精品解析：福建莆田第八中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年莆田八中高三上第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的中位数是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 【答案】B 【解析】 【分析】从小到大排列后，取第四、五个数的平均数可得. 【详解】从小到大排列为， 共有8个数，所以中位数为. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以，解得. 3. 点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用点坐标计算出，再根据焦点到准线的距离公式即可求解. 【详解】点在抛物线上，代入可得：， 解得：，所以焦点到准线的距离为. 4. 已知函数，若，则（ ） A. 0 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，令，定义域为， ， 所以. 5. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，， 令，得，故项的系数为， 所以. 6. 有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的几何性质分析球的半径以及圆台的结构特征，结合体积公式运算求解即可. 【详解】如图，为的中点，， 则等边的内切圆O的半径，，， 可知圆台的上、下底面半径分别为，高为， 所以该几何体的体积为. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 8. 某同学类比双曲线的定义研究平面上到点，距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点是该轨迹上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意可得，由三角不等式可得，当，，三点共线时，等号成立，计算可得最大值. 【详解】设，由题意可得，即， 由三角不等式，平面上任意一点满足， 要使有最大值，则，此时，即 当取最大值，即，，三点共线时，三角不等式等号成立，此时， 所以，即， 解得（舍去），，故的最大值为， 验证：当的最大值为时，点的坐标为， 此时，代入条件， 满足条件，所以的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用三角函数的周期进行求解；B选项，利用图像的特殊值求出函数的解析式，再利用对称轴进行求解；C选项，利用函数的平移和三角转化进行求解；D选项，利用零点的存在性结合列举进行求解. 【详解】A选项，由图可知：，解得：，所以A选项正确； B选项，由图可知：，， 且，则，其中， 解得：，又因为，所以，则， 将代入得：，由三角函数图像性质得不是正弦函数的对称轴，所以B选项错误； C选项，函数的图象向左平移个单位长度为， 所以C选项正确； D选项，令，得：，求的零点， 当时，，当时，，当时，，当时，， 零点依次为：第3个零点必须在内， 第4个零点不能在区间内，所以，所以D选项错误. 11. 加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得B错误D正确. 【详解】对于A，由椭圆的方程知，则， 椭圆的离心率，A正确； 对于C，由A知，椭圆对应的蒙日圆方程为，C正确； 对于B，由C可知，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径， 正方形的边长为，B错误； 对于D，设长方形的长和宽分别为长方形的对角线长为椭圆对应蒙日圆的直径， 长方形的面积（当且仅当时取等号）， 即长方形的面积的最大值为14，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，又，所以，解得， 所以，所以切线方程为，即. 14. 设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设集合，对于任意，，，计算出此时的最大值即可得到k的最小值． 【详解】解：根据题意，， 设集合，对于任意，，， 现计算此时的最大值， 要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小， 所以，则应该是满足的最小整数，故， ， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即， 又且， 的最大值为，例如， 则k的最小值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简等式，根据得到，在三角形内角范围内求出角； （2）代入已求角运用余弦定理建立关于边长的一元二次方程，解出后通过符号取舍增根，最后代入三角形面积公式算出面积. 【小问1详解】 由题意，，由正弦定理得， 由，得， 所以， 得，又，得， ，所以． 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得，即， 整理得，解得或者． 时，，舍去； 时，，C为最大角，，符合题意； 所以，． 16. 如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：连结，过作，垂足为，于． ，中，，． 中，，，即， 所以，又，,平面,平面， 平面，又因为平面， 平面平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，如图所示以为原点，过点与垂直的直线 为轴，，为，轴建立坐标系．由（1）知，， ，，． 所以，．设平面法向量， 由，，，取，得，有， 又，，设平面法向量， 由，，，取，得，有， 设平面与平面的夹角为，则， 所以． 17. 已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为． （1）求椭圆的离心率； （2）过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程求出基本量，计算离心率； （2）借助切点处切线方程，并利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程为，并且过定点；将三角形面积表达为参数的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值. 【小问1详解】 由椭圆：，得. 令，代入方程，得. 因为过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为， 所以，得，，故． 【小问2详解】 由（1）知椭圆．设，， 因为点在直线上，所以切线的斜率存在， 设切线的方程为， 联立，整理得， 因为直线是椭圆的切线，所以， 整理得， 因为在椭圆上，所以，， 所以，即，得，即. 所以过与相切的直线方程为，即， 又因为在椭圆上，所以， 即代入上式，得. 即的方程为，同理的方程为， 又因为，都经过点，所以，即， 显然，都满足方程，所以直线方程为. 联立直线与椭圆方程，得． ，，. 又直线的方程得直线过定点， 所以， ， 设，所以， 因为对勾函数在上单调递增， 而，所以在上单调递增， 所以.所以， 当即时等号成立，此时点， 切线，关于轴对称时，取最大值． 因此面积的最大值为. 18. 校园社团举办抽奖游戏：抽奖箱内有编号的个质地均匀的小球，每次随机有放回抽取个小球，各次抽取相互独立．规则为：抽到号小球得个积分，抽到号小球得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号小球，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． （1）求抽取次后，总积分为分的概率； （2）求的值； （3）设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意得总积分为分，应满足恰好抽到次号小球，次号小球，利用概率的乘法公式即可求解； （2）分类讨论次抽取过程中从未出现连续两次抽到号小球的情况即可求解； （3）根据题意得出抽到号小球的次数与的关系即可求解. 【小问1详解】 由题意，抽到号的概率为，抽到号的概率为； 抽取次后，总积分为分， 应满足恰好抽到次号小球，次号小球，且次抽取相互独立． 总积分为分的概率为：， 【小问2详解】 根据题意，次抽取过程中从未出现连续两次抽到号小球，有种情况 ①三次均未抽到号：， ②三次中恰有一次抽到号：， ③三次中有两次抽到号，且只能第一次和第三次抽到号：， 因此． 【小问3详解】 设抽到号次，则 ，得； 因为个号不连续，故至少有次抽到其他号码， 所以有 ，即，代入，得. 又，得. 综上，得． 因此的最大值为，此时. 计算抽取方法数：一共次抽取，个号小球，个号小球，且个号小球不能相邻， ①要使个号小球不相邻，先排个号小球，每一个位置有种选择，个位置共有种排法； ②再由个号小球产生的个空，每一个空排个号小球，有种排法； 根据分步乘法计数原理，共种不同的排列方法． 因为每一种排列方法对应一种抽取方法，因此当最大时共有种抽取方法. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求取值范围； （3）若，求证：函数有两个大于1的零点． 【答案】（1）时在上单调递增，时在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号，进而确定区间单调性； （2）问题化为，应用导数研究左侧的最小值，利用不等式恒成立求参数范围； （3）应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理确定零点的范围，即可证. 【小问1详解】 由题意，， 当时，，故在上单调递增； 当时， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，不等式可化为， 令 ，， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 所以 ， 设 ，则 ， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时， ， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 由题意，，易知为增函数， 又，且，故，又 ， 故，使得 ，， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， ， 令 ，， ， 故在上单调递减， ， 所以 ，又， 故，使得，又 ， 对于，，则， 故在上单调递增，则，即， 对于，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即，故， 令 ，，则 ， 所以在上单调递增， 所以 ， 所以，故，使得， 综上，函数有，两个大于1的零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年莆田八中高三上第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的中位数是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知函数，若，则（ ） A. 0 B. C. 6 D. 4 5. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8. 某同学类比双曲线的定义研究平面上到点，距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点是该轨迹上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 11. 加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线方程为______． 14. 设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，，求的面积． 16. 如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为． （1）求椭圆的离心率； （2）过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．求面积的最大值． 18. 校园社团举办抽奖游戏：抽奖箱内有编号的个质地均匀的小球，每次随机有放回抽取个小球，各次抽取相互独立．规则为：抽到号小球得个积分，抽到号小球得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号小球，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． （1）求抽取次后，总积分为分的概率； （2）求的值； （3）设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求取值范围； （3）若，求证：函数有两个大于1的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $