6.4 平面向量的应用 教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第二册　第6章

6.4　平面向量的应用

教材结论与考点深挖

一、条目逐条展开

条目一　用向量证明平面几何结论

（1）教材出处

必修第二册 第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法 正文例 1（三角形中位线）、例 2（平行四边形对角线）与课后习题（菱形对角线互相垂直）；本节正文给出的“三步曲”是全部向量几何证明的共同框架。

（2）教材结论/公式/性质

结论类型：例题结论。

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

• 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的点、线段、角；
• 通过向量的线性运算、数量积运算研究长度、夹角、平行、垂直关系；
• 把运算结果翻译成几何结论。

三个基本模型：

• 中位线：若 分别是 的中点，则 ，故 且 。
• 菱形对角线：若平行四边形两邻边相等，则两条对角线互相垂直，即 。
• 平行四边形对角线平方和：对角线平方和等于两邻边平方和的两倍。

（3）推导证明

中位线：设 ，。因为 分别为中点，

所以 与 共线，且长度比为 ，即 ，。

图 1　三角形中位线的向量表示

菱形：，，于是

因为 均为非零向量，所以 。

平行四边形：，，两式分别平方后相加：

即对角线平方和等于两邻边平方和的两倍。

图 2　平行四边形中的基向量与对角线

（4）适用条件与易错提醒

• 选取的基底必须不共线；用坐标法时优先把直角顶点或图形中心放在原点。
• 向量相等必须同起点、同方向、同长度；不能把 与 混写。
• 由 推出垂直，前提是 都是非零向量。
• 由 只能推出两直线平行或重合；要证明“平行”，还需说明两直线不重合。
• 证明结束后必须把向量等式翻译成几何语言，不能停在“某两个向量相等”上。

（5）考点定位与命题角度

以选填为主，也可作解答题的第一步。常见设问：判断四边形形状、证明线段平行或垂直、证明长度关系、求线段长度或角。难度基础到中档。命题常把“向量表示”与“数量积为 ”“共线定理”组合，或以平面图形为背景考查“三步曲”的完整表达。

（6）方法归纳

• 第一步　选基底或建系：把图形中两个不共线的边向量作为基底，或建立直角坐标系。
• 第二步　表示：把待证的点、线段、角全部用基底向量或坐标表示。
• 第三步　运算：用共线定理证平行，用数量积为 证垂直，用模长公式证长度关系。
• 第四步　翻译：把向量运算结果还原为几何结论，并注明非零、不重合等前提。

（7）典型例题

例题 1（教材原题）

如图 1， 分别是 的边 的中点。用向量方法证明：，且 。

解析

设 ，。因为 是中点，

所以

故 与 共线，且 。又 不在直线 上，所以 ，且 。

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