微专题 3 不等式-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

数学 微专题3不等式 ★[高考定位]考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题； 一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元 二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等. 研析考点层级突破 考点一 不等式的解法 方法归纳》… 核心知识 不等式的求解技巧 1.一元二次不等式的解法 (1)对于和函数有关的不等式，可利用函 先化为一般形式ax2十bx十c>0(a≠0)，再 数的单调性进行转化. 求相应一元二次方程a.x十bx十c=0(a≠0) (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步， 的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的 二次项系数化为正数；第二步，解相应 位置关系，确定一元二次不等式的解集， 的一元二次方程；第三步，若有两个不 2.简单分式不等式的解法 相等的实根，则利用“大于在两边，小 1)f>0(<0)f(x)g(x)>0(<0): g(x) 于夹中间”得不等式的解集. (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行 2)《≥0（≤0）台f)g(x)≥0（≤0 分类讨论 且g(x)≠0. 跟踪训练 典题例析 1.若关于x的不等式x十bx十c≤1(b,c∈R) [例1](1)已知全集U=R,集合A={xx -0，那么anB 的解集为[-号2小则6十c的值是 -x-6≤0}，B=x A.[-2,4) B.（-1,3] A.一2 C.[-2,-1] D.[-1,3] C.2 (2)[多选]已知关于x的不等式ax+ D-2 bx十>0的解集为（一∞，一2）U(3,+∞)， 2.[多选]下列选项中，正确的是 () 则下列选项中正确的是 () A.不等式x2+x一2>0的解集为{x|x< A.a>0 -2,或x>1》 B.不等式bx十c>0的解集是{xx<-6} B不等式21的解集为-<2 C.a+6+c>0 C.不等式|x一2≥1的解集为{x1≤x≤3} D.不等式cx2一bx十a<0的解集为 (-0,-3u(2,+∞ D.设x∈k,则1x-1<1是<0” 的充分不必要条件 8 [第一部分]专题一函数与导数、不等式 吉点二 不等式的性质 (3)利用函数的单调性，当直接利用不等 核心知识 式的性质不能比较大小时，可以利用 不等式的性质 指数函数、对数函数、幂函数等函数的 (1)对称性：a>b台b<a;(双向性) 单调性进行判断， (2)传递性：a>b,b>c→a>c;(单向性) 跟踪训练 (3)可加性：a>b台a+c>b+c;(双向性) 1.已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一 (4)加法法则：a>b,c>d→a+c>b+d;(单 定成立的是 () 向性) B.a2>62 (5)可乘性：a>b,c>0→ac>bc;(单向性) a>b,c<0→ac<bc;(单向性) C.alcl-bc D (6)乘法法则：a>b>0,c>d>0→ac>bd; 2.[多选]已知a<b<c(a,b,c∈R),且 (单向性) a+2b+3c=0,则 () (7)乘方法则：a>b>0→a">b”(n≥2，n∈ A.a<0<c N);(单向性) B.3a,c使得a2-25c2=0 (8)开方法则：a>b>0→a>6(n≥2，n∈N), C.a十c可能大于0 (单向性) D.6+2c<-1 a十c 2 典题例析 春点三】 基本不等式 [例2](1)[多选]已知a,b>0,则使得“a>b” 核心知识 成立的一个充分条件可以是 421 利用基本不等式求最大值、最小值的基本 法则 B.|a-2|>|b-2 (1)如果x>0,y>0,xy=(定值)，当x=y C.a2b-aba-b 时，x十y有最小值2√p.（简记：积定， D.ln(a2+1)>ln(b2+1) 和有最小值) (2)(2026·上海卷)已知x>y>1,则下 (2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值)，当 列不等式恒成立的是 ( x=y时，xy有最大值.（简记：和定， A.y B.xy>x+y 积有最大值) C.x2>y D.x+y>xy 典题例析 方法归纳》 [例3] (1)[多选]下列结论中，错误的结 判断不等式是否成立的方法 论有 () (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利 A.y-x(4一3x)取得最大值时x的值 用不等式的性质判断不等式是否成立 为1 时要特别注意前提条件. (2)利用特殊值法排除错误答案. B若<一1，则x十十7的最大值为一2 数学 C,函数f)=+5的最小值为2 跟踪训练 √x2+4 1.已知x,y为正实数，且x+y=2,则 D.若a>0,b>0,且a十b=2,那么+号 2 x十6y十6的最小值为 () xy 的最小值为3+多2 A.12 B.3+2√2 D.62-3 (2)(2026·天津卷) 〔(e+)儿x+)的最 c. 2 2.已知a,b,c均为正实数，函数f(x)=x2十 小值为 ( (a+26)x+In x. A.10 B.9 C.8 D.6 …方法归纳》 ①若)的图象过点1,2，则+号 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 的最小值为 “拆、拼、凑”等技巧，在其满足基本不等式 (2)若f(x)的图象过点(c,ab十lnc), 且(3a十b)t≥c恒成立，则实数t的最 中“正”（各项都是正数）“定”（和或积为定 小值为 值)“等”（等号能取得）的条件下才能应 C温攀提 用，否则会出现错误」 学习至此，请完成配套训练专题精准强化3 微专题4导数的简单应用 ★[高考定位]高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出 现在解答题的第一问.高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值 问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中 研析考点层级突破 专点一】 导数的运算及几何意义 (3)(a)'=a1na(a>0,且a≠1)； 核心知识 401ogx)/=zlaa>0,且a≠1，x>0. 1.导数的几何意义 典题例析 函数f(x)在x。处的导数是曲线f(x)在 点P(x,f(x)处的切线的斜率，曲线 [例1] （①若函数ye(e为自然对 f(x)在点P处的切线的斜率=f(x), 数的底)的一条切线与x轴平行，则切点 相应的切线方程为y一∫(x。) 的坐标为 () =f(xo)(x-x0). A.(1,0) B.(0,1) 2.四个易误导数公式 C.(1,1) D.(1,e) (1)(sin x)'=cos x; (2)(2025·全国一卷)若直线y=2x十5是曲 (2)(cos x)'=-sin 线y=e十x十a的一条切线，则a= 10跟踪训练 1.D[当x>0时，由f(x)=0,可得lnx=0,解得x=1, 合乎题意； 当x≤0时，由于k>0,由f(x)=0,可得kx十1=0， 解得红-一名<0，合子题念 因此，函数y=f(x)的零点个数为2.] 2.BC[依题意，x1十e5=0台e =-x,x2+lnx2=0台lhx2= 一x2, 则x,x2分别是直线y=一x与 函数y=e,y=lnx图象交点的 横坐标， x-Y=00 x+y=0 而函数y=e与y=lnx互为反 函数，它们的图象关于直线y=x对称， 又直线y=一x垂直于直线y=x, 则点(x1,e)与点(x2,lnx2)关于直线y=x对称， 则x2=e1=-x1>0,于是x1十x2=0,x1x2<0,e7十 lnx2=0,BC正确，A错误； x1x2-x1十x2-1=(x1+1)(x2-1)<0, 即x1x2一x1十x2<1,D错误.] 考点三 例4(1)[解析]设当N取10个单位、1.024×10°个单 位、4.096×10°个单位时所需时间分别为T1,T2,T3, 由题意，T1=k1og210°=6klog210, T2=k1og2(1.024×10°)=k10g2(210×10) =k(10+61og210), T3=k1og2(4.096×10°)=k1og2(22×10) =k(12+61og210), 因为T2-T1=(10+61og210)-6k1og210=10k=20, 所以k=2, 所以T3-T2=k(12+61og210)-k(10+6l0g210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到 4.096×10°个单位时，训练时间增加4小时. [答案]B (2)[解析]由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的 算力已提升至2250 PetaFLOPS, 到2026年，其算力提升至2250×1.5 PetaFLOPS, 到2027年，其算力提升至2250X1.52 PetaFLOPS,.…, 以此类推可知，从2025年起，到第n(n∈N)年， DeepSeek的算力提升至2250×1.5 PetaFLOPS, 由2250× (侵)广>150，可餐(2)>9 10 10=g3 所以，n>log号3 1-1g3 、1-0.477 =g3-1g2≈0.477-0.301 1g2 ≈2.972， 所以，DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500 PetaFLOPS. [答案]C 跟踪训练 D[当x=e时，A=k·1.52=2.25k=22.5,即k=10. 当A=135时，10×1.57=135，即13.5=1.57， 则1n13.5=1n1.5,即1nx=2h13.5 2 ln1.5 因为1n18.5=n27=1h27-1n2=3n3-h2 ≈3×1.1-0.7=2.6，ln1.5=ln3-ln2≈0.4， 所以ln≈2X2.6=13. 0.4 令x=10",则lnx=nln10≈2.3n, 所以n心品≈5.7，则102.门 2 讲解册参考答案 微专题3不等式 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]由题意可知，A={x|x2-x一6≤0) ={x|-2≤x≤3}， B={≥0}=-1K≤. 所以A∩B={x-1<x≤3}. [答案]B (2)[解析]A选项，关于x的不等式ax2十bx十c>0 的解集为(-∞，一2)U(3,十∞)， ∴.a>0,A选项正确； BC选项，已知一2和3是关于x的方程ax2十bx十c=0的 两根， -2+3=- 由根与系数的关系得 a -2X3=C a 则b=-a,c=-6a, 不等式bx十c>0,即-az-6a>0,解得x<-6,B正确； 且a十b+c=-6a<0,C错误； D选项，不等式cx2-bx十a<0,即-6ax2十ax十a<0, 即6x2-x-1>0, 解得K一吉我>合D正确 [答案]ABD 跟踪训练 1.D[不等式x2+bx+c≤1(b,c∈R)的解集 为[2 则方程2+bx十6一1=0的两根为=-号=2， 由韦达定理得十=-6=一多十2=， 1 4x,=6-1=-号×2=-3 可得b=一2，c=一2， 故6叶c=--2=-号] 2.ABD[解出各选项中的不等式后可判断. A选项，x2十x一2>0台(x一1)(x十2)>0→x<一2或x >1,A正瑰：B选项，}<12号-10% x-2 x-2 0xt3)x-2)≤0台-3≤<2，B正确， 1x-2≠0 C选项，|x-2|≥1台x-2≥1或x-2≤-1， 即x≥3或x≤1，C错误； D选项，x-1<10<<2,+4<09(z+4(z-5)<0 x-5 台-4<x<5,而{x0<x<2}二{x-4<x<5},D正确.] 考点二 例21D[解析]对于A,因为ab>0,品<品故a>0, 故A选项正确；对于B,取a=1,b=2,此时满足1>0，但 a<b,B选项错误；对于C,ab-ab>a-b可得：a2b十b >ab+a, 则b(a2+1)>a(6+1),因为a,b>0,即+1>+1， 所以a+日>b+名，因为函数y=x+是在(0，十∞)不 a 单调，所以C选项错误； 对于D,由ln(a2+1)>ln(6+1)可知，a2>b,因为a,b>0, 所以a>b,故D选项正确， [答案]AD 数学 (2)[解析]对于A,取x=3,y=2,则x=3,y2=4.故x <y2,所以A错误；对于B,取x=1.5,y=1.2,则xy= 1.8,x十y=2.7,此时xy<x十y,故B错误；对于C,由于 x>y>1,故x2>x,因此x2>y,C正确；对于D,取x= 3,y=2,则x十y=5,xy=6,此时x十y<xy,故D错误. [答案]C 跟踪训练 1.D[A当>0>6时，>，故A错误：B当a=-1, b=一2时，满足a>b,但a2>b不成立，故B错误；C.当c =0时，ac=blcl,故C错误；D.由a>b,c2+1>0,得 升异故D延瑞门 a 2.AD[对于A,由a<b<c及a十2b十3c=0, 得6a=a十2a十3a<a十2b+3c=0,所以a<0, 又0=a+2b+3c<c+2c十3c=6c,所以c>0,A正确； 对于B,由a<b<c及a+2b十3c=0,得a十2c十3c>0, 所以a+5c>0,得c>-号>0， 所以c2,得a2-25c2<0,B错误 对于C,由a<b<c及a十2b+3c=0, 得3a十3c<a+2b+3c=0,所以a十c<0,C错误. 对于D,由a+2b+3c=0,得a+c=-2(b十c), 所以--8牛+千。=-合+ae 因为a+0,>0,所以。千e<0,所以25<-日， a+c D正确.] 考点三 例3(1)[解析]对于A,y=x(4一3x)的对称轴为x 所以y=x4-3x)取得最大值时x的位为号，故A 错误； 对于B,伞y=+=2+1+1 若K-1+10,-c+120-+0-≥2， 当x=一2时，取等号， 所以+10+≤-2，则y=2+1+中一1≤-3 则y=工寸，1的最大值为一3，故B错误) 对于C,函教f()=+5=F+4+ 1 x2+4 √x2+4 令1=√十4≥2，当t什}=2时，t=1,不满足题意，故 C错误； 对于D,若a>0,b>0,且a十b=2, &+号-2（日+）a+6 -(+2++)≥3计，-， 2 即a=2√2-2，b=4-2√2时，取等号. 所以+号的最小值为3计2，故D正确。 2 [答案]ABC (2[解析]因为(（+)(+)=x+皇+5≥ 22…+5=9,当且仅当2=兰，即父=2，x=士巨 时，等号成立，所以(+)(+)的最小值为9. [答案]B 2 跟踪训练 1.C[由x+y=2,则+6y+6=2z+12y+12 xy 2xy =x十y)x+6(x+y)y十3(x+y)2 2xy -+1-5+2+受≥2·器+号 2xy =25 2 当且收当号-器即=号y号时，等号成立】 2.解析：(1)由f(x)的图象过点(1,2)得，f(1)=1十a十2b =2, 即a+2b=1； 所以（日+号a+20=5+2+2≥5+2=9， b 当且仅当2-铝甲a=6号时等号成立， (2)由(3a十b)≥c恒成主得，t≥3a十b' 因为f(x)的图象过点(c,ab+lnc), f(c)=c2+(a+26)c+In c=ab+In c, 即c2+ac=b(a-2c), 当a=2c时，c=0不合题意舍， 所以4≠2c,即9≠2，则6=g+a9,则由6>0得a>2c, a-2c ac-2c2 所以3a+b3a+c+ac3a2-5ac+c2 'a-2c -2 c 设4-2=m>0, -2 所以 c m 3(m+2)2-5(m+2)+1 m 3m2+7m+3 1 1 一3 3m+三+723m·3+7 m m 当且仅当3m= 3,即m=1,则a=3c,b=4c时，等号成立. 答案：(1)9(2)3 微专题4导数的简单应用 研析考点层级突破 考点一 例1（1)[解析]设切点坐标为(x0,y),函数y =e*+e-* 2, 所以y'=e-er 2, 因为切线与x轴平行，所以y1,,--0, 2 解得，=0为-的_11=1，故切点坐标为0,1D. 2 2 [答案]B (2)[解析]法一：导数为y=e+1, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x十5，可得y=2×0十5=5， 所以切点坐标为(0,5)， 2