期中复习压轴专题02 解答题分类训练（10种类型50道）（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新人教版九年级，10种类型50道） 范围：第二十五章—第二十八章 知识点一 配方法的应用 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 4．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）运用配方法解题即可； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 当，时，M有最小值为3； （2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度 当的值最小时，D、C、E三点共线， 所以最小值． 5．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 知识点二 一元二次方程根与系数的关系 7．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是___________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，请说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差的绝对值为，求的值． 【答案】(1)或1 (2)代数式没有镜像值，理由如下： 设的镜像值为， 根据定义得： 得：． 计算判别式． 此方程没有实数根， 即代数式没有镜像值； (3)6 【分析】（1）由“镜像值”的定义得，然后解方程即可解答； （2）设的镜像值为，根据定义得：，求得这个方程的判别式小于零，即此方程没有实数根，进而可得结论； （3）设代数式的镜像值为，由镜像值定义可得，根据和根与系数关系得到，，，然后利用和已知得到关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为m， 由镜像值的定义，得， 整理，得，即， ∴或 解得，， 故代数式的镜像值是和1； （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得：， 整理得， 此代数式有两个镜像值， ， 得：，即， 解得， ∵代数式有两个镜像值， ∴，， 则两个镜像值之差的绝对值为 ． 则，整理，得， 解得：， 又， ． 8．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 9．已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式_____； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，，是关于的方程的两根，且，试求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①由题意易得，则有，然后进行求解即可； ②由题意易得，则有，然后根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）解：根据导出多项式的定义可知：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②由是关于的二次多项式，可知：，即， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵，是关于的方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：． 10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； (2) (3)m的取值范围为或 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，解得k的值，再根据“立格方程”的特点得出且，将k的值分别带入，得出符合要求的值． （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，得出两根均为负数，即，最后分类讨论求出m的取值范围即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ， ， 即， 解得，， ∵方程是“立格方程”， ∴，即两根均为负数． ∴且． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， 此时方程为，解得，， 满足，且，符合“立格方程”的定义，因此符合要求． 综上所述，． （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 两根均为负数，即， 分类讨论：①当，时， ， ， ，即 ，满足； ②当，时， ， ， ， ，满足； 综上所述，m的取值范围为或． 知识点三 二次函数的图象与性质 11．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 12．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 14．已知二次函数． (1)如图，若该二次函数经过点； ①求出二次函数的解析式及顶点B的坐标； ②求的面积； ③当时，y的最大值，求t的值． (2)已知点，，求出二次函数与线段恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；②；③或； (2)或或 【分析】（1）①根据待定系数法即可求出解析式，再根据顶点式即可求解顶点坐标；②根据割补法即可求解三角形面积；③由二次函数的性质可知当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，则或， （2）分类讨论当顶点与二次函数相交，当和进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：①将代入二次函数， 得， 解得：， 则二次函数解析式为：， 则， 则顶点B的坐标为：， ②； ③当时， 得， 解得，， 当时，随着的增大而增大，则最大处在， 当时，随着的增大而减小，则最大处在， 当时，y的最大值-1， 则或， 解得或， （2）解：∵点，， 当二次函数的顶点在的线段上时， ， 此时与二次函数只有一个交点， 的对称轴为：， 则与的交点为：， 则将代入， 得：， 解得：； 当时， 当时，， 当时，， 则， 解得 解得 则， 当时， 当时，， 当时，， 则， 解得 解得 则， 综上所述：则或或，二次函数与线段恰有一个公共点． 15．如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)； 的最小值 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作交于，利用待定系数法可求得直线的解析式，设，则，根据表示出，再利用二次函数的性质确定点的坐标，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接，则 ，要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ，利用勾股定理求解即可； （3）根据平移的性质先求出抛物线的解析式，设原抛物线的对称轴与轴的交点为，可得到是等腰直角三角形，，即，然后分两种情况讨论：当点在右侧时，当点在左侧时，利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，抛物线对称轴为， ，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点，，抛物线对称轴为，与轴交于点， ， 令，得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， ， 如图，过点作交于， 设，则， ， ， ， ，对称轴为，， 当时，取最大值，最大值为，此时， ； 抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点， ， 如图，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ， 此时， 的最小值 ； （3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，且， 设将抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位得到新抛物线，其中， ， 新抛物线恰好经过点， ， 整理得， 解得（舍去）或， ， 点为原抛物线的顶点，当时，， ， 设原抛物线的对称轴与轴的交点为，则，， ， 是等腰直角三角形，，即， 当点在右侧时，如图，过点作交抛物线于点， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在左侧时，如图，作，此时， 设与相交于点，过点作于，作轴于， ， ，， ，，即， ，，， ， ， 设，则，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 所有符合条件的点的横坐标为或． 知识点四 二次函数的应用 16．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【答案】(1) (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； (3) 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 17．如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． (1)点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； (2)求抛物线的解析式； (3)“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①“i”形小人会落在轴上，见解析；② 【分析】（1）先根据矩形的边长、，直接得出点的坐标；再依次计算、，结合矩形的高，得到、坐标，最后利用中点坐标公式求出点的坐标即可； （2）先由抛物线经过纵坐标相同的、两点，得出其对称轴为直线，即顶点式中；再将点坐标代入，解方程求出，回代即得抛物线的解析式； （3）①先由与形状相同且最大高度相同，得出是向右平移个单位得到的，进而得到的顶点坐标为，解析式为；再令求出等高落点的横坐标，对比平台左端点，判断出小人会落在轴上；最后令，解出符合条件的，得到落点坐标；②先设的解析式为，代入起跳点，得到；再令求出落点横坐标，结合平台的横坐标范围，解出的取值范围为；最后将的范围代入的关系式，求出的取值范围为，统计其中的整数个数即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴点的坐标为； ∵，，， ∴，， ∵矩形中，， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴点的坐标为，即； （2）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 把，代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：①“i”形小人会落在轴上，理由： ∵与形状相同，且最大高度相同， ∴的二次项系数与相同，顶点纵坐标也为，即可由向右平移得到， ∵的起跳点平移后对应的起跳点， ∴平移的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴抛物线的解析式为， ∵，，， ∴，， 即的横坐标范围为， 令中，得 ， 解得，（起跳点，舍去）， ∵等高落点横坐标（左端点）， ∴“i”形小人会落在轴上； 令中，得， 解得，（舍去，小于对称轴）， ∴“i”形小人落点的坐标为； ②∵与形状相同， ∴可设（为最大高度）， ∵过起跳点， ∴，即， ∵小人需落在平台上（含边界），平台的横坐标范围为， ∴落点横坐标需满足，解得， 当时，； 当时，， ∴的取值范围为，其中整数为，，，，，，共个． 18．【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (2)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意可知，第一象限内的抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，根据抛物线开口向下，由函数图象可求出的取值范围； （3）作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，根据射灯射出的光线与地面成角得到，进而得到点G和点F的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式，根据，求出直线的函数表达式，进而求出点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成，得到，从而求出的长． 【详解】（1）解：根据题意得：第一象限内的抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 则第一象限内的抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：根据题意，令， 解得：或 ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：如图所示，作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和代入得： ， 解得： 直线的函数表达式为， ， 设直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线的函数表达式， 整理得：， 直线与抛物线相切，只有一个交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 令，则， ， ， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小距离为米． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 19．某俱乐部采用发球机训练发球，如图1，乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度（）关于运动的水平距离的（）函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系（乒乓球看作为点）． (1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)保持发球角度、速度不变情况下，发球机高度向上调整，从点上方点射出，记为（向下调整记为负），若发出的乒乓球能越过球网，并且不飞出底线，求的取值范围（发球探网、擦边均视为发球无效）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得乒乓球运动轨迹函数表达式：，再根据时，，时，，即可求解 ． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式． 代入点，得， ， 即． （2）解：设调整高度后出球口点坐标． 乒乓球运动轨迹函数表达式：， 由题意可知：当时，， 得， 解得：； 当时，， 得， 解得：， ． 20．综合与实践：小颖在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．小颖先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】：如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下至点处后，再沿水平木板直线运动．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在水平木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 【收集数据】：记录的数据如下表： 运动时间 … 运动速度 … 运动距离 … 【建立模型】：根据表格中的数值分别在图、图的平面直角坐标系中描点、连线（大致图象已画出）；通过观察图象发现，我们可以用一次函数近似地表示与的函数关系，用二次函数近似地表示与的函数关系．请求写出与的函数关系式以及与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 【拓展应用】：①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？若能，请求出黑球追上小车时的的值；若不能，请说明理由． 【答案】[建立模型]；； [拓展应用]①当黑球在水平木板上滚动了时，黑球运动的速度为； ②黑球能追上小车，当黑球在水平木板上滚动至时，黑球追上小车 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的建模及应用，熟练分析函数类型、求解函数解析式并利用方程解决实际问题是解题的关键． [建立模型] 根据数据特征判断函数类型，利用待定系数法求出速度与时间的一次函数关系式，以及距离与时间的二次函数关系式； [拓展应用] ①将运动距离代入二次函数解析式，求解时间后，代入一次函数解析式得到对应速度； ②通过分析黑球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】解：[建立模型] 设与的函数关系表达式为， 由题意，将，代入中，得， 解得， 所以，与的函数关系表达式为； 设与的函数关系表达式为， 由题意，将，，代入中， 得， 解得， 所以，与的函数关系表达式为． [拓展应用] ①将，代入中， 解得，，（舍）， 所以，当黑球在水平木板上滚动了时，黑球运动的时间为， 将，代入中，得，， 所以，当黑球在水平木板上滚动了时，黑球运动的速度为； ②黑球能追上小车。理由如下： 由题意得，，解得，，（舍）， 所以，当黑球在水平木板上滚动至时，黑球追上小车． 知识点五 二次函数与几何综合 21．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，过点作轴于点，设点，即可表示出，，，根据列出关于m的函数关系式，问题随之得解； （2）结合（1）中的结论，利用，即可作答； （3）根据，可得，利用已知的，结合三角形外角的定义可以证明，进而可证明，设，表示出，再在中，利用勾股定理求出n，问题得解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， ， 过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （2）解：，， ，， ， 又， ∴当取大值，即时，也有最大值， 的最大值； （3）解：轴，轴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ∵为第四象限内抛物线上一点，与轴交于点， ∴设， ∴，， ∵， ∴， 在中，有， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，勾股定理等知识，问题的难点在第三小问，合理利用这一条件证明，是解答本题的关键． 22．已知抛物线（，，为常数，，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标； ②若点，，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】(1)顶点 的坐标为 ． (2) ①点 的坐标为 ；②顶点 的坐标为 ． 【分析】（1）把、、 的值代入，用配方法把解析式化成顶点式，写出顶点的坐标； （2）①由点在抛物线上得，过点作轴的垂线，把、转化为全等三角形，用、表示点的坐标，代入抛物线求，再按点在轴下方、上方两种情况取舍； ②在线段上取点使，由等腰三角形的性质与外角性质得，由推出；再由平行四边形对边相等与、关于对称轴对称，把转化为，用两点之间线段最短得最小值为，求出、 后求点，最后用平行四边形对角线互相平分求点． 【详解】（1）解：当 ，， 时， 抛物线的解析式为． 配方得， ∴ 顶点的坐标为． （2）解：①∵点在抛物线上，， ∴，即． ∵， ∴． ∵ 点为抛物线与轴的交点， ∴． 过点作轴于点． ∵， ∴． ∵ 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 若点在轴下方，则点在点的右侧， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 化简得， 解得（，舍去）， ∴点的坐标为 ． 若点在轴上方，则点在点的左侧， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 化简得 ， ∵， ∴该方程无实数根，此种情况不成立． 综上所述，点的坐标为． ②∵抛物线与轴交于点和， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点为抛物线与轴的交点， ∴． 在线段上取点，使， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得（与点重合，舍去）， ∴． ∵ 点在线段 上， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵ 四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵点 、 关于抛物线的对称轴对称， ∴． ∴（两点之间线段最短）． ∴ 当点在线段上时，取得最小值． ∵的最小值为， ∴． 在中，， ∴． 把代入，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴． ∴抛物线的对称轴为直线，，． 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得，． ∴直线的解析式为． ∵点在对称轴上，且、、三点共线， ∴ 当时，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即线段与的中点重合． ∵线段的中点为， ∴线段的中点也是． 设， ∴，， 解得，， ∴顶点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数图象的顶点（配方法）、抛物线与坐标轴的交点、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、平行四边形的性质、轴对称的性质与两点之间线段最短、勾股定理．解题关键是把与转化为全等三角形，用、表示点的坐标；第二问通过构造等腰三角形把角的条件转化为，再由得到，并把转化为求最小值． 23．如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接．点P是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点(不与点B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，交直线于点N． (1)求A，B，C三点的坐标及直线的解析式； (2)设点P的横坐标为，用含m的式子表示线段的长，并求出的最大值； (3)是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积． 【答案】(1)，，， (2)，最大值为1 (3)存在，，最大面积为1 【分析】（1）分别令，求出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）根据题意表示出点P坐标和点N坐标，表示出线段的长，再运用二次函数最值即可求得答案； （3）根据题意表示出，再运用二次函数最值即可求得答案； 【详解】（1）解：令得，解得， ∴， 令得，故， 设直线为， 把代入得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据题意可得，点P坐标为，点N坐标为， ∴， ∴当时最大，最大值为1． （3）解：把沿分割，其水平宽为， ∴． 由（2）知当时S最大，最大值为1， 此时点P的坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求此抛物线的顶点坐标及点，的坐标； (2)点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象． ①当点和重合时，求出的值． ②若点在轴上方并且点在点的左侧，图象的最高点与最低点的纵坐标差为时，求的值； (3)设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和抛物线有公共点时，求出的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 ，，． (2)① ；② ． (3) 或 ． 【分析】（1）把抛物线解析式配方得顶点式，再令解方程即可得，坐标． （2）用表示，的纵坐标；① 重合即横坐标相同；② 根据开口方向、对称轴与区间位置分情况讨论最高点与最低点． （3）线段为竖直线段，公共点条件等价于抛物线在该竖直线处的纵坐标落在两端的纵坐标之间，列不等式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为． 令，得，即． 因式分解得， ∴，． 由图可知在左侧， ∴，． （2）解：∵的横坐标为，的横坐标为， ∴，． ①当点和重合时，横坐标相同，即，解得． ②∵点在轴上方， ∴，即； ∵点在点左侧， ∴，即， 综上． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ． 当时，图象的最高点为顶点，纵坐标为；最低点为 点，纵坐标为． 由题意，即，解得，均不在 内，舍去． 当时，图象的最高点为点，纵坐标为；最低点为点，纵坐标为． 由题意，即，解得，满足． 综上，． （3）解：∵点、的横坐标相同， ∴线段在竖直直线上． 设该直线与抛物线交点的纵坐标为，则． ∵线段与抛物线有公共点，等价于点落在线段上， ∴ 介于、两点的纵坐标与之间（含端点）． 按、的上下位置分类讨论： 当 时，，点在点下方， ∴． 由得，解得 或； 由得，解得． ∴取两式的公共部分，并结合，得． 当时，，点在点上方， ∴． 由得，解得； 由得，解得或． ∴取两式的公共部分，并结合，得． 当时，、重合于点，此时，无公共点，舍去． 综上，的取值范围为或． 25．抛物线：交轴于，两点（在的左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图1，点，分别在第三，第一象限抛物线上，若点，，到直线的距离都相等，求点的横坐标； (3)如图2，平移抛物线得到抛物线，其顶点为原点．过的两直线，均不与轴平行，与抛物线有唯一的公共点，与抛物线交于，两点．过点作的平行线，交直线于点．若点为的中点，则点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点在一条定直线上，该直线的解析式为 【分析】（1）由已知条件分别令，，即可求得点A，B，C的坐标； （2）过点A作交于点R，过点B作交于点T，交x轴交点S，过点C作交于点J，连接，由已知条件得出四边形是矩形，得到，继续证明，得到点S是的中点，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到，得出直线的解析式，联立抛物线解析式即可得到点E的横坐标； （3）先求出：，设，，，分别利用待定系数法求出，，，的解析式，由所在直线与所在直线均过点，求得，联立：，求得x，y的表达式，从而得到点N的坐标表达式，由点K为的中点，求得点K的表达式，进而得出点K在定直线上． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． （2）解：如图，过点A作交于点R，过点B作交于点T，交x轴于点S，过点C作交于点J，连接， ∵点A，B，C到直线的距离都相等， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点S为的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线恒过点， ∴将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵， ∴，即点E的横坐标为． （3）解：由题意知，：， 设，，， ∴，，， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵， ∴， 设的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∵所在直线与所在直线均过点， ∴，得， ∵点Q在y轴右侧，即， ∴， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为， 联立：， ∴， ∴ ， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点K为的中点， ∴， ∴， ∴点K在定直线上． 知识点六 反比例函数与几何综合 26．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点C的坐标； (3)将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点落在反比例函数的图象上．理由如下： 把点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为， 而当时，， ∴平移后点能落在反比例函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据四边形为平行四边形，得到，再根据点的坐标，得到，从而可知，即可求解； （3）先求得点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为，再将点代入中，即可判定． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形为平行四边形， ， ∵点A，D，B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）略 27．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2)①；②或. 【分析】（1）根据题意，易得，进而求出点坐标，待定系数法进行求解即可； （2）①先求出点坐标，进而求出四边形的面积，得到的面积，求出直线的解析式，过点作，交轴于点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据平行面积转化以及三角形的面积公式进行求解即可；②分两种情况，构造一线三垂直全等模型，表示出点或点的坐标，代入解析式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵作轴，垂足为，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴当时，解得， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 设，过点作，交轴于点， 则直线的解析式为，， ∴当时，， ∴， ∴， 解得或（舍去）； ∴； ②当为等腰直角三角形时，分两种情况： 当时，则，过点作轴，作于点，作于点，如图，设， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴； 当时，则，过点作轴，作，作，如图， 同理可得， ∴， 设，则， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴， 综上：或. 28．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，将代入，求得，进而求得，将，代入，求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）设一次函数与轴的交点为，由，得到，令，求出，根据，进而得，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或； （3）解：设一次函数与轴的交点为， 由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ， ，即， ， 或． 29．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． (1)证明：与面积相等； (2)若，求的值； (3)若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴与面积相等； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再由反比例函数比例系数的几何意义可得； （2）求出，设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为，则可推出，据此求出的长即可得到答案； （3）设M点坐标为，则，即，可求出，，，进而求出点D和点E的坐标，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为， ∵，均在反比例函数的图象上， ∴， 解得． ∴， ∴， ∴． （3）解：设M点坐标为，则，即， ∵点M为矩形对角线的交点， ∴， ∴，， ∴D点的横坐标为，E点的纵坐标为， 又∵点D、点E在反比例函数的图象上， ∴D点的纵坐标为，E点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 30．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)或或或． 【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式； （2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到； （3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解． 【详解】（1）解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ； （2）解：由同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， ， ； （3）解：当时，如图， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 当点在第二象限时，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ， 综上：或或或． 【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解． 知识点七 反比例函数的应用 31．学校的自动饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温：与通电时间成一次函数关系，加热到 即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若水温在 时开始接通电源，经过分钟饮水机第一次关机，水温与通电时间之间关系如图所示． (1)求从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式； (2)从开始到饮水机第一次关机，有多长时间水温不低于 ? 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）分别求出加热和降温阶段水温为 的时间，再相减即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，把代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 设一次函数的解析式为，把和代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， 综上，从开始到饮水机第一次关机，水温与通电时间的函数关系式为； （2）解：当时，由，解得；由，解得， ∵， ∴从开始到饮水机第一次关机，有水温不低于 ． 32．我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”．某企业测试一款新型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度（公里小时） 基础能耗（千瓦时百公里） 该款电动汽车的电池容量为千瓦时，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的倍． （单位：公里）． (1)请你根据表格数据在图的坐标系中画出相应的点． (2)结合中所描点的分布特征，从一次函数、二次函数中选择最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式． (3)当汽车匀速行驶且速度介于公里小时到公里小时之间（含与）时，求实际续航里程的最小值． 【答案】(1)如图， ； (2)最符合的是二次函数，函数表达式为； (3)实际续航里程的最小值为千米． 【分析】根据表格描点即可； 根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； 根据题意求出实际续航里程，从而得当最大时，取最小值，求出二次函数在范围内的最大值即可解答． 【详解】（1）解：结合题干，根据表格描点即可， 图略； （2）解：根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，数据先降后升，且和，和均关于直线对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 由可知，二次函数的对称轴为直线，顶点为， 设函数表达式为， 将点代入得:， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为， ∴最符合的是二次函数，函数表达式为； （3）解：根据题意得实际能耗为，代入续航里程公式得实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， 由二次函数得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内，随增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 在范围内，随增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴在范围内的最大值为， ∴， 故实际续航里程的最小值为千米． 33．进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，关于的函数关系式； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） 【答案】(1) (2) (3)解：此次消毒有效，理由如下， 把代入得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去）， 把代入得，， 解得， ∵， ∴此次消毒有效． 【分析】（1）设药物燃烧后，与的解析式为，把代入，可得与的解析式为，根据反比例函数的性质即可得出答案； （2）设药物燃烧时，关于的函数关系式为，把代入，可求出，即可得出二次函数解析式； （3）把分别代入二次函数和反比例函数解析式，分别求出的值，进而求出持续时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵药物燃烧后，与成反比例， ∴设药物燃烧后，与的解析式为， ∵反比例函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧后，与的解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 解得， ∵空气中每立方米的含药量低于毫克， ∴至少需要经过分钟后，学生才能回到教室． （2）解：∵药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克， ∴设药物燃烧时，关于的函数关系式为， ∵二次函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧时，关于的函数关系式为． （3）略 34．【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)___________，___________； 【问题探究】 (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 (3)结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 【答案】(1)；； (2)①如图： ②减小； (3)①如图： ②或． 【分析】（1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象；②找出当时，结合函数图象，找出满足函数的图象在函数的图象上方（包括相交）部分对应的的取值范围． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得． （2）①作图：略； ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． （3）①作图：略 ②由函数图象知，当或时，函数的图象在函数的图象的上方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为或． 35．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把上表的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点坐标，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，并求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离： (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)作图如下： 是的反比例函数， (2) (3) 【分析】（1）描点画图，观察图像猜测为反比例函数，设，代入一组点求出，再用其余点验证，得到函数表达式． （2）把代入所求反比例函数解析式，解方程求出对应的． （3）设移动前距离为，砝码质量为，移动后距离为，质量为，代入反比例解析式联立求解． 【详解】（1）解：由图可得，是的反比例函数， 设，代入，，则 ， 解得， ． （2）解：中，令，则， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离； （3）解：， 将代入得， 解得， 当时，， 答：在移动前托盘中的砝码质量． 知识点八 线段的旋转综合 36．在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若连接．若， 求证：． (2)如图2，若连接，作的中线，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：绕点逆时针旋转得线段， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 解： 证明：如图2，延长到，使， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 即： ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由旋转的性质得到相应的角相等，相应的边相等，再根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）先倍长中线，得到三角形全等，再利用旋转的性质全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 37．如图，在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)当点为线段的中点时，求证：是等边三角形； (2)当与矩形的边平行时，求线段的长； (3)在点的运动过程中，线段的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在矩形中，， 点为线段的中点， ， ， ， 是等边三角形； (2)线段的长为或 (3)存在，，理由如下： 如图，过点作于点， 由旋转可得，， 设，则，， ， ， 当最小时，最小， 当时，取得最小值，最小值为， 最小值为． 【分析】（1）由 直角三角形的斜边中线定理得，进而可得，推出，即可得证； （2）分类讨论：当或，然后利用勾股定理和特殊角求解即可； （3）过点作于点，由旋转可得，，设，则，，进而得到，利用勾股定理可得，则最小时，最小，当时，取得最小值，最小值为，进而据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，如图， 在矩形中，，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ； ②当时，如图， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上，线段的长为或； （3）略 38．已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，若，连接，三角形的面积为，求点的坐标； (2)若，点是第一象限内一点，且，过点作于点，求证：； (3)若，如图3，点为，过点作，连接交轴于点，试求的面积． 【答案】(1)． (2)证明：由 知点 与原点 重合，且 ，， ∴ ，． 过点 作 于点 ． ∵ ，， ∴ 在 中，， ∴ ． ∵ 点 、 都在 上， ∴ ，． ∵ ， ∴ 在 中，， 且 ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ，． ∵ 点 、 在线段 上， ∴ ， ∴ ，即 ． (3)． 【分析】（1）由旋转得 且 ，用“AAS”证明 与 全等，得 、，写出点 的坐标后用面积列式求出 ； （2）由 知点 与原点重合，过点 作 于点 ，先由 得 为等腰直角三角形，再用“ASA”证明 与 全等，把 转化为 即得； （3）由 、 得 ，从而 ，过点 作 轴于点 ，用“AAS”证明 与 全等，把 、 转移到 、 上写出点 的坐标；再由 得内错角相等，用“ASA”证明 与 全等得 ，求出点 的坐标后用面积公式求解． 【详解】（1）解：∵ 点 ，点 ，， ∴ ，． ∵ 将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ， ∴ ，， 过点 作 轴于点 ． ∵ 点 、、 都在 轴上，， ∴ ． ∵ 在 中，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在 轴正半轴上， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）略 （3）解：由 ， 知点 与原点 重合，且 ，． ∵ 点 ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． 过点 作 轴于点 ． ∵ 点 、、 都在 轴上， ∴ ． ∵ 在 中，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 轴， 轴， ∴ ． ∵ 交 轴于点 ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上，点 在 与 之间， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． ∴ 三角形 的面积为 ． 39．【问题提出】在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点为的中点，作射线交于点， (1)探究：与的数量关系． ①【特殊化】当点与点重合时，容易发现和的数量关系：______； ②【一般化】如图所示，判断与的数量关系，并说明理由； (2)【应用】当，时，求长． 【答案】(1)①（或）．理由： 当D与B重合时，， 将绕A逆时针旋转得到， ∵， ∴， ∴是腰长为的等腰直角三角形，； 同时P是即的中点， 在等腰中，斜边中线， ∴（或）． ②与的关系是或，理由： 与的关系是：，延长到，使，连接，，如图2所示： ， 在中，， ，． ，点为的中点， ∴， ∵， ∴． ，， ，． 是的外角， ． ． 由旋转的性质得：，， ， ． 在和中， ， ∴△MDA≌△BAE（SAS）． ，． 又∵． ． (2)． 【分析】（1）①对于特殊化情形，直接代入点D与B重合的条件，结合中点性质和旋转性质，推导与的数量关系．②对于一般化情形，延长到点M，使，连接，，首先利用旋转的性质得到，结合已知，推导与相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）当Ｄ在上时，当Ｄ在延长线上时，分两种情况解答．由，结合（1）结论知，，根据等腰直角三角形性质证明，得到，证明，由，得，即得． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：当Ｄ在上时， ∵，∴由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，​ 当D在延长线上时， ∵， ∴由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为6． 40．在中，，，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，. (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转β（）得到线段，连接，，线段交线段于点F. ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点C作于点P，过点D作于点Q.探究与之间的数量关系是否随变化而变化.若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由. 【答案】(1) (2)①； ②不变，， 证明：延长，作，垂足为，作于，记，的交点为，如图 ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． 【分析】（1）根据旋转的性质证得、，进而证得，证得是等边三角形，求解的长度即可； （2）①根据旋转的性质证得，进而证得，根据三角形内角和定理求解即可； ②延长，作，垂足为，作，证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得四边形为矩形，证得即可． 【详解】（1）解；在中，， ， ， 旋转得， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：①旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②略 知识点九 三角形的旋转综合 41．[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点． [问题解决] (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形； 理由如下：将绕点按逆时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，， ，，， 又延长交于点F， ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； (3)． 【分析】（1）先求出的长度，再求出的长度，最后用减去得到的长． （2）根据旋转的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件进行判断． （3）找到点的运动轨迹，根据点与圆的位置关系来确定的最大值． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 将绕点按逆时针方向旋转度，点，的对应点分别为点，，且点落在上， ， ； （2）略 （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图， 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即线段长度的最大值为． 42．如图①，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为． (1)如图②，当时，连接，填空：与的数量关系为______；与的位置关系为：______； (2)当时，与交于点F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图③写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当旋转到时，请画出图形并求出的长． 【答案】(1)； (2)解：结论还成立，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴ ∴， ∴，； 如图所示，设与交于点G， 同理可证明， ∴， ∴结论仍然成立； (3)或 【分析】（1）证明，得到；延长交于点T，由旋转的性质可得点E在上，可证明，得到； （2）证明，得到，；设与交于点G，同理可证明，则，结论仍然成立； （3）分图4和图5两种情况，通过勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点T，由旋转的性质可得点E在上， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图4，延长交于H， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图5，过D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 综上所述，的长为或． 43．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图，已知中，．将从图的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析： (1)如图，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 探究规律： (2)如图，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸： (3)①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图中，作直线交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴； (3)①或；②旋转角为 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，即可得到答案； ②根据，只有当时成立，进而根据和旋转角的关系求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略； （3）解：①如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴此时和重合，这种情形不存在； 综上所述，或； ②如图， ，，旋转得到， ， 旋转角， ，，， ， ， 和都是顶角为的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 只有当时，满足是直角三角形， 此时，解得：， ∴旋转角为． 44．把直角三角形与直角三角形如图1放置，直角顶点O与重合在一起，点D在OB上，，．现将固定，绕点O顺时针旋转，旋转角为，与交于点E． (1)如图2，在旋转过程中，若时，则________；若时，则________． (2)如图2，在旋转过程中，当有两个角相等时，________． (3)如图3，在旋转过程中，猜想与的和是否是一个定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)是， 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形锐角互余求解即可； （2）分三种情况讨论，注意旋转角是，求出即可； （3）利用角的和差求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 当时，， ； 当时，， ∴ ∴． ，， ， ∴ ； （2）解：当时，， 当时，； 当时，，不符合题意； ∴综上：当有两个角相等时，或 （3）解：，理由如下： ． 45．【问题情境】如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)请你思考在绕点逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段长度是否存在最大值和最小值．如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质可得：，，旋转角， ． ，点在延长线上， ． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． (3)存在最大值和最小值．最大值是，最小值是 【分析】（1）先在中用勾股定理算出正方形边长，再在求出对角线，利用旋转性质，线段相减得到结果． （2）根据旋转性质得到、、旋转角，再由平角求出，先判定三个直角得到矩形，再用邻边相等证明它是正方形． （3）由旋转性质得到，判断点的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧；利用点到圆上一点距离的规律，当、、三点共线，取最值，最大值为，最小值为，代入，算出结果． 【详解】（1）解：在中，，根据勾股定理得， 四边形是正方形， ，， 在中，根据勾股定理得， 由旋转可得． 落在对角线上， ； （2）略 （3）解：由旋转的性质，，所以在旋转过程中，点到定点的距离始终等于， 点的运动轨迹是以为圆心，半径的圆弧（）． 由（1）知，． 根据两点之间线段最短： 当、、三点共线，且在的延长线上时，最大， ， 当、、三点共线，且落在线段上时，最小， ， 答：最大值是，最小值是． 知识点十 特殊四边形的旋转综合 46．综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． (1)推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． (2)猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， ， 由旋转的性质可得，，， ，， ，即， 在和中， ， ． (2)．理由如下： 如图，连接，， 四边形为矩形， ，， ， 由旋转的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ． (3)或 【分析】（1）利用旋转性质得到边、角相等，推导出两组角相等，然后用证明三角形全等； （2）连接、，借助旋转和等腰三角形的性质得到相等线段，利用证三角形全等，得出； （3）分两种情况讨论，算出，由等腰条件得，求出，在中用勾股定理求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，有两种情况： 如图，当点落在线段上时， 根据题意可知，，，， ， 是以为底边的等腰三角形， ， ， ； 如图，当点落在线段的延长线上时， 同上可知，， ，， ， 综上，的长为或． 47．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． (2)深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：①若矩形绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点C逆时针旋转，边与边交于点M，连接，当时，如图③．请直接写出m的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)探究一；；探究二：30 【分析】（1）首先明确两个矩形完全相同，运用矩形性质证明，得，即得，结合三角形边和角的特征判断形状． （2）探究一：由点在延长线上与矩形性质证明，得到，可得，，设 ，由，得，解得 ，结合三角形面积公式求解．探究二：取的中点H，连接，由已知条件可得，由平行线性质得，即得，根据等角对等边得，得，是等边三角形，可得，可得． 【详解】（1）解：∵两个矩形完全相同， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形． （2）解：探究一： ∵点在延长线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， 在中，由勾股定理：， ∴， 解得 ， ∴ 。 ∴ ． 探究二： 取的中点H，连接， ∵， ∴， 由条件 ， ∵ ， ∴ 。 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位：），旋转后的菱形为，在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决． 观察证明： (1)如图1，若旋转角，与相交于点M，与相交于点N，请写出与的数量关系，并说明理由； 操作计算： (2)如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为 ； (3)如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3)2 【分析】（1）由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，，，证明，即可得到； （2）连接交于点O，证明是等边三角形，，可求出，得到；证明，得到三点共线，则可得到； （3）连接，证明是等边三角形，得到；可证明，，由三线合一定理得到，则为的中位线，据此可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图2所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； （3）解：如图3所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． 49．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），； （2） 解：；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为； （3）线段的最小值为． 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，； （2）略 （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 50．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． (1)【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接EF，则线段，，之间的数量关系是________． (2)【类比迁移】 如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，，矩形可绕点O旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． (3)【拓展应用】 如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请求出线段的长． 【答案】(1)① ② (2)证明：线段，，之间的数量关系是，理由如下： ∵矩形，矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴；， ∴垂直平分； ∴； ∵矩形， ∴， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）①根据正方形的性质，证明即可． ②根据正方形的性质，证明，再利用勾股定理，等量代换解答即可． （2）首先，得到；，证明垂直平分，得到；再利用勾股定理证明即可． （3）当点E在线段上时，延长到点G；使，连接,，设，则，根据勾股定理，得，，求解即可；当点E在线段的反向延长线上时，延长到点Q；使，连接,，设，则，根据勾股定理，得，继而得到，，求解即可． 【详解】（1）①解：线段，之间的数量关系是，理由如下： ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：线段，，之间的数量关系是，理由如下： ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵正方形， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：当点E在线段上时， ，， ， 延长到点G；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分； ∴； ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得； 当点E在线段的反向延长线上时， ，， ， 延长到点Q；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分； ∴； ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的长为或； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题02解答题分类训练 (新人教版九年级，10种类型50道) 范围：第二十五章一第二十八章 知识点一 配方法的应用 1,(25.26人年级下江苏常州期中)对于二次三项式+2+口，可以直接用公式法分解为x+的 形式，但对于二次三项式x2+2a-3a,就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2-3a中 先加上一项d,使x2+2ax-3a2中的前两项与d构成完全平方式，再减去a这项，使整个式子的值不变， 最后再用平方差公式进一步分解.于是x2+2a-3a2=x2+2am+a2-a2-3a2 =(x+a}-(2a'=(c+3a(x-a）.像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法. (1)如果a2-4a+()是一个完全平方式，则括号内的常数应为_： (2)用“配方法”分解因式：x2+6x-7: (3)用“配方法”分解因式：3x2-6x-12. 2.(25-26七年级下·河南期中)【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代 数式最值等问题中都有广泛应用. 例如：将r-6r+8先利用配方法变形为a(x+m+ 的形式，再分解因式 配方：x2-6x+8 =x2-6x+32-32+8 =(x-3)}2-1 分解因式：x2-6x+8 1129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x-3}2-1 =(x-3+1)(x-3-1) =（x-2)(x-4) 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把x-2x-35分解因式. （②代数式+广产+4x-64+15 最小值是 (直接写答案). (3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且d2+2b+3c2-2ab-2b-6c+4=0,试判断△ABC的形状，并说明理 由. 3.(25-26七年级下·江苏扬州期中)配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将 一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数 式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题.定义：若一个整数能表示成+b(a,b为整数)的形式， 则称这个数为“完美数”.例如，13是“完美数”，理由：因为13=22+32，所以13是“完美数”. 解决问题： ()已知41是“完美数”，请将它写成2+b(a,b为整数)的形式： ②若-6x-1可配方成(x-m+nm,n为常数，求m的值： =x2+4y2+4x-12y+k (3)已知 (心，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值. 4.(23-24八年级下·山东济南期中)求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法 例如：若代数式M=a+4a+6,利用配方法求M的最小值：M=a+4如+6=(a+2+2.:(a+2≥0 ∴当0=2时，代数式M有最小值为2.再比如：正数a,b满足a+b=3,用几何法求N+1+VB+9的 最小值.如图， Va2+ 为线段DC的长度，V6+9为线段Cg的长度，当N+1++9的值最小时， 2/29 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D、C、B三点共线，所以最小值为V(a+b)+V1+3}=V3?+4=5 请根据上述材料解决下列问题： B 3 (1)若代数式M=a2+2a+b2-4b+8,求M的最小值： ②已知正数x,y满足x+y=7,求NP+9+厂2+16 的最小值 5.(2026安徽芜湖·一模)综合与实践 【项目主题】配方法的应用 【项目准备】 ()利用完全平方公式将多项式+r+c(a≠0)变形为(x+m+m的形式，我们把这样的变形方法叫做 多项式r+hc+c(a≠0)】 的配方法.配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值.例如：求代 数式+4x-l的最小值，由2+4-1=r+4x+01=(x+2-5 可知，当x=-2时， x2+4x-1 有最小值，最小值是② 配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式 x2+2x-3 =x2+2x+1-1-3= 原式 ③ =④ 【项目解决】 3/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2-4a-6b+13=0时，c的取值范围是⑤： (3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=8,则四边形ABCD面积的最大值为 ⑥ 知识点三 一元二次方程根与系数的关系 7.对于关于x的代数式ax2+bx+c,若存在实数m,使得当x=m时，代数式的值等于-m,则称m为这 个代数式的“镜像值”，例如：对于代数式x2,当x=0时，代数式的值等于0：当x=-1时，代数式的值 等于1，我们就称0和-1都是这个代数式的“镜像值”· (1)代数式x2+3x-5的镜像值是 (2)判断代数式2x2-3x+3是否有镜像值.若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，请说明理由： 3)关于x的代数式 2-(2a+1)x+a2-a-1 若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差的绝对值为 Va2-8 求的值 8.定义：若关于x的一元二次方程+x+c=0(a≠0) 的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”， 对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为F(a,6c)=4ac-b 4a 现探究以下问题： (1)“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为一： 2-(2m-1)x+m2-2m-3=0 (2)若关于x的一元二次方程 (m为整数，且<m<6)是“快乐方程”，求m 的值，并求该方程的“快乐数”。 (3)对于“快乐方程”t+x+C=0(b、c为整数)，若其“快乐数” F(1,b,c)=-n (n为正整数)，且方 程的两根5，。满足片-≤4 求该方程的“快乐数”所有可能的值. 4/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.己知r+br+cr+d是关于t的多项式，记 P().我们规定： P(x) 的导出多项式为3m2+2hx+c. 记为（闪.例如：若 P(x)=4x'+3x2-5x-1mP(x) ,则 的导出多项式 Q(x)=3×4x2+2×3x-5=12x2+6x-5 根据以上信息，回答问题： 若P(32+7x 则它的导出多项式() ②没（是P的导出多项式。 @若P冈=r-(+川x-2）,求关于x的方程()2。 的解； ②2知P()-(a+)x2+4r- 是关于x的二次多项式，，六是关于*的方程 ()=x2+8 的两根，且 1+1=2 x,试求a的值. 10.定义：已知，是关于x的一元二次方 ax2+bx+c=0(a≠0 的两个实数根，若<五<0 ,且 3<点<4，则称这个方程为“立格方程”.如：一元二次方程x+21x+80=0的两根为=-16，名=-5， X2 因为16<5<03<6<4，所以元三次方程子+2+0=0为“立格方程 -5 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程x2+17x+52=0是否为“立格方程”，并说明理由； 2+(3k-3)x+k2-2=0 (2)若关于x的一元二次方程 是“立格方程”，且两根，七满足 七+x2-x2=-23 ,求k的值； 5129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+(1-m)x-m=0 (3)若关于x的一元二次方程 是“立格方程”，求的取值范围. 知识点三 二次函数的图象与性质 1.如图，已知抛物线=+x+“经过42-)，B(3,0)两点，与y辅的交点为C,顶点为D. (I)求该抛物线的表达式及D点的坐标： (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为. ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值： ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直 接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 12.如图，抛物线 L:y=-x2+mx+3 的图象与'轴交于点A,与”轴的负半轴交于点B,点B坐标为 (-3,0) (1)求抛物线的表达式。 (2)若P为抛物线上线段AB上方一点，过P作PD⊥AB,垂足为D,求PD的最大值. (3)在(2)的条件下，当△1PB的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的项 点为P,且△AQB的面积等于△APB的面积，直接写出2的坐标. 6/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx+4 13.如图，抛物线 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,直线 y=-x+k -2,0) PQ⊥BC 经过B,C两点，点A的坐标为 ,P是第一象限内抛物线上的一个动点， 于点 Q,设点P的横坐标为n. 备用图 (1)求抛物线的函数解析式： (2)求线段P9的最大值，并求此时的值： (3)在(2)的条件下，当线段P⑨取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断 是否存在这样的点M,使得以点B,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的 坐标；若不存在，请说明理由 y=ax2-6ax-6(a≠0) 14.已知二次函数 (4,2) (1)如图，若该二次函数经过点 ①求出二次函数的解析式及顶点B的坐标： ②求△ABC的面积： ③当1≤x≤t+1时，y的最大值-1，求t的值. (2)已知点 M(-3,-8).N4-8),求出二次函数与线段MN给有一个公共点，请直接写出a的取值范国. 7/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，在直角坐标系中，抛物线a+c+3(a≠0)与轴交于点4-2,0)，B,与'轴交于点C, 连接BC,抛物线对称轴为x=2. VA A (1)求抛物线的函数解析式： (2)过点A作AE∥BC交y轴于点E,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PE,AP,抛物线对 称轴上有一动点N,过点N作MN1y轴于点M,连接PM,BN,当△AEP的面积与△AOC面积之差最 大时，求点P的坐标和PM+BN+MN的最小值： y=ax2+bx+3(a≠0 (3)将抛物线 沿射线4C方向平移得到新抛物线'，新抛物线'恰好经过点C,点D 为原抛物线的顶点，在新抛物线y上是否存在点卫，使得∠BDQ+∠CB0=45°.请写出所有符合条件的点 Q的横坐标，并写出其中一个点Q横坐标的求解过程， 知识点四 二次函数的应用 16.踢足球是同学们喜爱的一项运动，如图，甲同学站在球门正前方的点0处练习射门，他离球门的距离 OB=18m；身高1.4m的乙同学站在球门前的点A处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度 为0.6m;点0，A,B在一条直线上，AB=0.5m,足球球门高度为2.4m,以点0为原点，OB所在直线 为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路钱可看成抛物线=(x-+长的一部分. 甲 Q 门 A B 8/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)甲射门时，球离点0的水平距离 (m 与离地高度(m) 的部分数据如下表所示，求'关于七的函数解析 式 x/m 0 5 10 15 16 … y/m 0 3 3 2.56 (2)在(1)的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功： (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点O的水平距离不 变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求a的取值范围. 17.如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“”形小人 (看成点)起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2 所示.在平面直角坐标系中，矩形OABC、矩形DEFG和矩形MNPO的边OA,DE,MN均在x轴上， OA=DE=MN=2OC=DG=M0=IMD=3,BM=4,“T形小人从点B处起跳后沿抛物线 L:y=a(x-h)2+ 运动，落在边GF 的中点H处」 CB GHF9☐P O A DE M N 图1 图2 (1)点B的坐标为 点H的坐标为 (2)求抛物线的解析式： ®T形小人从点五处再次起跳后沿抛物线一运动，且与二形状和同 n ①若与的最大高度相同，判断“形小人会落在平 P№上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的 9/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 坐标： PO ②若“”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台 上（包括边界），设的最大高度为”，直接写出符合 条件的整数n的个数. 18.【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观.在广场中央O处安装一个垂直于地面且高为0,75米的花形柱子OM, 在柱子顶端M处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路 径落下，且在过OM的任一平面上抛物线路径如图1所示.为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距 OM的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面3.75米 M 0 地面 图1 图2 图3 【模型建构】 (I)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OM的水平距离为x米，水流喷出的高度为y 米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (②)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高1.83米的李师傅刚好笔直的站在地面上 却没有被水淋到，此时他离花形柱子OM的水平距离为d米，求d的取值范围： (3)为了美观，在离花形柱子10米处的地面E,F处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所 示，光线交汇点G在花形柱子OM的正上方，且OG=10米，求光线与抛物线水流之间的最小距离。 19.某俱乐部采用发球机训练发球，如图1，乒乓球台面是矩形，长为280cm,宽为150cm,球网高度为 15cm.发球机的出球口在桌面中线端点O正上方32cm的P点.假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球 的运动的高度y(Cm)关于运动的水平距离的x(cm)函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P 水平距离为80cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为4Om,以O为原点，桌面中线所在直线为 x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系（乒乓球看作为点)· 10/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PQ 边线 A Q B ! M 底线 球网 底线 图1 图2 (①)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）： (2)保持发球角度、速度不变情况下，发球机高度向上调整mcm,从P点上方A点射出，记为mcm(向下 调整记为负)，若发出的乒乓球能越过球网，并且不飞出底线，求m的取值范围（发球探网、擦边均视为 发球无效)· 20.综合与实践：小颖在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了 新的认识.对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探 究.小颖先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务. 【实验过程】：如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下至点A处后，再沿水平木板直线运动.从黑 球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在水平木板上的运动时间t(单位：$)、运 动速度v(单位：cms)、滑行距离y(单位：cm)的数据. 图1 【收集数据】：记录的数据如下表： 运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 运动速度v/(cm/s) 10 8.5 > 5.5 4 2.5 运动距离y/cm 0 27.75 5 69.75 84 93.75 【建立模型】：根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线（大致图象已画出）： 通过观察图象发现，我们可以用一次函数近似地表示v与的函数关系，用二次函数近似地表示'与的函 数关系.请求写出”与的函数关系式以及y与的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围） 【拓展应用】：①当黑球在水平木板上滚动了75cm时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板A点处的同时，在前方60cm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向右直线运动，则 黑球能否追上小车？若能，请求出黑球追上小车时的的值；若不能，请说明理由， 11/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 v/(cm/s) Ay/cm 101 100 9 90 8 80 7 70 6 60 5 50 4 40 3 30 2 20 1 10 0 369121518 t/s 369121518 t/s 图2 图3 图4 知识点五 二次函数与几何综合 21.如图1，抛物线'=+hr-3经过4(-10）B(3,0) 经过 两点，与'轴交于点C,P为第四象限内抛物线 上一点 B 图1 图2 (I)设四边形PBOC的面积为S,求S的最大值： ②连接BC,若△PBC 的面积为，求的最大值： 3)如图2，过点P作PM⊥x轴于点M,连接AC,AP,AP与y轴交于点N,当∠MPA=2∠PAC时，求 点N的坐标， 22.已知抛物线 '=m+r+c“,b,C为常数，a<0,>0 ). (1)当a=-1,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标； 12/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②点4-，0)和点B为抛物线与产轴的两个交点，点C为抛物线与'轴的交点。 ①当a=-2时，若点D在抛物线上，∠CAD=90°，AC=AD,求点D的坐标； B(m,0 ②若点 ,∠CMB=2∠ABC,以4C为边的0ACEF的顶点F在抛物线的对称轴'上，当CE+CF取 得最小值为 4 7时，求顶点E的坐标。 y=-x2+4 23.如图，抛物线 BC 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,连接.点P 是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点（不与点B重合），过点P作x轴的垂线，交x轴于点M,交直线BC 于点N. (I)求A,B,C三点的坐标及直线BC的解析式： (2)设点P的横坐标为m(0<m<2),用含m的式子表示线段PN的长，并求出PW的最大值； (3)是否存在点P,使△PBC的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =+2x+3与轴交于点4，B,与'轴交于点C. B B 备用图 (I)求此抛物线的顶点坐标及点A,B的坐标： (2)点M、点N均在这个抛物线上，点M的横坐标为m,点N的横坐标为4-m.将此抛物线上M、N两 点之间的部分（含M、N两点）记为图象G. 13/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当点M和N重合时，求出m的值 ②若点M在x轴上方并且点M在点N的左侧，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为2时，求m的值； (3)设点E的坐标为 -2-2n,1 ,点F的坐标为 -2-2n,-3-2n ),连接EF,当线段EF和抛物线有公共点 时，求出n的取值范围. 因损物线C:式-3交抽于A:B两照1传B的，交y轴于恩C VA B 图1 图2 (I)直接写出A,B,C三点的坐标： (2)如图1，点D,E分别在第三，第一象限抛物线上，若点A,B,C到直线DE的距离都相等，求点E 的横坐标： 6)如图2，平移抛物线得到抛物线S,其顶点为原点.过P-1-》的两直线，均不与'”轴平行，与 C, 与抛物线C交于G,H两点.过点H作P2的平行线，交直线2G于点N. C2 OG 抛物线有唯一的公共点， 若点K为H的中点，则点K是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由. 知识点六 反比例函数与几何综合 26.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为平行四边形，点A,D的坐标分别为(-2,5)，(0，)，点 B3,5)在反比例函数y=(x>0)的图象上. 14/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (①求反比例函数y=的解析式： (2)求点C的坐标： B)将。CD沿x轴正方阿平移I0个单位长度后，判断点C能否落在反比函数yc>0)的图象上，请 说明理由。 2.如图，一次函数y2+1的图象与x轴交于点A与y轴交于点C,与反比例函数y=(x>0)的图 象交于点P,作PB⊥x轴，垂足为B,PB=3 D B A B (1)求m的值； ②点M是反比例西数y=(>0)的图象上的一点，且在点p的右侧，连接M o连接OP,oM.若 ow=2S边形0c,求点M的坐标： ②在AP的延长线上存在一点D,使△DPM为等腰直角三角形，求点D的坐标. 28.如图，一次函数y=ar+b与反比例函数=x的图象相交于A(2,8),B(8,n)两点，连接A0,B0,延 长AO交反比例函数图象于点C, 15/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①)求一次函数”与反比例函数”的表达式， ②当X≤”时，自变量x的取值范围； )点p是x描上一点，当Sc青m时，诗求出点p的坐标 5 29.如图，反比例两数y-名x>0)的图象经过矩形O1BC对角线的交点从分别与M、BC相交于点D、 B M (I)证明：△OCE与aOAD面积相等： (2)若CE:EB=1:3,求BD:BA的值： (3)若四边形ODBE面积为6，求反比例函数的解析式. 30.如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA6,OB=3,反比例函数 )一k+0)在第一象限的图象经过正方形的顶点C 16/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)点C的坐标为， 反比例函数的表达式为 (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形AB'CD',点恰好落在反比例函数 的图象上，求此时m的值和点D'的坐标： (3)在(2)的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q,使以点O、、P、Q为顶点的四边形 为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 知识点七 反比例函数的应用 31.学校的自动饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温：y℃与通电时间min成一次函数关系， 加热到100℃即停止加热，水温开始下降，此时水温yC与通电时间xmin成反比例关系.当水温降至 20℃时，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若水温在20°℃时开始接通电 源，经过40分钟饮水机第一次关机，水温y与通电时间x之间关系如图所示 /℃A 100 30 40 x/min ()求从开始到饮水机第一次关机，水温'与通电时间x的函数关系式： (2)从开始到饮水机第一次关机，有多长时间水温不低于50C? 32.我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一，是中国制造的一张“亮丽名片”.某企业测试一款新 型电动汽车的电池续航性能，在匀速行驶等理想条件下，测得部分数据如下： 行驶速度x(公里 50 60 70 80 90 小时) 17/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础能耗y(千瓦 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 时/百公里) 该款电动汽车的电池容量为60.48千瓦时，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 电池容量（千瓦时） 实际续航里程= 6048 ×100= 实际能耗（千瓦时/百公里）】 实际能耗（单位：公里）. (1)请你根据表格数据在图的坐标系中画出相应的点， y(kW-h/100km) 12.35 12.25 12.15 12.05 11.95 11.85 11.75 11.65 11.55 11.45 0405060708090100x(km/h) ) (2)结合 中所描点的分布特征，从一次函数、二次函数中选择最符合基础能耗'与行驶速度之间关系的 函数，并求出该函数表达式. (3)当汽车匀速行驶且速度介于60公里/小时到85公里/小时之间（含60与85）时，求实际续航里程的最 小值 33.进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空 气中的含药量y(毫克)是时间x(分钟)的二次函数；药物燃烧后，'与x成反比例（如图）·现测得 药物4分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值16毫克.请你根据题中所提供的信息，解答 下列问题： y/毫克 16-- 4 x/分钟 ()研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经 过 分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，y关于x的函数关系式； 18/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克且持续时间不低于15分钟时，才能有效杀灭空气中 V3≈1.7、 的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？( 34.【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为2V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成 R=22 R、R, 控制灯泡L(灯丝的阻值 )亮度的实验（如图）·己知串联电路中，电流与电阻 之间关系为 U I= R+R,通过实验得出如下数据： R/2 1 9 3 又 6 I/A 4 2.4 2 b y 7 6 54 3 2 012345678x (1)a= 【问题探究】 2根据以上实验，构建出幽数y1,20,结合表格信息.探深究数 上(x之0)的图象与性质： ①在平面直角坐标系中画出对应函数y= 22x20)的图象 ②随着自变量x的不断增大，函数值'的变化趋势是 ；(填“增大”或“减小”) 【拓展应用】 (3)结合(2)中函数图象 3 ①在同一坐标系中直接画出=一2x+6的图像； 19/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 3 ②当x≥0时， x+2之一2x+6的解集为. 35.如图，在左边托盘A(固定)中放置一个重物，在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码， 可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘B与支撑点M的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到 下表： 托盘B与点 M的距离 10 15 20 25 30 x(cm) 托盘B中的砝 30 20 15 12 10 码质量少(g) y(g】 35 30 25 20 15 10 5 5101520253035x(cm) ①)把上表》的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点坐标，并用一条 光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测'与x之间的函数关系，并求出该函数表达式（不必写出自变 量的取值范围)： (2)当砝码质量为60g时，求托盘B与点M的距离： (3)当托盘B向左移动5Cm时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘B中的砝码质量需 增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量. 知识点八 线段的旋转综合 36.在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转(0°<a<180)得线段 20/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE. D D E E 图1 图2 (1)如图1，若连接CE.若∠BAC=a(0°<a<180). 求证：∠E+∠ADC=180° (2)如图2，若a+∠BAC=180°连接BE,作△ABE的中线AF,用等式表示线段AF、BC、BD之间的数 量关系，并证明你的结论. .如图，在矩形4BCD中，MD=25+2,∠4CD=0,点P为射线C1上一动点，连接DP,将线段 DP绕点P逆时针旋转30°得到线段EP,连接DE. (1I)当点P为线段AC的中点时，求证：△ADP是等边三角形： (2)当PE与矩形ABCD的边平行时，求线段DP的长： (3)在点P的运动过程中，线段DE的长度是否存在最小值？如果存在，求出最小值：如果不存在，请说明 理由 38.己知，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为点A(a,0),点B(0,b),将线段AB绕点A顺时 针旋转90°得到AC. 21/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q( D (4) 图1 图2 图3 (1)如图1，若b=2a,连接OC,三角形AOC的面积为8，求B点的坐标： (②)若a=0,b=6,点P是第一象限内一点，且∠OPB=45°，过点C作CQ⊥OP于点H,求证：PH=CH: 3)若a=0,b=6,如图3，点D为0，-2)，过点C作CE⊥CD,CE=CD,连接BE交x轴于点N,试求 △NBC的面积. 39.【问题提出】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是直线BC上一点，连接AD,将AD绕点 A逆时针旋转90°得到AE,点P为CD的中点，作射线AP交BE于点F, (I)探究：AP与BE的数量关系. ①【特殊化】当点D与点B重合时，容易发现AP和BE的数量关系： ②【一般化】如图所示，判断AP与BE的数量关系，并说明理由： A B D (2)【应用】当∠EBC=30°，AP=6时，求BD长. 40.在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，将线段CA绕点C逆时针旋转a(0°<a<90°)得到线段 CD,连接AD,BD D 图1 图2 图3 (1)如图1，当a=30°，CD=2时，求DB的长度； 22129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②)如图2，将线段CA绕点C顺时针旋转B(0°<B<90°)得到线段CE,连接AE,BE,线段BE交线段 AC于点E ①求∠BFC的度数；（用含P的式子表示） ②如图3，当a=45°，过点C作CP⊥BE于点P,过点D作DQ1BE于点Q.探究AE与PO之间的数量关 系是否随P变化而变化若不变，证明AE与PQ的数量关系；若改变，请说明理由： 知识点九 三角形的旋转综合 41.[问题情境]如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5,BE=12,∠AEB=90°，将R1△ABE绕点A按 逆时针方向旋转a度(0≤a≤180°)，点B,E的对应点分别为点B,E' B' E E ◇ E' B B 图1 图2 图3 [问题解决] (I)如图2，在旋转的过程中，当点B落在AC上时，求此时CB的长； (②)若a=90°，如图3，得到△ADE(此时B与D重合)，延长BE交DE'于点F,试判断四边形AEFE'的 形状，并说明理由： (3)在R△ABE绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段CE'长度的最大值. 42.如图①，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE=V2,连接 DE.将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 (0°<au<360) 23129 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图① 图② 图③ 备用图 ()如图②，当a=90°时，连接CE,BD,填空：CE与BD的数量关系为一；CE与BD的位置关系为： (2)当0°<α<360°时，CE与BD交于点F,(1)中的结论还成立吗？若成立，请结合图③写出证明过程； 若不成立，请说明理由： (3)当△ADE旋转到ED⊥AC时，请画出图形并求出BD的长. 43.综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图 1,己知△ABC中AB=AC,∠B=30°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点 D,E分别是点B,C的对应点)，旋转角为a(0°<<I00°，设线段AD与BC相交于点M,线段DE分 别交BC,AC于点O,N. 图1 图2 图3 特例分析： (I)如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角“的度数为-； 探究规律： (2)如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN,请 你证明这一结论， 拓展延伸： (3)①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角a的度数. ②在图3中，作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数. 24/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.把直角三角形OAB与直角三角形OCD如图1放置，直角顶点O与O重合在一起，点D在OB上， ∠B=30°∠C=45° △O'CD △OAB 。现将 固定， 绕点O顺时针旋转，旋转角 a0°≤a<90).oB与 DC交于点E. B D D D 五 0(0八 0(0) Q(O 图1 图2 图3 (1)如图2，在旋转过程中，若OA‖CD时，则a= 一：若AB‖OC时，则a= (2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，a= (3)如图3，在旋转过程中，猜想∠DOB与∠AOC的和是否是一个定值，若是，请求出这个定值，若不是， 请说明理由， 45.【问题情境】如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5,BE=12,∠AEB=90°，将R1aABE绕点 A按逆时针方向旋转a度(0≤a≤180°)，点B,E的对应点分别为点B,E'. D D D B B B 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)如图2，在旋转的过程中，当点B落在AC上时，求此时CB的长： (②)若a=9O°，如图3，得到△ADE(此时B'与D重合)，延长BE交DE于点F,试判断四边形AEFE'的 形状，并说明理由； (3)请你思考在R△ABE绕点A逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段CE'长度是否存在最大值和最小值. 如果存在，请你直接写出最大值和最小值 25/29 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点十 特殊四边形的旋转综合 46.综合与探究 问题情境：已知四边形ABCD为矩形，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B,C,D的 对应点分别为点E,F,G,直线EF与直线AD交于点H G D B 图1 图2 备用图 (I)推理证明：如图1，当点G落在CB的延长线上时，求证：△AEH≌△ABG (2)猜想验证：如图2，当点F落在CD的延长线上时，判断AH与FH的数量关系，并说明理由. (3)拓展延伸：若AB=3,AD=4,点H在射线AD上，连接AF，当△AFH是以AH为底边的等腰三角形 时，直接写出AH的长， 47.在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动， G G D M D B B 图① 图② 图③ (I)操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸ABCD和CEFG拼成I'形图案，如图①.试判断：△ACF的 形状为 (2)深入探究：小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2,AD=4, 探究一：①若矩形CEFG绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点 M,如图②，求aCMF的面积 探究二：②若矩形CEFG绕点C逆时针旋转m°，边CG与边AD交于点M,连接BM,当 26129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BMC+∠AMC=180°时，如图③.请直接写出m的值. G 由条件 H E ∠BMC+∠AMC=180 .∠DMC+∠AMC=180°， .∠BMC=∠DMC。 ADl/BC, .∠DMC=∠BCM. ∴.∠BMC=∠BCM, .BM=BC=4. AAB=号BM, 2 48.综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形 ABCD中，BD为对角线，∠BAD=60°，AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为a(单位： °)，旋转后的菱形为AB'C"D',在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决。 D D D D D B 图1 图2 图3 观察证明： (I)如图1，若旋转角a<60°，AD'与BD相交于点M,AB与B'D'相交于点N,请写出DM与B'N的数量关 系，并说明理由： 操作计算： (2)如图2，连接CD',菱形ABCD旋转的过程中，当B'D'与AB互相垂直时，CD'的长为； (3)如图3，若旋转角a<6O°，分别连接DD',BD',过点A分别作AE⊥DD',AF⊥BD',连接EF,菱 形ABCD旋转的过程中，发现在△AEF中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度. 27129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动， 如图l,正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE. 【操作发现】 (1)当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 一；直线DG与BE的夹 角度数为 【深入探究】 (2)如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE,∠DAB=∠GAE=60°，猜想DG 与BE的数量关系与直线DG与BE的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 (3)如图3，在(2)的条件下，AB=2,在菱形AEFG绕点A旋转过程中，直接写出线段CE的最小值. D D D E E A B 图1 图2 图3 50.【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1， ABCD ABCO 正方形 的对角线相交于点O,点O又是正方形 的一个顶点，且这两个正方形的边长相等， OEBF ABCO 四边形 为这两个正方形的重叠部分，正方形 可绕点O旋转. 图1 图2 图3 备用图 (1)【问题发现】 28129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①线段AE,BF之间的数量关系是 ②在①的基础上，连接EF,则线段AE,CF,EF之间的数量关系是 (2)【类比迁移】 如图2，矩形ABCD ABCO 的中心O是矩形 的一个顶点， 40与边4B相交于点&，C0与边BC相交于点 ?连接，延长CO交D于点P连接即、4C ABCO ,矩形 可绕点O旋转.判断线段4E,CF EF之间的数量关系并证明. (3)【拓展应用】 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,CB=4,直角∠EDF的顶点D在边AC的中点处，它的两条 边DE和DF分别与直线AB,BC相交于点E,F,∠EDF可绕点D旋转.当AE=2时，请求出线段CF的 长 29129