4.3 对数（6个题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数”核心知识点，从指数式与对数式互化切入，系统梳理对数的概念、性质（如特殊值、互化关系）、运算法则（积、商、幂的对数）及换底公式与推论，构建从概念理解到运算应用的完整学习支架。 资料以题型分类为特色，每个题型配套公式结论、方法技巧与分层练习，如概念题强化取值约束培养抽象能力（数学眼光），互化题训练逻辑推理（数学思维），换底公式应用提升问题解决能力（数学语言）。课中辅助教师教学，课后通过多样训练帮助学生查漏补缺，巩固知识。

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.3 对数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．对数 概念 如果（，且，），那么x叫做以a为底数N的__对数____，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：（，且） ，，__N ____（，且） 运算法则 _ _____+__ ____ ，且，， _ _____-______ 换底 公式 （，且，，且，） 2．常用对数与自然对数 以__10____为底的对数叫作常用对数，并且把记为_ _____；科学技术中，常常还使用以无理数为底的对数，以___e___为底的对数叫作自然对数，并且把记为______． 3．换底公式 （1）对数的换底公式:______ 且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数的概念】 【练方法】 公式结论 指数式与对数式等价定义 a>0 底数取值范围. 真数取值范围. 两个固定特殊对数 方法技巧 1判定对数式有意义时.优先校验底数、真数的取值约束条件 2遇到直接取值为0.遇到直接取值为1.实现快速口算 3已知对数值求解底数、真数时.将对数式还原为指数方程求解 对数中实数a的取值范围是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. （24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. （23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 使式子有意义的的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【题型2：指数式与对数式的互化】 【练方法】 公式结论 指数形式.a>0N>0) 对应对数形式. 方法技巧 1指数式化为对数式：底数保持不变.指数作为对数值.幂作为对数真数 2对数式化为指数式：底数保持不变.对数值作为指数.真数作为幂的运算结果 3求解指数、对数方程.优先通过互化转换式子结构简化计算 将下列指数式与对数式进行转换经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. （24-25高一上·四川南充·阶段检测）（多选）下列指数式与对数式互化正确的有（    ）小试牛刀1 A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】用指数式与对数式互化关系，逐项确定答案. 【详解】A选项，化为，A选项正确； B选项，化为，B选项正确； C选项，化为，C选项错误； D选项，化为，D选项正确； 故选：ABD. （24-25高一上·全国·课前预习）（多选）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ）小试牛刀2 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD （24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题正确的是（    ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 【题型3：对数的加减运算法则】 【练方法】 公式结论 积的对数运算法则 N>0) 商的对数运算法则 N>0) 方法技巧 1正向运算：对数相加对应真数相乘.对数相减对应真数相除.拆分复杂对数 2逆向运算：多个同底数对数加减运算.合并整理为单一对数式精简算式 3对数前置带有系数时.先处理幂次系数.再使用加减法则完成合并 （2026高三·全国·专题练习）计算：经典例题1例题 (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． （25-26高一下·湖南常德·期末）计算：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） . （25-26高二下·浙江金华·阶段检测）若，，则________．小试牛刀2 【答案】2 【分析】由题得，再根据对数运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以，. （25-26高一上·安徽·期末）计算___________.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用对数的运算性质，将表达式进行化简. 【详解】. 故答案为： 【题型4：对数运算的性质】 【练方法】 公式结论 真数幂次运算公式 底数幂次运算公式 底数、真数同时带幂次通用公式 对数恒等式 N>0) 方法技巧 1真数存在幂结构.将幂次数提取至对数前方作为运算系数化简式子 2底数存在幂结构.将底数幂次的倒数放置在对数整体前参与运算 3遇见固定结构.可直接化简结果等于真数 （25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值：经典例题1例题 （1）； （2）; （3）; 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算； （2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算； （3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算. 【详解】（1）； （2） ； （3） . 计算下列各题：小试牛刀1 (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） （25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题：小试牛刀2 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【详解】（1） . （2） （3） （25-26高一上·贵州遵义·期末）计算：小试牛刀3 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质化简即可； （2）根据对数的运算性质化简即可. 【详解】（1）因为，， ，， 所以； （2）. 【题型5：对数换底公式化简求值】 【练方法】 公式结论 标准换底核心公式 a>0 推论1（倒数关系） 推论2（幂次通用换底） 方法技巧 1多底数对数混合运算.统一底数为常用对数或自然对数开展数值计算 2互为倒数的一组对数相乘.使用推论直接取值为1完成约分 3多层嵌套对数、底数与真数均含幂次时.结合推论一次性完成化简 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________．经典例题1例题 【答案】 【详解】. （2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ）小试牛刀1 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. （25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. （25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则______．小试牛刀3 【答案】8 【分析】根据结合换底公式可得或，由两边取对数，再结合换底公式可得，进而得到或，进而求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 【题型6：对数换底公式证明恒等式】 （25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 设均为正数，且均不为1.求证：.小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. （23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）设且，利用对数的换底公式证明：小试牛刀2 (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：小试牛刀3 （1）； （2）（，，）. 【答案】证明见解析 【分析】直接利用换底公式化简证明即可 【详解】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数， 所以左边右边， 所以， （2）因为a，b均为不等于1的正数，，， 所以左边右边， 所以（，，） 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·天津西青·期中），则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 3．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 4．（2025·四川泸州·一模）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【答案】C 【分析】先根据对数的运算法则求出的值，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由 ， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 二、多选题 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】BC 【分析】对于 A、B、C选项，先将根式化为分数指数幂，将对数式化为指数式，再按照指数幂的运算法则计算，对于 D选项，对数的换底公式运算化简求解即可. 【详解】解：当时，，A错误； ，则，B正确； 若，，则，，，C正确； ，D错误. 故选BC. 三、填空题 6．（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 7．（25-26高三上·安徽淮北·期中）求值：______. 【答案】 【详解】. 8．（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为______． 【答案】 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 9．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，，则________. 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 10．（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 【答案】/ 【分析】先进行指对互化，再根据指数幂的运算性质求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：. 11．（25-26高一上·广东江门·期中）1614年，纳皮尔发明了对数和对数表．1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年．1770年，欧拉才第一个指出：“对数源于指数”，并发现了对数与指数的关系；即当，时，，这时对数和指数已经发明一百多年．已知，．则______． 【答案】 【分析】由题知，再根据换底公式与对数运算法则计算即可. 【详解】由题知， 故， 所以 故答案为： 12．（25-26高一上·陕西汉中·期中）计算______. 【答案】 【分析】根据指数幂与对数的基本运算法则进行计算即可. 【详解】原式 故答案为： 四、解答题 13．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）（1）已知：，求； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先对进行平方，得到的值，再进行平方得到的值即可求出； （2）利用换底公式，结合对数运算性质运算求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以，即， 所以，即， 所以. （2）因为， 所以 14．（25-26高一上·江西九江·期末）（1）计算：； （2）已知，若，且，求ab. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）由结合换底公式可得，结合，运算得解. 【详解】（1）         （2）由，且， 设，则，解得或． 又，则，所以，即，①         又，从而，则，②         由①②解得，所以. 15．（25-26高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先将带分数化为假分数，再利用指数与对数的运算性质计算； （2）利用对数的运算性质，换底公式和指数恒等式计算； （3）结合指数与对数的运算性质求解； （4）利用指数与对数的运算性质和结合指数与对数的计算； （5）结合指数与对数的换底公式及运算性质求解. 【详解】（1） ， . （2）     （3） （4） （5）由，得； 因为，由换底公式得： . 16．（25-26高一上·山东泰安·期中）求下列各式的值： (1)； (2)已知，求的值； (3)若，，用表示． 【答案】(1)2 (2) (3)． 【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可求解； （2）由，结合完全平方公式计算即可求解； （3）根据对数的运算性质计算即可求解； 【详解】（1）原式； （2）因为，所以两边同时平方得：，所以． 又因为，所以， 又因为，所以． 所以． （3）由题意得，，即， 所以． 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1） （2） 【答案】(1)70；(2) 【分析】（1）利用指数及分数指数幂运算公式化简求值． （2）利用对数运算公式化简. 【详解】（1） ； （2） 18．（25-26高一上·辽宁大连·期中）化简并计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)1 (3)19 【分析】使用指对运算法则求解. 【详解】（1），， ， ， 原式 （2） （3）令， 则 ， 又，，， 原式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【4.3 对数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．对数 概念 如果（，且，），那么x叫做以a为底数N的__对数____，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：（，且） ，，__N ____（，且） 运算法则 _ _____+__ ____ ，且，， _ _____-______ 换底 公式 （，且，，且，） 2．常用对数与自然对数 以__10____为底的对数叫作常用对数，并且把记为_ _____；科学技术中，常常还使用以无理数为底的对数，以___e___为底的对数叫作自然对数，并且把记为______． 3．换底公式 （1）对数的换底公式:______ 且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：对数的概念】 【练方法】 公式结论 指数式与对数式等价定义 a>0 底数取值范围. 真数取值范围. 两个固定特殊对数 方法技巧 1判定对数式有意义时.优先校验底数、真数的取值约束条件 2遇到直接取值为0.遇到直接取值为1.实现快速口算 3已知对数值求解底数、真数时.将对数式还原为指数方程求解 对数中实数a的取值范围是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 使式子有意义的的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：指数式与对数式的互化】 【练方法】 公式结论 指数形式.a>0N>0) 对应对数形式. 方法技巧 1指数式化为对数式：底数保持不变.指数作为对数值.幂作为对数真数 2对数式化为指数式：底数保持不变.对数值作为指数.真数作为幂的运算结果 3求解指数、对数方程.优先通过互化转换式子结构简化计算 将下列指数式与对数式进行转换经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) （24-25高一上·四川南充·阶段检测）（多选）下列指数式与对数式互化正确的有（    ）小试牛刀1 A．与ln1=0 B．与 C．与 D．与 （24-25高一上·全国·课前预习）（多选）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ）小试牛刀2 A．与 B．与 C．与 D．与 （24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题正确的是（    ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3：对数的加减运算法则】 【练方法】 公式结论 积的对数运算法则 N>0) 商的对数运算法则 N>0) 方法技巧 1正向运算：对数相加对应真数相乘.对数相减对应真数相除.拆分复杂对数 2逆向运算：多个同底数对数加减运算.合并整理为单一对数式精简算式 3对数前置带有系数时.先处理幂次系数.再使用加减法则完成合并 （2026高三·全国·专题练习）计算：经典例题1例题 (1)； (2)已知，求的值． （25-26高一下·湖南常德·期末）计算：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． （25-26高二下·浙江金华·阶段检测）若，，则________．小试牛刀2 （25-26高一上·安徽·期末）计算___________.小试牛刀3 【题型4：对数运算的性质】 【练方法】 公式结论 真数幂次运算公式 底数幂次运算公式 底数、真数同时带幂次通用公式 对数恒等式 N>0) 方法技巧 1真数存在幂结构.将幂次数提取至对数前方作为运算系数化简式子 2底数存在幂结构.将底数幂次的倒数放置在对数整体前参与运算 3遇见固定结构.可直接化简结果等于真数 （25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值：经典例题1例题 （1）； （2）; （3）; 计算下列各题：小试牛刀1 (1)； (2). (3). （25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题：小试牛刀2 (1)； (2)； (3). （25-26高一上·贵州遵义·期末）计算：小试牛刀3 (1)； (2). 【题型5：对数换底公式化简求值】 【练方法】 公式结论 标准换底核心公式 a>0 推论1（倒数关系） 推论2（幂次通用换底） 方法技巧 1多底数对数混合运算.统一底数为常用对数或自然对数开展数值计算 2互为倒数的一组对数相乘.使用推论直接取值为1完成约分 3多层嵌套对数、底数与真数均含幂次时.结合推论一次性完成化简 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________．经典例题1例题 （2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ）小试牛刀1 A．0 B．1 C．2 D．3 （25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则______．小试牛刀3 【题型6：对数换底公式证明恒等式】 （25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 设均为正数，且均不为1.求证：.小试牛刀1 （23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）设且，利用对数的换底公式证明：小试牛刀2 (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：小试牛刀3 （1）； （2）（，，）. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·天津西青·期中），则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川泸州·一模）若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 二、多选题 5．（25-26高一上·福建厦门·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 三、填空题 6．（25-26高一上·上海·期中）已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 7．（25-26高三上·安徽淮北·期中）求值：______. 8．（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为______． 9．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，，则________. 10．（25-26高一上·上海·期中）若，则____________． 11．（25-26高一上·广东江门·期中）1614年，纳皮尔发明了对数和对数表．1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年．1770年，欧拉才第一个指出：“对数源于指数”，并发现了对数与指数的关系；即当，时，，这时对数和指数已经发明一百多年．已知，．则______． 12．（25-26高一上·陕西汉中·期中）计算______. 四、解答题 13．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）（1）已知：，求； （2）已知，试用表示. 14．（25-26高一上·江西九江·期末）（1）计算：； （2）已知，若，且，求ab. 15．（25-26高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 16．（25-26高一上·山东泰安·期中）求下列各式的值： (1)； (2)已知，求的值； (3)若，，用表示． 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1） （2） 18．（25-26高一上·辽宁大连·期中）化简并计算下列各式： (1)； (2)； (3). 1 学科网（北京）股份有限公司 $