25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.2.2 公式法 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 25.2.2 公式法 专项练习（人教版九年级上册） ## 知识点梳理 对于一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a eq0)\)，当 \(\boldsymbol{b^2-4ac\ge0}\) 时，方程的实数根为： \[ \boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \] 这个式子叫做一元二次方程的**求根公式**，利用求根公式解方程的方法叫做公式法。 \(\Delta=b^2-4ac\) 叫做根的判别式： 1. \(\Delta>0\)，方程有**两个不相等**的实数根； 2. \(\Delta=0\)，方程有**两个相等**的实数根； 3. \(\Delta<0\)，方程**没有实数根**。 公式法解方程步骤： ① 把方程化为一般形式 \(ax^2+bx+c=0(a eq0)\)； ② 确定 \(a,b,c\) 的值（注意符号）； ③ 计算判别式 \(\Delta=b^2-4ac\)； ④ 若 \(\Delta\ge0\)，代入求根公式计算根；若 \(\Delta<0\)，直接写无实数根。 > 易错提醒：确定 \(a、b、c\) 时不要漏掉负号；必须先化成一般形式再代入公式。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程 \(2x^2-5x+1=0\) 中，\(a、b、c\) 的值分别是（） A. \(2,-5,1\)　B. \(2,5,1\)　C. \(2,-5,-1\)　D. \(-2,-5,1\) 2. 方程 \(x^2-4x+4=0\) 的判别式 \(\Delta\) 的值为（） A. 16　B. 8　C. 0　D. -16 3. 下列方程中，没有实数根的是（） A. \(x^2+x=0\)　B. \(x^2-2x+1=0\)　C. \(x^2-2x+3=0\)　D. \(x^2-2x-1=0\) 4. 用公式法解方程 \(3x^2-2x-1=0\)，代入求根公式正确的是（） A. \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{6}\) B. \(x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}\) C. \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-12}}{6}\) D. \(x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-12}}{6}\) 5. 若关于 \(x\) 的一元二次方程 \(x^2-2x+m=0\) 有两个不相等实数根，则 \(m\) 的取值范围是（） A. \(m>1\)　B. \(m<1\)　C. \(m\ge1\)　D. \(m\le1\) ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 方程 \(x^2+3x-2=0\) 的判别式 \(\Delta=\)________。 7. 一元二次方程 \(x^2-6x=0\)，化为一般形式后，\(b=\)________。 8. 方程 \(2x^2+3x+1=0\)，\(\Delta=\)____，方程根的情况：________________。 9. 若方程 \(x^2+kx+1=0\) 有两个相等实数根，则 \(k=\)________。 10. 用公式法解方程 \(x^2-2x-2=0\)，则 \(x=\)________________。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）用公式法解下列方程： ① \(x^2+2x-3=0\)　② \(x^2-x-2=0\) 12.（16分）用公式法解方程： ① \(2x^2-7x+3=0\)　② \(3x^2-2x-2=0\) 13.（16分）先判断根的情况，再用公式法解方程： ① \(x^2-4x+5=0\)　② \(x^2-2\sqrt{2}x+2=0\) 14.（16分）已知关于 \(x\) 的方程 \(x^2-(m+2)x+2m=0\)，求证：无论 \(m\) 取何值，方程总有实数根。 --- ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. A 解析：\(a=2，b=-5，c=1\)，一次项系数包含负号。 2. C 解析：\(\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0\)。 3. C 解析：C选项\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times3=4-12=-8<0\)，无实数根。 4. A 解析：\(a=3,b=-2,c=-1\)，\(x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times3\times(-1)}}{2\times3}=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{6}\)。 5. B 解析：\(\Delta=(-2)^2-4m>0\Rightarrow4-4m>0\Rightarrow m<1\)。 ### 填空题 6. \(17\) 解析：\(\Delta=3^2-4\times1\times(-2)=9+8=17\) 7. \(-6\) 8. \(1\)；有两个不相等的实数根 9. \(\pm2\)，解析：\(\Delta=k^2-4=0\Rightarrow k^2=4\) 10. \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}\) ### 解答题 11. ① \(x^2+2x-3=0\) \(a=1,b=2,c=-3\) \(\Delta=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0\) \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2} \] \(x_1=1，x_2=-3\) ② \(x^2-x-2=0\) \(a=1,b=-1,c=-2\) \(\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-2)=1+8=9>0\) \[ x=\frac{1\pm3}{2} \] \(x_1=2，x_2=-1\) 12. ① \(2x^2-7x+3=0\) \(a=2,b=-7,c=3\) \(\Delta=49-24=25>0\) \[ x=\frac{7\pm5}{4} \] \(x_1=3，x_2=\dfrac12\) ② \(3x^2-2x-2=0\) \(a=3,b=-2,c=-2\) \(\Delta=4+24=28>0\) \[ x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3} \] \(x_1=\dfrac{1+\sqrt7}{3}，x_2=\dfrac{1-\sqrt7}{3}\) 13. ① \(x^2-4x+5=0\) \(\Delta=(-4)^2-4\times1\times5=16-20=-4<0\)，方程**没有实数根**。 ② \(x^2-2\sqrt{2}x+2=0\) \(\Delta=(2\sqrt{2})^2-4\times1\times2=8-8=0\)，有两个相等实数根 \[ x=\frac{2\sqrt2\pm0}{2}=\sqrt2 \] \(x_1=x_2=\sqrt2\) 14. 证明： \[ \begin{align*} \Delta&=[-(m+2)]^2-4\times1\times2m\\ &=(m+2)^2-8m\\ &=m^2+4m+4-8m\\ &=m^2-4m+4\\ &=(m-2)^2 \end{align*} \] \(\because\) 无论\(m\)取任何实数，都有 \((m-2)^2\ge0\)，即\(\Delta\ge0\)。 ∴无论\(m\)取何值，方程总有实数根。 > 本节小结：公式法本质是配方法推导出的通用公式，做题第一步一定要写成一般形式；判别式不仅用来判断根的个数，也常作为代数式证明、求参数取值范围的考点。 下一节是 **25.2.3 因式分解法**，需要我继续写配套专项练习吗？也可以给你纯题目无答案版本。 1 2 3 掌握求根公式，能熟练运用公式法解一元二次方程. 理解求根公式的推导过程；理解根的判别式与根的情况的内在联系. 经历从配方法到求根公式的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力. 素养目标 新课引入 思考 上节课我们学习了用配方法解一元二次方程，你还记得配方法完整的解题步骤吗？ 配方法解方程步骤： 二次项系数化为 1→移项→配方（两边加一次项系数一半的平方）→开平方→求解. 每解一个方程都要重复这五步，能不能用配方法对方程的一般形式 进行配方，得到一个通用的求根公式，直接代入计算呢？ 这就是本节课学习的主题——公式法. 3 用配方法解方程：3x2+8x–3=0. 解：移项，得 3x2+8x=3. 二次项系数化为1，得x2+x=1. 配方，得 x2+x+()2=1+()2，(x+)2=. 由此可得 x+=±，即x1= – 3，x2= . 你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？ 探索新知 用配方法解一般形式一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0). 解：移项，得 ax2+bx = –c. 二次项系数化为1，得 x2+ x = – . 配方，得 x2+ x + ()2 = – + ()2 ， 即 (x + )2 = . ① 思考：对于方程①，接下来能直接开平方解吗？ (x + )2 = . ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （1）当 b2–4ac>0 时，>0，由①得 x + =± . 方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = . (x + )2 = . ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况： （2）当 b2–4ac=0 时，=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – . （3）当 b2–4ac<0 时，<0，由①可知(x + )2 <0，而 x取任何实数都不能使 (x + )2 <0 成立，因此方程无实数根. 归纳小结 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. Δ>0 Δ=0 Δ<0 牛刀小试 一元二次方程 Δ=b2– 4ac 根的情况 x2–x–1=0 5 有两个不相等的实数根 2x2+3x+2=0 – 7 无实数根 4x2=12x–9 0 有两个相等的实数根 3x2+2=2x 0 有两个相等的实数根 当 Δ ≥ 0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为 x = 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b2– 4ac 时，才可以用求根公式. 点击图片播放视频 例3 用公式法解下列方程： （1）x2– 4x – 7=0； 解：因为 a=1，b= – 4，c= – 7， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×1×(–7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = 2±， 即 x1=2+，x2= 2 – . x = 确定 a，b，c 的值时，要注意它们的符号. （2）2x2 –2x+1=0； 解：因为 a=2，b= – 2，c= 1， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–2)2– 4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – = – = . x = （3）5x2 –3x=x+1； 解：方程化为 5x2 – 4x –1=0，此时a=5，b= – 4，c= – 1， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×5×(–1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， x = 即 x1=1，x2= – . （4）x2 +17=8x. x = 解：方程化为 x2 – 8x+17=0，此时a=1，b= – 8，c=17， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–8)2– 4×1×17= – 4 <0. 方程无实数根. 1. 返回 [石家庄期中]一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值是(　　) A．28 B．4 C．25 D．16 B 举一反三 16 返回 2. 关于x的方程x2＋mx＝3的根的判别式的值是(　　) A．m2－12 B．m2＋12 C．m2－3 D．m2＋3 B 举一反三 返回 3. [扬州中考]关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 A 举一反三 知识要点 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并确定 a，b，c 的值； （2）求：求出 b2–4ac 的值； （3）判：若 b2–4ac≥0 则利用求根公式求解；若 b2–4ac<0，则方程无实数根. （4）代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. 巩固训练1 一元二次方程根的判别式 【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可 一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 解：∵ ∴ 有两个不相等的实数根 故选：C． 当堂检测 20 巩固训练1不解一元二次方程判断根的情况 变式题 关于 的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ） 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 解： 方程总有实数根． 故选：C 当堂检测 21 巩固训练 巩固训练2 公式法解一元二次方程 【分析】用公式法解题步骤如下：化一般式求 代公式写解. 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 解：（1）化为一般式得 ，， ∴ ，； （2） ，， ． 当堂检测 22 返回 4. [上海中考]以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 D 举一反三 [教材P17习题T4变式]不解方程，判断下列方程的根的情况： 返回 5. 举一反三 解：方程整理得3x2－8x－1＝0， 则a＝3，b＝－8，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×3×(－1)＝64＋12＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)8x＝3x2－1； 返回 举一反三 返回 举一反三 (4)5x2＋5x＝4x2－10. 解：方程整理得x2＋5x＋10＝0， 则a＝1，b＝5，c＝10， ∴Δ＝b2－4ac＝52－4×1×10＝－15＜0， ∴方程无实数根． 返回 举一反三 用公式法解方程x2－2＝－3x时，a，b，c的值依次是(　　) A．0，－2，－3 B．1，3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－2，－3 返回 6. B 举一反三 返回 7. [邢台襄都区期中]若某一元二次方程的根为x＝ ，则该一元二次方程可以为(　　) A．2x2＋3x＋1＝0 B．2x2－3x＋1＝0 C．2x2－3x－1＝0 D．2x2＋3x－1＝0 A 举一反三 返回 8. 用公式法解方程：2x2＋4x＝x＋2. 解：方程化为一般形式，得______________． a＝________，b＝________，c＝________． Δ＝b2－4ac＝________． 方程有________________实数根， 为x＝ ＝________＝________， 即x1＝________，x2＝________． 2x2＋3x－2＝0 2 3 －2 25>0 两个不相等的 －2 举一反三 返回 9. [教材P11例3变式]用公式法解下列方程： (1)x2＋4x－6＝0； 解：∵a＝1，b＝4，c＝－6， ∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－6)＝40＞0， 举一反三 31 返回 举一反三 (3)2x2＋3＝3x. 返回 解：方程化为一般形式得2x2－3x＋3＝0， 则a＝2，b＝－3，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×3＝－15＜0， ∴方程无实数根． 举一反三 课堂小结 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 求根公式 x = 一元二次方程根的判别式 Δ= b2–4ac 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. 谢谢观看 THANKS 解：∵a＝1，b＝－1，c＝， ∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝1－1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． (1)x2－x＋＝0; (3)x2－2 x＋4＝0; 解：∵a＝1，b＝－2 ，c＝4， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×1×4＝－4＜0， ∴方程无实数根． ∴x＝＝＝－2±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. (2)6x2－2 x＋1＝0； 解：∵a＝6，b＝－2 ，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×6×1＝0， ∴x1＝x2＝－＝－＝. $