第04课时 基本不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

第04课时基本不等式 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 4 y=x+ 1.当(x<0)时，函数x() [A]有最大值-4 [B]有最小值-4 [C]有最大值4 [D]有最小值4 2.若log,a+log,b=3,则(a+b)的最小值为(). [A2V2 B14V2 [C2v6 ID]4V6 3.(2025北京卷)已知(a>0,b>0),则(). LA]a'+b2 2ab 1+1≥1 [B]a b ab IC](a+b)>Vab 1+1≤2 DIab√ab 1,1 4设a>0,b>0,2(a+b)=l,则ab的最小值为(). [A2V2 [B]1+2V2 [C2+2V2 [D13+2V2 3+4=1 5.已知(x>0,y>0),且满足xy,则(). [A]y的最小值为48 1 [B]少的最小值为48 [Cy的最大值为48 1 [D]少的最大值为48 6.(传统文化+基本不等式)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内 有一个三角形，其边长分别为a,b,c),三角形的面积S可由公式 S=Vp(D-0P-b(D-c)求得，其中P为三角形的周长的一半已知△1BC的周长为12 ,角(4，B,C)对应的边分别为(ab,c),且(c=4),则当△ABC的面积最大时，（A=）( [A30 [B145 [C60 D190 7.已知正实数（化）)满足2x+3y-y=0,若3x+2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是( [A（-o,25] B1（,25)） [C（-,24 [Dl24,+o) 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8.下列结论正确的是(). F+ =>2 [A当x>D时， +t1 [B1当x<0)时，x的最大值是-2 [C当x>-3时， 少=x+1 x+3的最小值是-2 5 x<- D]当4时， y=4x-2+,1 4x-5的最大值是1 9.已知(a>0,b>0),且(a+2b=2),则(). ab=1 [A 2 [B1Va+V2b≤2 1+225 [c]a b 1 +2、2√2+3 [D(a+b)a+36之4 10.已知正实数(ab,c),且(a>b>cd),(:,),2为自然数，则满足 x y >0 a-bTb-cc-a恒成立的K2可以是(). =y=Lz=4) ®（x=y=2z=5) [C（x=2,y=2,2=7) D(x=y=3,z=9) 三、填空题（每小题5分，共15分） a,b>0,a+1-1b+1 ,1 11.(2025·上海卷) ”b,则a的最小值为— x+<m2-m 12若两个正实数（化，）满足(4+y=2),且不等式+4 有解，则实数m的取 值范围是 x+++++一+ 13若，X,…,2027均为正实数，则七Xx X7X2…X2026X1X2…X2027 的最小值为 四、解答题（共32分） 14已知x>0,y>0.(x+2y+w=30),求： (1)炒的最大值：(6分) ②(2x+)的最小值9分) 15.(现实生活+基本不等式)某大学生毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该 地改良某种珍稀水果树，使产量增加，从而提高收入.调研过程中发现，此珍稀水果树的单株 产量（W(x》单位：千克与投入成本30x(单位：元满足如下关系式： 3x2 34 0≤x≤2， (W(x)= 3 32x +x,2<x≤5. x+1 已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求，单株水果树获得的利润为广(x刃单位： 元)， ④①求(/(x》的函数关系式口分) (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大？最大利润是多少？(10分) 参考答案与解析 1.A2.B3.C4.D5.A6.C7.A 8.ABD 解析：当x>)时， +1 22 ，当且仅当(x=)时，等号成立，但x≠1，故等号不成 立，所以 +左2 1 ,故A正确； 当(x<0)时， (2 1 当且仅当 一x,即x=-1时，等号成立，故B正确： 当x>-3时，(x+3>0),则 y=x+1 =x+3t1,-32≥2-3=- x+3 x+3 x+3=1 当且仅当 x+3,即x=-2时，等号成立，故C错误： 5 x< 当4时，4x-5<0,则 1 当且仅当 -4=),即(c=)时，等号皮立，散D确 故选ABD. 9.BD 解析：(a>0,b>0),且(a+2b=2) 对于A, 201 ∴.ab 2.当且仅当a=20）,即a=16=月 入 2时，等号成立，A错误： 对于B Va+√2b≤√2V(Wa)2+(W2b)2=V2(a+2b)=2, 当且仅当v6=V25,即“=1b 2时，等号成立，B正确； 对于C, 后0+引a+创)s+0}号 2b 2a 4=6= 当且仅当a b,即 3时，等号成立，C错误： 对于D.(a+b)+(a+3b)=2a+46=2(a+2b)=4 a+3b2(a+b) 3+2v2 a+3b 4 a+3b2(a+b) 当且仅当(a+b) a+3b, 即a=-10+8W2,b=6-4W2时，等号成立，D正确 故选BD. 10.BC +y+2>0 +y>-2 解析：要满足a-bb-cc-a恒成立，只需满足a-bb-ca-c恒成立，其中 (ab,c)为正实数，且(a>b>c),(x,),2为自然数 +、业 a-b b-c a-c ≥x+y+2四-x+D)2 a-c a-c a-c a-c (b-c)x_(a-b)y 当且仅当a-bb-c,即6-c'x=(a-by时，等号成立，故只需 (t a-c a-c,即(+>2即可 对于A,当(=y=l,2=4,(i+=4,A错误： 对于B,当（x=y=2,2=5列时，(i+2=3+22>5,B正确 对于C,当(x=2,y=22=7)时，2+2=8>7，c正确： 对于D.当=.y=3,2=9)时，i+3=4+25<9,D错误 故选BC. 11.4 a,b>0a+-1 解析：因 b,所以 ab ab=1 1 1 a+ 1=1a= b ,b=2 6x1 当且仅当( ,即 时，等号成立，所以a的最小值为4. 12.（0,-lU(2,+o)） 1+4=2 解析： 由两个正实数x,)满足(4x+y=2）,得xy *最+到++*-2 4xy 当且仅当y4x,即y=4x=4时取等号. x+兰<m2-m 又由不等 4 有解，可得m-(m>2),解得m<-l或m>2),故实数m的 取值范围是-o,-1)U(2,+∞) 13.4 解析： 4 原式= 龙7一++店+3+x XX2…X2027XX2…X2026 Xx2 x1 4 2m一++店++x≥…之 4 4 ≥2 +x≥2. …x1=4, XX2…X2027XX2…X2026 XX2 X1 4=x(=1,232027)>0 当且仅当 即X===2=2时，等号成立， +点+++ X2027+ 4 故出3 XX2…X20262…x2027的最小值为4. 14. 解析： ①)因为x>0,y>0),所以根据基本不等式，得 30=x+2y+xy≥2√2xy+xy, 当且仅当(x=2y=6)时取等号 令V=>0)》,则2+22-30≤0， 解得-5V2≤1≤3V2,又>0)， 所以0<t≤3V2,即0<≤3V2 所以0<y≤18，故y的最大值为18 y= 30-X>0 ②由(x+2y+y=30)可知，y=2+x>0,可得0<x<30) 则 (2x+y）=2x+ =242225232 2+x 32-5=11, 当且仅 2+a小品y2-2-g8 所以(2x+)的最小值为11 15. 解析： (1)由题意可知 (f(x)=10(W(x)-30x 30x2-30x+3 3,0≤x≤2， (f(x)= 320x-20x, 2<x≤5. x+1 f(x)=30x2-30x+ 340 (2)由1)可知，若0≤x≤2，则 3,可知其图象开口向上，对称轴 1 为直线=2，此时（（刃的最大值为 若2<x≤5，则 (f(x)= 20-20s=340-200c++6]≤340-20x20+0=10 x+1 +1=16 当且仅当 x+1,即(x=3)时，等号成立，此时(》的最大值为f(3)=180 180s520 因 ,所以（广(x》的最大值为180，所以当投入成本为90元时，该水果树单株获 得的利润最大，最大利润是180元