0，十o0)上单调递减： 当-合<a<0防A)在0，D和（安，+m)上单 2 洞递减，在(，一日）上单羽递增； 当a≥0时，h(x)在(1，十o∞)上单调递增，在(0,1)上单 调递减 跟踪训练 解：)当及=2，f)=(x-1De, f)=e(合+2）r2)-e, 又f(2)=e. 所以y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 ye=号ez-2),即y=号c-20 (2)由题意，f(x)=e(kx-k十1)在(1,2)内导数非负， 即kx-k+1≥0在(1,2)上恒成立，令g(x)=kx一k+1, x∈(1,2)，k≠0， 从而需满足：g(1)=1≥0且g(2)=+1≥0，k≠0， 所以k≥一1且≠0，经检验符合题意， 所以k的取值范围是[一1,0)U(0,十∞). 考点三 例3[解](1)由题意，f(1)=1-m-2=0→m=-1→ f(x)=x2-x-lnx,故x2-x-lnx≤x2-1→x+lnx -1≥0.设g(x)=x十lnx-1,x>0,由y=x与y=lnx 均为增函数，故g(x)为增函数. 由g(1)=0得g(x)≥0台x≥1，故解集为[1，十∞). (2)由题意，f(x)=2x-(m+2)+m =2x2-(m+2)x十m_(x-1)(2x-m) 故分类讨论，由当m≤0时， f(x)=（x=1)(2x-m)≥0>x≥1， 故f(x)在(0,1)单调递减，在[1，十∞)单调递增，故 f(x)无极大值不成立； 当m>0时，分类讨论， ①当m=2时，f(x)=2x二1)≥0恒成立，f)在 (0,十∞)单调递增，故f(x)无极大值不成立： ②当0<m<2时， fx)=a-1D(2=m≥0→x≥1或0<x≤%， fx)在(0，受]和[1，+o)单洞递增，在（受，1）单润递 减，故∫()在x=?处取得极大值； -2 ③当m>2时，f(x)=-12=m>≥0→x≥%或 0<x≤1， f)在0,1]和[受，+∞）单调递增，在(1，罗)单调递 减，故f(x)在x=1处取得极大值； 综上：m∈(0,2)U(2,+c∞). 3 数学 跟踪训练 解：(1)若a=0,则f)=高(x>0,f()=- e-T, 当x≥1时，f(x)<0, 所以f(x)在[1，十∞)上单调递减， 所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=1. (2)f(x)的定义战为(0，+∞)， 当a=0时，易知f(x)= 品在区同(0,1)上单调追减， 符合题意； 当a0时，f)=之-alnx- e-1 设g)=是-anx-l, 则g(x)=-ax十1D,当x∈(0,1)时，g(r)<0, 所以g(x)在区间(0,1)上单调递减， ①若g(1)=a一1≥0，即a≥1时， 当x∈(0,1)时，g(x)>0,即f(x)>0, 此时f(x)在区间(0,1)上单调递增，不符合题意； ②若g(1)=a-1<0,即0<a<1时， g(a)=-alna>0, 所以存在唯一的t∈(a,l)使得g(t)=0, 当x∈(t,1)时，g(x)<0,即f(x)<0, 此时f(x)在区间(t,1)上单调递减，符合题意； 综上，a的取值范围为[0,1). 8尚是态可科代 a=1-Zoln to aln zo+l=1 eo-1 1 所以o(1-xlnx） =1, 即e-1(1-xlnx)-1=0(*), 设函数h(x)=e-1(1-xlnx)-1, h'(x)=e*(1-xln x)+e*-(-In z-1) =-e-1(x+1)lnx, 当x∈(0,1)时，h'(x)>0,所以h(x)在区间(0,1)上单调 递增， 当x∈(1，十o∞)时，h'(x)<0,所以h(x)在区间(1，十oo) 上单调递减， 所以当x=1时，h(x)取得最大值h(1), 又h(1)=0,所以h(x)0,当且仅当x=1时取等号， 又（￥）等价于h(x0)=0,所以x=1, 所以a=1一oln -=1. 经检验，当a=1时，f(x)存在极大值点1且f(1)=1,符 合题意， 所以a=1. 素养培优1公切线 研析考点层级突破 考点一 例1[解析]设直线l与曲线y=ln(x一2)十2和y= ln(x-1)分别相切于A(x1,y1),B(x2,y2)两点， 分别求导，得)=2= x-1 故1y[n(红-2+2=12x一z,整理可得y一 -2x+lh(x-2)+2- x1-2 网理得1yn6,-》一红-，整理可得y +In(a-1)- 1 x2-1 2 因为直线1为两曲线的公切线， 1 所以22一 a-0+2-2=h4-1D- x2-2 解得{ 5 x1=2 所以直线1的方程为y=2x一3一1n2,令y=0,则x =3+ln2 2 则直线1与工轴的交点坐标为(3+血2,0小 2 [答案] 跟踪训练 1.解析：设直线l与曲线y=e-1相切于点P(a,e-1),与曲 线y=lnx十1相切于点Q(b,nb+1), 剥e-名-h。。2, b-a 整理得(a一1)(e一1)=0， 解得a=1或a=0, 当a=1时，直线l的方程为y=ex-l; 当a=0时，直线l的方程为y=x. 答案：y=ex-1或y=x 考点二 例2[解析]设直线与g(x)=x2的切点为(x1,x), 因为g(x)=2x,根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 2x1,即该直线的方程为y一x=2x1(x一x), 即y=2x1x一xi. 设直线与f(x)=alnx的切点为(x2,alnx2), 因为厂()=2，根据导教的几何意义可知该直线的斜 率为，即该直线的方粒为y一alh一（红一， 即y=ax十a(lnx2-l).因为函数f(x)=alnx(a>0) 和g(x)=x2有且只有一条公切线， 所以有2一县 (a(lnx2-1)=-x 即a=4x-4xlnx2有唯一实根. 令h(x)=4x2一4x21nx(x>0), h'(x)=8x-8xln x-4x=4x(1-21n x) 解h(x)=0,可得x=√E. 当4x(1一2lnx)>0时，0x<√e,所以h(x)在(0We)上单调 递增； 当4x(1-2lnx)<0时，x>We, Y 所以h(x)在(We,十o∞)上单调递减. 2e 所以h(x)在x=√e处取得最大值 h0=4e-4e×号=2e 当x0时，h(x)→0，h(e)=4e2一4e2lne =0,函数h(x)图象如图所示， 因为a>0,a=4x2-4x2nx有唯一 e 实根，所以只有a=2e. [答案]C 跟踪训练 2.D 考点三 例3[解析]设公切线l与y=x2的切点为(x1,x), 与y=lnx的切点为(x2,lnx2), y=x的导数为y=2x,y=lnx的导数为y'=1 则在切，点（x1,x)处的切线方程为y一x=2x1(x一x1), 即y=2x1x-x1, 则在切，点(x2,lnx2)处的切线方程为 y-ln西=1(z-2),即y=1x+ln,-1, T2 1 :2x= xi=1-In z2, 整理得到x-lnx1=1十ln2, 令f(x)=x2-lnx,x∈(0，十o∞)， 则f(x)=2x-1=2z2-1. x x f(x)≥0→x≥2：f(x)≤0→0<xY2,】 2” 上单调递减， y=f(x) y=1+In 2 在区同（+小上单增， 0 1+ln2, 即函数f(x)与y=1十1n2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1十ln2有两个交 点，则方程x2-lnx=1十ln2有两个不相等的正根，即 曲线C:y=x2与曲线C2:y=nx公切线的条数是2. [答案]C 跟踪训练 3.A 微专题5导数的综合应用 研析考点层级突破 考点一 例1[解](1)f(x)=xe十ax十b,x∈R, 由切点(0，f(0)在直线y=一2x十1上，也在函数f(x) 图象上， 可知f(0)=一2X0+1=1且f(0)=0·e°+a·0+b= b,可得b=1; 由f(x)=(x十1)e十a,则切线的斜率为f(0)=1十a =-2, 解得a=一3；故a=-3,b=1. (2)由(1)知，f(x)=xe-3x+1, 则f(x十m)-f(x)-m=(x十m)e+m-xe2-3(x十m) +3x-m-(x+m)e+m-xe*-4m, 故题意可转化为(x十m)e+m-xe2一4m>0对任意x> 0恒成立， 法一：令g(x）=(x十m)e+m-xe-4m,x>0, 则g'(x)=(x十m十1)e+m-(x十l)e =e[(x+m+1)e"-(x+1)], 当m>0时，由x+m+1>x+1>0且e">1>0, 则(x十m+1)e-(x十1)>0， 即g'(x)>0, 则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又g(0)=me"-4m, 要使g(x)>0对任意x>0恒成立，则mem-4m≥0，解 得m≥2ln2; 当m=0时，f(x十m)一f(x)=0>0不成立； 当m<0时，0<e"<1,x+m+1<x+1,且x+1>0, 则(x+m+1)e-(x+1)<(x+1)em-(x+1) =(x+1)(em-1)<0, 即g(x)<0,则g(x)在(0，十∞)上单调递减， 又当x→十∞时，g(x)→一∞，不满足题意； 综上所述，m的取值范围为[21n2,十∞). 22 讲解册参考答案 法二： 不等式(x十m)e+m-xe2-4m>0可转化为 (x十m)e+m-xe-4m>0, 即(x十m)e"-x一 4m>0对任意x>0恒成立， e 当m=0时，f(x十m)-f(x)=0>0不成立； 当m<0时，设h(x)=(x十m)e二x-0,x>0) 当x→十o∞时，由m<0,可知e"-1<0, h(x)=(e-1)x+me-4n-o, 这与h(x)>0对任意x>0恒成立矛盾； 当0<m<2ln2时，h(0)=mem-4m =m(em-4)<0, h(2ln 2)=h(In 4)=(m+In 4)e-In 4-m> (m+ln4)·1-ln4-m=0, 由()=e-1+4>0, e 故h(x)在(0，十∞)上单调递增， 故h(x)在(0，十∞)上存在唯一零点，设为x, 且当0<x<x。时，h(x)<h(xo)=0, 即z+m)e"-xe-4m<0, e 此时不等式f(x十m)一f(x)>m不成立； 当m≥21n2时，(r)=e”-1+4n>0, e 则h(x)在(0，十∞)上单调递增， 由x>0,故h(x)>h(0)=mem-4m≥0， 故不等式(x十m)e"-x 0>0, 即f(x十m)-f(x)>m恒成立， 综上所述，m的取值范围为[2ln2,十o∞) (3)法一：设F(x)=f(x+k)+f(k-x)-2f(k),x>0, 则F(x)=f(x十k)一f(k-x) =(x十k十1)e+-(k-x十1)e-x =(x十k十1)e++(x-k-1)e-, 令x(x)=(x十k+1)e++(x-k-1)e-r, 则t(x)=(x十k十2)e++(2十k-x)e-z, 其中F(0)=0,F'(0)=0, x(0)=2(k十2)e. 当k=-2时，x'(x)=xe-2+(-x)e2 =xe2(e2-ez)>0, 则F(x)在(0，十∞)上单调递增，故F(x)>F(0)=0, 故F(x)在(0，十o)上单调递增，故F(x)>F(0)=0, 即当x>0时，f(x十b)+f(k一x)>2f()恒成立，满足 题意； 当k>-2时，设p(k)=(x十k十2)e+十(2十k-x)e-x =[e(k+x+2)+e(k-x+2)]e =[(e+er)(k+2)+x(e-er)]e, 由x>0,k>-2,可知e+ex>0且k十2>0， 则(e十e)(k+2)+x(e-ex)>0, 可知(k)在(-2，十∞)上单调递增， 故p(k)>p(-2)=xe-2+（-x)e2- =xe2(e-er)>0,即x(x)>0, 故F(x)在(0，十∞)上单调递增， 故F(x)>F(0)=0, 故F(x)在(0，十∞)上单调递增， 故F(x)>F(0)=0, 即当x>0时，f(x十)十f(k一x)>2f()恒成立，满足 题意； 当k<一2时，此时x'(0)=2(k+2)e<0,又F(0)=0, 则存在正实数x。,使得Hx∈(0，xo),F(x)<0,数学 C,函数f)=+5的最小值为2 跟踪训练 √x2+4 1.已知x,y为正实数，且x+y=2,则 D.若a>0,b>0,且a十b=2,那么+号 2 x十6y十6的最小值为 () xy 的最小值为3+多2 A.12 B.3+2√2 D.62-3 (2)(2026·天津卷) 〔(e+)儿x+)的最 c. 2 2.已知a,b,c均为正实数，函数f(x)=x2十 小值为 ( (a+26)x+In x. A.10 B.9 C.8 D.6 …方法归纳》 ①若)的图象过点1,2，则+号 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 的最小值为 “拆、拼、凑”等技巧，在其满足基本不等式 (2)若f(x)的图象过点(c,ab十lnc), 且(3a十b)t≥c恒成立，则实数t的最 中“正”（各项都是正数）“定”（和或积为定 小值为 值)“等”（等号能取得）的条件下才能应 C温攀提 用，否则会出现错误」 学习至此，请完成配套训练专题精准强化3 微专题4导数的简单应用 ★[高考定位]高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出 现在解答题的第一问.高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值 问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中 研析考点层级突破 专点一】 导数的运算及几何意义 (3)(a)'=a1na(a>0,且a≠1)； 核心知识 401ogx)/=zlaa>0,且a≠1，x>0. 1.导数的几何意义 典题例析 函数f(x)在x。处的导数是曲线f(x)在 点P(x,f(x)处的切线的斜率，曲线 [例1] （①若函数ye(e为自然对 f(x)在点P处的切线的斜率=f(x), 数的底)的一条切线与x轴平行，则切点 相应的切线方程为y一∫(x。) 的坐标为 () =f(xo)(x-x0). A.(1,0) B.(0,1) 2.四个易误导数公式 C.(1,1) D.(1,e) (1)(sin x)'=cos x; (2)(2025·全国一卷)若直线y=2x十5是曲 (2)(cos x)'=-sin 线y=e十x十a的一条切线，则a= 10 [第一部分]专题一函数与导数、不等式 方法归纳》 春点 导数与函数的单调性 函数y=f(x)的切线方程的 核心知识 三种类型及求解方法 导数与函数单调性的关系 (1)已知切点P(x,y%),求切线方程：求出 1.f(x)>0是f(x)为单调递增函数的充 切线的斜率f(x),由点斜式写出方程. 分不必要条件，如函数∫(x)=x3在 (2)已知切线的斜率k,求切线方程：设切点 (一∞，十∞)上单调递增，而f(x)≥0. P(xo),通过方程=f(x)解得x, 2.f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充 再由点斜式写出方程. 分条件，当函数在某个区间内恒有f(x) (3)已知切线上一点（非切点），求切线方程： =0时，f(x)为常数函数，函数不具有单 设切点P(xo,),利用导数求得切线斜 调性， 率f(x),再由斜率公式求得切线斜率， 典题例析 列方程（组）解得。，再由点斜式或两点 [例2] 已知函数f)=ar+,g()= 式写出方程. In x. 跟踪训练 (1)若曲线y=f(x)与y=g(x)有一条斜 1.(2026·全国I卷)曲线y=5x+8lnx在 率为2的公切线，求实数a的值； 点(1,5)处的切线方程为 ) (2)设函数h(x)=f(x)-(a十1)g(x), A.y=3x+2 B.y=5x 讨论h(x)的单调性. C.y=8x-3 D.y=13x-8 2.牛顿迭代法是求方程近 似解的一种方法.如图， yf(x) 方程f(x)=0的根就是 函数f(x)的零点r,取初 始值x,f(x)的图象在点(xo,f(x)处的 切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x) 的图象在点(x1,f(x1)处的切线与x轴 的交点的横坐标为x2,一直继续下去，得 到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.设函 数f(x)=x2十bx,x。=2,用牛顿迭代法 16 得到x19则实数6= A.1 c. n 11 数学 …方法归纳》… 春点三导数与函数的极值（最值）】 讨论求解函数单调性问题的解题策略 核心知识 讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式 可导函数的极值与最值 解集的情况，大多数情况下，这类问题可 1.若在x附近左侧f(x)>0,右侧f(x)<0 以归纳为一个含有参数的一元二次不等 则f(x)为函数f(x)的极大值；若在x,附 式的解集的讨论： 近左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,则f(x)为 (1)在能够通过因式分解求出不等式对应 函数f(x)的极小值. 方程的根时，依据根的大小进行分类 2.设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 讨论。 内可导，则f(x)在[a,b们上必有最大值和 (2)在不能通过因式分解求出根的情况 最小值且在极值点或端点处取得 时，根据不等式对应方程的判别式进 典题例析 行分类讨论 [例3](2025·上海卷)已知f(x)=x2一 注意讨论函数的单调性是在函数的定义 (m+2)x+mlnx,m∈R. 域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1 跟踪训练 的解集； 设函数f(x)=(x一1)er(k≠0) (2)若函数y=f(x)满足在(0，十∞)上存 在极大值，求m的取值范围。 (1)若k=2,求曲线y=f)在点(2，f(2) 处的切线方程； (2)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递 增，求的取值范围. 12 [第一部分]专题一函数与导数、不等式 方法归纳》 (2)若f(x)在区间(0,1)上存在单调递减 利用导数研究函数极值、最值的方法 区间，求a的取值范围； (1)若求极值，则先求方程f(x)=0的全 (3)若f(x)存在极值点xo,且f(x)=1, 部实根，再检验f(x)在方程根的左 求a的值. 右两侧值的符号. (2)若已知极值的存在情况，则转化为已 知方程f(x)=0的根的存在情况，从 而求解。 (3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 时，在得到极值的基础上，比较区间端 点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各 极值，从而得到函数的最值， 跟踪训练 已知函数f(.x)=alnx+ (a≥0) (1)若a=0,求函数f(x)在区间[1， C温馨提 十∞)上的最大值； 学习至此，请完成配套训练专题精准强化4 素养培优1公切线 近几年高考中为了体现题目的新颖性，出现了公切线问题，主要在客观题中出现，考查学生 对“化归与转化”的思想和“函数”的思想的理解，题目的综合性较强，难度较大 研析考点>层级突破 专点一 求两曲线的公切线 跟踪训练 典题例析 1.已知直线l是曲线y=e-1与y=lnx+1 的公切线，则直线1的方程为 [例1]已知直线l是曲线y=ln(x-2)+2 专点二与公切线有关的求值或范围问题] 与y=ln(x-1)的公切线，则直线1与x 典题例析 轴的交点坐标为 [例2]若函数f(x)=alnx(a>0)和g(x) 规律方法》… =x有且仅有一条公切线，则实数a的 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的 值为 () 切线和曲线过某点的切线，曲线y一f(x) A.e B.√e C.2e D.2√e 在点P(xo,f(x)处的切线方程是y :…规律方法》… f(xo)=f(x)·(x一x);求过某点的切 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要 线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在 充分利用切点既在曲线上又在切线上构造 切线上求解。 方程. 13 数学 跟踪训练 规律方法》 2.若曲线Cy=t与曲线C:y=g(a>0)存 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线 a 公切线的切点表示出来，构造新的函数，通 在公切线，则实数a的取值范围是( 过零点存在定理判断函数零点个数，即方 A.(0,1) B1,别 程解的情况. 跟踪训练 c[f2] 3.已知函数f(x)=x2一4x十4，g(x)= 专点】 判断公切线条数 x1,则f(x)和g(x)的公切线的条数为 () 典题例析 A.3 B.2 [例3]曲线C,:y=x2与曲线C2:y=lnx C.1 D.0 公切线的条数是 ( ©温攀提 A.0B.1 C.2 D.3 学习至此，请完成配套训练素养培优1 微专题5导数的综合应用 ★[高考定位]利用导数解决恒成立问题、零点问题、不等式证明、等式等高考的重点和热 点，经常以解答题形式出现，难度较大，常常利用函数的最值或构造新函数来解决。 研析考点层级突破 考点一利用导数处理不等式恒成立、能成立问题 (3)当x>0时，f(k+x)十f(k-x)> 典题例析 2f(k),求的最小值. [例1](2026·全国Ⅱ卷)已知函数f(x) =xe+ax+b,曲线y=f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为y=一2x十1. (1)求a,b; (2)当x>0时，f(x十m)一f(x)>m,求 m的取值范围； 14