11.2一次函数的图像与性质（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数图像与性质，按基础应用到综合拓展分层设计题型，覆盖核心考点与数学思维 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增减性比较大小|3题|给定两点坐标比较函数值|从k值符号判断增减性，体现抽象能力| |图像平移规律|4题|含实际情境的平移应用|平移规律与坐标计算结合，培养几何直观| |k,b与象限位置|5题|多参数符号判断图像位置|k,b符号与象限关系的推理，发展推理意识| |几何综合应用|3题|与平行四边形、矩形结合|函数图像与几何图形性质融合，提升应用意识|

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.2一次函数的图像与性质 A 基础达标题 题型一利用一次函数的增减性比较大小 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】C 题型二一次函数图像的上下平移规律 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】7 4. 【详解】(1)解：设光束L2所在直线的解析式为y=x+b, 将M(3,-3)及N 2'2代入， 19 [-3=3k+b k=-3 得91k+b' 解得 22 b=6’ ·光束L2所在直线的解析式为y=-3x+6; (2)解：设点P的横坐标为a, ·点P的坐标为(a,6), “点P在光束L上 6=045. 解得a=2, 即点P的坐标为(2,6， 由题意，经过平移后L2所在直线的解析式为y=-3x+6+m, 将点P(2,6的坐标代入，得6=-3×2+6+m, 解得m=6 题型三根据一次函数k,b的符号确定直线在坐标系中的位置 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】A 题型四根据一次函数的增减性求字母的取值范围 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】2 4.【答案】9 题型五一次函数开放性问题 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】①②④ B 能力提升题 题型一一次函数的最值问题 1【答】 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】2或-8 6.【答案】B 题型二函数图像共存问题 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三根据一次函数图像与几何图形的位置情况求字母的值或取值范围 1【答案】月 2.【答案】A 3.【答案】2≤d≤4 4. 【详解】(1)解：设直线1的解析式为y=x+b, :点A6,0),B(0,3, [6k+b=0 b=3 1 k=- 解得 2, b=3 直线1的解析式为y= 2+3, :点M(a,2)是直线1上一点， 2=-1 a+3,解得a=2: (2)解：由(1)得：点M2,2), :点A(6,0),与y轴交点B(0,3, ∴.OA=6,OB=3, 6S0BE70A:0B=-x3x6=9 2 :直线MN将AOB分成面积相等的两部分， SN=AN=x9 AW=9 , ON =0A-AN -3 , (3)解：设直线MN的关系式为y=mr+n, 起点2，N(0]代入商： 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2m+n=2 2 m+n=0' m=4 解得： n=-6’ 直线MN的关系式为y=4x-6. 题型四一次函数探求规律题 1.【答案】4 9 2.【答案】(45，-45) 3.【答案】1282 4.【答案】(2024-1,204) 题型五新定义问题 1.【答案】1或3 3 【详解】（1)解：A(2,3),a=2>1, b'=2b=6, :（2,3“友谊点”为2,6)； (2)解：：A-2,m,a=-2<1, b'=-b=-m, :点(2，m)的“友谊点”为-2，-m, :点(-2，m)的“友谊点”(-2，-m在函数y=3x的图象上， -m=3×-2), .m=6; (3)解：：点A(a,b)2≤a≤4)在函数y=x+2的图象上， .b=a+24≤b≤6， :a22>1, b'=2b, .8≤b'≤12 4/13 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3. 【详解】(1)解：：2+2=4， A是“垂距点”， .B是"垂距点”， :1+5=6≠4， ∴C不是“垂距点”， 综上所述是“垂距点”的点为A,B; 3111 (2)由题意可 5+54, 2m=4, 解得m=±2； (3)如图，取点E(0,4),F(4,0),G(-4,O),连接EF,EG,在EF上取一点P,过点P作PN⊥OF于 点N, 4E G -4 0 4若 :.四边形OMPN是矩形， .PN =OM .OE=OF, .∠0EF=45°， ∴.PM=EM, ∴PM+PN=EM+OM=4, 线段EF上的点是“垂距点”， 同理，线段EG上的点也是“垂距点”， 将点(2,3)代入一次函数y=kx+b(k≠0)得3=2k+b, 即b=3-2k,y=kx+3-2k, 5/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当直线y=x+3-2k经过点E(0,4)时，4=3-2k, 解得= 当直线y=x+3-2k经过点F(4,0)时，0=4k+3-2k, 解得k=-3 3 观察图象得k<-三或k>-一时满足条件， 2 3 则k的取值范围为k< 或>且k0. 2 题型六一次函数面积问题 1.【答案】C 2. 【详解11)解：把成4a代入直线y=方，行0=， a=-2, :点A的坐标为-2,1， :B(-3,0),A-2,1都在y=kx+bk≠0)上， 「-2k+b=1 -3k+b=0 ,k=1 解得b=3 :直线BC的表达式为y=x+3, (2)解：：直线BC的表达式为y=x+3, :当x=0时，y=3, :点C的坐标为(0,3). A-2,1 1 S△400=7×3×2=3， 2 即△A0C的面积为3. (3)解：S4oc=3,SPoB=2S40c, S.P0B=6, 6/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B-3,0, .0B=3 设P(m,m+3), 则与x3×m+到=6， 解得：m=1或m=-7. :点P的坐标为1,4)或(-7，-4). 拓展培优题 题型一一次函数的图像与k的关系 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】-2 题型二利用轴对称性求一次函数的解析式 1.【答案】D 题型三一次函数类比探究题 1. 【详解】解：①将m=1代入直线方程，得y=x-2, 令y=0,即x-2=0,解得x=2, 所以当m=1时，直线y=x+m-3(m为常数)与x轴交点为(2,0)， 故①是真命题： ②将1,1代入y=x+m-3,得m-2=1, 解得m=1或3； 故②是真命题； ③令y=x+m-3=0,解得x=3-m, 所以函数y=x+m-3图象与x轴交点为3-m,0), 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故③是假命题； ④由③知函数y=x+m-3的顶点坐标为(3-m,0), 当x≥3-m时，y随x的增大而增大， 当x≥1时，y随x的增大而增大，则3-m≤1，解得m≥2， 故④是真命题. 所以其中是真命题的有①②④， 2. 【详解】解：探究一：(1)把x=1代入y2=x-1+1得：a=1-+1=1, 填表如下： 。· -1 0 1 2 3 y 3 2 1 2 (2)y2=x-1+1函数图象，如图所示： V 6 5 4 -54-32110123456x (3)当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大；当x=1时，y有最小值： 探究二：根据函数图象可得，函数y的图象是由函数y的图象向右侧平移1个单位长度得到的. 探究三：：函数是由y=x+1向右平移个单位长度得到， 3=x-n+1, :当2≤x≤4时，该函数的最大值为4， 当x=2时，y3=4或当x=4时，y=4, 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴2-n+1=4或4-n+1=4, 即2-n=3或4-n=3, 当2-n=3时，解得：n=5或n=-1, n=5时，月3=x-5+1,当2≤x≤4时，⅓的最大值为4，符合题意： n=-1时，y3=x+1+1,当2≤x≤4时，⅓的最大值为6，不符合题意： 当4-n=3时，解得：n=1或n=7, n=1时，八3=x-1+1，,当2≤x≤4时，的最大值为4，符合题意： n=7时，y3=x-7+1,当2≤x≤4时，⅓的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5. 3. 【详解】(1)解：将x=1代入y=x-1-3,得：y=1-1-3=-3; 将x=3代入y=x-1-3,得：y=3-1-3=-1; 故a=-3,b=-1, 故答案为：-3，-1： (2)如图即为所求， 5 3 3-210 12345x -3 (3)①根据图象可知当y=1时，x的值是-3或5； 故答案为：-3或5 9/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②观察函数图象，由图象可知，函数y=x--3存在最小值，为-3；： (4)解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x=1; ②当x>1时，y随x的增大而增大： ③当x<1时y随x的增大而减小..当x<0时y随x的增大而减小. 故答案为：①③ 题型四一次函数与几何综合题 【详解】(1)解：当x=0时，y=-3;当y=0时，x=4: 则A4,0,B(0,-3); (2)解：设0C=1, 则AC=BC=3+t. 在RtaA0C中，由勾股定理得OC2+AO2=AC2, .2+16=(3+t)2, 解谷一专 。7 c06月 (3)解：如图2，当点D在x轴负半轴上时， A Di O B 图2 可得∠ABD=∠AB0+∠DB0=90°-∠BA0+∠DB0=90°-∠DB0=∠ADB, .AD=AB=5, 0D=1, 则D(-1,0)； 由对称性可知，当点D在x轴正半轴上时，D(1,0), 10/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.点D的坐标为-1,0)或1,0). 2 【详解】(1)解：：一次函数y=子x+3的图象与x轴相交于点A,与y轴相交于点B, 令x=0,可得)=×0+3，解得y=3】 .点B的坐标为0,3)， 3 令y=0,可得0=x+3,解得x=-4, 4 ·点A的坐标为-4,0)： (2)解：如图， D C :点A的坐标为-4,0)，且A0=0C, .点C的坐标为4,0)， 点D与点P的横坐标为4， :点D在直线AB上， 3 .y=二×4+3=6，即点D的坐标为4,6)， 设点P的坐标为(4，y), :将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C落在直线AB上， ∴CP⊥AD, 又：AC=4+4=8,CD=6, .CP=C'P=y,AC'=AC=8,DP=6-y, 在R1aACD中，AD=√AC2+CD2=V82+62=10, .C'D=10-8=2, 在RtaC'PD中，C'P2+C'D2=DP2, y2+22=(6-y)，即y2+22=36-12y+y2, 11/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得y8 ’ CP的长为 3. 【详解】(1)解：：√a+4+√b-2=0, .a+4=0,b-2=0, .a=-4,b=2. (2)解：a=-4,b=2, A-4,0),B(0,2). 设直线AB的函数表达式为y=+b,将点A(-4,0),B(0,2)代入， 1 -4k+b=0 k=- 得 b=2 ,解得 21 b=2, 1 ÷直线AB的函数表达式为y=2+2, :点P是横坐标为t, 1 点P2+2 如图1，当点P在第一象限时， y个 A 0 图1 S.AOP=3S.BOP, 1 解得t=2, P(2,3: 如图2，当点P在第二象限时， 12/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P A 图2 S4OP=3S.B0P 1 :.2 解得t=-1, P-》 综上所述，点P的坐标为2，副或》 (3)由(2)知直线AB的函数表达式为y= +2, 将直线AB向下平移个单位后的直线的表达式为：y= 2+2-n. :平移后的直线过点M(2,m, 3m-1 x2+2-n, ∴m=3-n,即n=3-m. 又：m的倒数是它本身， m=±1， .n=2或n=4,即的值为2或4. 13/13 11.2一次函数的图像与性质 题型一 利用一次函数的增减性比较大小   1．（25-26八年级下·四川遂宁·月考）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知点都在直线上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型二一次函数图像的上下平移规律  1．（2026·安徽池州·一模）将一次函数（k为常数，）的图象向上平移2个单位长度得到的一次函数图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C． D．1  2．（2026·陕西咸阳·一模）将过原点和点的直线向上平移1个单位长度，得到的新的直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·江苏扬州·月考）若一次函数的图像向上平移两个单位后经过点，则代数式的值为____． 4．（2026·河北沧州·二模）为营造节日的欢庆场面，某单位在两座相邻楼房的楼顶安装如图1的激光射灯，其平面示意图如图2，其中光束所在直线的解析式为，光束从点位置发出，并经过点，已知两光束与相交于点P． (1)求光束所在直线的解析式； (2)若保持的位置不变，将向上平移m个单位长度，使得两光束的交点P的纵坐标等于6，求m的值． 题型三 根据一次函数k,b的符号确定直线在坐标系中的位置 1．