6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第三册　第6章

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

教材结论与考点深挖

一、条目逐条展开

条目一　分类加法与分步乘法的适用判断

（1）教材出处

选择性必修第三册 第六章 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 正文，两个原理的定义与推广；正文例 2（书架取书）把“任取一本”与“各取一本”放在同一情境中对照。

（2）教材结论/公式/性质

结论类型：正文定理公式。

• 分类加法计数原理：完成一件事有 类不同方案，在第 类方案中有 种不同的方法，且各类方案互斥、任取一类中的任一种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法。
• 分步乘法计数原理：完成一件事需要依次经过 个步骤，做第 步有 种不同的方法，且各步缺一不可、只有全部步骤都完成才算完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法。
• 判别要点：分类看“能否独立完成”，分步看“是否缺一不可”；分类计数用加法，分步计数用乘法。
• 嵌套结构：每一步内部可以再分类，每一类内部也可以再分步；列式时保持“类内相乘、类间相加”的层次。

（3）推导证明

分类加法：设第 类方法的集合为 ，全部方法的集合为 。各类互斥，即任意两类没有公共方法；分类完备，即 。于是 中元素的个数等于各类元素个数之和：

直观地说，把各类方法分别列成清单，清单之间没有重名，合起来恰好是全部方法。

分步乘法：第一步有 种选择。固定第一步的任意一种选择，第二步都有 种选择，于是前两步共有 个有序选择对。再固定前两步的任意一个选择对，第三步都有 种选择，于是前三步共有 个有序选择链。依此类推， 步共有 个有

序选择链。这里的关键是：固定前面的选择后，后面每一步的方法数与前面具体选了什么无关；若有关，就要按前面的选择先分类，再在每一类内相乘。

（4）适用条件与易错提醒

• 分类必须“互斥且完备”：同一方法不能同时属于两类，也不能有方法落在所有类之外；两所大学有共同专业时，直接相加会把共同专业算两次。
• 分步必须“缺一不可”：只完成前几步不算完成这件事；每一步的方法数要在前面选择确定后重新计算，不能机械照搬。
• 判断依据不是题面有没有“或”“和”字样，而是“完成这件事”的标志：任取一类即可完成用加法；必须依次做完所有步骤才完成用乘法。
• “任取一本”与“各取一本”是两件不同的事：前者是分类，后者是分步；同一情境换一个动词，原理就可能改变。
• 每一步内部可以再分类：例如从甲地到乙地有公路、铁路两类，先算 种，再与下一段的方法数相乘。
• 不要把两种运算的层次写反：先分类后分步时，类内相乘、类间相加；先分步后分类时，步内相加、步间相乘。

（5）考点定位与命题角度

选填基础题，常以选课、报名、路线、组数、涂色、安排值日等为背景，考“判断用加法还是乘法”与“求方法数”；难度基础到中档。对应 2023 全国甲卷（理）·9（5 名志愿者两天服务，恰有 1 人两天都参加）、2023 全国乙卷（理）·7（两人从 6 种课外读物中各选 2 种，恰有 1 种相同）、2024 新课标Ⅱ·14（4×4 方格表每行每列恰选一个方格）。

（6）方法归纳

• 第一步　定事件：写出“完成这件事”的标志，明确是“任选一个”还是“依次完成”。
• 第二步　判类型：若各类方案独立、任一类都能单独完成，用分类加法；若各步相依、缺一不可，用分步乘法。
• 第三步　计数：分类逐类数，分步逐步数；步内可分类，类内可分步。
• 第四步　回验：检查类间是否互斥、类并是否完备，步间是否缺一不可、是否把同一方案重复计入。

（7）典型例题

例题 1（教材原题）

书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书。

① 从书架上任取 1 本书，有多少种不同取法？

② 从书架的第 1 层、第 2 层、第 3 层各取 1 本书，有多少种不同取法？

解析

① 完成“任取 1 本”这件事，可以分三类：从第 1 层取，有 4 种；从第 2 层取，有 3 种；从第 3 层取，有 2 种。三类互斥且完备，由分类加法计数原理，共有

种不同取法。

② 完成“各取 1 本”这件事，需要依次做三步：第 1 步从第 1 层取 1 本，有 4 种；第 2 步从第 2 层取 1 本，有 3 种；第 3 步从第 3 层取 1 本，有 2 种。三步缺一不可，由分步乘法计数原理，共有

种不同取法。

例题 2（教材原题改编）

从甲地到乙地有 3 条公路、2 条铁路；从乙地到丙地有 4 条公路、1 条铁路。

① 从甲地到乙地有多少种不同走法？

② 从甲地经乙地到丙地有多少种不同走法？

解析

① 完成“从甲地到乙地”这件事，可以坐公路或铁路，分两类：公路 3 条，铁路 2 条。两类互斥且完备，共有

种走法。

② 完成“从甲地经乙地到丙地”这件事，需要依次走两段：第一段从甲地到乙地，有 种走法；第二段从乙地到丙地，有 种走法。两段缺一不可，由分步乘法计数原理，共有

种不同走法。