中午30min专题限时练（4）基本不等式-2027届高三数学一轮复习

高三一轮复习人教A版中午30min专题限时练（4） 基本不等式 一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则的最大值为(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2.已知，，且，则的最小值是(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.已知，且，则的最小值为     A. 3 B. C. D. 2 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 4.已知正数x，y满足，则下列选项正确的是(    ) A. 的最小值是2 B. xy的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 5.设，，，则的最小值为          . 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 6.本小题12分 某工厂生产某种产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可近似地表示为已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. 年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； 若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 7.本小题12分 若正数满足 求的最大值； 求证： 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式的成立的条件． 【解答】 解：因为，则， 可得， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 根据题意，得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值． 【解答】 解：因为，，，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，的最小值是 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】由常数的代换，和基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3， 故选：A 4.【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式求解最值． A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式． 【解答】 解：A，，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确． B，，当且仅当时等号成立，故选项B错误． C，，当且仅当时等号成立，故选项C错误． D，因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确． 故选： 5.【答案】  【解析】【分析】 利用基本不等式求最值即可． 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 【解答】 解：，，， 则， 由基本不等式有：， ，， 故：， 当且仅当，即：，时，等号成立， 故的最小值为 故答案为 6.【答案】解：由题意可得，生产每吨产品的平均成本为，， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； 设利润为， 则 ， 又因为， 所以当时，， 即年产量为220吨时，最大利润为840万元．  【解析】本题主要考查利用基本不等式解决实际问题，利用一次、二次、分式函数模型解决实际问题，二次函数的最值，属于中档题． 由题意可得，，再利用基本不等式求最值即可； 设利润为，则，再结合二次函数的性质求解． 7.【答案】解：，b，， 当且仅当时，取"=" 综上所述，的最大值是； 证明：，b，， ， 三个式子相加得， 当且仅当时，取"="   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $