4.3 对数（8个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3 对数 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．对数 概念 如果（，且，），那么x叫做以a为底数N的__对数____，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：（，且） ，，__N ____（，且） 运算法则 _ _____+__ ____ ，且，， _ _____-______ 换底 公式 （，且，，且，） 2．常用对数与自然对数 以__10____为底的对数叫作常用对数，并且把记为_ _____；科学技术中，常常还使用以无理数为底的对数，以___e___为底的对数叫作自然对数，并且把记为______． 3．换底公式 （1）对数的换底公式:______ 且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 对数的概念 基础知识 核心知识 若，则 为底数，为真数 底数范围：且 真数范围：（负数与0没有对数） 常用对数： 自然对数： 方法技巧 判断对数是否有意义，优先核验底数、真数范围 已知对数式求参数，列不等式组限制范围 区分底数、真数，不要混淆位置 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 【例题2】对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 【题型2】 指数与对数的转化 基础知识 核心知识 方法技巧 指数式转对数式：指数结果→真数，指数的底数→对数底数，指数→对数值 对数式转指数式：快速解简单对数方程、求底数/真数 遇未知底数、未知真数优先互化 典型例题 【例题1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 【例题2】（26-27高一上·全国·课前预习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 【答案】36 【详解】由于，则，， ，，   【巩固练习2】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则__________. 【答案】9 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 【巩固练习3】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【题型3】 对数的加减法与对数恒等式 基础知识 核心知识 对数恒等式： 方法技巧 同底对数相加对应真数相乘，同底相减对应真数相除 恒等式结构识别：底数和对数底数一致，直接消去得到真数 拆分真数（乘积、商形式）再展开运算 典型例题 【例题1】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 【答案】10 【详解】 【例题2】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）_____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）（多选）已知，，，下列等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】对于A，左边是，底数不一样，不能合并， 如，，此时，，式子不成立，A错误. 对于B，根据指数幂的运算法则知，，B正确. 对于C，根据对数的运算法则知，，C正确. 对于D，根据对数的运算法则知，，D错误. 【巩固练习2】（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式计算，即可求解. 【详解】                                                                                           【巩固练习3】（26-27高三上·天津西青·阶段检测）计算：__________. 【答案】10 【详解】原式 【题型4】 对数运算的性质 基础知识 核心知识 方法技巧 幂次可以提到对数前面作系数 底数、真数同时带幂，分别处理上下幂次 化简优先把根式写成分数指数幂形式再运算 注意符号：系数可以移入真数变成指数 典型例题 【例题1】（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 【例题2】（26-27高一上·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 【答案】D 【详解】设，设它的位数为，根据位数定义，存在整数，满足， 则， 由，得，因为， 所以， 故，且，所以， 所以的位数是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·期中）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 【巩固练习2】（26-27高三上·山东·阶段检测）《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【详解】由题意得，，则， 故，则对应的律管长度为cm 【巩固练习3】（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 【答案】B 【详解】设“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过天，则， 即：，两边取对数得：，所以 而，， 代入得：. 【题型5】 对数的换底公式 基础知识 核心知识 推论1： 推论2：（链式消底） 方法技巧 不同底数对数运算统一换成相同底数（常换10或e） 连乘式优先使用推论链式约分 底数、真数可以同步乘方开方： 典型例题 【例题1】（江西U18名校联盟2026-2027学年高三上学期阶段性联考数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，则， 故. 【例题2】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）12 【详解】（1）因为，， 所以； 即. （2）由分别转化为对数式， 即， 即， 结合换底公式可得： . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，且，则t＝______ 【答案】 【分析】将指数式化为对数式，用表示出，再结合对数换底公式化简原式并求解. 【详解】由、，可得，，且， 则，， 故 即，即，因， 则. 【巩固练习2】（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查对数换元法与指数方程联立求解，核心思路是“先通过换元法将对数方程转化为二次方程求出 a、b 的倍数关系，再代入指数方程联立求解具体值”，最后计算 a-b. 【详解】设 ，因为 ，所以 .由换底公式，. 代入已知条件 ，得 . 得 ，整理为 . 得 或 . 因为 ，舍去 ，所以 ，即 ，因此 . ，将 代入右边，得 . 化为 . 因为底数 ，指数函数 单调递增，所以指数相等：. 联立 与 ，得 ，即 ，. 因为 ，所以 ，代入 得 . . 【点睛】对数差问题优先用换元法转化为二次方程求解，求出 a、b 的倍数关系后，再代入指数方程联立求出具体值，注意利用底数大于1时指数函数的单调性. 【巩固练习3】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的转化得，再利用换底公式即可求解. 【详解】由，，得. 所以. 【题型6】 对数的综合化简求值 基础知识 核心知识 综合运用对数加减法则、幂运算法则、换底公式、对数恒等式，常结合这类常用结论 方法技巧 思路顺序：统一底数→拆分/合并真数→提幂次→约分 有多层对数从内层向外逐层计算 求值题优先凑、配对 遇到多层根式先化为分数指数幂 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）计算：. 【答案】 【详解】 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江西南昌·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 【答案】（1）7（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算结合完全平方公式计算即可； （2）利用对数的运算法则和换底公式计算即得. 【详解】（1）由，可得， 故； （2）原式． 【巩固练习2】（25-26高一上·江西抚州·期末）（1）计算：若，，求的值. （2）计算：； 【答案】（1）6；（2）1 【分析】（1）利用指数运算法则化简计算，再代入求值. （2）利用对数运算法则及换底公式计算即可. 【详解】（1）， 而，，所以原式 （2）原式 . 【巩固练习3】（25-26高一上·广东清远·期末）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）将根式、指数幂、零次幂分别化简，再进行数值计算； （2）利用对数运算性质与换底公式化简式子，再计算数值. 【详解】（1）. （2） . 【题型7】 对数运算证明恒等式 基础知识 核心知识 对数所有运算公式、换底公式及其推论，等式两边等价变形规则 方法技巧 从复杂一侧向简单一侧化简（一般从左往右） 两边底数不一样，统一换底 含多个参数时，设转化为指数形式证明 证明过程每一步写明公式依据，避免跳步出错 典型例题 【例题1】设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】 由题意，根据换底公式，，命题得证. 【分析】运用换底公式证明即可. 【例题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明: 设，则，化为， 又，所以； （2）8； （3）证明： ． 所以． 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】（1）略； （2）； （3）略. 巩固练习 题型 【巩固练习1】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1) ，所以等式成立； (2)，所以等式成立. 【分析】利用换底公式，即可证明. 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明如下： 依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明: ，得证； (2)推广：，证明如下： 证明：． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1）略； （2）推广：证明略. 【题型8】 对数运算与基本不等式 基础知识 核心知识 对数运算公式 基本不等式：，一正二定三相等 对数单调性：递增，递减 方法技巧 先用对数运算化简条件，得到和或者积为定值 构造和定求积、积定求和的结构 求出最值后，一定要核验等号成立条件，同时保证对数真数>0 对数不等式注意单调性带来的不等号方向变化 典型例题 【例题1】（江西九师联盟2026-2027学年高三上学期10月教学质量检测数学试卷）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 【例题2】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算法则化简，再结合基本不等式求范围即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立 故的取值范围是 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·天津红桥·开学考试）已知，，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】先化简对数关系式，再利用均值不等式求得最小值. 【详解】因为，所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时取等， 则，即的最小值为. 【巩固练习2】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）若，则的最小值为__________． 【答案】9 【详解】，故， 由对数有意义可知，则， ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9． 【巩固练习3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用对数换底公式及对数的运算性质化简得，再利用乘“1”法结合基本不等式计算即得. 【详解】由可得，即，整理得， 由， 当且仅当，即时取等，即的最小值为. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示. 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 3．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【详解】由，得 因为，所以 所以 所以 5．（25-26高一上·山东威海·期中）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（   ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】D 【详解】将4.8代入关系式得，整理可得， ∴ . 6．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 7．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入本利和公式得，两边取自然对数，利用、化为已知数据，算得对数约为，从而确定选项. 【详解】当时，一年后本金与利息之和为. 对取自然对数得. 代入参考数据得， 所以. 8．（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得，，， 原式化为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 二、多选题 9．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 11．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知正实数满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设公共值换元简化计算，结合指数与对数的互化、对数运算性质、基本不等式判断选项即可. 【详解】设，由是正实数得， 指数对数互化可得：，，， 选项A：由对数换底公式可得：，，，因为， 且，分母越小分数值越大，因此，A选项正确； 选项B：代入换底结果：，B选项正确； 选项C：左边， 显然，因此等式不成立，C选项错误； 选项D：由，得，要证，即证， 等价于，即， 由A知，故恒成立，因此，D选项正确. 12．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）设，均为正数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A选项，直接使用均值不等式进行求解即可；对于B选项，利用“1”的代换结合均值不等式进行求解即可；对于C选项，首先根据对数运算可得：，然后根据均值不等式进行求解即可；对于D选项，由可得：，代入后根据均值不等式进行求解即可. 【详解】对于A，由题意得，当且仅当时取等号，即，A选项正确； 对于B，，当且仅当时取等号，且，故，B选项错误； 对于C，，且，故，C选项正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D选项正确. 三、填空题 13．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 14．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，当时， ，则＝______． 【答案】 【详解】由函数为奇函数， 可得：. 15．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知，，若，且，则__________． 【答案】/1.5 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 16．（25-26高一上·江苏徐州·期中）在研究天文学的过程中，苏格兰数学家、天文学家约翰·纳皮尔正是为了简化其中的大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现已知,，则______，______ 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和换底公式化简. 【详解】由题意得，，，则， 则，， 则. 故答案为：；. 四、解答题 17．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 18．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)1 【分析】（1）使用指数幂的运算求解； （2）使用对数的运算性质求解； （3）使用指数与对数的互化运算求解. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）因为，所以，， 所以，， 所以． 19．（26-27高一上·江苏·阶段检测）计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设 ，则 ，， 原式 ； （2）由，，， 设 ，则 ， 所以 ， 原式 ； （3）由，，，， 原式 ． 20．（1）计算：； （2）对于正整数，，和非零实数，，，，有，，求，，的值． 【答案】【小题1】 【小题2】，， 【分析】第（1）问分别利用对数恒等式、对数运算性质、指数与对数互化、根式化简等方法逐项计算，最后合并结果； 第（2）问先设公共值为参数，利用指数运算法则进行变形，代入已知等式化简得到关于底数的关系式，代入已知等式化简得到关于底数的关系式，再根据底数为正整数且满足大小关系，结合因数分解求得具体值. 【详解】【小题1】 ． 【小题2】∵，且，为非零实数， ∴，∴． 同理可得，，∴， 即． 又，，，为正整数，且由题意可知， ∴． ∵，∴，，． $4.3 对数 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．对数 概念 如果（，且，），那么x叫做以a为底数N的__对数____，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：（，且） ，，__N ____（，且） 运算法则 _ _____+__ ____ ，且，， _ _____-______ 换底 公式 （，且，，且，） 2．常用对数与自然对数 以__10____为底的对数叫作常用对数，并且把记为_ _____；科学技术中，常常还使用以无理数为底的对数，以___e___为底的对数叫作自然对数，并且把记为______． 3．换底公式 （1）对数的换底公式:______ 且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 对数的概念 基础知识 核心知识 若，则 为底数，为真数 底数范围：且 真数范围：（负数与0没有对数） 常用对数： 自然对数： 方法技巧 判断对数是否有意义，优先核验底数、真数范围 已知对数式求参数，列不等式组限制范围 区分底数、真数，不要混淆位置 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【例题2】对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 指数与对数的转化 基础知识 核心知识 方法技巧 指数式转对数式：指数结果→真数，指数的底数→对数底数，指数→对数值 对数式转指数式：快速解简单对数方程、求底数/真数 遇未知底数、未知真数优先互化 典型例题 【例题1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【例题2】（26-27高一上·全国·课前预习）已知，则（ ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 【巩固练习2】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则__________. 【巩固练习3】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【题型3】 对数的加减法与对数恒等式 基础知识 核心知识 对数恒等式： 方法技巧 同底对数相加对应真数相乘，同底相减对应真数相除 恒等式结构识别：底数和对数底数一致，直接消去得到真数 拆分真数（乘积、商形式）再展开运算 典型例题 【例题1】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 【例题2】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）_____________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）（多选）已知，，，下列等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 【巩固练习3】（26-27高三上·天津西青·阶段检测）计算：__________. 【题型4】 对数运算的性质 基础知识 核心知识 方法技巧 幂次可以提到对数前面作系数 底数、真数同时带幂，分别处理上下幂次 化简优先把根式写成分数指数幂形式再运算 注意符号：系数可以移入真数变成指数 典型例题 【例题1】（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【例题2】（26-27高一上·上海·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·期中）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【巩固练习2】（26-27高三上·山东·阶段检测）《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【巩固练习3】（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 【题型5】 对数的换底公式 基础知识 核心知识 推论1： 推论2：（链式消底） 方法技巧 不同底数对数运算统一换成相同底数（常换10或e） 连乘式优先使用推论链式约分 底数、真数可以同步乘方开方： 典型例题 【例题1】（江西U18名校联盟2026-2027学年高三上学期阶段性联考数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知，且，则t＝______ 【巩固练习2】（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知，若，，则__________． 【巩固练习3】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，，试用表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6】 对数的综合化简求值 基础知识 核心知识 综合运用对数加减法则、幂运算法则、换底公式、对数恒等式，常结合这类常用结论 方法技巧 思路顺序：统一底数→拆分/合并真数→提幂次→约分 有多层对数从内层向外逐层计算 求值题优先凑、配对 遇到多层根式先化为分数指数幂 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）计算：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江西南昌·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 【巩固练习2】（25-26高一上·江西抚州·期末）（1）计算：若，，求的值. （2）计算：； 【巩固练习3】（25-26高一上·广东清远·期末）求下列各式的值： (1) (2) 【题型7】 对数运算证明恒等式 基础知识 核心知识 对数所有运算公式、换底公式及其推论，等式两边等价变形规则 方法技巧 从复杂一侧向简单一侧化简（一般从左往右） 两边底数不一样，统一换底 含多个参数时，设转化为指数形式证明 证明过程每一步写明公式依据，避免跳步出错 典型例题 【例题1】设均为正数，且均不为1.求证：. 【例题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 巩固练习 题型 【巩固练习1】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【题型8】 对数运算与基本不等式 基础知识 核心知识 对数运算公式 基本不等式：，一正二定三相等 对数单调性：递增，递减 方法技巧 先用对数运算化简条件，得到和或者积为定值 构造和定求积、积定求和的结构 求出最值后，一定要核验等号成立条件，同时保证对数真数>0 对数不等式注意单调性带来的不等号方向变化 典型例题 【例题1】（江西九师联盟2026-2027学年高三上学期10月教学质量检测数学试卷）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例题2】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·天津红桥·开学考试）已知，，，则的最小值为______． 【巩固练习2】（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）若，则的最小值为__________． 【巩固练习3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知，，，则的最小值为________． 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 5．（25-26高一上·山东威海·期中）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（   ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 6．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 二、多选题 9．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知正实数满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）设，均为正数，且，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）已知，，则__________． 14．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，当时， ，则＝______． 15．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知，，若，且，则__________． 16．（25-26高一上·江苏徐州·期中）在研究天文学的过程中，苏格兰数学家、天文学家约翰·纳皮尔正是为了简化其中的大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现已知,，则______，______ 四、解答题 17．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 18．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 19．（26-27高一上·江苏·阶段检测）计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 20．（1）计算：； （2）对于正整数，，和非零实数，，，，有，，求，，的值． $