7.3 复数的三角表示 教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第二册　第7章

7.3　复数的三角表示

教材结论与考点深挖

一、条目逐条展开

条目一　复数的三角形式与模、辐角

（1）教材出处

必修第二册 第七章 7.3.1 复数的三角表示式 正文；包括由复数与向量的一一对应引入模与辐角的探究、代数形式化为三角形式的例题，以及课后习题中判断三角形式、求模与辐角主值的题目。

（2）教材结论/公式/性质

结论类型：正文定理公式。

设复数 （ 为实数），它与复平面内的点 、向量 一一对应。记

以 轴的非负半轴为始边、以射线 为终边的角 叫做复数 的辐角。由三角函数的定义，

所以

式子 叫做复数 的三角形式， 是模， 是辐角。

非零复数的辐角有无穷多个，彼此相差 （ 为整数）。规定 范围内的辐角为辐角的主值，记作 ，即 。 的辐角不确定，通常不讨论 的三角形式。

两个非零复数相等的充要条件是：模相等，且辐角主值相等。

（3）推导证明

设点 在第一象限（其余象限同理），如图 1，。

图 1　复数的模 、辐角 与点 的对应关系

过 作 轴的垂线，垂足为 ，则 ，。在直角三角形 中，

故 ，，从而

反过来，若 且 ，则

故 ；又 的实部为 、虚部为 ，所以 是 的一个辐角。把 加上适当的 使其落入 ，即得辐角主值。

（4）适用条件与易错提醒

• 三角形式必须满足“模非负、角相同、余弦在前、正弦在后、加号连接”：，两个角都是同一个 ，写成 。形如 、、、 的式子都不是三角形式，要先变形。
• 辐角主值的范围是 ，不是 。由 求角时，必须结合点 所在象限；只取 会漏掉第二、三象限的角。
• 负实轴上的点辐角主值为 ，负虚轴上的点辐角主值为 ，正虚轴上的点辐角主值为 ，正实轴上的点辐角主值为 ；这些象限界角要单独记准。
• 模 唯一，辐角不唯一；不指定主值时，同一个复数可以写成无穷多个三角形式。

• 的辐角任意，没有确定的辐角主值；写 时 可任意取。
• 判断两个非零复数相等，不能只看模，必须模相等且辐角相差 （或辐角主值相等）。

（5）考点定位与命题角度

以选择题、填空题为主，常见设问：判断给出的式子是否为复数的三角形式；求复数的模与辐角主值；把代数形式化为三角形式，或把三角形式化为代数形式；在复平面内由点的坐标写出复数的三角形式。难度以基础、中档为主。本节为选学内容，高考直接考查三角形式的题目较少，但模与辐角的思想在复数的几何意义、复数乘除运算与最值问题中经常出现；2023 北京·2 由复平面内点的坐标求共轭复数，2020 北京·2 以 考查乘 的旋转意义，都是这一思想的体现。

（6）方法归纳

• 第一步　求模：由 算出 。
• 第二步　定象限：由点 所在象限确定辐角所在象限，再用 、 求一个辐角。
• 第三步　取主值：把所求角加上或减去若干个 ，调整到 。
• 第四步　写形式并回验：写成 ，展开回验实部、虚部是否与原来一致。

（7）典型例题

例题 1（教材原题）

画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

（1）；（2）。

解析

（1）。由 ，，且对应点在第一象限，得 。故