2.3 有理数的乘除运算 -2.4 有理数的乘方课堂 综合练习卷 2026～2027 学年北师大版七年级上册数学

2.3 有理数的乘除运算 -2.4 有理数的乘方课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 2.3 有理数的乘除运算、2.4 有理数的乘方（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．在下面四个算式中，计算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下面是小华计算 的过程： 　　原式 　　 　　 　　其中第一步运用的运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 5． 的结果是（　　） A． B． C． D． 6．2026 年我国新能源汽车年产量约为 12880000 辆，将 12880000 用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．下列等式：① ；② ；③ ；④ ．其中一定成立的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．四个数 ，，， 中，最大的一个是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11． 时， 的值是 ______； 时， 的值是 ______． 12． 成立时， 的值是 ______． 13．式子 的值是 ______． 14．当 时， 所有可能的取值是 ______． 15．，，且 ，此时 的所有可能值为 ______． 16．观察：，，，，，…，则 的个位数字是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 18．（6 分）下面是小马虎计算 的过程： 　　解：原式 　……第一步 　　　　　　……第二步 　　　　　　……第三步 (1) 小马虎从第几步开始出错？错误的原因是什么？ (2) 请写出正确的解答过程． 19．（6 分）已知 、 互为倒数，、 互为相反数，． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 20．（6 分）我国约有 14 亿人口，如果每人每天节约 1 粒大米，每 500 粒大米约重 10 克． (1) 一粒大米约重多少克？ (2) 全国一年（按 365 天计算）节约的大米约多少克？用科学记数法表示； (3) 若每千克大米售价 6 元，这些大米约可卖多少元？用科学记数法表示（结果保留两位小数）． 21．（6 分）规定一种新运算：（其中 为正整数）．例如 ． (1) 求 的值； (2) 求 的值； (3) 比较 与 的大小． 22．（6 分）小明在作业中写道：“因为 ，，所以任何有理数的偶次幂都是正数．” (1) 小明的说法是否正确？若不正确，请举出一个反例； (2) 请写出正确的结论，并说明当底数为负数时，幂的符号与指数有什么关系； (3) 判断 与 是否相等，并说明理由． 23．（6 分）观察下列等式： 　　，，，… (1) 猜想： ______（用含 的式子表示）； (2) 利用上面的规律计算：； (3) 计算：． 24．（8 分）某种细胞每经过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个． (1) 经过 2 小时，1 个这样的细胞能分裂成多少个？ (2) 经过 小时，1 个这样的细胞能分裂成多少个？（用含 的式子表示） (3) 经过 10 小时，1 个这样的细胞能分裂成多少个？并用科学记数法表示这个数； (4) 若 1 个这样的细胞经过 小时分裂成 4096 个，求 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的乘除运算 -2.4 有理数的乘方课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 2.3 有理数的乘除运算、2.4 有理数的乘方（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 乘积为 1 的两个数互为倒数，求倒数就是把分子、分母交换位置； 可以看作 ，交换分子分母得 ； 检验：，符合倒数的定义．选 D． 【解题提示】倒数只看“乘积是不是 1”，与相反数不要混：相反数看“和是不是 0”． 2．在下面四个算式中，计算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正； A 中负因数有 2 个，积为正，等于 24； B 中负因数有 3 个，积为负，等于 ； C 中有一个因数是 0，积为 0，0 既不是正数也不是负数； D 中负因数有 2 个，积为正，等于 24．选 B． 【解题提示】先数负因数的个数、再看有没有 0；只要有一个因数为 0，积就是 0，不必再管符号． 3．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 A：除以 等于乘 ，，错误； B：乘除是同级运算，必须从左到右依次计算，，，不能先把后面两个数相乘，错误； C：，，正确； D：，所以 ，错误．选 C． 【解题提示】乘除混合时最容易犯的错是“先算后面的乘法”：同级运算一定要从左往右，除法要先变成乘倒数． 4．下面是小华计算 的过程： 　　原式 　　 　　 　　其中第一步运用的运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】 C 【解析】 第一步把括号内的三个加数分别与 相乘，即 ； 这正是乘法对加法的分配律，所以选 C； 交换律、结合律只改变乘数或因数的位置与结合方式，不会把乘法“分配”到每一个加数上； 顺便验算：，结果正确． 【解题提示】看到“括号里几个分数相加、括号外一个整数”，先想分配律，能约分就约分，比先通分快得多． 5． 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 除法先转化成乘法：； 化成乘法后从左到右依次计算：； 再乘 ：； 两个负因数相乘得正，所以结果是 ．选 B． 【解题提示】如果先算 ，就会得到 ，这是最常见的错解；同级运算只能从左往右． 6．2026 年我国新能源汽车年产量约为 12880000 辆，将 12880000 用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 科学记数法的形式是 ，其中 ， 为整数； 把 12880000 的小数点向左移动 7 位，得 ，所以 ； 于是 ； B 中 ，D 中 ，都不符合 的取值范围．选 C． 【解题提示】数位数最快：整数部分有几位， 就等于“位数减 1”，12880000 是 8 位数，所以 ． 7． 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 的奇次幂等于 ， 的偶次幂等于 1； 从 1 到 2026 共 2026 个数，奇数、偶数各有 1013 个，所以式子里有 1013 个 与 1013 个 ； 把它们两两配成 1013 对，每一对的和都是 ； 所以原式 ．选 A． 【解题提示】遇到一串 的幂，先按指数的奇偶把每一项的值写出来，再看能不能配对抵消． 8．已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 由 知 、 都是负数，并且 离原点更远，即 ； A：两个负数相乘得正，，错误； B：两个负数相除得正，，错误； C：，，由 得 ，正确； D：两个负数相加得负，，错误．选 C． 【解题提示】乘除只看“负因数（负号）的个数”，加减才要比较绝对值大小；平方会把“离原点的远近”放大，所以 与 同义． 9．下列等式：① ；② ；③ ；④ ．其中一定成立的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】 A 【解析】 ① ，对任何有理数 都成立； ② 当 时 与 互为相反数，并不相等，只有 时才相等，不是“一定成立”； ③ 左边 ，右边 ，只有 时两边才相等，不是“一定成立”； ④ 当 时 ，而 ，两边不相等，不是“一定成立”； 所以一定成立的只有 ①，共 1 个．选 A． 【解题提示】偶次幂“吃掉”负号，奇次幂“保留”负号；判断这类等式先取 试一试，能很快找到反例． 10．四个数 ，，， 中，最大的一个是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 先把每个数算出来： A：；B：，所以 ； C：；D：，，所以 ； 四个数中只有 是正数，正数大于一切负数，所以 最大．选 C． 【解题提示】比较大小先定符号、再比绝对值：本题只要认出哪个结果是正数，其余三个负数就不必再比了． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11． 时， 的值是 ______； 时， 的值是 ______． 【答案】 或 ； 【解析】 因为 ，，所以 时 或 ； 因为 ，，而任何正数的立方都是正数，所以 时只能取 ； 本题答案为 或 ；． 【解题提示】平方得正数，底数有两解（一正一负）；立方得负数，底数只有一解，而且一定是负数． 12． 成立时， 的值是 ______． 【答案】 【解析】 ，，两个非负数相加等于 0，只有它们同时为 0； 所以 ，，解得 ，； 于是 ． 【解题提示】“平方（或绝对值）相加等于 0”是固定套路：每一块都为 0；求出字母后别忘了再算题目要的那个幂． 13．式子 的值是 ______． 【答案】 【解析】 先算乘方与括号：； 再算除法和乘法：，； 最后算减法：； 所以式子的值是 34． 【解题提示】减去一个负数等于加上它的相反数，最后一步 别写成 30． 14．当 时， 所有可能的取值是 ______． 【答案】 ， 或 【解析】 说明 、 都不为 0，因此 只能取 1 或 ： 时等于 1， 时等于 ； 同理，也只能取 1 或 ； 当 、 同为正数时，原式 ；同为负数时，原式 ； 当 、 异号时，原式 ； 所以原式的值可能是 2， 或 0． 【解题提示】看到 就要想到“它是 1 还是 由 的正负决定”，再按两个字母同号、异号分情况讨论． 15．，，且 ，此时 的所有可能值为 ______． 【答案】 或 【解析】 由 得 或 ；由 得 或 ； 用条件 逐个筛选： 时， 与 都不成立，所以 不能取 5； 当 、 时， 成立，； 当 、 时， 成立，； 所以 的值是 或 ． 【解题提示】两个条件各出两解，组合起来有四种可能；不要漏掉“用不等式筛解”这一步，也别把两组解都验完就直接写一个答案． 16．观察：，，，，，…，则 的个位数字是 ______． 【答案】 【解析】 把前几个幂的个位数字依次写出：3，9，7，1，3，…，可以看出个位数字按 3、9、7、1 四个一循环； 用指数除以 4： 余 2，说明 的个位数字与 的个位数字相同； 因为 ，所以 的个位数字是 9． 【解题提示】求幂的个位数字只需盯住“个位”按几个一循环，再用指数除以循环节长度，看余数定位． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】 (1) 先算乘法：； 再算除法：． (2) 先算乘方：，，； 再算乘法：；最后 ． (3) 先算乘方：（ 是 的相反数），； 再算除法：；最后 ． (4) 用分配律：，，； 所以原式 ． 【解题提示】乘除乘方混合的固定顺序：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号，能用分配律的先约分． 18．（6 分）下面是小马虎计算 的过程： 　　解：原式 　……第一步 　　　　　　……第二步 　　　　　　……第三步 (1) 小马虎从第几步开始出错？错误的原因是什么？ (2) 请写出正确的解答过程． 【答案】 (1) 第一步；原因：把 算成了 ；(2) 【解析】 (1) 第一步就错了： 表示 的相反数，应等于 ，而小马虎把它算成了 ； 后面的第二步、第三步都是按错误的数继续算下去的，所以从第一步开始出错； (2) 正确过程：原式 　　 　　 　　． 【解题提示】凡是有“”的式子，先问自己一句：底数是 还是 ？负号在括号外，它不参与乘方． 19．（6 分）已知 、 互为倒数，、 互为相反数，． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 【答案】 (1) ，；(2) 或 【解析】 (1) 互为倒数的两个数乘积为 1，所以 ；互为相反数的两个数和为 0，所以 ； (2) 由 得 或 ，且无论哪一种都有 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 所以原式的值是 或 ． 【解题提示】先把能定下来的整体值换掉（、），再处理有多个取值的字母； 有两个值，答案就要写两个． 20．（6 分）我国约有 14 亿人口，如果每人每天节约 1 粒大米，每 500 粒大米约重 10 克． (1) 一粒大米约重多少克？ (2) 全国一年（按 365 天计算）节约的大米约多少克？用科学记数法表示； (3) 若每千克大米售价 6 元，这些大米约可卖多少元？用科学记数法表示（结果保留两位小数）． 【答案】 (1) 克；(2) 克；(3) 约 元 【解析】 (1) 用总质量除以粒数：（克），即一粒大米约重 0.02 克； (2) 14 亿 ，全国一天节约 粒，一年节约 （粒）； 总质量 （克），即约 克； (3) 先换算单位： 克 千克； 可卖 （元），保留两位小数约为 元． 【解题提示】这类题两步最关键：一是单位换算（克化千克要除以 1000），二是结果必须写成 且 的形式． 21．（6 分）规定一种新运算：（其中 为正整数）．例如 ． (1) 求 的值； (2) 求 的值； (3) 比较 与 的大小． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 把 ， 代入：； (2) 把 ， 代入：； (3) ； ； 因为 ，所以 ． 【解题提示】新定义题的通用做法：先把字母换成数、把符号换成算式，再按学过的运算顺序算；指数是奇数还是偶数，直接决定符号． 22．（6 分）小明在作业中写道：“因为 ，，所以任何有理数的偶次幂都是正数．” (1) 小明的说法是否正确？若不正确，请举出一个反例； (2) 请写出正确的结论，并说明当底数为负数时，幂的符号与指数有什么关系； (3) 判断 与 是否相等，并说明理由． 【答案】 (1) 不正确，反例：，0 不是正数；(2) 任何有理数的偶次幂都是非负数，负数的偶次幂为正、奇次幂为负；(3) 不相等，， 【解析】 (1) 不正确；只要举一个“偶次幂等于 0”的例子就够了，例如 ，而 0 不是正数； (2) 正确的结论是：任何有理数的偶次幂都是非负数（正数或 0）；其中负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0； (3) 不相等： 的底数是 ，结果是 81； 表示 的相反数，结果是 ； 两者互为相反数，所以不相等． 【解题提示】“任何……都……”这类结论，找一个反例就能推翻；而 与 的差别，永远是先看负号在不在括号里． 23．（6 分）观察下列等式： 　　，，，… (1) 猜想： ______（用含 的式子表示）； (2) 利用上面的规律计算：； (3) 计算：． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 因为 ，所以填 ； (2) 把每一项都拆开：原式 ； 中间的 与 、 与 依次相消，只剩首尾两项：； (3) 因为 ，，…，所以原式 ； 括号内相消后得 ． 【解题提示】裂项的两个要点：分母两个因数相差 1，拆开就是两项相减；相差 2 时要先乘 再拆，否则结果会大一倍． 24．（8 分）某种细胞每经过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个． (1) 经过 2 小时，1 个这样的细胞能分裂成多少个？ (2) 经过 小时，1 个这样的细胞能分裂成多少个？（用含 的式子表示） (3) 经过 10 小时，1 个这样的细胞能分裂成多少个？并用科学记数法表示这个数； (4) 若 1 个这样的细胞经过 小时分裂成 4096 个，求 ． 【答案】 (1) 16 个；(2) 个；(3) 1048576 个， 个；(4) 【解析】 (1) 2 小时 分钟，，即分裂了 4 次，每次个数翻一倍，所以为 （个）； (2) 小时 分钟，，即分裂了 次，所以为 个； (3) 当 时，（个），用科学记数法表示为 个； (4) 由题意得 ，而 ，所以 ，解得 ，即经过 6 小时． 【解题提示】分裂问题的关键是把“小时”换成“几个 30 分钟”：指数是分裂的次数，不是小时数；第 (2) 问的 最容易写成 ． 学科网（北京）股份有限公司 $