专题11 一次函数的图象和性质的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题11 一次函数的图象与性质的九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一次函数的定义求参数 题型二、一次函数的图象和性质 题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型四、已知一次函数经过的象限求参数 题型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 题型六、根据一次函数的增减性求参数 题型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型八、画一次函数的图象 题型九、一次函数的平移问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及y=kx+b的图象画法、象限分布、增减性、平移及与坐标轴交点，常与方程、不等式结合。 - 解题方法：k定方向（k>0上升，k<0下降），b定与y轴交点；图象平移“左加右减、上加下减”；求交点联立方程；比较函数值用图象高低。 - 易错提醒：平移时括号内符号处理错误；忽略k≠0条件；增减性描述未限定区间；与不等式结合时边界取舍（实心/空心）出错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一次函数的定义求参数 典例1（26-27八年级上·全国·单元复习）若函数是一次函数，则________． 【答案】3 【分析】根据一次函数的定义，需满足自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 即且， ∴． 题型模版 1.特征：函数形如y=kx+b\)（k≠0），自变量次数为1，求待定字母满足的条件。 2.方法：由定义列方程（x次数为1）和不等式（k≠0），解出参数并检验。 变式1-1（25-26八年级上·安徽·期末）已知是一次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的两个条件是解题关键． 根据一次函数的定义，的指数必须为且系数不为零，据此进行计算． 【详解】解：是一次函数， ，即， 系数为， ，即， 可得． 故答案为：． 变式1-2（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 题型二、一次函数的图象和性质 典例2（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）对于函数，下列结论正确的是（     ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第二、四象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】先由一次项系数符号判断函数增减性，再结合常数项符号、代入点坐标的方法验证其余选项． 【详解】解：函数解析式为，其中，， 选项A，将代入解析式，得， ∴图象经过点，不经过，选项不符合题意； 选项B，∵，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项不符合题意； 选项C，∵， ∴y的值随x值的增大而增大，且时， ∴当时，，选项不符合题意； 选项D，∵， ∴的值随值的增大而增大，选项符合题意． 题型模版 1.特征：图象为直线，k决定倾斜方向与增减性，b决定与y轴交点位置。 2.方法：取两点（如与坐标轴交点）描点连线；由k正负判断增减，b定截距，结合图象分析性质。 变式2-1（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）关于函数，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数的、符号，再结合一次函数的性质判断各选项正误即可． 【详解】解：函数为一次函数，其中，， 将代入表达式，得，故选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴随的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 由随的增大而减小可知，当时，，故选项C说法错误，符合题意； ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，故选项D说法正确，不符合题意． 变式2-2（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（） A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值 C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的解析式求得，结合给定自变量的范围求得函数值的范围即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴， ∴y随x的增大而减小， 则当时，函数y有最大值，故A不符合题意； 当时，函数y有最小值，故B不符合题意； 当自变量x满足，函数y满足，故C符合题意，D不符合题意． 题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 典例3（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第________象限 【答案】 三 【分析】提取一次函数的系数和常数项，根据系数符号判断图象经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】∵ 一次函数中，，， ∴ 一次函数的图象经过第一、二、四象限． ∴ 图象不经过第三象限． 题型模版 1.特征：由解析式y=kx+b中k、b的符号，判断直线经过哪几个象限。 2.方法：k>0过一三，k<0过二四；b>0交y轴正半轴，b<0交负半轴，组合判断象限。 变式3-1（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 【答案】 第二 【分析】根据直线经过的象限判断和的符号，再根据符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：∵直线 经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，即， 对于直线，∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限， ∴直线不经过第二象限． 变式3-2（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过第_______象限． 【答案】二 【详解】解：一次函数的常数项为， ∴函数图象与轴交于负半轴， ∵一次函数且随的增大而增大， 函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 题型四、已知一次函数经过的象限求参数 典例4（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么常数的值可以是_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质得出，即，据此即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得， ∴常数的值可以是（答案不唯一）． 题型模版 1.特征：已知直线经过的象限，反推解析式中k、b的符号，求参数范围。 2.方法：根据所过象限列出k、b的不等式组（如过一、三、四象限则k>0,b<0），解不等式求参数范围。 变式4-1（25-26八年级下·湖北荆门·期末）若一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是_______．（写出一个符合题意的值即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数图象经过的象限，可确定一次项系数的符号，得到的取值范围后，任取一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴在范围内任取一个值，可得（答案不唯一）． 变式4-2（2026·四川成都·三模）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质，结合图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解： 一次函数的图象不经过第三象限，该一次函数的一次项系数为，直线必过第二，四象限， 常数项需满足， 解得：． 题型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 典例5（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）若点，都在一次函数的图象上，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在一次函数的图象上，， ∴. 题型模版 1.特征：已知一次函数解析式及若干自变量值，比较对应函数值大小，需看增减性。 2.方法：由k的符号判断增减：k>0时y随x增大而增大，k<0时相反，再比较自变量大小得函数值大小。 变式5-1（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）若函数上存在两点，，若，则______． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，结合即可比较和的大小． 【详解】解：∵点 、在一次函数上，且函数的比例系数， ∴ 随的增大而减小； 又∵ ， ∴ ． 变式5-2（26-27八年级上·重庆·阶段检测）已知一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为________（用符号连接） 【答案】 【分析】先判断一次函数的增减性，再比较三个点横坐标的大小，根据增减性推导纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∵三个点的横坐标分别为，，，且满足， ∴对应纵坐标的大小关系为． 题型六、根据一次函数的增减性求参数 典例6（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 【答案】 【分析】已知，一次函数随的增大而增大，可得取最大值时对应的值，代入列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数中，随的增大而增大， ∵当时，的最大值为， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得． 变式6-1（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数，当时，，则a的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， 当时，， ∴． 变式6-2（25-26八年级下·上海·期中）已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论，确定最大值对应的自变量取值，列方程求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随的增大而增大， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得； ②当时，一次函数随的增大而减小， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得， 则的值为或． 题型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 典例7（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）直线与x轴交于点A，则点A的坐标为____________________ 【答案】/ 【分析】将代入即可求出横坐标，得到点A的坐标． 【详解】解：∵直线， 令，得， 解得， ∴点A的坐标为． 题型模版 1.特征：求一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，或由交点求解析式、面积。 2.方法：令y=0求x轴交点，令x=0求y轴交点；已知交点坐标代入解析式求参数，再算围成三角形面积。 变式7-1（26-27八年级下·全国·课后作业）直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 【答案】 【分析】令，求解关于的一元一次方程，可得直线与轴的交点坐标；将代入直线，求出可得直线与轴的交点坐标． 【详解】解：求直线与轴的交点坐标： 令，得， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； 求直线与轴的交点坐标： 将代入直线，得， ∴直线与轴的交点坐标为． 变式7-2（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先求出一次函数与坐标轴交点坐标，再利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：当时，，得到与轴交点； 当时，，解得，即与轴交点． 坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为和． ， ， ， ， 解得：． 题型八、画一次函数的图象 典例8（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该图象经过哪几个象限？y随x的增大如何变化？ (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)如图， (2)该图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据列表、描点、连线画出函数的图象即可； （2）由函数图象可得结论； （3）由函数图象可得结论． 【详解】（1）解：列表得： x ⋯ 0 2 ⋯ y ⋯ 4 0 ⋯ 描点、连线，如图； （2）解：由图象知：该图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小； （3）解：由图象知：当时，x的取值范围是． 题型模版 1.特征：根据解析式在坐标系中画出直线，需确定两个关键点（如与坐标轴交点）。 2.方法：列表取两点（常取x=0和y=0），描点连线，注意直线延伸方向与k、b符号一致。 变式8-1（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 【答案】(1)，； (2)解：列表， 描点，连线，   ；；； 【分析】由一次函数即可得出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标； 先画出图象，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由一次函数得 当时，， 解得； 当时，， ∴点的坐标为，与轴交点的坐标为， （2）解：由图象可知：当时，， 由图象可知：当时，的取值范围为， 由图象可知：当时，的取值范围， 变式8-2（25-26八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】(1)1 (2)如图所示： (3)函数有最小值，当时，有最小值，最小值是 (4) 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）略 （3）略 （4）解：∵（其中）， ∴当时，函数有最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵， ∴到的距离小于3到的距离， ∴当时，函数值最大为， 解得. 题型九、一次函数的平移问题 典例9（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 题型模版 1.特征：直线上下或左右平移，解析式变化遵循“上加下减，左加右减”规律。 2.方法：上下平移改变b值（上加下减）；左右平移改变x（左加右减），代入新解析式整理。 变式9-1（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2或 【分析】（1）根据一次函数中，时，函数是正比例函数，可得答案． （2）根据一次函数图象平行时，的值相等列方程求解即可； （3）根据一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，可得答案． （4）①根据一次函数中，时，y随x的增大而增大，则当时，最大值是4，②根据一次函数中，时，y随x的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数与直线平行， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象不经过第一象限， ∴， 解得； （4）解：①当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得； ②当时，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得． 综上，m的值为2或． 变式9-2（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特点是解题关键．根据一次函数中的即可得． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的概念，一般地，形如（是常数）的函数，叫做一次函数．当时，函数为，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．据此解答即可． 【详解】解：①是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②是一次函数，符合题意； ③中不是整式，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ⑤中x的次数是2，不符合题意； 综上，共有3个一次函数． 故选：B． 3．已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线中，推出随的增大而减小，进而根据，即可判断一次函数值的大小． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， 在直线上，且， ； 故选：C． 4．一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和轴交点的关系，根据已知方程的解确定交点坐标即可． 【详解】解：函数的图象与轴有交点， 此时的， 即， 一元一次方程的解是， 即为该交点的横坐标， 函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：B． 5．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数图像和性质逐项判断即可． 【详解】一次函数的图象与轴的交点坐标是，故本选项不符合题意； ②一次函数的图象经过第一、二、四象限，正确，故本选项符合题意； ③若两点在该函数图象上， ∵，y随x的增大而减小， ∴时，，不正确， 故本选项不符合题意； ④一次函数的图象向上平移1个单位长度得的图象，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的大致图象是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先求出该一次函数与轴的交点坐标为，再结合题意可得一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，故该一次函数与轴的交点坐标为， ∵一次函数，且随着的增大而减小， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图所示： 故选：A． 二、填空题 7．已知点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点P坐标代入中求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， 故答案为：4． 8．一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 9．已知一次函数，点，为函数图像上两点，则a与b的大小关系为a b．（填） 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像的性质，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，即可求解． 【详解】解：中， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 10．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得到关于的不等式组，然后解不等式组即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性得到，求出不等式的结果即可． 【详解】解：函数，y随x的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 三、解答题 13．已知一次函数，它的图象经过． (1)求y与x的函数关系式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法进行计算即可． （2）将点P坐标代入（1）中所得解析式进行验证即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：点P不在该函数图象上， 将代入得，， ∴点P不在该函数图象上． 14．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题关键是（1）利用待定系数法求出k值；（2）根据三角形的面积公式求出P点的纵坐标． （1）依据题意，将点E的坐标代入一次函数解析式中，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）依据题意，结合（1）中得k值可得出一次函数解析式，由点E的坐标可得出线段的长度，根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入一次函数解析式中即可求出点P的横坐标，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，将点代入到中， ∴， ； （2）解：， ∴直线的解析式为：， ∵点E的坐标为， ∴， ， ， 当时，， ， ∴当的面积为2时，点P的坐标为． 15．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，当时，，求出的值即可； （）把代入即可求解； （）将代入即可求解； （）因为，，所以随的增大而增大，然后由即可求解． 【详解】（1）解：设， 当时，， 所以， 解得， 所以， 即； （2）解：当时，； （3）解：将代入， 得，解得； （4）解：因为，， 所以随的增大而增大， 当时，；当时，； 又因为， 所以． 16．已知一次函数． (1)若图象过点，求的值； (2)若图象经过第一、三、四象限，求的取值范围； (3)在(1)的条件下，若点和点在一次函数的图象上，直接写出，，0的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由图象过点，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由图象经过第一、三、四象限，则＞，且＜，进而计算可以得解； （3）依据题意，结合（1）中，，则，从而当时，，且随的增大而减小，结合，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点 ， 解得. （2）一次函数的图象经过第一、三、四象限 解得 （3）由题意，由（1）可得：， ． 当时，，且随的增大而减小． 又， 17．通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 【答案】(1)，5 (2)见详解 (3)点不在函数图象上,点在函数图象上 【分析】本题考查的是函数图象，判断点是否在图象上，解题的关键是通过描点画出函数图象，从表格中读取相关的信息． （1）利用函数解析式进行求的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）将点的横坐标代入解析式，得到的函数值和纵坐标进行比较即可． 【详解】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； 故答案为：，5； （2）解：如图所示； （3）解： 当时，，， ∴点不在函数图象上； 当时，，， ∴点在函数图象上； 18．如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)_________，__________； (2)若点在射线上，且，求点的坐标． (3)若点在直线上，且到直线的距离等于．求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）把代入直线中，可直接求出的值；再把点的坐标代入中，即可求出的值； （2）先根据得，，进而可求出，的面积，设，由，则，代入数据求解即可； （3）分两种情况：当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点，得到，即点到直线的距离等于4，证得，得到点的坐标，再由待定系数法求得直线解析式即可求解；当在轴上方时，同理即可求解． 【详解】（1）解：把代入直线得，， ∴， ∵直线过点， ∴，解得：， 故答案为：，； （2）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上，且， ∴点在轴下方， 如图，设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴； （3）解：如图，当在轴下方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴到直线的距离等于4， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 如图，当在轴上方时，过作，在射线上截取，过作交于点，过作轴于点，过作交于点， 同理：，， ∴， ∵， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 由（1）得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴； 综上可知：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一次函数的图象与性质的九类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一次函数的定义求参数 题型二、一次函数的图象和性质 题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型四、已知一次函数经过的象限求参数 题型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 题型六、根据一次函数的增减性求参数 题型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型八、画一次函数的图象 题型九、一次函数的平移问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及y=kx+b的图象画法、象限分布、增减性、平移及与坐标轴交点，常与方程、不等式结合。 - 解题方法：k定方向（k>0上升，k<0下降），b定与y轴交点；图象平移“左加右减、上加下减”；求交点联立方程；比较函数值用图象高低。 - 易错提醒：平移时括号内符号处理错误；忽略k≠0条件；增减性描述未限定区间；与不等式结合时边界取舍（实心/空心）出错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一次函数的定义求参数 典例1（26-27八年级上·全国·单元复习）若函数是一次函数，则________． 题型模版 1.特征：函数形如y=kx+b\)（k≠0），自变量次数为1，求待定字母满足的条件。 2.方法：由定义列方程（x次数为1）和不等式（k≠0），解出参数并检验。 变式1-1（25-26八年级上·安徽·期末）已知是一次函数，则的值为______． 变式1-2（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知：是关于的一次函数，则________． 题型二、一次函数的图象和性质 典例2（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）对于函数，下列结论正确的是（     ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第二、四象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 题型模版 1.特征：图象为直线，k决定倾斜方向与增减性，b决定与y轴交点位置。 2.方法：取两点（如与坐标轴交点）描点连线；由k正负判断增减，b定截距，结合图象分析性质。 变式2-1（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）关于函数，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 变式2-2（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（） A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值 C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值 题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 典例3（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第________象限 题型模版 1.特征：由解析式y=kx+b中k、b的符号，判断直线经过哪几个象限。 2.方法：k>0过一三，k<0过二四；b>0交y轴正半轴，b<0交负半轴，组合判断象限。 变式3-1（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 变式3-2（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过第_______象限． 题型四、已知一次函数经过的象限求参数 典例4（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么常数的值可以是_________（写出一个即可）． 题型模版 1.特征：已知直线经过的象限，反推解析式中k、b的符号，求参数范围。 2.方法：根据所过象限列出k、b的不等式组（如过一、三、四象限则k>0,b<0），解不等式求参数范围。 变式4-1（25-26八年级下·湖北荆门·期末）若一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是_______．（写出一个符合题意的值即可） 变式4-2（2026·四川成都·三模）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 题型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 典例5（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）若点，都在一次函数的图象上，则______． 题型模版 1.特征：已知一次函数解析式及若干自变量值，比较对应函数值大小，需看增减性。 2.方法：由k的符号判断增减：k>0时y随x增大而增大，k<0时相反，再比较自变量大小得函数值大小。 变式5-1（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）若函数上存在两点，，若，则______． 变式5-2（26-27八年级上·重庆·阶段检测）已知一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为________（用符号连接） 题型六、根据一次函数的增减性求参数 典例6（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 变式6-1（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数，当时，，则a的值为______． 变式6-2（25-26八年级下·上海·期中）已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 题型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题 典例7（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）直线与x轴交于点A，则点A的坐标为____________________ 题型模版 1.特征：求一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，或由交点求解析式、面积。 2.方法：令y=0求x轴交点，令x=0求y轴交点；已知交点坐标代入解析式求参数，再算围成三角形面积。 变式7-1（26-27八年级下·全国·课后作业）直线与轴的交点坐标为___，与轴的交点坐标为___． 变式7-2（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 题型八、画一次函数的图象 典例8（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该图象经过哪几个象限？y随x的增大如何变化？ (3)当时，求x的取值范围． 题型模版 1.特征：根据解析式在坐标系中画出直线，需确定两个关键点（如与坐标轴交点）。 2.方法：列表取两点（常取x=0和y=0），描点连线，注意直线延伸方向与k、b符号一致。 变式8-1（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数，完成下列问题：    (1)其图象与轴交点的坐标为（________）、与轴交点的坐标为（________）； (2)画出该函数的图象，并根据图象回答： 当_________时，； 当时，的取值范围为_________； 当时，的取值范围_________． 变式8-2（25-26八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 2 0 0 1 2 3 4 … 其中______； (2)在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ (4)已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 题型九、一次函数的平移问题 典例9（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 题型模版 1.特征：直线上下或左右平移，解析式变化遵循“上加下减，左加右减”规律。 2.方法：上下平移改变b值（上加下减）；左右平移改变x（左加右减），代入新解析式整理。 变式9-1（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 变式9-2（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 4．一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 6．已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的大致图象是（　　） A．B．C． D． 二、填空题 7．已知点在一次函数的图象上，则 ． 8．一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 9．已知一次函数，点，为函数图像上两点，则a与b的大小关系为a b．（填） 10．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 11．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 三、解答题 13．已知一次函数，它的图象经过． (1)求y与x的函数关系式； (2)判断点是否在该函数图象上． 14．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 15．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)设点在这个函数图象上，求的值； (4)若的取值范围是，求的取值范围． 16．已知一次函数． (1)若图象过点，求的值； (2)若图象经过第一、三、四象限，求的取值范围； (3)在(1)的条件下，若点和点在一次函数的图象上，直接写出，，0的大小关系． 17．通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 18．如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)_________，__________； (2)若点在射线上，且，求点的坐标． (3)若点在直线上，且到直线的距离等于．求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $