专题15 一次函数与三角形综合问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15一次函数与三角形综合问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数与三角形的面积问题 题型二、一次函数与三角形全等问题 题型三、一次函数与特殊三角形存在问题 题型四、一次函数中折叠的综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：一次函数图象与坐标轴或另一函数围成三角形，求面积、线段长或动点存在性。 ·解题方法：联立求交点坐标；面积用底×高2或割补法：动点设坐标，用函数关系表示线段长列方程；等 腰或直角存在性分类讨论。 ·易错提醒：交点坐标符号错误；面积计算未取绝对值：动点范围受函数定义域限制；分类讨论遗漏项点 位置。 ◆◆ 刁题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数与三角形的面积问题 奥剑1（25-26八年级上广东第庆期末)如图，直线y= r+3与y轴、x轴交于点4，B,点C在直线 AB上，点C的横坐标为m. 1/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求点B的坐标： (2)当m=1时，求△BOC的面积： 当S2Sa0时，求m的值 2 题型模版 1.特征：一次函数图象与坐标轴或另一条直线围成三角形，求面积或由面积求参数。 2方法：求直线与坐标轴交点得底和高，用面积公式列方程；或设参数表示顶点坐标，割补后列方程求解。 变式1-1(25-26八年级上浙江阶段检测)如图，已知直线y=x+6与x轴交于点A、与y轴交于点B,经 过原点的直线与直线AB相交于点 (-4,2) B 0 (1)求B点坐标： (2)求△OBC的面积； (3)在直线BC上是否存在点M,使aOCM的面积是△AOB的面积相等？若存在，求出点M的坐标：若不 存在，说明理由. 3 变式1-2(25-26八年级下河南信阳期中)如图，已知点A(m,-2m+2)在正比例函数y=一2x的图像上， 过点A作AB⊥x轴交于点B. 2/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求m的值； A'(-m,2m-2） (2)判断 在函数图像上（填“是”或“否”）； (3)在x轴上是否存在一点P,使得△AOP的面积是△AOB面积的2？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由、 变式1-3(25-26八年级下·全国单元复习)如图，已知△OAB为等腰直角三角形，点P、Q分别是边AB、 OA OA=0B=6 00=4 (x,y) 上的点， ·建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列 问题： (I)求y关于x的函数关系式，以及函数自变量的取值范围： (2)求△OPO的面积S关于x的函数关系式： (3)如果△OP2的面积等于10，求点P的坐标. 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、一次函数与三角形全等问题 典例2(25-26八年级上渐江嘉兴阶段检测)如图，直线y=2x+3分别交x轴，y轴于点A'B,点 C(0,6 ,动点M从点A出发以每秒1个单位的速度沿x轴负方向移动，设点M的移动时间为秒. (1)求A,B两点的坐标. (2)设△COM的面积为S,当0<t<6时，求S关于t的函数表达式. (3)当t为何值时，△COM与△AOB全等. 题型模版 1.特征：一次函数图象与坐标轴或直线围成三角形，需构造或证明全等，求点坐标或参数。 2方法：利用坐标表示边长，寻找对应边角相等条件，用全等判定（如SAS、HL)列方程求参数并验证。 变式21(25-26八年级上江苏苏州阶段检测)如图，直线y=+3与x轴、y轴分别交于A、B两点， 01-0B,点C(化)是直线y=:+3上与A、B不重合的动点 B A 备用图 备用图 (1)求直线AB的解析式： (2)作直线OC,当△AOB的面积被直线OC分成：2的两部分时，求直线OC的解析式： (3)过点C作直线CD与y轴相交于D点，使△BCD与△AOB全等，请直接写出所有符合条件的点C的坐标. 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-2(25-26八年级下广东阳江期末)如图1，直线与'轴交于点 (0,2).与轴交于点 (4,0) 直线经过点A,C-0) 图1 图2 (1)求直线与的函数解析式. (2)求△ABC的面积. (3)如图2，P是线段AB上的一动点，Q是线段AC上的一动点，连接OP,OQ,P2.若△POA与 △POO全等，求点P的坐标. 变式2-3(25-26八年级上·吉林通化阶段检测)如图①，已知△ABC的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上， 且AB=CB.点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(-1,0)，∠ABC=90°. 图① 图② (1)求点C的坐标： (2)如图②，过点C作直线CD∥x轴交AB于点D,交y轴于点E. ①求线段CD的长： ②在坐标平面内，是否存在点M(除点B外)，使得以点MC、D为顶点的三角形与△BCD全等？若存 在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由. 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、一次函数与特殊三角形存在问题 典例3(25-26八年级下·江苏南通阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，函数y=x+5的图象与x轴交 4 于点A,直线y=3x+b与x轴交于点B,与直线y=x+5交于点C(m,4). 0 B\主 (I)求b的值和点B的坐标； (2)求△ABC的面积： (3)点P是x轴上一点，且△BCP是以CP为底的等腰三角形，求点P的坐标. 题型模版 1特征：一次函数图象上的动点与两定点构成等腰或直角三角形，求动点坐标。 2方法：设动点坐标，分情况（等腰看两腰相等，直角看斜率乘积为-1或勾股定理）列方程求解并验证。 3 变式3-1(25-26八年级上山西运城期中)如图1，在平面直角坐标系中，已知直线y=亏x+3分别与x轴、 y轴交于点A,B,点C在线段AB的延长线上，且AB=BC. y C ⊙ A 图1 图2 (1)求线段AB的长. (2)求点C的坐标. (3)如图2，连接OC,在x轴上是否存在点D,使得△OCD是以OC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出 点D的坐标：若不存在，说明理由. 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2(25-26八年级下·吉林长春期末)在平面直角坐标系中，已知直线y=2x+2与x轴交于点A,点 P m y=-2y 是该直线上一点，点的横坐标为，直线 2与》轴交于点B,点”是该直线上一点，点的横坐 标为3m,作△ABP和△ABQ (1)A点的坐标是_，B点的坐标是_： (2)当点P落在直线y=-2上时，求△ABP的面积 (3)当△ABQ是直角三角形时，求m的值： (④当△ABP的面积是△ABO面积的，半时，直接写出m的值. 变式33(25-26八年级上广东深圳期中)如图，已知一次函数y=2x+2与x轴相交于点A,与y轴交于 点B. (I)求出点A和点B的坐标. (1,0 (②)点C的坐标是 ),求证：△MBC是直角三角形. 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在直线AB是否存在点D,使得△BCD是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出△ACD的面积，如果 不存在，请说明理由， (4)点E是直线AB上的点，若△BCE面积是1O,请你求出点E的坐标， 题型四、 一次函数中折叠的综合问题 4 典例4 (25-26八年级上陕西西安阶段检测)如图，直线y=3x+8分别与x轴、y轴相交于点B和点A, C是线段OA上的一点.若将△ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的点A处. (1)求点C的坐标： (2)点P是直线AB上一动点，若△BCP的面积为30，请求出点P的坐标. 题型模版 1特征：一次函数图象与坐标轴围成的图形沿某直线折叠，求折叠后点坐标或折痕解析式。 2方法：利用折叠前后对应点关于折痕对称，由中点坐标和垂直斜率关系列方程，结合一次函数求解。 :y=-9x+8 变式4-1(25-26八年级上四川成都期末)如图，已知直线 与y轴交于点A,直线 2:y=-x-8 与x轴交于点B,且两直线交于点C. 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求C的坐标： (2)连接AB,求△ABC的面积： (3)点D是线段AB上的一个点，将△BCD沿直线CD翻折，点B的对应点为B'，,若△ADB为直角三角形且 ∠DAB=90°，求线段BD的长， 变式42（八年级数学月考卷（湖北省卷专用，测试范围：人教版八下第16章~第19章）学易金卷： 2024-2025学年初中下学期第三次月考)综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知 OA=6.OB=10.点D为y轴上一点，其坐标为 0,2) 点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段 AC-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒. B--- A A 图1 图2 备用图 (I)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式： (2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式： ②把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B恰好落在AC边上，求点P的坐标. (3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说 明理由， 变式42(25-26八年级上：广东深圳阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，一次函数 3 y=:+b的图象与y轴交于点A0,4),与x轴交于点B,与正比例函数y=2交于点C,点C的横坐标为 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y A M B B D 图1 图2 ()求一次函数y=kc+b的表达式； ②咖图1.点M%线段O4上一点，若a名，求点M的坐标 6 (3)如图2，点N为线段OB上一点，连接CN,将△BCN沿直线CN翻折得到△DCN(点B的对应点为点 D),CD交x轴于点E.若△DNE为直角三角形，请直接写出点N的坐标. ◆◆ ◆◆ 同压轴挑战一攻克离障压轴，炎破思维上保 一、单选题 1.若直线y=2x+b与直线y=3x-4相交于x轴上一点，则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积是( ) A.号 16 10 B.9 c. D.9 A(3,2),B(5,0) 2,如图，在平面直角坐标系中，已知 点E的横坐标为4，点E在线段4B上，则三角形 AOE的面积为() 5 3 B 10 12345 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.5 C.10 D.15 3 3.如图，直线1：y=一+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，OM1AB于点M点P为直线上不与 点A、B重合的一个动点.在y轴上存在()个点O,使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OMP全等 B A A.2 B.4 C.5 D.6 4.如图，直线y=- 4x+6与y轴、x轴分别交于点AB,M是线段OB上一点，若将△ABM沿AM折 4 叠，点B恰好落在'轴上的点B处，则直线AM的函数解析式是() M B B 1 A.y=7x+6B.y=-2x46 C.y=-1 +3 D.y=-2x+3 二、填空题 5.己知直线y=:+2与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值为 6.直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的 次函数图像与x、y轴分别交于点A、B,则△ABO为此一次函数的坐标三角形.由以上可知，一次函数 y=- 2+3的坐标三角形的面积是— 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.直线)=-2x+4与x轴，y轴分别交于A,B两点，点 (x,)是直线”=-2x+4上的一点，过点P作M 的垂线与x轴，y轴分别交于E,F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为一 8.如图，已知一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,点M在y轴上(M不与原点重 合)，并且使以点A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为· A 三、解答题 9如图，在平面直角坐标系中，己知一次函数”=+4的图象与过点1(0,2以B(-3,0 直线交于点 P),与，热、y执分别相交点和点D VA B C (I)求直线AB的表达式： (2)连接AC,求三角形PAC的面积. D(4,0)E(3,3)F(0,1) 10.如图，在平面直角坐标系中，点 0 D x 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求 S四边形DEFO(求四边形 DEFO 的面积). (②若’轴上存在一点P,使 SPEF =6 (三角形PEF 的面积)，求出点P坐标。 11.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+6的图像交坐标轴于A、B两点，点C、D的坐标分别为 (0,-6)、(3,0),直线AB、CD相交于点P. (I)求直线CD的函数表达式： (2)连接OP,若直线CD上存在点M,使得△BPM的面积是△BPD的面积的2倍，请求出点M的坐标， 12.如图，一次函数=+b化b k≠0) y2=x C 为常数，且 与正比例函数 ,交于点，与坐标轴分别交 于点A和点B)OA=OB=4, 3 -4-3-2-01234567x (1)求一次函数的解析式： (2)求三角形AOC的面积： (3)已知过点C的直线将三角形AOC的面积分成I3,求该直线的解析式， 13.如图，直线1：y=3x+10分别交x轴，y轴于点A,B. 13/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)直接写出A,B两点的坐标： (2)若经过点B的直线交x轴正半轴于点C,且LCBA=45°，求直线BC的解析式： (3)在(2)的条件下，问：直线BC上是否存在一点P,使△ABP的面积为5？如果存在，请求出所有满足 要求的点P的坐标.如果不存在，请说明理由. 4 14.如图，在平面直角坐标系xO中，直线y=一3x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D(0,-6)在y 轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点 E B (1)求AB的长： (2)求直线CD的解析式： 1 (3加轴上是否存在一点P,使得S.a=2S.00,若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由。 OB 1 15.如图：直线y=+3与x轴、y轴分别交于AB两点，OA2,点C(,y)是直线y=c+3上与A B不重合的动点. 14/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 ()求直线y=x+3的解析式： (2)当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6： (3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. 16,如图1，在平面直角坐标系中，一次函数'=V5x+25 的图象与x轴，y轴分别交于点A,C, ∠AC0=30° AB⊥ CB⊥y ,过点A作 轴，垂足为A,过点C作轴，垂足为C,两条垂线相交于点 图1 图2 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的△ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D, 交AC于点E,连接CD,求点D的坐标： (3)M是射线EC上的一个动点，过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N.请直接写出△AOC与△MCN 全等时，点M的坐标. 15/15 专题15 一次函数与三角形综合问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数与三角形的面积问题 题型二、一次函数与三角形全等问题 题型三、一次函数与特殊三角形存在问题 题型四、一次函数中折叠的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：一次函数图象与坐标轴或另一函数围成三角形，求面积、线段长或动点存在性。 - 解题方法：联立求交点坐标；面积用底×高/2或割补法；动点设坐标，用函数关系表示线段长列方程；等腰或直角存在性分类讨论。 - 易错提醒：交点坐标符号错误；面积计算未取绝对值；动点范围受函数定义域限制；分类讨论遗漏顶点位置。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一次函数与三角形的面积问题 典例1 （25-26八年级上·广东肇庆·期末）如图，直线与轴、轴交于点A，B，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积的综合应用，解题关键是结合直线解析式确定点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． （1）求点B坐标：令直线解析式中，解方程得B点坐标． （2）求时的面积：先代入得C点纵坐标，再用三角形面积公式（以为底，C点纵坐标为高）计算． （3）求满足的：先表示出C点坐标，分别计算和含的，根据面积关系列绝对值方程，求解得． 【详解】（1）令，则， 解得， 点的坐标为 （2）点的坐标为， ， 当时，，则， ． （3）令，则， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ，， ， ， 解得或． 的值为． 题型模版 1.特征：一次函数图象与坐标轴或另一条直线围成三角形，求面积或由面积求参数。 2.方法：求直线与坐标轴交点得底和高，用面积公式列方程；或设参数表示顶点坐标，割补后列方程求解。 变式1-1（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 变式1-2（25-26八年级下·河南信阳·期中）如图，已知点在正比例函数的图像上，过点A作轴交于点B． (1)求m的值； (2)判断______在函数图像上（填“是”或“否”）； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)是 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，三角形的面积． （1）把点代入正比例函数解析式即可求出m的值； （2）将代入得，再将代入得，即可得出结论； （3）先根据已知求出，再设点，则，，进而得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 将代入得，， ∵， ∴是在函数图像上， 即是在函数图像上， 故答案为：是； （3）解：∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， 假设在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的，设点，则， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或， 即在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的，点P的坐标为或． 变式1-3（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，以及函数自变量的取值范围； (2)求的面积关于的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点的坐标． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，根据点可知，，，因为是等腰直角三角形，所以即∠PAC=45°，故可得出，由可知，由此即可得出结论； （2）根据点可知，，直接根据三角形的面积公式求出与的关系式； （3）把代入（2）中的关系式求出的值，进而可得出的值，由此可得出点坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点， ∴，，． 是等腰直角三角形， ，即， ， ． ，即， ∴与的函数关系式为． （2）解：， 即． （3）解：当时， 即，解得， 此时， ∴此时点的坐标为． 题型二、一次函数与三角形全等问题 典例2 （25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒． (1)求，两点的坐标． (2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式． (3)当为何值时，与全等． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，与全等 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、全等三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先判断出只能是，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， 则点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由（1）已得：点的坐标为， ∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，且点的移动时间为秒， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵轴轴， ∴的面积为， 所以关于的函数表达式为． （3）解：由（2）已得：， ∴， ∵，，，轴轴， ∴，，， ∴与全等只有一种情况：， ∴，即， 解得或， 所以当或时，与全等． 题型模版 1.特征：一次函数图象与坐标轴或直线围成三角形，需构造或证明全等，求点坐标或参数。 2.方法：利用坐标表示边长，寻找对应边角相等条件，用全等判定（如SAS、HL）列方程求参数并验证。 变式2-1（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点. (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． （1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图： 此时， ， 即， 解得：， 在中，令，则 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图： 此时， ， 即， ， 在中，令， 解得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图： ，， ，， 设，则，，， 而， ， 整理得， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图： ，， ， 在中，令，则 解得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 变式2-2（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 变式2-3（25-26八年级上·吉林通化·阶段检测）如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏． （1）先证明，则，即可求解； （2）①由（1）知，轴交于点D，则点D的纵坐标为1，将代入，得，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应，有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 题型三、一次函数与特殊三角形存在问题 典例3 （25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)14； (3)或． 【分析】（1）将点代入直线，可求出的值；再把点C的坐标代入，求出b的值，进而求出B的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵过点． ∴，解得：， ∴， ∵直线经过点， ∴代入得，解得， ∴， 令，则，解得：, ∴； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型模版 1.特征：一次函数图象上的动点与两定点构成等腰或直角三角形，求动点坐标。 2.方法：设动点坐标，分情况（等腰看两腰相等，直角看斜率乘积为-1或勾股定理）列方程求解并验证。 变式3-1（25-26八年级上·山西运城·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点A，B，点在线段的延长线上，且． (1)求线段的长． (2)求点的坐标． (3)如图2，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，，当时，，再利用勾股定理即可得到答案； （2）由中点坐标公式可得答案； （3）设，而，，可得，，，结合是以为腰的等腰三角形，可得或，进一步利用勾股定理建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； ∴． （2）解：∵，，设， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：设，而，， ∴，，， ∵在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， ∴， ∴或， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上所述，点D的坐标为或或． 变式3-2（25-26八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当点落在直线上时，求的面积； (3)当是直角三角形时，求的值； (4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)2 (3)， (4)或 【分析】（1）根据交点坐标即可求解； （2）根据题意可得，作，即可求解； （3）当时，时，分类讨论即可； （4）题意得 ，，根据等式化简求值即可. 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴，则，得， ∴； ∵直线与轴交于点， ∴ （2）解：∵点落在直线上 ∴，将代入直线得 ，解得 ∴ 如图；作 ∴ ∴ （3）解：∵是直角三角形时，则 ，， ①当时， ∵ ， ， ∴ ，解得 ②当时， ∴ ∴,则 ∴，； （4）解：由题意得 ， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得 ∴直线的解析式为 ， 设直线与直线交于点，则 ∵ ∴ ∴； ∵ ∴， ∴， 即 或， 解得或. 变式3-3（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) 证明：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． (3)存在，的面积为或 (4)点E的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的面积． （1）分别令，，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标； （2）根据两点间距离公式求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （3）当时，是等腰直角三角形．分点D在线段上和当点D在线段的延长线上两种情况求解即可； （4）根据，得到点E在的延长线上，或在的延长线上，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴． （2）略 （3）解：由（2）可知是直角三角形，， ∴当时，是等腰直角三角形． 如图，当点D在线段上时， ∵， ， ∴． 如图，当点D在线段的延长线上时， ． 综上所述，直线存在点，使得是等腰直角三角形，的面积为或． （4）解：∵，， ∴点E在的延长线上，或在的延长线上， ①如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点G， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为6， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． ②如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 题型四、一次函数中折叠的综合问题 典例4 （25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，是线段上的一点．若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． (1)求点的坐标； (2)点是直线上一动点，若的面积为，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数综合题，主要涉及图形的折叠，勾股定理，三角形面积的求法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点、的坐标，从而得到，的长，进而用勾股定理求得， 根据折叠可知，，，得到的长，设点的坐标为，分别表示出和，结合列方程求解即可； （2）设点，易知，从而可知点位于、两侧，分两种情况：当点在点右侧时，和当点在点左侧时，利用三角形的面积之和或之差建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：直线分别与轴、轴相交于点和点， 令，则， 令，即，解得， 点、的坐标分别为、， ，， ， 将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ，， ， 设点的坐标为，则有，， ，解得， 点的坐标为； （2）解：如图，设点， 由（1）可知，， ， 的面积为，， 点位于、两侧， 当点在点右侧时，， 解得，此时， ， 当点在点左侧时，， 解得，此时， ， 综上，点的坐标为或． 题型模版 1.特征：一次函数图象与坐标轴围成的图形沿某直线折叠，求折叠后点坐标或折痕解析式。 2.方法：利用折叠前后对应点关于折痕对称，由中点坐标和垂直斜率关系列方程，结合一次函数求解。 变式4-1（25-26八年级上·四川成都·期末）如图， 已知直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点B，且两直线交于点C． (1)求C的坐标； (2)连接，求的面积； (3)点D是线段上的一个点，将沿直线翻折，点B的对应点为，若为直角三角形且，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接联立一次函数的解析式，进一步求解即可. （2）记与轴的交点为，如图，求解，，，结合进一步求解即可. （3）如图，，证明，求解，过作于，则，，证明，，求解，由对折可设，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴. （2）解：记与轴的交点为，如图， 当时，，当，解得：， ∴，， ∵， 当时，，即， ∴ . （3）解：如图，， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 过作于，则，， 而， ∴， 由平行线间的距离相等可得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 由对折可设， ∴， ∴， 解得：， ∴. 变式4-2（八年级数学月考卷（湖北省卷专用，测试范围：人教版八下第16章~第19章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第三次月考）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，．点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)当点P经过点C时，求直线的函数解析式； (2)①求的面积S关于t的函数解析式； ②把长方形沿着折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标． (3)点P在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②点P的坐标是 (3)P坐标为或或 【分析】（1）设直线解析式为，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）①当P在段时，底与高为固定值，求出此时面积；当P在段时，底边为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式； ②设，则，根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理得出，解方程即可； （3）存在，分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可． 【详解】（1）解：∵，四边形为长方形， ∴， 设直线解析式为， 把，分别代入，得： ， 解得：， 则此时直线解析式为； （2）解：①当点P在线段上时，，高为6，， 即时，； 当点P在线段上时，，高为， ∴， ∴； ②设，则，如图2， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则此时点P的坐标是； （3）解：存在，理由为： 若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当， 在中，，， 根据勾股定理得： ， ∴，即； ②当时，过点作于点F， ∴， ∴， 此时； ③当时， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴，即， 综上，满足题意的P坐标为或或． 变式4-2（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点C，点C的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)如图1，点M为线段上一点，若，求点M的坐标； (3)如图2，点N为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D），交x轴于点E．若为直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标或． 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据（1）中所求，先求得点B的坐标，设点M的坐标为，再求得，进而得到，然后根据，用m表示出，即可解答； （3）分两种情况①当时，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接，根据折叠的性质，证明和，从而得到，进而求得即可；②当时，设点，先根据勾股定理求得，用n表示出和，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，正比例函数经过点C， ∴把代入，得， ∴ 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴， ∴， 依题意，设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； （3）解：①当时， 如图，过点C作轴于点H，过点D作的延长线于点F，连接， 则 ∵， ∴，， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴此时点的坐标为； ②当时，如图， ∵，即轴，， ∴，, ∴， 依题意，设点，则，， ∴， ∵将沿直线翻折得到（点B的对应点为点D）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点N的坐标或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．若直线与直线相交于x轴上一点，则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，两条直线在x轴上相交，先求出交点坐标，再确定参数b的值，接着找到两直线与y轴的交点，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴直线于x轴的交点为， ∵该点也在直线上， 代入得，解得， ∴直线方程为． ∵直线与y轴交点为时，，即． 直线与y轴交点为时，，即． ∴三角形的三个顶点为、和． ∴三角形的； 故选A． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，点的横坐标为4，点在线段上，则三角形的面积为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与几何图形面积问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据两点求得函数解析式，再求出点坐标，即可求得答案． 【详解】解：设直线的表达式为：， 将两点坐标代入，得：， 解得： ∴直线的表达式为：， ∵点的横坐标为4，且在线段上， ∴ ∴， 故选：A． 3．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，待定系数法求一次函数解析式等，先根据一次函数解析式求出点的坐标，进而由勾股定理和折叠的性质求出，再利用勾股定理求出点的坐标，最后利用待定系数法解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式是， 故选：． 二、填空题 5．已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题. 求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 6．直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 7．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点是直线上的一点，过点P作的垂线与x轴，y轴分别交于E，F两点，若与全等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质．先求得A，B两点的坐标，分两种情况讨论，画出图形，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】解：令，则； 令，则，解得； ∴A，B两点的坐标分别为，， 如图，， 则，， ∴E，F两点的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点P的坐标为； 如图，， 同理，E，F两点的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或， 故答案为：或． 8．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点上方时，此时， 点的坐标为； 当点在点的下方时，此时， 点的坐标为； 当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为； 由上可得，点的坐标为、或， 故答案为：、或． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与过点的直线交于点，与轴、轴分别相交于点和点． (1)求直线的表达式； (2)连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，则可得，再根据三角形的面积等于求解即可得． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将点代入得：，解得， 所以直线的表达式为． （2）解：如图，连接， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴三角形的面积为． 10．如图，在平面直角坐标系中，点 ，，．    (1)求 （求四边形 的面积）． (2)若 轴上存在一点 ，使 （三角形 的面积），求出点 坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过 作 轴于 ，根据已知得，，，，从而可得 ，进行计算，即可解答； （2）根据已知可设 ，再根据已知易得，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过 作 轴于 ．   ，，， ，，，， ， ， ， ． （2）设 ． ，， ， ， ， ， 或 ， 或 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：． (2)M的坐标为：或． 【分析】本题考查一次函数的几何问题，熟练掌握基本性质和三角形面积公式是解题关键； （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况，当分别在点的上方和下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：， ∵点、的坐标分别为、， ∴， 解得， 故直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：，的图像交坐标轴于、两点，且直线、相交于点． ∴， ∴联立解得， ∴， 如图， 当在点下方时，要使得的面积是的面积的2倍， 则点为的中点， ∴； 当在点上方时， ∵， ， 又∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵在直线上， ∴， ∴， ∴, 故M的坐标为：或． 12．如图，一次函数、为常数，且与正比例函数，交于点，与坐标轴分别交于点和点， (1)求一次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)已知过点的直线将三角形的面积分成，求该直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）根据题意得出，，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得点的坐标为，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）设过的直线交轴与点，由题意，过点的直线将三角形的面积分成，则分两种情况讨论，分别求得，，待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为：； （2）由题意，联立，解得， 点的坐标为， ∴； （3）设过的直线交轴与点，由题意，过点的直线将三角形的面积分成，则 ①当，时，点，此时的解析式为； ②当，时，点，此时的解析式为； 综上所述，此时的解析式为或． 13．如图，直线：分别交轴，轴于点， ． (1)直接写出，两点的坐标； (2)若经过点的直线交轴正半轴于点， 且，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，问：直线上是否存在一点，使的面积为？ 如果存在，请求出所有满足要求的点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积； （1）分别令，即可求解； （2）过点作⟂交于点，过点作⟂轴，作⟂，⟂．证明得出，再待定系数法求解析式，即可求解； （3）设，根据（2）得出，进而得出，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由， 当时，，当时， ∴， （2）解：如图，过点作⟂交于点，过点作⟂轴，作⟂，⟂． ， 为等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， ， ∴ 设直线为 则， 解得∶ ∴ （3）解：由（2）得直线为 ∴ ∴ 设,则 解得：或 ①当点在直线下方时， 即 ②当点在直线上方时， 即P 综上，P点坐标为或时，的面积为． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，直线交于点E． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)y轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)直线的解析式为 (3)或 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，勾股定理；，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直线中，分别令，确定B、A坐标，得到，再运用勾股定理计算即可； （2）根据折叠的性质确定的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）设，根据列方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，即， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴； （2）解：由翻折得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：设， ∵，，，，且， ∴， 解得：或12， ∴点P坐标为或． 15．如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 16．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $