7.2 复数的四则运算 教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第二册　第7章

7.2　复数的四则运算

教材结论与考点深挖

一、条目逐条展开

条目一　复数的四则运算与分母实数化

（1）教材出处

必修第二册 第七章 7.2 复数的四则运算，7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义与 7.2.2 复数的乘、除运算正文、探究栏目及课后习题；教材由 的计算引出分母实数化，并在例 6 中讨论复数范围内解一元二次方程。

（2）教材结论/公式/性质

结论类型：正文定理公式。

设 ，，其中 取一切实数。

• 加法：；减法：。
• 乘法：。
• 除法：当 时，

• 共轭与模：，，。
• 运算律：加法、乘法分别满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配律；运算中始终使用 。
• 实系数一元二次方程：当 时，方程有一对共轭虚根

           且 ，。

• 几何意义：复数的加、减对应复平面内向量的平行四边形法则与三角形法则， 是两点 之间的距离。

图 1　复数加法的平行四边形法则：

（3）推导证明

加减法按实部与实部、虚部与虚部分别合并，利用 是形式单位即得。

乘法按多项式展开：

其中把 换成了 。

除法因为 ，所以 。分子、分母同乘分母的共轭 ：

分母 是正实数，于是商化成了 的标准形式。

共轭与模：设 ，则

实系数一元二次方程：配方得

当 时，右边为负数，而 ，故

解出 。两根为共轭复数，由求根公式直接相加、相乘即得韦达定理。

（4）适用条件与易错提醒

• 分母实数化时分子、分母必须同乘分母的共轭 ；只乘分母或漏乘分子都会改变商的值。
• 除法前提是除数 ，即 不同时为零； 保证分母是正实数。
• 计算中遇到 必须立即换成 ，不能保留 ，也不能把 当成 。
• 两个复数一般不能比较大小；只有虚部为零、都成为实数时才有大小关系。
• 是实数，而 仍是复数，二者不能混用。例如 时 ，。
• 实系数一元二次方程在 时不是“无解”，而是在复数范围内有一对共轭虚根；判别式只用来判断实根个数，不能用来判断复数范围内根的个数。
• 解复数方程时，最后要把结果整理成 的标准形式，不能保留分式或根式中的 未化简。

（5）考点定位与命题角度

高考选择题、填空题的前两题高频，主要考：

• 复数的乘、除运算与化简；
• 由复数方程求 、、 或实部、虚部；
• 共轭复数的性质与 的应用；
• 复平面内对应点所在象限；
• 实系数一元二次方程的虚根与韦达定理。

难度基础。对应 2024 新课标Ⅰ卷·2、2023 新课标Ⅰ卷·2、2022 新高考Ⅰ卷·2、2025 新课标Ⅱ卷·2。

（6）方法归纳

• 第一步　定形式：把每个复数写成 （ 为实数）的标准形式，分清实部与虚部。
• 第二步　选法则：加减法直接合并同类项；乘法按多项式展开后用 化简。
• 第三步　分母实数化：除法先写成分式，分子、分母同乘分母的共轭，把分母化为 。
• 第四步　回代检验：把结果代回原式，或用 、 检验模与共轭是否正确。