（2026·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过点，那么一次函数的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026·陕西咸阳·一模）一次函数（m为常数，）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 根据一次函数的增减性求字母的取值范围 1．（2026·陕西渭南·一模）若，是一次函数（k为常数，且）图象上不同的两点，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·天津河东·一模）将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________． 题型五  一次函数开放性问题   1．（25-26八年级下·重庆·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若，两点都在该函数的图象上，且，则 D．将该函数的图象向下平移个单位长度得到直线 2．（2026·安徽合肥·一模）如图所示的计算程序中，可得y与x之间的函数关系，下列结论正确的是（   ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数图象不经过第一象限 C．函数图象向下平移2个单位长度，新的函数图象过原点 D．函数图象与x轴的交点坐标是 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．当时， 4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知一次函数，（，为常数，且）的图象经过点和点，其中且，下列说法中，正确的是（    ）． A．若，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移个单位长度后，与轴交点的纵坐标大于，则 C．若函数图象与轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移个单位长度后经过原点，则 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号） ①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到； ②函数的图象经过第一、二、三象限； ③函数的图象经过点； ④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 题型一 一次函数的最值问题 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，当时，函数值的范围是那么代数式的值为______． 2．（25-26九年级下·四川南充·月考）已知经过点的直线（）不经过第四象限．若，则下列说法正确的是（    ） A．m的最大值为3 B．m的最小值为3 C．m的最大值为6 D．m的最小值为6 3．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 4．（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三个非负数，，之间满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型二 函数 图像共存问题 1．（21-22八年级下·湖北宜昌·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B． C． D． 题型三 根据一次函数图像与几何图形的位置情况求字母的值或取值范围 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 2．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，矩形ABCD的顶点B，D坐标分别为，，若直线：与矩形的边相交，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026九年级下·吉林·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 4．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线l与x轴交于点，与轴交点，点是直线l上一点，过点M的直线交边于点N，若直线将分成面积相等的两部分．求： (1)a的值； (2)点N的坐标； (3)直线的关系式． 题型四 一次函数探求规律题 1．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 2．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 3．（25-26九年级下·江西南昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 4．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 题型五 新定义问题 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线，如果满足，那么直线与直线称为“互为交换直线”，如果直线与其交换直线分别与轴交于点，且，那么_____． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 3．（25-26八年级上·江苏南京·周测）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为______； (2)若为“垂距点”，求的值； (3)若过点的一次函数的图象上存在“垂距点”，写出的取值范围． 题型六 一次函数面积问题 1．（2026·广东珠海·一模）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则m的值为（   ） A． B． C．± D． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 题型一  一次函数的图像与k的关系 1．（2026·安徽合肥·一模）某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率）（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2026·安徽芜湖·一模）我们把弹簧所受的拉力与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）若直线：与直线互相平行，则的值为：______． 题型二 利用轴对称性求一次函数的解析式 1．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三 一次函数类比探究题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，将直线的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象对于函数（为常数）的图象，下列命题： 当时，直线（为常数）与轴交点为； 若函数图象经过点，则或； 函数图象与轴交点为； 若当时，随的增大而增大，则． 其中是真命题的有______（填序号） 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 题型四 一次函数与几何综合题 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 3．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，直线分别交轴、轴于点，，且，满足． (1)直接写出______，______． (2)若射线上有一动点的横坐标为，且，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，坐标平面内另有一点，其中的倒数是它本身．现将直线向下平移个单位后恰好经过点，求的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2一次函数的图像与性质 题型一 利用一次函数的增减性比较大小   1．（25-26八年级下·四川遂宁·月考）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】一次函数一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，因此比较两点横坐标大小即可． 【详解】解：， 一次项系数， y随x的增大而增大， ， ． 3．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知点都在直线上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可得到对应y值的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵三个点的横坐标分别为，且， ∴． 题型二一次函数图像的上下平移规律  1．（2026·安徽池州·一模）将一次函数（k为常数，）的图象向上平移2个单位长度得到的一次函数图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先根据“上加下减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移2个单位长度， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得， 整理得， 解得：．  2．（2026·陕西咸阳·一模）将过原点和点的直线向上平移1个单位长度，得到的新的直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出原直线解析式，再根据一次函数图像的平移规律“上加下减”，可得答案． 【详解】解：设过原点和点的直线解析式为， 则， ∴该直线解析式为， ∴直线向上平移1个单位后得到的直线是． 3．（22-23九年级下·江苏扬州·月考）若一次函数的图像向上平移两个单位后经过点，则代数式的值为____． 【答案】7 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移规律，点与函数图象的关系以及代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先根据平移规律得到平移后的一次函数解析式，再代入点坐标得到与的等量关系，最后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得函数解析式为 ， 由于平移后的图象经过点， 则， 即， 因此，． 4．（2026·河北沧州·二模）为营造节日的欢庆场面，某单位在两座相邻楼房的楼顶安装如图1的激光射灯，其平面示意图如图2，其中光束所在直线的解析式为，光束从点位置发出，并经过点，已知两光束与相交于点P． (1)求光束所在直线的解析式； (2)若保持的位置不变，将向上平移m个单位长度，使得两光束的交点P的纵坐标等于6，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）先求出点P的坐标，利用一次函数的平移得出所在直线的解析式，然后代入点P的坐标即可求出m的值． 【详解】（1）解：设光束所在直线的解析式为， 将及代入， 得，解得， 光束所在直线的解析式为； （2）解：设点P的横坐标为a， 点P的坐标为， 点P在光束上 ， 解得， 即点P的坐标为， 由题意，经过平移后所在直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得． 题型三 根据一次函数k,b的符号确定直线在坐标系中的位置 1．（2026·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过点，那么一次函数的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】先根据正比例函数图象经过的点求出m的值，再根据m的值确定一次函数的表达式，最后根据一次函数的性质判断其图象不经过的象限． 【详解】解：∵点在正比例函数上， ∴，解得， 将代入一次函数中，可得：， 对于一次函数（k，b为常数，），当时，函数图象经过一、二、三象限， ∵在一次函数中，，， ∴该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 3．（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据已知一次函数的位置判断和的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限． 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式组无解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组无解求出a的取值范围，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∵不等式组无解， ∴， 解得， ∴， 即一次函数中，，， 根据一次函数的性质，当，时，函数图象经过第一、第三、第四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限， 5．（2026·陕西咸阳·一模）一次函数（m为常数，）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：，， ∵， ，， 图象经过二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 题型四 根据一次函数的增减性求字母的取值范围 1．（2026·陕西渭南·一模）若，是一次函数（k为常数，且）图象上不同的两点，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知乘积的符号判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质得到一次项系数的不等式，求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ ∴与同号，即一次函数中y随x的增大而增大， ∵一次函数y随x增大而增大时，一次项系数大于0， ∴，解得：． 2．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，先比较、两点横坐标的大小，再结合判断函数增减性，得到的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：∵点横坐标为，点横坐标为，， ∴，即， 又∵，说明一次函数随的增大而减小， 根据一次函数性质，一次项系数小于， ∴，解得， 选项中只有A选项，符合要求，因此选A． 3．（2026·天津河东·一模）将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】2 【分析】根据“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则， 即可， 则的值可以是． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________． 【答案】9 【分析】求出分式方程的解，根据解的情况，确定满足题意的整数的值，再根据一次函数不经过第二象限，求出的取值范围，进而确定出符合条件的所有整数a，求和即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的分式方程有正整数解， ∴且能被整除，且即， ∴， ∴， ∵关于x的一次函数的图象不过第二象限， ∴， ∴， ∴，． 题型五  一次函数开放性问题   1．（25-26八年级下·重庆·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若，两点都在该函数的图象上，且，则 D．将该函数的图象向下平移个单位长度得到直线 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数图象平移规律，根据一次函数的相关性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：判断A选项：当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标是，故A错误； 判断B选项：∵，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故B错误； 判断C选项：∵， ∴随的增大而增大， ∵，在函数图象上，且， ∴，故C正确； 判断D选项：将函数图象向下平移个单位长度，得到的解析式为：，不是，故D错误； 故选：C． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图所示的计算程序中，可得y与x之间的函数关系，下列结论正确的是（   ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数图象不经过第一象限 C．函数图象向下平移2个单位长度，新的函数图象过原点 D．函数图象与x轴的交点坐标是 【答案】C 【分析】先确定一次函数解析式为，然后根据一次函数的性质判断求解即可． 【详解】解：根据程序，得， ， 故y随x的增大而减小， 故A错误； ， 函数的图象分布在第一象限，第二象限，第四象限， 故B错误； 的图象向下平移2个单位长度，得， 的函数图象过原点， 故C正确； 与x轴的交点坐标是， 故D错误． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】A 【分析】利用代入法、一次函数的增减性和象限判断规则，逐一分析选项即可． 【详解】解：选项：将代入，得，故图象经过点，正确； 选项：，，故一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，错误； 选项：，故随的增大而减小，错误； 选项：当时，，随的增大而减小，故当时，，错误． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知一次函数，（，为常数，且）的图象经过点和点，其中且，下列说法中，正确的是（    ）． A．若，则函数图象一定经过第三象限 B．若将函数图象向上平移个单位长度后，与轴交点的纵坐标大于，则 C．若函数图象与轴交于正半轴，则 D．若将函数图象向下平移个单位长度后经过原点，则 【答案】C 【分析】根据函数的增减性可判断，则当时，图象过一二四象限；平移后与轴交点的纵坐标为，得到；函数图象与轴的交点坐标为，可得；平移后的解析式为，过原点可得，进一步得到，而． 【详解】解：对于A：∵图象经过点和点，其中且， ∴随的增大而减小， ∴， 当时，图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故A错误； 对于B：向上平移后得到，当时，， ∴新函数的图象与轴交点的纵坐标为，则， 解得，故B错误； 对于C：当时，，解得， ∵函数图象与轴交于正半轴， ∴，即，故C正确； 对于D：将函数图象向下平移个单位长度后得到， ∵新函数的图象经过原点， ∴，则， ∵， ∴，故D错误． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号） ①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到； ②函数的图象经过第一、二、三象限； ③函数的图象经过点； ④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 【答案】①②④ 【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再结合一次函数的性质依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 将A，B两点坐标代入得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 将函数的图象向上平移3个单位长度得到的函数图象， 故①正确． 因为与y轴交点为，且y随x的增大而增大， 所以函数的图象经过第一、二、三象限． 故②正确． 将代入得， ， 所以函数的图象不经过点． 故③错误． 因为与坐标轴的交点坐标分别为和， 所以， 即函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 故④正确． 综上正确的有：①②④． 题型一 一次函数的最值问题 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，当时，函数值的范围是那么代数式的值为______． 【答案】 # 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，代数式求值，根据一次函数的增减性得到x与y的对应关系，通过作差得到与的数量关系，再整体代入求解即可． 【详解】解： 一次函数 中，， 随的增大而增大， 当时，，可得 ， 当时，，可得 ， 得：， 整理得：， ． 2．（25-26九年级下·四川南充·月考）已知经过点的直线（）不经过第四象限．若，则下列说法正确的是（    ） A．m的最大值为3 B．m的最小值为3 C．m的最大值为6 D．m的最小值为6 【答案】C 【分析】由直线经过点得，直线（）不经过第四象限，得，且，得，从而可求出的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴； 又∵直线（）不经过第四象限， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即m的最大值为6． 3．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先根据一次函数的性质，再根据最大值对应的自变量取值代入计算即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取最小值时，取得最大值， 将，代入函数得：， 解得． 4．（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和轴交点位置求出的取值范围，进而求出整数的值，得到一次函数解析式，再根据的取值范围求解的范围即可． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， 解得， ∵函数图象与轴负半轴相交， ∴当时，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴一次函数， 当时，则， 解得． 5．（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 【答案】 或/或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论函数在给定区间内的最大值，列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随增大而增大， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得； ②当时，一次函数随增大而减小， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得 则的值为或 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三个非负数，，之间满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知两个等式三个未知量，可将其中一个变量作为参数，用该参数表示另外两个变量，再结合，，是非负数得到参数的取值范围，最后将目标式表示为参数的一次函数，根据一次函数单调性求最大值． 【详解】解：设， ∵， 整理得， 得， ∴， 把代入得， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， 把，代入得， ， ∵随的增大而增大， ∴当取最大值时，取得最大值， ∴． 题型二 函数 图像共存问题 1．（21-22八年级下·湖北宜昌·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论的情况，根据一次函数性质判断两个函数图象位于哪些象限，再根据当时，，进行判断即可． 【详解】解：当，图象过第一、二、三象限，过第一、二、三象限； 当，图象过第一、三、四象限，过第一、二、四象限； 当，图象过第一、二、四象限，过第一、三、四象限； 当，图象过第二、三、四象限，过第二、三、四象限； 当时，， 综上，只有D符合题意． 2．（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分别确定两条直线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察每个选项的函数图象，得出的取值范围，再进行分析，即可作答． 【详解】解：A、观察函数图象，得出经过第一、二、三象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，故，则异号，与相矛盾，故不符合题意； B、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； C、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，则异号，故符合题意； D、观察函数图象，得出经过第一、二、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； 故选：C 题型三 根据一次函数图像与几何图形的位置情况求字母的值或取值范围 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________． 【答案】 【分析】连接、交于点，平分平行四边形面积的直线必定经过平行四边形的对称中心，利用中点公式求出点的坐标，代入直线解析式求出的值． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即点是的中点， ∵，， ∴点的坐标为， ∵直线平分的面积， ∴直线过点， 将代入，得， ， 解得． 2．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，矩形ABCD的顶点B，D坐标分别为，，若直线：与矩形的边相交，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质，可求出点，的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当点及点在直线上时的值，结合图形，即可得出的取值范围． 【详解】解：∵矩形的顶点，坐标分别为,且轴，轴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 当点在直线上时，， 解得：； 当点在直线上时，， 解得：． ∴当直线与矩形的边有交点时，的取值范围为． 3．（2026九年级下·吉林·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的d的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移d个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则． 4．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线l与x轴交于点，与轴交点，点是直线l上一点，过点M的直线交边于点N，若直线将分成面积相等的两部分．求： (1)a的值； (2)点N的坐标； (3)直线的关系式． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，再把点代入，即可求解； （2）根据题意可得，再由直线将分成面积相等的两部分，可得，从而得到，即可求解； （3）利用待定系数法解答即可． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为， ∵点是直线l上一点， ∴，解得； （2）解：由（1）得：点， ∵点，与轴交点， ∴， ∴， ∵直线将分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线的关系式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的关系式为． 题型四 一次函数探求规律题 1．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 2．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可． 【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……， 由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上， 则第1层：的坐标为，， 第2层：的坐标为，， 第3层：的坐标为，， 第4层：的坐标为，， 第5层：的坐标为，， ……， 第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为， ∴即的坐标为，即， ∵， ∴由点的分布规律可知，和都在直线上， ∴的坐标为． 3．（25-26九年级下·江西南昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【分析】利用一次函数的解析式求出直线与轴的交点坐标，进而可得第个等腰直角三角形直角边的长为，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形的斜边长是． 4．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据一次函数性质求出，，即，同理，，即；；进而得出，即可求出结论． 【详解】解：当时，， ； ∵四边形为正方形， ∴， 当时，， ，即； 同理，，即； ； ； ∴点的坐标是． 题型五 新定义问题 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线，如果满足，那么直线与直线称为“互为交换直线”，如果直线与其交换直线分别与轴交于点，且，那么_____． 【答案】1或3 【分析】由新定义得直线的交换直线为直线，可得，，根据即可求解． 【详解】解：由题意得直线的交换直线为直线， 直线与其交换直线分别与轴交于点、， ，， ， ， 或3． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质，解题的关键是理解定义，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据“友谊点”定义直接计算即可； （2）先根据定义计算的“友谊点”，再将“友谊点”代入函数中求出m； （3）先根据点在函数的图象上得，再根据的取值范围确定的取值范围，进而根据“友谊点”定义得出取值范围． 【详解】（1）解：，， ， “友谊点”为； （2）解：，， ， 点的“友谊点”为， 点的“友谊点”在函数的图象上， ， ； （3）解：点在函数的图象上， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·周测）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为______； (2)若为“垂距点”，求的值； (3)若过点的一次函数的图象上存在“垂距点”，写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或且 【分析】（1）由题意计算每个点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则该点为“垂距点”； （2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，列式求出的值即可； （3）取点，，，连接，，在上取一点，过点作于点，可证线段、上的点是“垂距点”，根据题意将点代入一次函数得，讨论直线经过点和两种临界情况进行分析即可； 本题主要考查平面直角坐标系，求一次函数的表达式和一次函数的性质，结合题干定义以及书本所学点到坐标轴轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是“垂距点”， ∵， ∴是“垂距点”， ∵， ∴不是“垂距点”， 综上所述是“垂距点”的点为，； （2）由题意可得， ， 解得； （3）如图，取点，，，连接，，在上取一点，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段上的点是“垂距点”， 同理，线段上的点也是“垂距点”， 将点代入一次函数得， 即，， 当直线经过点时，， 解得， 当直线经过点时，， 解得， 观察图象得或时满足条件， 则的取值范围为或且． 题型六 一次函数面积问题 1．（2026·广东珠海·一模）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则m的值为（   ） A． B． C．± D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积为2列方程求解，即可得到的值． 【详解】解：当时，，则直线与y轴交点为， 当时，，则直线与x轴交点为 ∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为 ∴， 解得． 2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． （3）解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． 题型一  一次函数的图像与k的关系 1．（2026·安徽合肥·一模）某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率）（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】由图象可知，纵坐标与横坐标的比值越大，热效率越高，其中甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大，所以甲设备的热效率最高． 【详解】解：由函数图象可知， 甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大， 甲设备的热效率最高． 2．（2026·安徽芜湖·一模）我们把弹簧所受的拉力与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：作出辅助线，如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，值越大， ∴观察图象，弹性系数最大的是甲． 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）若直线：与直线互相平行，则的值为：______． 【答案】 【分析】根据两直线平行时，一次函数系数相等，可知，解方程即可求出的值． 【详解】直线：与直线互相平行， ， 解得：． 题型二 利用轴对称性求一次函数的解析式 1．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的性质求出k和b的值，再判断函数图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， 根据轴对称性质，点关于轴对称的点为，因此将替换为即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴关于轴对称的直线为，整理得， 该直线与是同一直线，对应系数相等， ∴， 解得，， ∴所求一次函数为， ∵，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 题型三 一次函数类比探究题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，将直线的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，位于轴上方的图象保持不变，所得的折线是函数的图象对于函数（为常数）的图象，下列命题： 当时，直线（为常数）与轴交点为； 若函数图象经过点，则或； 函数图象与轴交点为； 若当时，随的增大而增大，则． 其中是真命题的有______（填序号） 【答案】 【分析】①将代入直线方程，得，再令可得与x轴的交点坐标； ②将代入即可求解； ③令解答即可； ④求出函数的顶点坐标，再根据当时函数的增减性解答即可． 【详解】解：将代入直线方程，得， 令，即，解得， 所以当时，直线为常数与轴交点为， 故是真命题； 将代入，得， 解得或； 故是真命题； 令，解得， 所以函数图象与轴交点为， 故是假命题； 由③知函数的顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大，则，解得， 故是真命题． 所以其中是真命题的有． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 【答案】探究一：（1）见解析；（2）见解析；（3）当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；探究二：右侧；1；探究三：的值为1或5 【分析】探究一：（1）把代入得出a的值，填表即可； （2）根据表格中的数据描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； 探究二：根据函数图象进行求解即可； 探究三：先求出，根据当时，该函数的最大值为4，得出或，再分情况求出n的值，并进行验证，得出答案即可． 【详解】解：探究一：（1）把代入得：， 填表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． （2）函数图象，如图所示： （3）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值； 探究二：根据函数图象可得，函数的图象是由函数的图象向右侧平移1个单位长度得到的． 探究三：∵函数是由向右平移个单位长度得到， ∴， ∵当时，该函数的最大值为4， ∴当时，或当时，， ∴或， 即或， 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或5；②存在，最小值为 (4)①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）①描点，连线，画出函数图象即可；②观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可 （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． （4）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）如图即为所求， （3）①根据图象可知当时，的值是或； 故答案为：或 ②观察函数图象，由图象可知，函数存在最小值，为；： （4）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，随的增大而增大； ③∵当时随的增大而减小．∴当时随的增大而减小． 故答案为：①③ 题型四 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)点D的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． （1）利用待定系数法求出点、坐标即可解决问题； （2）设，则，即，在中，根据，构建方程即可解决问题； （3）如图，当点在轴的负半轴上时，根据条件只要证明，即可解决问题；再根据对称性确定坐标； 【详解】（1）解：当时，；当时，； 则，； （2）解：设， 则． 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）解：如图2，当点D在x轴负半轴上时， 可得， ， ， 则； 由对称性可知，当点D在x轴正半轴上时，， ∴点D的坐标为或． 2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 3．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，直线分别交轴、轴于点，，且，满足． (1)直接写出______，______． (2)若射线上有一动点的横坐标为，且，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，坐标平面内另有一点，其中的倒数是它本身．现将直线向下平移个单位后恰好经过点，求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)的值为或． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键掌握一次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合，进行解答，即可． （1）根据算术平方根的非负性即可求出，； （2）分当位于第一象限和第二象限两种情况，分别表示出和的面积，再根据即可求出点的坐标； （3）根据直线平移的特点，写出平移后的直线解析式，再将点坐标代入，用含的式子表示出，求出，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解∵，， ，． 设直线的函数表达式为，将点，代入， 得，解得 ∴直线的函数表达式为， ∵点是横坐标为， ∴点， 如图1，当点在第一象限时， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图2，当点在第二象限时， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点的坐标为或． （3）由（2）知直线的函数表达式为， 将直线向下平移个单位后的直线的表达式为：． ∵平移后的直线过点， ∴， ∴，即． 又∵的倒数是它本身， ∴， ∴或，即的值为或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $