精品解析：福建莆田砺志学校2026-2027学年高三上学期10月月考测试数学试卷

莆田砺志学校2026－2027学年（上）高三数学学科 10月月考测试卷 学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______ 答题时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合B,再求得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 若角的终边经过点，且，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦函数的定义列式求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以，解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角函数的基本定义，属于基础题. 4. 若，则（ ） A. 无最大值，有最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 有最大值，有最小值 D. 有最大值，无最小值 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，由，得， 则，即当时，原式有最大值，无最小值， 故选：D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断． 【详解】∵函数为非奇非偶函数， ∴其图象既不关于原点对称，也不关于轴对称，故选项C错误； 当时，，故A，D错误， 故选：B 6. 若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，结合已知在上有解，再根据二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设且， 由函数在定义域内存在单调递减区间，则在上有解， 令，其开口向上，对称轴为且，则， 所以. 故选：A 7. 已知奇函数的定义域为，，当时，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法以及奇函数的性质、函数的周期性进行求解. 【详解】因为，所以，即， 又当时，，则，所以． 所以当时，， 因为是奇函数，所以， 又，所以， 所以，即，即函数的周期为6， 所以．故A，B，C错误. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察题目给出的不等式，整理成两边形式统一的结构，构造新函数并判断新函数的单调性，再利用单调性解不等式，求解过程中要注意函数的定义域。 【详解】由，，得，令，则， 所以在上单调递减.因为，所以，因为，所以，即， 因为在上单调递减，故，因为定义在上，所以， 即,解得，因此不等式解集为. 故答案为：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】 直接利用不等式的性质和对数的性质的应用判断、、、的结论． 【详解】解：对于：若，则，故正确； 对于：当时，不一定成立，当时，，故错误； 对于：因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，故正确； 对于：当，时，，故错误． 故选：． 10. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将平方后，解得，联立方程组分别算出，从而判断每个选项. 【详解】，两边同时平方可得， 即，解得，A选项正确； ， 为锐角，于是，则，B选项正确； 由，可得，，则， 注意到，则，故C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，分别代入，即可判断A,B，根据， 关于直线的对称，因此可知对称，对称，即可根据对称性判断CD. 【详解】由题意可知是方程 的一个根，则，将 代入得，所以也是方程的一个根，所以，故，故A正确， 由题意可知是方程 的一个根，则，则，所以也是方程的一个根，所以，故，故B正确， 设点在函数上，则满足，即点关于直线的对称点为，将代入得，即可，因此可知在函数上， 即关于直线的对称，又 关于直线的对称，因此可知对称，对称， 故 和， 所以 ，，故D正确， 由于 ，故C错误， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用整体法与诱导公式将转化为，从而得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知集合，且，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解. 【详解】解：分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：，所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数是定义在的单调函数，对定义域内任意，均有，则函数在点处切线的纵截距为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得是定值，令，得到，求出的值，从而求出的表达式，求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，再令，计算可得所求纵截距． 【详解】解：函数对定义域内的任意，均有， 则是定值， 不妨令， 则， 由在递增，且， 可得的解为， ， 则， 在点处切线的斜率为，切点为， 则在点处切线方程为， 可令，可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式的求法和方程的解法，注意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若在时取得极值. （1）求的值； （2）求在上的最值（）. 【答案】（1）2；（2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用在时取得极值，得，从而求出的值，注意检验； （2）利用导数得出函数在上的单调性，从而求出在上的最值. 【详解】解：（1），， 由题意 得得， 当时，经检验符合题意. （2）， 得或， 1 2 0 0 增 极大值 减 极小值 增 ， < 因为 > 所以，在上的最大值为，最小值为. . 16. 设的内角为、、，且． （1）求的大小； （2）若，的面积，求的周长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理、和差公式、诱导公式求得的值，结合角的取值范围可求得角的大小； （2）利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：（1） ，． ， ，， ，，， ，． （2）依题意得：，， ，，， 的周长为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、和差公式、诱导公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接交与点，连接， ∵为矩形，∴为的中点， ∵为的中点，∴， ∵平面，平面， ∴∥平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用空间向量的方法求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为，则. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求证：当时，； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求出斜率，再用点斜式求出直线方程； （2）恒成立问题，只需证明，构造函数，求导判断单调性，求出最小值即可证明； （3）恒成立问题，构造函数，得到，求导；再令分子等于，由二次函数的性质得到，最后求出结果. 【小问1详解】 当时，，. 所以，. 所以函数的图像在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 证明：当时，，，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以，即. 【小问3详解】 由，令. 首先由，此时，令. 因为所以，所以恒成立，即. 所以在递增，故. 综上：的取值范围. 19. 对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”. （1）判断函数和是否为位差奇函数？说明理由； （2）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （3）若对任意属于区间中的都不是位差奇函数，求实数、满足的条件. 【答案】（1）是位差奇函数，详见解析不是位差奇函数；（2），；（3），. 【解析】 【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查f（x+m）﹣f（m）=2x,和h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1）是否为奇函数即可， （2）依题意，是奇函数，求出φ； （3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需． 【详解】（1）对于f（x）＝2x+1，f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x， ∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数， 即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”； 对于g（x）＝2x，记h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1）， 由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）＝0，当且仅当x＝0等式成立， ∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”； （2）依题意，是奇函数， ∴（k∈Z）． （3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm ＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x． 依题意，h（x）对任意都不是奇函数， 若h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时． 故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R． 【点睛】本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田砺志学校2026－2027学年（上）高三数学学科 10月月考测试卷 学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______ 答题时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若角的终边经过点，且，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 4 4. 若，则（ ） A. 无最大值，有最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 有最大值，有最小值 D. 有最大值，无最小值 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数的定义域为，，当时，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 8. 已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 13. 已知集合，且，则实数m的取值范围是___________. 14. 已知函数是定义在的单调函数，对定义域内任意，均有，则函数在点处切线的纵截距为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，若在时取得极值. （1）求的值； （2）求在上的最值（）. 16. 设的内角为、、，且． （1）求的大小； （2）若，的面积，求的周长． 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求证：当时，； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”. （1）判断函数和是否为位差奇函数？说明理由； （2）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （3）若对任意属于区间中的都不是位差奇函数，求实数、满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $