精品解析：福建省仙游第一中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年仙游一中高三数学第一次月考试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可化简集合B，再由交集运算即得. 【详解】∵，又， ∴. 故选：A. 2. 已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】对A，由，即可求解；对B，根据函数为奇函数，由即可求解；对C，利用指数函数的单调性求解；对D，由时，，得到，再由是奇函数即可求解． 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 当时，，， 则符合题意，所以B正确； 对于C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C错误， 对于D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，故D正确． 3. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 4. 已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，求得，将三个解析式分别看成关于的对数函数，幂函数与指数函数，作出图象，根据交点情况及图象的位置即可逐一判断选项. 【详解】设，则，且， 在同一个坐标系中作出三个函数的图象： 其中与交于点，与交于点. 由图知，当时，，故D符合； 当时，，故A符合； 当时，，故B符合.即只有C项不合题意. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 6. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式，因为，两边除以，得出. 设，求导：. 由条件，又，所以， 在R上单调递增. 是偶函数：， 说明函数的图像关于直线对称. ，令，得， 已知，， 因为单调递增，所以时，， 故不等式解集为. 7. 已知恰有个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则， 又是的三个零点，由三次函数的韦达定理知，. 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】本题的关键是将方程根的问题转化为复合函数的零点个数问题，利用函数图象对参数进行分类讨论求解. 二、多选题 9. 下列命题中，真命题的有（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，，使得 D. ，，使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，当时，则；当时，则，故A正确； 对于B，，，正确； 对于C，令，则（不恒为零），即在上单调递减， 当时，；当不为零时，由函数的单调性可知也不为零，故错误； 对于D，令，由结合零点存在定理可得， ，使得，即，故正确. 10. 已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】先由和为偶函数推导函数的对称性、周期性，再结合的解析式逐一判断选项. 【详解】是偶函数，故，图象关于对称； 是偶函数，故，图象关于对称； 所以， 故是周期为2的周期函数， 选项A：，错误； 选项B：对任意，，，故，图象关于直线对称，正确； 选项C：当时，，故，该二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递增，正确； 选项D：若关于中心对称，则，又，所以，令，得，但，矛盾，错误. 11. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象存在对称中心 C. 的图象存在对称轴 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、对称性等可判断AB选项，利用导数得出函数单调性可求得其值域并判断是否存在对称轴，可判断CD选项. 【详解】由已知的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为，故A选项错误； 由已知，则， 所以函数关于点中心对称，B选项正确； 由，则， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，最大值为， 即函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的最大值为， 由函数在上的单调性可知，函数无对称轴，故C错误，D选项正确. 三、填空题 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 13. 已知函数，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】， 易知为偶函数，且在上为减函数，定义域为， 所以加绝对值，两边平方可得， 即，解得 所以解集为. 14. 函数有两个极值点，，当时，的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得在上有两个不同的解，，即在有两个不同的交点，令，利用导数先初步确定，再根据条件可得，令，得到，令，利用导数得到函数的值域，进而得到，然后根据，结合函数单调性即可求解． 【详解】，又有两个极值点，， 所以在上有两个不同的解，，又， 则在有两个不同的交点， 令，，的解为， 所以时，，单调递减， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则函数图象如下： 则，又，所以， . 令，则，则，， 两式相除可得， 令，， 令，， 时，，在上单调递减，， 即，在上单调递减， 因为函数与函数在处相切，所以， 又，则，即，解得， 又，，函数在上单调递减， 所以． 四、解答题 15. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 16. 如图，平行六面体的底面是正方形，. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）以，，为基底，得出的表达式，计算的模长来证明； （2）根据已知条件，求出；过作底面，底面是正方形，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角的方法，计算二面角的正弦值. 【小问1详解】 平行六面体，，，. ，； ； 底面是正方形，，，即； ，，即，整理得； ； ，即. 【小问2详解】 平行六面体，底面是正方形，平面是正方形； ，； . ，，， ，解得，. 由（1）知，得，即. . ，而,故在平面上的射影为正方形的中心， 过作底面，则为的中点，因底面是正方形， 以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系； 则，，，设. ，，. ，解得，； 取，则，. ，. 设平面的法向量为，则，解得； 令，则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，解得； 令，则，平面的一个法向量为. 设二面角为，； . 17. 已知函数， （1）过点作曲线的切线，求切线的方程； （2）求函数的单调区间，并求函数在的值域； （3）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为；在上的值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）设切点坐标并利用导数表示斜率，写出切线方程后代入已知的曲线外一点求出切点，进而得到最终的切线方程. （2）通过求导确定函数的极值点并划分单调区间，再通过计算给定闭区间端点及极值点的函数值来确定值域. （3）将方程零点个数问题转化为两函数图象的交点问题，结合极值点单调区间画出函数图象，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，则，设切点坐标为， 则切线方程为， 代入得， 即，解得， 所以切点为，斜率， 则切线方程为，化简得. 【小问2详解】 由（1）得，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，所以在内单调递增， 所以在区间内，，， 所以在上的值域为. 【小问3详解】 原问题转化为只有一个解，即与的图象只有1个交点， 由（2）得在取极小值，也是最小值， 即，且有， 令，当时，，取，则有， 则原式， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，易得的增长率在上高于的增长率， 所以当时，，由此可得， 综上，满足题意的与如图: 故的取值范围为. 18. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． （1）封闭集训期间，记名运动员中第天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； （2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 【答案】（1） ． （2）（，且） 【解析】 【分析】（1）先计算运动员第天进行有氧训练为事件的概率为，进而可得，再根据二项分布的概率公式及期望计算可得； （2）由题意可得递推关系，再通过构造等比数列可得. 【小问1详解】 设“运动员第天进行有氧训练”的事件为，则， 所以名运动员第天进行有氧训练的人数，可知， 所以， 则，， ，， 所以的分布列为 所以． 【小问2详解】 因为运动员第天进行有氧训练的概率为，所以运动员第天进行无氧训练的概率为， 依题意可得，即（，且）． 则（，且），且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即（，且）. 检验：，，符合条件； ，，与（1）结果一致. 因此，（，且）. 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增． 即， 所以． （3）设， 当时，．又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为，设，． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为，同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据函数单调性得到恒成立，参变分离，结合基本不等式可得答案； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立． 【小问1详解】 的定义域为，． 因为在上单调递增，所以恒成立． 则，即在上恒成立，所以． 因为，当且仅当时，等号成立． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年仙游一中高三数学第一次月考试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递减区间为 D. 的值域为 3. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 4. 已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知恰有个零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中，真命题的有（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，，使得 D. ，，使得 10. 已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 11. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象存在对称中心 C. 的图象存在对称轴 D. 的最大值为 三、填空题 12. 计算：________． 13. 已知函数，则的解集为________． 14. 函数有两个极值点，，当时，的取值范围是___________. 四、解答题 15. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 16. 如图，平行六面体的底面是正方形，. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 已知函数， （1）过点作曲线的切线，求切线的方程； （2）求函数的单调区间，并求函数在的值域； （3）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 18. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． （1）封闭集训期间，记名运动员中第天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； （2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $