期中复习压轴专题01 选填题分类训练（12种类型60道）（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题01选填题分类训练 (新人教版九年级，12种类型60道) 范围：第二十五章一第二十八章 知识点一 一元二次方程的解法 1.若关于x的一元二次方程 x2-(2m+n）x+2n=0 有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2 2m-n 倍，则代数式m+2n的值为() 思5号 12 C.3或9 1.2 D.3或g 之已知关于x的一元二次方程2-2张-x++2=0的两个实数根为5和，设4=式 k,则t的最大 值为（) A.-4 B.4 C.6 D.6 3.已知关于x的两个一元二次方程x2-mx+m+4=0和2x2-mx+m=0有且只有一个公共根，则m的值 为」 4.已知，》满足+2w+y-6x-6y=-9,则0- 的最小值为 5.已知-2x=0,2-2y2+x-10=0 则x的值为 知识点二 一元二次方程根与系数的关系 6.若a、b是方程x2+2x-2027=0的两个根，则a+3a+b=() A.2026 B.2027 C.2025 D.2029 1 7.已知一元二次方程m2+br+c=0(a≠0)有一个根为2026，且b+2c=0,则方程cx2+bx+a=0一定有 1122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一个根为() A.-2020 B.-2022 C.-2024 D.-2025 8.小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究。 一元二次方程根与系数的探究 因为，5是方程的根，那么方程左边的m+bx+C一定会有因式 x-x)(x-x2) x2+bx+c=a-(x-x)(x-x2) 因此 ax2+bx+c=ax2-a(x+x2)x+ax x2 展开右边得到 b 所以bx=-a(任+)x,c=5,整理后得到x+戈=-。x书=司 a a X1,X2,x3 x3+x2-7x-6=0 X1·X2·X3 如果 是一元三次方程 的三个根，请你类比小刘的方法探究 的值为 () 7 A.3 B.3 C.-2 D.2 9.若a.P是方程+2026x-2=0的两根，则云+2027a-4圳F+2027B-4刊的值为 1,1 +=-1 10.己知关于x的一元二次方程x+2(2-m)x+3-6m=0,如果方程的两个实数根名与为满足x。 则m的值是 知识点目 一元二次方程的应用 11.如图，在△ACB中，∠C=90°，AC=7cm,BC=5cm.点P从点B出发向终点C以lcm/s的速度移 动，点Q从点C出发向终点A以2cm/s的速度移动，P,Q两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时 停止运动.当△PCQ的面积等于4cm2时，两点运动了() 2122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■ PB A.Is B.2s C.4s D.1s或4s 12.《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年.该书是一部成就辉煌的 数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位.嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人 代买一批椽，这批椽的价钱为216文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰 好等于一株椽的价钱.下列说法不正确的是() A.设这批椽的数量为x株，则 3x(x-1)=216 B.这批椽的总运费为24文 C.一株椽的价钱为24文 D.这批椽一共有9株 l3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从点C开始沿射线CA方向以lcms 的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cms的速度运动. 秒后以A、B、P、Q 为顶点的四边形的面积为20cm2. B -PO 14.我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法.以方程x2+5x-14=0,即 x(x+5)=14 为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它 的面积可表示为 x+x+5) ， 同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+53， 因此有 x+x+5)2=81 ,可得方程的正数解为x=2.小明用此方法解关于x的方程+mx-n=0时，构造 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出类似的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则m+n的值为. x+5 x+5 x+5 x+5 15.在四边形ABCD中，ADI‖BC,∠ABC=90°，AD=3,AB=4,BC=5,点P在四边形ABCD内. S1 S2 如图1，PB,PD将该四边形分成两部分，面积分别记作，心？，则一 (填“存在”或“不存在”) 点P,使得 1=S2 ,如图2，将点向右平移” m(m>0) .0 个单位长度，得到点（点仍在该四边形内)· PB PO OD 将该四边形分成两部分，面积分别记作， .8若存在点P,,使行8=8，则m的取 值范围是 D S S2 图1 图2 知识点四 二次函数图象与各项系数符号 16在面直角坐标系中，已知抛物线=++ac是常数，a0)经过点)，当2时。 y之k+1;当x>2时，y≥k.下列结论：①k=9a+3b+c;②b<-4a;③函数y的最小值为k+l:④a 的值为1.其中，正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.二次函数'=+hr+c(a≠0 的图象如图所示，下列结论： ①abc<0②2a+b<0 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b ③3a+4<2h:④若1<m<n<1则m+n<a.其中正确的结论有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 1 18.如图，抛物线y=a2+br+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0)，其对称轴为直线x=一2，结合图象分析下列 b-4ac 结论：①bc>0;②4a；③当x<0时，y随x的增大而增大；④3a+c>0;其中正确的结论有_ 19.如图，抛物线'=m+r+c与x轴交于 (-2,0）,B(4,0),交y轴的正半轴于点C,对称销交抛物线 于点D,交x轴于点E,则下列结论： ①2a+b=0: ②a-b+c>0: ③abc>0: (0,4) D(1,5) ④当点C坐标为 时，抛物线顶点 (m,n) ⑤若点 是抛物线上第一象限上的动点，当 .0c最大时，m=2 其中正确的有」 (只填序号) 5122 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 20.已知抛物线 y=ax2+2x+c(a≠0 与转交于4(-m,0叭，B(m+.0)丙点，在2≤x≤3的抛物线上有一 点P,其纵坐标为n,若3≤c≤4，则n的取值范围是() A.-4≤n≤4 B.n≤4或n≥4 c.-5≤n≤5 D.n≤-5或n≥5 知识点五 二次函数的图象与性质 21,我们定义种新函数：形如'-+c+c(a≠0，分-4ac>0)的西数叫做“鹄桥”函数.小丽同学国 出了如图所示的“鹊桥”函数'=+x+d 的图象，下列结论正确的是() 3 A.图象的对称轴是x= 2 B.当且仅当-1≤x≤1时，y随x的增大而增大 C.若a<0则8a+c<0 D.若a<0,则 +b≤m(am+b) (为任意实数) 2.小红发现某些函数图象上的三点41(：，）、B:,）、C(,)满足如下性质：对于任忘非零实数， 存在位于x轴同侧的A、B、C三点，使这三点“纵坐标之和”与“横坐标之积”异号，下列函数不具备该 性质的是() 6122 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k A.y=kx B.y= x C.y=kx2 D.y=kx-2 23.二次函数y=+r+c(a≠0) 1,0 的部分图象如图所示，图象过点 ,对称轴为直线术=2，有下列结 论：①abc>0;②b2-4ac>0;③c=3a;④4a+b=0;⑤当x<1时，y随x的增大而减小，其中正确结 论的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 24.在平面直角坐标系0中，P(,）.(,)是抛物线' y=(x+a)(x-a-2) 上的两点.若对于 1<x<1+1t+2<x2<t+3 都有片≠片，则'的取值范围是 25.如图，在△ABC中，∠BAC=6O°，D为边AC上的一点，当AD>AB时，连接BD,将线段BD绕点 B按逆时针方向旋转60°，得到线段BE,连接AE,DE.若AD=6,则△ABE的面积的最大值为 E 知识点六 二次函数的应用 26.在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E从点A沿着边AD向终点D运动，同时，点F以相同 的速度从点D沿着边DC向终点C运动，在此运动过程中，点E与点F距离的最小值是() A.4 B.4V5 C.8 D.&5 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.如图，两个全等的等腰直角△ABC和△DEF的斜边AB=DE=I0,点E与点A.重合，斜边AB与DE 在一条直线上，△ABC保持不动，△DEF以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停 止运动.设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则'与x函数关系的 图象大致是() D A(E) B AY 25 10x 0 10x 50 25 0 5 10x 0 510x 28.如图，某游乐园要建造一个直径为30m的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距 池中心6m处达到最高，高度为9m,以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在 喷水池中心设计一个装饰物A,使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为 29.如图，直线y=-x+4与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y= x+br+c经过B、C两点.点 3 8122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F是抛物线上的一动点，设S△rc=m,对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是一· 30.如图1，在等腰直角△EFG中，∠FEG=90°，且位于长方形ABCD的左侧，直角边EF与BC边在同一 直线上，AB>EG.现将△EFG沿BC方向移动，设BE的长为x,△EFG与长方形ABCD的重叠部分（图 中阴影部分)面积为y,则y与x的关系图象可以用图2表示.请根据图象信息分析，长方形ABCD的BC 边长为 ,当y=32时，x的值为 A G B E 910 图1 图2 知识点七 二次函数与一元二次方程 31.如图，在平面直角坐标系中，点 A(2,4 在抛物线'=(a≠0)上，过点4作'轴的垂线，交抛物线另 一侧于点B,点C,D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C,D作x轴的垂线交抛物线于点E, F,则四边形CDFE的周长的最大值为() 9/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.10 C.25+2 D.83-8 32.如图，已知抛物线'=r+px+ 的对称轴为=-3，过其顶点M的一条直线=+ 与该抛物线的 另一个交点为 N(-l,1) 要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为() M A.(0,2) 0 38,图，直线=与抛物线-2+号交于A”B两点，点p是y轴上的个动点，当P4B的用 J 长最小时，△PAB的面积为() 10 6 A.3 B. C.3 D.5 10/22 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.如图，已知抛物线'=r-2x-8 x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶 点为D点.若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM,MN,当△CMN是以∠CMN为直角的等 腰直角三角形时，点M的坐标为 A 0 B 图。在平面直角坐标系中，点C在y轴上，点D在r轴上，抛物线)=-。+x+4经剂 点，点A在x轴上，连接CM.E,P分别是O0,4C上的一点，且BC=EF,若∠CEF=∠CMD,A3,0) 则点E的坐标是 知识点八 反比例函数的图象与性质 45 36.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为8，BA垂直x轴于点A,OB与双曲线y=,相交于点 C,且BC:OB=1:3,则k的值为() B 11/22 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 9 A.-3 B.4 C.-5 D.2 37,如图，A是反比例函数X-子(x<0)图象上一点，B是反比例函数为=(x>0)图象上一点，连接 B交y轴于点C,若1C=BC,SaMo=3 ,则k的值为() B 出2 A C B.3 C.4 D.25 k 38.如图，A是反比例函数y=x(k≠0)的图象上一点，延长OA至点B,使AB=20A,过点B作 BC‖x轴，交该反比例函数图象于点C,过点A作AD∥OC,交BC于点D.若四边形OADC的面积为 4,则k的值为() 本y B A.2 A号 c号 D.-3 k 39,如图，在RtaOAB中，OA在x轴上，∠OAB=90°，反比例函数y=元与OB,AB分别交于点D,B, 连接DE,D,若DB=D0,Sms=4 ,则的值为一· 12/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在反比例函数少=元的图象上，4B经过原点0，延长 AC交x轴于点D,且AC=CD.若△ABC的面积为6，则k= D 知识点九 反比例函数与几何综合 41.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点.△OAB和△OBC均是直角三角形， ZB0=∠Cg0=909,∠A0B=∠BOC=309.若B=2,点C在友比例函数y上c>0的图象上，则 的值为() 1,g B.45 65 C.3 D.85 42.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆 放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC,BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然 后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移α个单位长度后，小明发现A,B两点恰好都落在函数 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 y=x的图象上，则a的值为(） .6 B 0 (C) A.2或3 B.3或5 C.2或5 D.2 43.喜欢研究的小宇同学在学习了“反比例函数”相关内容后，结合之前学过的正方形知识点进行了融合 创新研究.如图，他将一个正方形ABCD放到平面直角坐标系中，项点D恰好落在反比例函数 y>0)的图象上，且另外两个顶点为40，B0).则下列说法指误的是() A A.反比例函数的解析式为少=4 B.该函数图象经过正方形ABCD的中心 （4,4) C.点C的坐标为 D.将正方形ABCD向左平移2个单位长度后，点C落在反比例函数图象上 44.如图，在平面直角坐标系xO少中，一次函数y=c+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B,与反 比例函数-(m>0)的图象交于点C2,6),B为线段4C的中点。若点D为线段4C上的一个动点。过 点D作DE‖x轴，交反比例函数图象于点E,连接OD,OE,则△ODE面积的最大值为 14/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 45.如图，在平面直角坐标系中，点 a0,点Da+20,以4D为边，在箱上方作正方形48CD, 双由线y-名(x>0)经过点5，其中0<a≤4，若直线L:y=-x+4将正方形ABCD的面积分为1：3两部分， 则k的值为 D 知识点十 实际问题与反比例函数 46.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降， 此时水温（℃）与通电时 x(min） 成反比例关系.当水温降至20°℃时，饮水机再自动加热，若水温在 20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（) AC 100 20 x/min A.水温从20℃加热到100℃，需要4min 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 400 B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是y= C.上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D.在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 47.如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含 y(mg） x(min) 药量 与时间 成正比例，喷雾完成后'与成反比例（如图所示）·当每立方米空气中含药量 低于l.6mg时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（) y(mg) 8 x(min) A.每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2分钟 B。每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是=0 C.为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室 D.每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为10分钟 48.【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系.②两 种液体混合后密度P满足：D。-叱+P(其中A,P为两种液体的密度，？，片 V V2 为两种液体的体积， V8=V+V2 为方便计算，假定 500cm3 300cm3 【问题解决】图1中的液体由 的水与 的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正 方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为2cm；小明又将该木块置于图2的水 2.6cm 1g/cm 中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为 ·己知水的密度为 ，则溶液甲的密度为()· 16/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6© 图1 图2 A.1.2g/cm 1.5g/cm B. c.1.8g/cm3 2.1g/cm3 D 49.智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作.某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中 R为电阻箱《一种变阻器，电阻阻值R大小可调)，R为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值 (2) F(N) 随所受压力 变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是() R/2 50 40 R 30 20 发器 10 0 50100150200250FN 图1 图2 信息窗 R总=R,+R 1.电路中的 (触发器电阻忽略不计)： 2.为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计） 5kg 10N/kg、R 为 压力F为150N(g取 要求不低于1402 A.压力传感器阻值R随所受压力F的增大而增大 B.当F=75N时，压力传感器阻值R=25Q C.当送餐量为15kg时，R=202 R≥1002 D.为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值 50.火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图）， 17/22 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平 分线为y轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE和曲线CF分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔 的高度为110m,BC=20m,上口宽EF=16m,则底部直径AB的长为m, B 图1 图2 知识点十一 根据旋转的性质求解 51.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD上，连接AE,将线段AE绕点A顺时针旋转90°至AF, 连接BFEF,过点A作AG⊥EF,垂足为G,连接CG,则有以下结论：①BF=DE;② ∠AF:∠AE:@CG=G-G:③当∠DME=30时，F-等6，共4正确结论的个数有(） D G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 52.如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP并延长，交BC于点O,连接DP.将△ADP绕点A顺时 针能转90至△MBP.连接P,若MP=,PB=25,PD=i ,则该正方形的边长为() 18122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 c.13 D.16 53.如图，在△ABC中，∠C=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,延长CB分别与AE,DE MN 交于M,N两点，连接AN,则AN的值为(） M B D 3 3-5 3W2-V6 5 A.3 B.3 C.6 D. 54.如图，在等边△ABC中，BC=4,BD是AC边上的高线，点P是线段BD上的动点，连接CP,将线 段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CN,连接DN,则线段DN的最小值为. D 55.如图，菱形ABCD的边长为12，∠ADC=120°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连 接EF,将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG,连接BG,CG,则BG+CG的最小值是」 知识点十二 坐标系中的旋转 56.雪花也称银栗，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶.美术课要 求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶 19/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B的坐标为 0,4) ）,点A在第一象限，∠AOC=60°，将菱形0ABC绕原点D沿顺时针方向旋转，每次旋 600 ,旋转第一次得到四边形 1BG(点C与点4重合)，则旋转第2026次得到的点B的坐标 C 2026 B A(C) B A A.(0,-4) B.（25,-2) c.(23,-2) D.（2-23) 57.将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xO少中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为 (,, 将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为 () B A.(-1,5 B.(-2,0) D.（l,-5) 58.如图，四边形 1BC是正方形，曲线CC,CCG"n叫作“正方形的渐开线”，其中C冈，CG, CC,CC,的圆心依次按0,4，B,G循环，当01=l时，点C5的坐标是() 20122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(0,2025) B.（-2025,1) c.（-1-2024 (2024,0) D 59。如图，在平面直角坐标系中，点R的坐标为人2，)，将线段0r绕点0按顺时针方向旋转45，再将 OP OP OP 其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 OP OP3… 的2倍，得到线段 如此下去，得到线段 2,0B,…,0<”为正整数)，则点的坐标是 P 60.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示 将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如 0(0,0) 图，点 按序列“011作变换，表示点0先向右平移一个单位得到010)，再将0(L,0) 绕原点顺 时针旋转0°得到2(0-），再将0,0，-)绕原点顺时针旋转0得到0(-，0，依次类推.若点 (1,0) 经过“011011011.…”共2026次变换后得到点 A6,则的坐标为 A026 21/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y个 0 22/22 期中复习压轴专题01 选填题分类训练 （新人教版九年级，12种类型60道） 范围：第二十五章—第二十八章 知识点一 一元二次方程的解法 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据其中一个根为另一个根的2倍，分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得，． 关于的一元二次方程的其中一个根为另一个根的2倍， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 3．已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 【答案】或 【分析】设公共根代入两个方程，消去的相关项求出公共根，回代求，再验证条件即可． 【详解】解：设两个方程的公共根为，∵同时满足两个一元二次方程， ∴， 由②①得， 解得：或． 当时，代入得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为两个相等的，两方程只有一个公共根，符合条件． 当时，代入得， 整理得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为和，两方程只有一个公共根，符合条件． ∴的值为或． 4．已知，满足，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】将原方程整理得出，然后代入代数式利用配方法求解即可． 【详解】解： 整理得：，即， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 5．已知，，则x的值为_____． 【答案】5 【分析】由第一个方程得到，代入第二个方程得到关于的一元二次方程，求解后根据舍去不符合题意的根，得到的值． 【详解】解：， ， 将代入得： 整理得： 因式分解得： 解得：，， ， ， 不符合题意，舍去， ． 知识点二 一元二次方程根与系数的关系 6．若a、b是方程的两个根，则（     ） A．2026 B．2027 C．2025 D．2029 【答案】C 【分析】由题意知，，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴ ． 7．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由原方程的已知根推导出的一个根，结合，利用根与系数的关系求另一根． 【详解】解：∵ 一元二次方程有一个根为， ∴ ， 两边同乘得：，即 ， ∴ 是方程的一个根； 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 8．小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究． 一元二次方程根与系数的探究 因为是方程的根，那么方程左边的一定会有因式 因此， 展开右边得到． 所以整理后得到． 如果是一元三次方程的三个根，请你类比小刘的方法探究的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得， ∴， ∴. 9．若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得，由方程的解的定义得到，，则可求出，，则可得原式，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴ ． 10．已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到两根和与两根积的表达式，再将已知等式变形，得到关于的方程，求解后验证即可得到的值． 【详解】解： ∵原方程为关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴计算判别式得 ， ， ∴对任意实数，方程都有两个实数根， ∵，是原方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵， ∴通分变形得， 代入和的表达式得， 两边同乘，且， 得， 整理得， 解得， 经检验，得，符合条件． 知识点三 一元二次方程的应用 11．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 12．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 13．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 14．我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】11 【分析】画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 解得：，负值舍去， ， 解得：． ． 15．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 知识点四 二次函数图象与各项系数符号 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）经过点，当时，；当时，．下列结论：①；②；③函数的最小值为；④的值为1．其中，正确结论的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据点在抛物线上、二次函数的对称性和单调性判断各结论即可． 【详解】解：①∵抛物线经过点， ∴将代入得，故①正确． ②∵当时，，对任意，，且时，，说明抛物线开口向上，，顶点为， ∴对称轴为，由对称轴公式，得 ， ∵， ∴，即，故②正确． ③∵抛物线开口向上，顶点为， ∴函数的最小值为，不是，故③错误． ④∵抛物线开口向上，，对称轴，当时，随增大而减小， ∴时，的最小值在处， 抛物线顶点式为，代入得， ∵时，， ∴，得，故④正确． 综上，正确的结论有①②④，共3个． 17．二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；若，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定、、的符号及相互关系，再结合特殊点的函数值及不等式性质逐一判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴， ， ，故正确； 对称轴，， ， ，故正确； ，，， ，， 当时，，且， ，即， ， 即，故正确； 对称轴， ， ， ， ， ，故错误． 综上所述，正确的结论只有，共个． 18．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④；其中正确的结论有________个． 【答案】3 【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与轴交于点和，且， ∴， 由图象知：，，， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与轴交于点和， ∴， 又因为 ∴，故结论②正确； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故结论③错误； ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上：正确的结论有①②④， 所以正确的结论有3个． 19．如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 20．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 知识点五 二次函数的图象与性质 21．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 【答案】C 【分析】根据图像与轴交点求对称轴排除A，由图像分析函数性质排除B，由对称轴得、代入特殊值判断符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等号方向排除D． 【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线， 故选项A错误，不符合题意； B、当或时，函数值随值的增大而增大， 故选项B错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴由图可知，当时，，当或时，， ∴当时，， ∴， ∴， 故选项C正确，符合题意； D、∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∴， 综上，若，则（m为任意实数）， 故选项D错误，不符合题意． 22．小红发现某些函数图象上的三点、、满足如下性质：对于任意非零实数，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“纵坐标之和”与“横坐标之积”异号.下列函数不具备该性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合各函数性质分析． 【详解】解：由题意得，轴同侧的三点即同号，需要满足与异号，即. 对选项A，： 当时，取三个的点，可得，，满足异号； 当时，取三个的点，可得，，满足异号， 因此A具备性质，不符合题意； 对选项B，： 当时，对任意点都有，即与同号，若取轴同侧三点，则同号，因此也同号，可得与一定同号，不存在异号的情况，因此B不具备性质，符合题意； 对选项C，： 当时，取三个的点，可得，，满足异号； 当时，取三个的点，可得，，满足异号， 因此C具备性质，不符合题意； 对选项D，： 当时，取三个很小的正数，且都满足，，，满足异号； 当时，取三个绝对值很大的负数，且都满足，，，满足异号，因此D具备性质，不符合题意． 23．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质，结合开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别式、函数增减性，逐一判断五个结论的正误． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线过点， ∴当时，， ∵， ∴，即，故③正确； ∵对称轴为直线，即， ∴，即，故④正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，随的增大而减小，故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 24．在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点.若对于，，都有，则的取值范围是__________. 【答案】或 【分析】根据题意可得抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点关于对称轴的对称点为与点不重合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标分别为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵对于，都有， ∴点关于对称轴的对称点为与点不重合， ∵， ∴， ∵， ∴或， 解得：或． 25．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为______． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．在上截取，连接，过作交延长线于，则，在中，设，则，，得到，，，，，，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：在上截取，连接，过作交延长线于，则， 由旋转性质得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则，， ，，， ，， ， ， ∴当时，S最大，最大值为． 知识点六 二次函数的应用 26．在边长为8的菱形中，，点从点沿着边向终点运动，同时，点以相同的速度从点沿着边向终点运动，在此运动过程中，点与点距离的最小值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】过点F作交的延长线于点G，设点E、F的运动速度为1，运动时间为x，则，利用菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形性质，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】解：过点F作交的延长线于点G， 设点E、F的运动速度为1，运动时间为x，则， ∵边长为8的菱形，， ∴， ， ∴，， ∴，由勾股定理得：， ∴， 根据勾股定理，得 ， 当时，取得最小值48，此时取得最小值， 故选：B． 27．如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 28．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了“二次函数的图象与性质”，理解题意，找到对应点的坐标是解题关键． 根据题意，通过距离关系，得到对应点的坐标，根据点坐标求解析式，解析式与y轴的交点纵坐标即为设计高度的值． 【详解】解：由题意，得，即，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， 令，得， ∴这个装饰物设计高度为5． 故答案为： 5． 29．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线的解析式、二次函数的基本性质以及二次函数图象与其他函数图象相结合问题，先根据待定系数法求出抛物线的解析式，对的位置进行分类讨论，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况即可求解，熟练利用做辅助线，利用数形结合的方程是解题的关键． 【详解】解：由知点，点， 将，代入， 可得， 解得， ， 由题意得，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况， 如图，过点作轴的垂线交于点，如图所示， 设点， 则点， 当时，的最大值为， 当取大于时，在上方无法找到点， 综上所述：当时，对应的点有且只有两个． 故答案为： 30．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ______，当时，x的值为 ______． 【答案】 9 4或11 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 知识点七 二次函数与一元二次方程 31．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 32．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点的坐标；结合的长度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周长最小．过点作关于轴和轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点， 则有，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线顶点的坐标为， ∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小， 如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则，， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； 同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； ∵， ∴， ∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏． 33．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 34．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为________． 【答案】或 【分析】过M点作于H点，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ， 设， 是以为直角的等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， 或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 35．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过C，D两点，点A在x轴上，连接．E，F分别是上的一点，且，若，，则点E的坐标是________． 【答案】 【分析】连接，求出两点的坐标，证明为等腰三角形，得到，一线三等角，证明，得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确地求出点的坐标，熟练掌握一线三等角的全等模型，是解题的关键． 知识点八 反比例函数的图象与性质 36．如图，在平面直角坐标系中，的面积为，垂直x轴于点A，与双曲线相交于点C，且，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴交于点，设，由的面积得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出的坐标，即可求解． 【详解】解：过点作轴交于点， 设， 的面积为， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， 解得，， ，， ． 37．如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，再利用反比例函数几何意义列式求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 轴，轴， ， 与互为对顶角， ， 又， ， ， 点在反比例函数图象上， 由反比例函数几何意义可得， ， ，， ， ， ， ， ， 点在第一象限内反比例函数的图象上， ， ， ， 解得． 38．如图，是反比例函数（）的图象上一点，延长至点，使，过点作轴，交该反比例函数图象于点，过点作，交于点．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．如图，在中，在x轴上，，反比例函数与，分别交于点D，E，连接，，若，，则k的值为______． 【答案】 【分析】连接，作交x轴于点F，设，根据题意得出，确定，，再由三角形面积得出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，作交x轴于点F， 设， ∵， ∴， ，， ∵， ∴． 40．如图，在平面直角坐标系中，各顶点均在反比例函数的图象上，经过原点，延长交轴于点，且．若的面积为，则________． 【答案】 【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象和性质以及经过原点，得到点的坐标，根据为线段中点，得到点的坐标，以及，根据建立关于的等式，得到的值． 【详解】解：如图，连接， 设点， ∵均在反比例函数的图象上，且经过原点， ∴关于原点对称，且， ∴， ∵， ∴为线段中点， 设，则，且，即， 又∵均在上， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点到线段和线段的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得：，即． 知识点九 反比例函数与几何综合 41．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．和均是直角三角形，，．若，点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用的已知边角求、，再在中求，最后通过解直角三角形，将的长度及其与x轴的夹角转化为点的坐标． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴​． ∵，​ ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∵， ​∴​​． 过点作轴于点，设． 在中，，且， ∵以为原点，所在直线为轴， ∴与x轴正方向夹角为． 又， ∴， 则点坐标满足： ， ． ∴点坐标为． 点在反比例函数​()的图象上， 所以​​． 故的值​​， 故选：C． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是灵活运用角的三角函数值，依次求出相关线段长度，并确定射线与轴的夹角，从而求出点的坐标． 42．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（   ） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， ∴， 整理得， 解得：或． 故选：A． 43．喜欢研究的小宇同学在学习了“反比例函数”相关内容后，结合之前学过的正方形知识点进行了融合创新研究．如图，他将一个正方形放到平面直角坐标系中，顶点恰好落在反比例函数的图象上．且另外两个顶点为，．则下列说法错误的是（     ） A．反比例函数的解析式为 B．该函数图象经过正方形的中心 C．点的坐标为 D．将正方形向左平移2个单位长度后，点落在反比例函数图象上 【答案】C 【分析】连接、交于点，作轴于点，容易证明，则，，从而得到，进一步求出．利用正方形的性质和中点公式可得，，结合平移规律和反比例函数的解析式进行判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为，故A正确； ∵，， ∴由中点公式可得，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象上，故B正确； ∵，， 又∵点是的中点， ∴点的坐标为，即，故C错误； 向左平移2个单位，则平移后点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象上，故D正确． 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点，B为线段的中点．若点D为线段上的一个动点．过点D作轴，交反比例函数图象于点E，连接，，则面积的最大值为______． 【答案】 【分析】一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，用k、b的值表示点A和点B的坐标，根据B为线段的中点，求得点A和点B的坐标及k、b的值，可得一次函数解析式，根据点C坐标可得反比例函数解析式，延长交y轴于点F，设点E纵坐标为a，可得点E和点D坐标，根据可求得关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可得到面积的最大值． 【详解】解：对于一次函数， 当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∵点，B为线段的中点， ∴点B的纵坐标为3， ∴， 即， ∵点A与点C关于点B对称， ∴点A的横坐标为， ∴， 即， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 如图，延长交y轴于点F， 设点E纵坐标为a，将代入，得， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 45．如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边，在x轴上方作正方形，双曲线经过点B，其中，若直线将正方形的面积分为两部分，则k的值为________． 【答案】或 【分析】根据点A和点D的坐标结合正方形的性质得到，，则；再分图1和图2两种情况，求出点M和点N的坐标，根据题意可得，据此根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图1所示，当直线L与分别交于点M，点N时， 在中，当时，，当时，， ∴， ∵直线将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵双曲线经过点B， ∴； 如图2所示，当直线L与分别交于点M，点N时， 在中，当时，，当时，， ∴， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴同理可得点B的坐标为， ∴； 综上所述，k的值为或． 知识点十 实际问题与反比例函数 46．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 上午10点到共30分钟，， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故C选项说法正确，不合题意； D、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 47．如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后与成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（   ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要2分钟 B．每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为10分钟 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，喷雾阶段室内每立方米空气中的含药量与喷雾时间成正比例；喷雾后，与成反比例，且其图象都过点，用待定系数法可求得正比例和反比例函数的函数解析式，再逐项计算即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； A.在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意． B.每立方米空气中含药量下降过程中，与的函数关系式是，故此选项不符合题意． C.喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项符合题意． D.在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 故选：C． 48．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 49．智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．某款智能机器人送餐时的电路原理图如图1所示，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值随所受压力变化的函数图象如图2所示，下列说法正确的是（     ） 信息窗 1．电路中的（触发器电阻忽略不计）； 2．为保证智能机器人的正常运行，智能机器人送餐一次的最大送餐量（餐盘质量不计）为，压力为（g取），要求不低于． A．压力传感器阻值随所受压力的增大而增大 B．当时，压力传感器阻值 C．当送餐量为时， D．为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值 【答案】C 【分析】根据函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由图得，压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小，此选项错误； B．由图得，当时，压力传感器阻值，此选项错误； C．由图得，当送餐量为时，即当时，，此选项正确； D．因为智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为150N，所以由图得此时，因为要求不低于140Ω，所以，即，此时，因此为保证智能机器人的正常运行，电阻箱阻值，此选项错误． 50．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 知识点十一 根据旋转的性质求解 51．如图，正方形的边长为4，点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，过点作，垂足为，连接，则有以下结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明得出，即可判断①，进而证明是等腰直角三角形，即可判断②，得出，进而得出，即可判断③，根据勾股定理求得，得出，进而得出，根据是等腰直角三角形，即可得求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴， ∴， ∴，结论①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，结论②正确； ∵， ∴是直角三角形． ∵是等腰直角三角形，， ∴是的中点， ∴， ∴，结论③正确； ∵ ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴，结论④正确． 综上，4个结论均正确，故选：D． 52．如图，点是正方形内一点，连接并延长，交于点，连接．将绕点顺时针旋转至．连接，若，，，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，根据旋转的性质可得，则可得是等腰直角三角形，进而求出，得到的长，最后利用勾股定理求出即可. 【详解】解：过点作于， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴. 53．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与交于M，N两点，连接．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，再根据旋转的性质可得，，然后根据直角三角形的性质得，接下来设，则，根据勾股定理得，进而得出，再根据直角三角形的性质得，即可求出，接下来根据勾股定理得，可得，最后根据勾股定理求出,则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点A作，交于点H， 根据旋转的性质可得，． 在中，， ∴． 设，则，根据勾股定理，得， ∴， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 根据勾股定理，得, ∴． 54．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 55．如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，连接，根据．当点，点E，点三点共线时，的值最小，且最小值为．过点E作交的延长线于点M，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，，如图， 菱形的边长为12， ， E是边的中点， ，， ． ， ， 是的中点， ． ， 为等边三角形， ，． 线段绕着点E逆时针旋转得到， ，． 为等边三角形， ，． 在和中， ， ． ，， ∴， ∴， ． 连接， ． 当点，点E，点三点共线时，的值最小，且最小值为． 过点E作交的延长线于点M， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 的最小值为． 知识点十二 坐标系中的旋转 56．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 57．将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，关于原点对称的点的坐标中；根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点A的对应点与点关于点对称， ∴点A对应点的坐标为． 故选：D． 58．如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，A，B，循环，当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 找出图形的规律，循环周期为4，半径依次增加1，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可得，弧的半径依次增加1，四个弧旋转一周，为一个旋转周期， ∴的旋转周期为，此时，弧的半径为2025，在轴的正半轴上， ∴点的坐标是， 故选：A． 59．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段； ， 同理， 如此下去，得到线段，，， ， 由题意可得出线段每旋转次旋转一周， ∵， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ，解得， 点的坐标是． 故答案为：． 60．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．若点经过“011011011…”共2026次变换后得到点，则的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律．根据题中所给变换方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为点的坐标为， 所以第1次变换后得到点的坐标为； 第2次变换后得到点的坐标为； 第3次变换后得到点的坐标为； 第4次变换后得到点的坐标为； 第5次变换后得到点的坐标为； 第6次变换后得到点的坐标为； 第7次变换后得到点的坐标为； ， 由此可见，点对应点的坐标按，，，，，循环出现， 又因为余4， 所以点的坐标为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $