专题精准强化18 随机变量及其分布列-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

⑧错题序号： 专题精准强化18随机变量及其分布列 ©错因分析： 一、单选题 X,Y,且X~N(1,o),Y~N(2,o),其 1.甲同学每次投篮命中的概率为p,在投篮6 密度曲线如图所示，则以下结论错误的是 次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则 ) X的方差为 () Y的密度曲线 A.1.24B.1.44 C.1.2D.0.96 2.在某项测验中，假设测验数据服从正态分 X的密度曲线 布N(78,16).如果按照16%，34%，34%， 0 21C 克 16%的比例将测验数据从大到小分为A, A.Y的数据较X更集中 B,C,D四个等级，则等级为A的测验数据 B.P(X≤c)<P(Y≤c) 的最小值可能是（附：若X~N(u,o),则 C.甲种茶青每500克的红茶产量超过2 P(|X-μ≤σ)≈0.6827，P(|X-u≤2o) 的概率大于号 ≈0.9545) ( D.P(X>c)+P(Y≤c)=1 A.94 B.86 C.82 D.78 5.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑 3.已知随机变量的分布列如表：若D(E+1) 球，4个白球，现从中任取4个小球，设取 -号，则E+1)= 的4个小球中白球的个数为X,则下列结 论正确的是 () -1 APX=I)=号 Q 3 B.随机变量X服从二项分布 A号 B.4 C.随机变量X服从超几何分布 c号号 D.E(X)-S 4.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不 6.(2026·全国I卷)设U={(x1,x2,x3) 同品种的茶青生产红茶.根据其种植经 x:∈{-2，-1,1,2}，i=1,2,3}为空间中 验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青 64个点构成的集合，点P(1,1,1),记样 每500克的红茶产量（单位：克）分别为 本空间2=Cu{P).从2中随机取一个 155 点，定义随机变量X如下：对2中的每个 三、填空题 点A(x1,x2,x3),令X(A)=x1+x2+x3, 9.从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片 则X的数学期望为 中任取2张，设这2张卡片上的数字之和 A-员 B.一63 1 为X,则E(X)= 四、解答题 C.0 D. 10.有5个相同的球，分别标有数字1,2,3， 二、多选题 4,5,从中有放回地随机取3次，每次取 7.下列说法正确的是 1个球，记X为这5个球中至少被取出1 A.数据5,7,9,11,13,14,15,22的平均 次的球的个数，则X的数学期望E(X). 数为12 B.数据6,7,7,8,10,12,14,16,19,21的 第30百分位数为7 C.若随机变量X~B(10,p),且E(X)=8, 则D(X)=1.6 D.若随机变量Y~N(10,o2),且P(Y<6) =0.3,则P(6<Y<14)=0.4 8.高考数学试题的第二部分为多选题，共三 个题每个题有4个选项，其中有2个或3 个是正确选项，全部选对者得6分，部分 选对的得2分，有选错的得0分.小明对 其中的一道题完全不会，该题有两个选项 正确的概率是，记X为小明随机选择1 个选项的得分，记Y为小明随机选择2 个选项的得分.则 A.P(X=0)>P(Y=0) B.P(X=2)>P(Y=2) C.E(X)>E(Y) D.D(X)>D(Y) 156 11.以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识 12.已知某种机器的电源电压U(单位：V) 挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每 服从正态分布N(220,202).其电压通常 位选手从中随机抽取3道，若能全部回 有3种状态：①不超过200V;②在 答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其 200V~240V之间；③超过240V.在 中的4道题. 上述三种状态下，该机器生产的零件为不 (1)设X表示选手甲抽到会做题目的道 合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2. 数，求随机变量X的分布列和方差； (1)求该机器生产的零件为不合格品的 (2)假设选手甲会做的题全部答对；不会 概率； 做的题随机判断，答对的概率为？·若各 (2)从该机器生产的零件中随机抽取n (n≥2)件，记其中恰有2件不合格品的 题作答结果互不影响，求他通过预赛的 概率为pn,求pn取得最大值时n的值. 概率。 附：若Z~N(4,o),取P(-o<Z<μ+o) =0.68,P(μ-2o<Z<u+2o)=0.95. 157数学 12345 6 B AC D 若B不停在A处，则等价于四阶错位，有9种方法， 123456 E A CBF D F A CBD E }…}……… D AC B F E E AC F B D B D B E F B FAC E D B 则停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的事件M含 有基本事件数为11C4, 所以停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率为 9.AC[时子造项A:由(e-）广展开式的通项为T =c(）广=-1cx,&=01.20 令6一2k=6,解得k=0,所以含x的项为 T1=(-1)°C8x5=x,此时系数为1，故A正确； 对于选项B:由（红+）广展开式的道项为工+：一 Cx(）广-Cx4,0k=012,,6, x 令6一2k=0,解得k=3,所以常数项为T=Cx°=20， 故B正确； 对于选项C:由（工十）可知刀=6，所以二项式系教2 和为2=64，故C正确； 对于选项D:令x=1,可得所有项系数之和为(1一1)5= 0,故D错误.] 10.ACD[对于A,由P(B)=号，可得P(AB)=P(AB) PB)=是×号-日，A正确：对于B,P(A)·P(B) 号≠P(AB),事件A与B不是相互独立的，B储误；对 于C,由PA)=1-PA)=1-号=子，所以P(BA) 1-1 =P(AB)-P(B)-P(AB)=36 1 P(A) P(A) 1 C正确；对 3 于D,因3P(B|C)=P(B|C),且P(B|C)+P(B|C)=1,解 得PBCO=,故P(BC=P(CP(BC)=号×号 1 =吉，P(BU=PB)+P(O-P(BO=吉+号 3 11.AC[根据贝叶斯公式分别求出使用信用卡，支付宝、 微信支付出现支付问题的概率即可判断， 设A、B、C分别表示事件使用信用卡支付、使用支付宝 支付、使用微信支付，D表示事件出现支付问题，则 P(A)=0.2,P(B)=P(C)=0.4,P(D)=0.06, 所以P(D1A)-P(DPAD)_0.06X P(A) 0.2 =0.1, 即使用信用卡支付的用户中有10%的人遇到支付问 题，故A正确； 图为P(D1B)=P(D)P(B1D)0.06x3=0,O5, P(B) 0.4 PD1C=PDPCID_Lo6X P(C) 0.4 2=0.05, 即使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到 支付问题的概率相同，故B错误； 因为使用信用卡支付的用户中有10%的人遇到支付 问题， 而使用微信支付的用户中只有5%的人遇到支付问题， 故减少信用卡支付的人数有可能降低出现支付问题的 概率，故D错误； 要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支 付通道关闭，故C正确.] 12.解析：利用赋值法可求a0,利用换元法结合赋值法可求 a1十a2十a3十a4的值. 令x=0,则a。=1, 又(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4, 故(1-2x)4=a十a1(-2x)+a2(-2.x)2+a3（-2x) +a4(-2x)4, 令t=-2x,则(1十t)=a。十at+a2t2+atf+a4t, 令t=l,则a0十a1十a2+a3十a4=2,故a1+a2十ag十 a4=15. 答案：115 13.解析：第一步，先考虑早上，只能有乙、丁，或丙、丁， 由对称性可知，只需先考虑乙、丁，则有A2种； 第二步，考虑中午和晚上，除掉乙、丙，每个时段共有 A号-2=10种组合， 故中午晚上共有10×10=100种，需扣掉以下几种 情况： 第一，中午晚上没有甲，则只有乙、丙、丁，每个时段有 A-2=4种排法，共有16种； 第二，中午晚上没有丙，则每个时段有A=6种排法， 共有36种； 第三，中午晚上没有甲、丙，则只有乙、丁，共有AA= 4种排法； 所以中午和晚上共有100一16一36十4=52种排法， 所以安排方法总数为52×A号×2=208种. 答案：208 14.解析：根据题意，利用条件概率的计算公式，即可求解」 设事件A:某地3月份吹西北风，事件B:某地3月份下雨， 根据题意，可得P(A)=0.7,P(AB)=0.5, 则该地3月在吹西北风的条件下下雨的概率为 PB1a-8-89-号 答案：7 专题精准强化18随机变量及其分布列 1.B2.C3.C 4.D[根据正态分布曲线的性质和特点求解. 对于A,Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确； 对于B,因为c与42之间与Y的密度曲线围成的面积S, 大于c与41之间与X的密度曲线围成的面积S2, 2 PY<)=3+s,P(x<0=3+sP(X<)< P(Y<c),正确； 对于C,山<凸，.甲种茶青每500克超过2的概率 1 P(X>)>2,正确； 对于D,由B知：P(X>)=号-SPY<)=合+S, ∴.P(X>c)+P(Y<c)=1+S-S2>1,错误.] 5.C[由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何 分布的性质直接判断各选项即可」 由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误， C正确； X的取值分别为0,1,2,3,4，则P(X=0)==4 P(X=1)= 4C=8 C1。 -21' Px-2》-e-号Px-3)-S-希 C4。-351 P(X=4)= C4_1 C210 X0)=0×7+1×员+2×号+3×籍+4X0 1 8 ,故A,D错误.] 6.A[依题意，X的分布列为 X-6-5-4-3-2-10123456 P1334996993331 636363636363636363636363:63 B(X0=-3×品+3×品-] 7.ACD[对于A,这8个数的平均数为： 5十7+9+11+13十14+15+2=12，故A正确；对于 8 B,由10×30%=3可知：这10个数据的第30百分位数 为7生8-7.5，故B错误：对于C,因为X一B(10,p,所 以由E(X)=8→10p=8→=0.8，因此D(X)=10× 0.8×(1一0.8)=1.6，故C正确；对于D,因为Y N(10,62),P(Y<6)=0.3, 所以P(6<Y<10)=0.5-0.3=0.2, 因此P(6<Y<14)=2P(6<Y<10)=0.4,故D正确.] 8.BC[先求出X,Y的分布列，可判断A,B;再由数学期望和 方差公式求出E(X),EY),D(X),D(Y可判断C,D. X为小明随机选择1个选项的得分，所以X=0,2. PX=0)=×+×- 4 P0X-2》-2×+×日- 5 则X的分布列为： 1“… 8 8 由光可得E(x)=2Xg=号， .5 DX=(0-)×8+(2-)广×8- 2 2 Y为小明随机选择2个选项的得分， 所以Y=0,2,6, 12 3( 练习册参考答案 PY=6)=x号-b 则Y的分布列 0 2 6 号 2 1 由此可得E)=2X}+6×2=1, D0=0-1)2×号+(2-102×号+(6-1× =号++多-3 所以P(X=0)<P(Y=0),P(X=2)>P(Y=2), E(X)>E(Y),D(X)<D(Y).] 9.解析：由题意分析离散型随机变量X的所有取值，求出 概率分布列计算期望即可. 从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张卡片 的所有10种结果中， (1,2),(1,3),(1,5),(1,9),(2,3),(2,5),(2,9),(3,5) (3,9),(5,9) 2张卡片上的数字之和分别为：3,4,5,6,7,8,10,11,12,14， P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=P(X=7) =P(X=8)=P(X=10)=P(X=11)=P(X=12)= P(X=14)= 1 10 所以E(X)= F0×(3+4+5+6+7+8+10+11+12+ 14)=8. 答案：8 10.解：X的所有取值为1,2,3，则P(X=3)=5×4X3 53 12 12,P(X=2)=6=25:P(X=1)=5=1 53 =25 故E(X)=1+2X12+3X12_61 25 25 11.解：(1)根据题意X=1,2,3. P(X=2)=CC=12-3 C8-20 5 P(X=3)=C2=205 所以X的分布列为 X 1 2 3 P .1 5 5 5 故随机变量X的期望E(X)=1×号+2×号+3×号 =2. 所以X的方差D(x)=1-2)×号+(2-2)×号+ 8-2×日=号 (2)设事件A:=“选手甲抽到i道会做的题目，i=1,2, 3”,事件B=“选手甲通过预赛”， 则2=A1UA2UA3,A1,A2,A两两互斥，B=AB十 A,B+A B. 由I知，PA,)=合又PBA,)=1X(合）广= 所以P(A,B)=P(A)·P(BA1)=5X=20 1 1 1 同理，PA,)=是，PAB)=PA,·P(BA,) 3 数学 =号×1x=品 PA,)=日，P(A,B)=P(A)·P(BA,)=吉×1 1 由全概率公式得，选手甲道过预赛的概率P(B)=0十 3,111 10+5=20 12.解：(1)根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再 由全概率公式，即可得到结果；(2)根据题意，由二项分 布的概率公式代入计算，即可得到结果. (1)记电压“不超过200V”“在200V~240V之间”“超 过240V”分别为事件A,B,C,“该机器生产的零件为不 合格品”为事件D. 因为U~N(220,202),所以P(A)=P(U≤200) =1-P4-gZ≤+a2=1-0.68=0.16, .2 2 P(B)=P(200<U<240)=P(u-o<Z<u+σ)=0.68， P(C)=P(U>240)=1-P(4-≤Z<μ+o) =1-0.68=0.16. 2 所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+ P(C)P(D C) =0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×0.2=0.09, 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09. (2)从该机器生产的零件中随机抽取件，设不合格品 件数为X,则X~B(n,0.09), 所以pn=P(X=2)=C·0.91-2·0.092. 会9g号a 解得26m<g 所以当2≤n≤21时，pn<p+1； 当n≥22时，pn>p+1;所以p22最大。 因此当n=22时，pn最大. 专题精准强化19统计与成对数据的统计分析 1.B2.A3.D 4.D[根据原数据和现数据的相关数字特征计算即可对 选项一一判断. 在这组数据：12,16,22,24,25,31,33,35,45中去掉12 和45后，得到16,22,24,25,31,33,35 显然极差由45一12=33变成了35-16=19，故A项 错误； 原平均数为云=号12+16+2+24十25+31+33+35+ 45)=243=27, 9 现平均数为2=号(16+22+24+25+31+3+35) =186≠27，故B项错误； 7 原方差为3=号[12+16+22+20+28+31+32+ 352+452-9×272]=824 91 现方差为”-号[16+22+2+25+31+38+352-7 ×()=1 显然方差不同，故C项错误； 对于D项，由9×号=2.25，知原数据的上四分位数是 第三个数据2，又由7×=1.75，知现数据的上四分 位数是第二个数据22，即D项正确.] 3( 5.D[根据回归方程的意义，以及离群点对数据的影响， 即可判断选项. 这7个身高的平均数x= 167+173+175+177+178+180+181≈176， 7 因为离群点(167,90)的横坐标167小于平均值176，纵 坐标90相对过大， 所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小，而斜率变大， 所以a1>a2,b1<b2, 去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合 效果会更好，所以r1<r2·」 6.D[由题意得：x=2+3+5+6-16=4, 4 4 y=5+7+9+15=9, 4 所以经验回归直线必过点(4,9)，故A错误； 由a=y-2.2x=9-2.2X4=0.2,故B错误； 所以y=2.2x十0.2， 当x=2时，y=2.2×2+0.2=4.6, 所以x=2对应的样本，点的残差为5一4.6=0.4，故C错误； 当x=7时，y=2.2×7+0.2=15.6,故D正确.] 7.AD[利用相关性的定义及线性回归直线可判定A,根 据样本中心点在回归方程上可判定B,利用百分位数的 计算可判定C,利用回归方程计算预测值可得残差即可 判定D. 由回归直线方程知：1.25>0，所以y与x正相关，即A 正确； 由表格数据及回归方程易知x=3,y=1.25×3十4.25 =32.5十m→m=7.5,即B错误； 5 易知5×60%=3，所以样本数据y的第60百分位数为 8十9=8.5，即C错误； 2 由回归直线方程知x=1,2,3,4,5时对应的预测值分别 为y=5.5,6.75,8,9.25,10.5, 对应残差分别为一0.5,0.75,0，一0.25,0，显然残差之和 为0，即D正确.] 8.AD[对于A,成对样本数据的经验回归直线定经过 点(x,y),故A正确；对于B,因为X2≈0.837<x01= 2.706,由P(x≥2.706)=0.1可推断H。成立，即认为 X和Y独立，故B错误；对于C,在残差图中，残差，点的 分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差 不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的 假设，故C错误；对于D,决定系数R越大，表示残差平 方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确.] 9.解析：由已知，这组样本数据的样本完全正相关，故其相 关系数为1. 答案：1 10.解析：利用直方图直方块总面积为1，进行运算解出a 即可. 由直方图可知：组距为10， 所以10×(0.005+a+0.020+0.040+0.020)=1, 解得a=0.015. 答案：0.015 11.解：(1)第1步：计算不高于120分的累计频数 数学成绩不高于120分的人数为前三组人数之和，为 40+60+60=160. 第2步：用频率估计概率 用频率估计概率，则数学成绩不高于120分的概率P= 160=0.8. 200 故数学成绩不高于120分的概率为0.8. (2)第1步：分别计算对应事件的概率 成绩不低于120分的概率P,=2812=0.2, 200 成续不高于94分的概率P-8-0,2。 第2步：识别概率模型 04