第十二章 三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北京版八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 5．如图．在中，，，将沿折叠．使点B落在边上的点E处，折痕为，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 8．如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 10．在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则不可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．在中，为边上的高，，，则___________． 12．如图，，点在上，，，则________． 13．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 14．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 16．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 17．如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 18．如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 三、解答题（共8小题，共48分） 19．（5分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． (1)请在图中画出； (2)直接写出边上的高 ． 20．（8分）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 21．（8分）如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． (1)请你依据题意，补全图形； (2)试判断线段与线段的位置关系，并证明； (3)若，求证：点是线段的中点． 22．（8分）如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 23．（9分）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 24．（10分）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章三角形·参考答案 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 0 C E B y & C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.85°或15 12.105°/105度 13.11或13 14.6或1212或6 15. x2+32=(10-x)2 16. 5 8.5 12 17 17.8 18.①③ 三、解答题（共8小题，共48分） 19.(5分) 【详解】(1)解：图略， :AB=32+2=V10AC=V32+42=5 ∴△ABC即为所求作的： 1 (2)解：SMc 2*5x3=1 *5xh h=3 20.(8分) 【详解】(1)证明：证明：：∠BAF=∠CAE, .∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC. ∴.∠BAC=∠FAE AB=AD,∠B=∠D, 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .aABC≌△ADE(ASA) ∴.BC=DE (2)解：∠B=35°， .∠D=∠B=35° ,∠GFD=∠AFB=78 ∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67°， DE AC ∴.∠ACG=∠DGB=67° .∠CAB=∠ACG-∠B=67°-35°=32°（三角形外角性质）· 21.(8分) 【详解】(I)如图，即为所求： M G (2)AB⊥EF, 证明：如图所示， M .CE=BC,I=∠2，CF=DC, ACBD≌△CEF(SAS) ∴.LE=∠DBC, .EF∥BD, ,AB⊥BD, .AB⊥EF; (3)证明：如图所示， 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M G H R E D 由题意得，AC⊥AB! :EF⊥AB, .ME∥AC, ∴.∠CGE=∠ACG ,CH是∠ACE的角平分线， ∴.∠ACG=∠ECG」 .∠CGE=∠ECG, ∴.EG=EC, .BC=CE, ..EG=CB, .△CBD≌aCEF, .EF BD, 又：BC=AB+BD,AB=AC, .'EG=AB+BD=AC+EF, EG=FG+EF. ∴.FG+EF=AC+EF, ∴.AC=FG AC∥FG, .∠HAC=∠HFG, 在△AHC和△FHG中， [∠HAC=∠HFG ∠AHC=∠FHG AC=FG △AHC≌AFHG(AAS) 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AH=HF. 22.(8分) 【详解】(I)证明：如图，过点E分别作EF⊥OB,EG⊥OC,垂足分别为点F、G, :点E是∠BOC平分线上的一点， ∴.EF=EG, ME =NE RtAEFM≌RtAEGN(HL) .∠OME=∠ONE, 设EM、ON交于点G, ,∠MHO=∠EHN, .∠MEN=180°-∠EHN-∠EWG=180°-∠MHO-∠EMF=∠AOC: A M D H G (2) 解：补全图形如下： AM OG D F 之间的数量关系为： B NF,OG,OM OM=NF+OG 证明如下： 如图，在线段OM上截取 ,0G1=0G OE平分∠BOC, .∠EOB=∠EOC. ∠BOD=∠AOC. .∠EOB+∠BOD=∠AOC+∠EOC, ∠EOG=∠EOG 即 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0G,=0G.0E=0E △EOG≌△EOG(SAS) EG=EG∠OGE=∠OGE EF=EG, EF=EG,∠OGE=LOFE ∠OFE=∠OGE 由(1)知∠OWE=∠OME ∠OFE-∠OWE=∠OGE-∠OME ∠FEN=∠GEM 即 ..EN EM 、△ENF≌aEMG(SAS) NF=MG OM=MG+OG=NF+OG 23.(9分) 【详解】(I)解：，AD是BC边上的中线， .BD=CD 又：∠ADC=∠BDE,DE=AD, ,△ADC≌△EDB(SAS) ∴由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是SAS, (2)解：：△ADC≌aEDB, 六BE=AC=6,D=DE 2E, ∴.AE=2AD, 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .8-6<2AD<8+6, .1<AD<7: (3)解：如图，延长AD,EC交于点F, E D 图2 .CE⊥BC,∠ABD=90°， ∴.∠DCE=∠DCF=90°=∠ABD. ,AD是△ABC的中线， .'BD DC, 又：∠ADB=∠FDC. △ABD≌△FCD(ASA) .AD=FD,CF=AB=2. .∠ADE=90° .AE=EF=EC+CF=4+2=6 24.(10分) 【详解】(1)解：①·∠B=∠D=∠ACE=90°，∠A=70°， ∴.∠ACB=90°-∠A=90°-70°=20°， .∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=180°-20°-90°=70°： ②如图，由O知2CBD=90°-∠BCD=90°-(90°-∠ACB)=∠ACB=90°-∠BMC 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F BM D PA平分∠BAC,PE平分∠CED, BAM-BAC.ZNED-CED ·∠B=∠D=90°， :.∠BM=90°-∠BAM=90°-)∠BAC, 2 ∠END=90°-∠NED=90°-I∠CED. :∠PMN=∠BMA=90°-)∠BAC. 2 ZPNM=∠EWD=90°-)∠CED ∴.∠APE=180°-∠PWM-∠PMN -CED+BAC =9o-∠B4C)+5BaC =45°： (2)略 (3)解：①如图，同理可得∠BAC=∠DCE, 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E GD ∠B=∠D=a, ∠BAD=180°-2a; 由题意知，∠BAF=)∠BAC,∠GBD=∠CBD. 2 21 :∠FAD=∠BAD-∠BAF=180°-2a-}∠BAC, .AF∥EG, ∴.∠FAD=∠GED, 180°-2a-2∠BAC=号∠CE 2 即(2cED+∠B4C)=180-2a, ,∠BAC=∠DCE. ÷2(ED+∠Dc)=I180-2a ÷2080-∠D)=180-2a. 080-a)=180-2a, 解得α=60°： ②如图， 8/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B F :PA平分∠BAC,PE平分∠CED, &∠BMF=BAC,∠GED-<CED, 2 ∠B=∠D=a, :∠BFA=180°-∠B-∠BAF=180°-a-∠BAC ∠EGD=180°-∠D-∠GED=180°-a-2 ∠CED 2ZBAC :∠PFG=∠BFA=180°-a- ∠PGF=∠EGD=180-a-1∠CED ∴.∠APE=180°-∠PFG-∠PGF =18w-(w-aa4cso-ac0） -2ZCED41 BAC+2a-180° =1∠CED+5∠DCE+2a-180° 2 =080-∠Dj+2a-180 =080°-a)+2a-180 3 a-90° 2 9/8 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 3．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 4．如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得，平分，，可得，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分，， ∴， ∴． 5．如图．在中，，，将沿折叠．使点B落在边上的点E处，折痕为，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据翻折的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴． 6．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 8．如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断是等腰三角形，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而由全等性质得到，再由等腰三角形性质得到即可得到答案． 【详解】解：在中，，则, ， ，解得， ， 则， ， ， ， 在和中， ， ， 在等腰中，，，则由等腰三角形性质可得， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等的判定与性质是解决问题的关键． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：C 10．在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则不可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查三角形高线、中线、角平分线的位置判断，利用可推得高线、角平分线都落在上距离端小于的位置，中线恰好落在处，结合的条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，设中点为，则， ， 比更靠近点， 若是的高， ， ，， ， ，即， 取为中点，满足，此时是中线， 故①正确； ②若是中线，则，可得， 而由①知高的垂足一定满足， 不可能是高的垂足，即不可能是高， 故②正确； ③若是角平分线，过点作于点， 由角平分线的性质定理可得：的边上的高与的边上的高相等， ， ， 又，， ， ， 同①可得，取为中点，满足，此时是中线， 故③正确； ④若是高，取角平分线对应的点满足，符合条件， 可能是角平分线， 故④错误； 综上，正确结论为①②③． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．在中，为边上的高，，，则___________． 【答案】或 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在的内部，在的外部，分别求得的度数． 【详解】解：∵为边上的高， ∴，即， ∵， ∴， ①如图，当在的内部时， ∴； ②如图，当在的外部时， ∴． 综上所述，或． 12．如图，，点在上，，，则________． 【答案】/105度 【分析】根据全等三角形对应角相等，先得到，再结合三角形外角性质计算． 【详解】解：， 有． 在中，是的外角： ． 13．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和平方数的非负性求出和的值，再分情况讨论腰长，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 若是腰长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为； 若是底边长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 综上，的周长为或． 14．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理列出方程即可. 【详解】解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则折断后竹子顶端到折断处的长度为 尺， 根据勾股定理，得. 16．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 17．如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 18．如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】连接，根据等腰直角三角形性质，推出，，，进而证明，结合全等三角形性质即可判断①，利用全等三角形性质，结合勾股定理即可判断②，设，根据等腰直角三角形性质，勾股定理，以及垂线段最短，推出与的面积关系，即可解题． 【详解】解：连接， ，， ， D是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 故①结论正确； ， ， ， ， ， ， 故②结论错误； 设， 则的面积为， ， ， 当时，最小， 此时，且的面积为， 当与重合时，最大， 此时，且的面积为， 不与点A，C重合， 的面积取不到， 即若，的面积分别为，， 则， 故③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共48分） 19．（5分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． (1)请在图中画出； (2)直接写出边上的高 ． 【答案】(1)如图，即为所求作的； (2) 【分析】（1）根据勾股定理画出即可； （2）根据等面积法即可得解． 【详解】（1）解：图略， ，， 即为所求作的； （2）解：， ． 20．（8分）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 21．（8分）如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． (1)请你依据题意，补全图形； (2)试判断线段与线段的位置关系，并证明； (3)若，求证：点是线段的中点． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)， 证明：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)证明：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合平行线的判定证明即可； （3）根据角平分线以及平行线的性质证明，得到，进而证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．（8分）如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图，过点E分别作，垂足分别为点F、G， ∵点E是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点G， ∵， ∴； (2) 解：补全图形如下： 之间的数量关系为：． 证明如下： 如图，在线段上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵． 【分析】（1）过点E分别作，垂足分别为点F、G，则由角平分线性质定理得，从而可证明，得，再由三角形内角和定理即可求证； （2）依题补全图形即可；在线段上截取，先证明，得；再证明，得，再由即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． 23．（9分）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1)B (2)C (3)6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长，交于点F，证明，得到，，然后利用垂直平分线性质求解． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴由已知和作图能得到的理由是； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点F， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 24．（10分）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 10/25 9/25 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（   ） A．152° B． C． D． 5．如图．在中，，，将沿折叠．使点B落在边上的点E处，折痕为，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 8．如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（    ）． A．1m B． C． D． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 10．在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则不可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．在中，为边上的高，，，则___________． 12．如图，，点在上，，，则________． 13．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 14．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 16．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 17．如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 18．如图，在中，，，D是边的中点，E是边上的动点（不与点A，C重合），连接，作，交于点F，连接．有下列三个结论： ①，②，③设，的面积分别为，，则． 其中正确的是______（填所有正确结论的序号）． 三、解答题（共8小题，共48分） 19．（5分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． (1)请在图中画出； (2)直接写出边上的高 ． 20．（8分）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 21．（8分）如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． (1)请你依据题意，补全图形； (2)试判断线段与线段的位置关系，并证明； (3)若，求证：点是线段的中点． 22．（8分）如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 23．（9分）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 24．（10分）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 6/7 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $