第三章 第10节 平面向量 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量高考核心考点，涵盖向量概念、几何运算、基本定理、数量积等知识要点，按“概念-运算-应用”逻辑架构梳理，通过考点系统梳理、解题方法指导、真题典例讲解及分层针对练习，帮助学生构建知识网络，突破模与夹角计算、共线垂直判定等难点。 资料以“问题驱动-素养导向”设计教学活动，如结合2022年新课标卷真题讲解平面向量基本定理应用，通过投影向量辨析培养数学思维，设置从基础运算到综合应用的梯度练习，强化数学语言表达能力，助力学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第10节 平面向量 一、知识要点 1．向量概念与表示方法 ①向量的概念：既有大小又有方向的量． ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作，方向是任意的． ③单位向量：长度为个单位长度的向量． ④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量． ⑤平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量，记作：； 规定和任何向量平行. ⑥相反向量：长度相等方向相反的两个向量.的相反向量记为． ⑦向量的表示 ①几何表示：用带箭头的有向线段表示．②符号表示：用字母上加箭头表示，如，（印刷用黑体）． 2．几何运算 ①向量加法的平行四边形法则：两向量共起点，以表示这两向量的有向线段为邻边作平行四边形，从共点处引出的对角线所在有向线段即表示和向量． ②向量加法的三角形法则：两向量首尾相接，从起点直达终点的有向线段即表示和向量. 设，那么向量叫做与的和，即． 可由三角形法则推广到多边形法则． ③向量减法的三角形法则：向量共起点，差向量为连接两向量终点的向量，并指向被减向量的终点.设，那么． 3．数乘 （1）实数与向量的积是一个向量，记作，的长度和方向规定如下： ①； ②当时，与同向，当时，与反向，当时，. （2）向量共线的充要条件：设，则． 4．平面向量基本定理 ①如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只 有一对实数，，使． ②坐标表示：以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一 向量可表示为，称为向量的坐标．如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与该向量终点的坐标相同． 5．平面向量的数量积 （1）两向量的夹角：对于非零向量，，作，， 称为向量，的夹角．当时，，同向；当时，，反向；当＝时，． （2）数量积：如果两非零向量，的夹角为，定义；规定：零向量与任一向量的数量积是．数量积是一个实数． 变形式：非零向量，夹角的计算：． （3）投影数量与投影向量：在上的投影数量为，是一个实数，计算公式：（，为非零向量），在上的投影向量为． 在上的投影数量为，计算公式：（，为非零向量），在上的投影向量为． 数量积的几何意义：乘以在上的投影数量，或乘以在上的投影数量， （4）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①.②当，同向时，，特别地，，；当，反向时，.当，不同向时，为锐角；当，不反向时，为钝角． （5）三角不等式： （6）运算律 ①交换律：，，； ②结合律：，； ③分配律：，； ④常用结论：，，． 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于向量等式，可以移项，两边平方，两边同乘一个实数，两边同时取模，两边同乘一个向量，但不能两边同除以一个向量． 6．向量的坐标运算 设，则： （1）加、减法运算：， （2）数乘运算：. （3）向量的坐标：若，则，即向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． （4）数量积：. ①夹角公式： ； ②向量的模：若，设，则 ，． 7．向量平行(共线)的充要条件 ，其中． 8．向量垂直的充要条件 ，为非零向量． 二、应用举例 常见题型有：向量式或坐标式的基本运算，包括加、减法运算，数乘与数量积的运算，模与夹角的求解，最值与范围问题等． 1．向量的几何运算 常考查向量式或坐标式的加、减法运算.求解时，应充分利用所给图形的几何特征，或向量的几何意义，再运用平行四边形法则或三角形法则进行运算． 【例1】（多选）已知为的重心，为中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【针对练习1-1】已知与分别是的边，上的中线，且，，用表示． 2．数乘与共线向量定理 【例2】（1）已知，，，，且，则 ． （2）已知，若，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【针对练习2-1】（1）若，则 ； （2）已知点 ，，则与向量同方向的单位向量为（　 ） A． B． C． D． 【针对练习2-2】若向量，，当 时，与共线且方向相同； 【针对练习2-3】已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【针对练习2-4】已知向量，，．若，则 ． 【针对练习2-5】已知，，则“”是“与共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对练习2-6】 已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 3．平面向量基本定理及应用 利用平行四边形法则或三角形法则，或坐标式进行向量的加、减法运算，必要时可根据 线段的长度比例及向量共线的充要条件，使某一向量用其他两个向量线性表出． 三点共线定理：设向量与不共线，对于平面内的任意向量，必存在唯一的实数，使得成立，，三点共线． 证明：当时，，其中是唯一的实数． ，，三点共线． 当在线段之间且时，有； 当为线段的中点时，，有． 【例3】（2022年新课标全国Ⅰ卷第3题）在中，点D在边AB上，． 记，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-1】是平行四边形外一点，用、、表示为（ ） A． B． C． D． 【针对练习3-2】若，，，，用，表示，有 . 【针对练习3-3】如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-4】在菱形中，分别是边的中点，则（　 ） A． B． C． D． 【针对练习3-5】已知正六边形中，设，，则（   ） A． B． C． D． 【针对练习3-6】已知为的重心，且，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【针对练习3-7】（2015年北京卷）在中，点，满足，． 若，则 ， ． 【针对练习3-8】在平行四边形中，和分别是，的中点．若，其中，则 ． 4．与向量数量积定义的相关计算 涉及向量数量积的求值，参数求解，数量积运算律，射影等基本运算，常结合平面向量基本定理或向量的加、减法运算律． 【例4】已知正方形的边长为，为的中点，则______． 【针对练习4-1】给出下列命题正确的是（ ） A．； B．若，则或； C．； D．若，则. 其中正确的序号是_______． 【针对练习4-2】已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_______． 【针对练习4-3】已知，，，则_______． 【针对练习4-4】设向量，满足，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习4-5】已知，是两个非零向量，且，则与的夹角为_______． 【针对练习4-6】在正三角形中，是上的点，，，则______． 【针对练习4-7】已知，是夹角为的两个单位向量，，．若，则的值为______． 【针对练习4-8】（2020年北京）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________； _________． 【针对练习4-9】在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【针对练习4-10】设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（    ） A．2 B． C． D．1 5．向量垂直的充要条件 【例5】已知向量，.若，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习5-1】已知，向量，，且，则 ． 【针对练习5-2】（2020年全国II卷理）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则 ． 【针对练习5-3】（2021年高考乙卷理） 已知向量，．若，则 ． 【针对练习5-4】已知两个向量，，且，则实数等于 ． 6．与模有关的计算问题 常涉及到向量的数量积，将模的运算转化为平方或开方运算，有时与正、余弦定理汇合. 【典例6】已知向量，夹角为，且，，则______． 【针对练习6-1】已知两个非零向量，满足，则结论正确的是（ 　） A． B． C． D． 【针对练习6-2】已知，是两个非零向量，且，，则的最大值是 ． 【针对练习6-3】（2017年全国新课标I卷）已知向量，的夹角为，，，则_______． 【针对练习6-4】（2022全国甲卷，理科）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【针对练习6-5】（2022年全国乙卷，理科）已知向量，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习6-6】若向量，满足，，，则________． 【针对练习6-7】已知向量，，，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习6-8】已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【针对练习6-9】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-10】已知平面向量，其中，，的夹角是，则 ；若为任意实数，则的最小值为 ． 【针对练习6-11】已知两个不共线的向量，满足，，． （1）若，求角的值；（2）若与垂直，求的值． 【针对练习6-12】已知向量，向量，则的最大值是________． 7．夹角问题 一般先求角的某一三角数值，再求该角，常利用数量积定义或三角函数的知识求解． 【例7】（2020年全国III卷理）已知向量，满足，，，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习7-1】若为圆上的三点，且，则与的夹角为 ． 【针对练习7-2】已知，，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【针对练习7-3】已知，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习7-4】已知向量，，则向量与的夹角为 ． 【针对练习7-5】已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【针对练习7-6】已知向量，．若，的夹角为，则（　 ） A． B． C． D． 【针对练习7-7】向量，满足，且，，则与的夹角为 ． 【针对练习7-8】若非零向量，，满足，，则与夹角为（ 　） A． B． C． D. 【针对练习7-9】若非零向量满足，，且，则与的夹角为（ 　） A． B． C． D. 【针对练习7-10】已知，，，则向量与的夹角为 ． 【针对练习7-11】（2019年全国III卷理）已知，为单位向量，且．若，则 ． 【针对练习7-12】（2017年山东卷）已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值为 ． 【针对练习7-13】已知向量，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【针对练习7-14】已知向量，夹角为，且，，则 ． 【针对练习7-15】（2022年新高考Ⅱ卷）已知，，．若 ，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习7-16】已知，均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题: ①； ②； ③；④． 那么所有真命题的序号是 ． 8．向量与充分必要条件汇合 【例8】已知非零向量，，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【针对练习8-1】设，都是平面内的非零向量，则“”是“”的（　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对练习8-2】设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对练习8-3】已知向量，．设向量， ，则的充要条件是（　 ） A． B． C． D．K] 9．投影数量与投影向量 【例9】设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为（     ） A． B． C． D． 【针对练习9-1】已知，且，则向量在的方向上的投影数量为 ． 【针对练习9-2】已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【针对练习9-3】（多选）已知是单位向量，且，则（    ） A．与垂直 B． C．与的夹角为 D．在上投影向量的坐标为 【针对练习9-4】已知，，且向量在方向上的投影向量是，则（    ） A． B．2 C． D． 【针对练习9-5】已知，设向量在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D． 【练习9-6】已知，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【针对练习9-7】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【针对练习9-8】已知，是两个单位向量，向量在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习9-9】已知向量在方向上的投影向量为，且，，则（    ） A． B． C． D．4 141 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第10节 平面向量 一、知识要点 1．向量概念与表示方法 ①向量的概念：既有大小又有方向的量． ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作，方向是任意的． ③单位向量：长度为个单位长度的向量． ④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量． ⑤平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量，记作：； 规定和任何向量平行. ⑥相反向量：长度相等方向相反的两个向量.的相反向量记为． ⑦向量的表示 ①几何表示：用带箭头的有向线段表示．②符号表示：用字母上加箭头表示，如，（印刷用黑体）． 2．几何运算 ①向量加法的平行四边形法则：两向量共起点，以表示这两向量的有向线段为邻边作平行四边形，从共点处引出的对角线所在有向线段即表示和向量． ②向量加法的三角形法则：两向量首尾相接，从起点直达终点的有向线段即表示和向量. 设，那么向量叫做与的和，即． 可由三角形法则推广到多边形法则． ③向量减法的三角形法则：向量共起点，差向量为连接两向量终点的向量，并指向被减向量的终点.设，那么． 3．数乘 （1）实数与向量的积是一个向量，记作，的长度和方向规定如下： ①； ②当时，与同向，当时，与反向，当时，. （2）向量共线的充要条件：设，则． 4．平面向量基本定理 ①如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只 有一对实数，，使． ②坐标表示：以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一 向量可表示为，称为向量的坐标．如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与该向量终点的坐标相同． 5．平面向量的数量积 （1）两向量的夹角：对于非零向量，，作，， 称为向量，的夹角．当时，，同向；当时，，反向；当＝时，． （2）数量积：如果两非零向量，的夹角为，定义；规定：零向量与任一向量的数量积是．数量积是一个实数． 变形式：非零向量，夹角的计算：． （3）投影数量与投影向量：在上的投影数量为，是一个实数，计算公式：（，为非零向量），在上的投影向量为． 在上的投影数量为，计算公式：（，为非零向量），在上的投影向量为． 数量积的几何意义：乘以在上的投影数量，或乘以在上的投影数量， （4）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①.②当，同向时，，特别地，，；当，反向时，.当，不同向时，为锐角；当，不反向时，为钝角． （5）三角不等式： （6）运算律 ①交换律：，，； ②结合律：，； ③分配律：，； ④常用结论：，，． 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于向量等式，可以移项，两边平方，两边同乘一个实数，两边同时取模，两边同乘一个向量，但不能两边同除以一个向量． 6．向量的坐标运算 设，则： （1）加、减法运算：， （2）数乘运算：. （3）向量的坐标：若，则，即向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． （4）数量积：. ①夹角公式： ； ②向量的模：若，设，则 ，． 7．向量平行(共线)的充要条件 ，其中． 8．向量垂直的充要条件 ，为非零向量． 二、应用举例 常见题型有：向量式或坐标式的基本运算，包括加、减法运算，数乘与数量积的运算，模与夹角的求解，最值与范围问题等． 1．向量的几何运算 常考查向量式或坐标式的加、减法运算.求解时，应充分利用所给图形的几何特征，或向量的几何意义，再运用平行四边形法则或三角形法则进行运算． 【例1】（多选）已知为的重心，为中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如图所示：，分别为，的中点． 对选项A，，所以，故A正确； 对选项B，因为，，所以，故B正确； 对选项C，，故C错误， 对选项D，，故D正确． 故选ABD． 【针对练习1-1】已知与分别是的边，上的中线，且，，用表示． 【解析】设与分相交于点，则是的重心，由重心性质知，，，所以． 2．数乘与共线向量定理 【例2】（1）已知，，，，且，则 ． （2）已知，若，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【解析】（1）方法1：由，得，由知，，所以，得． 方法2：，，由，得，解得． （2）由，则，，由，则，整理得，解得．故选C． 【针对练习2-1】（1）若，则 ； （2）已知点 ，，则与向量同方向的单位向量为（　 ） A． B． C． D． 【解析】（1）由知，为线段的中点，故． （2）由题意，得，所以与向量同方向的单位向量为 ．故选A． 【针对练习2-2】若向量，，当 时，与共线且方向相同； 【解析】由，得，因为与方向相同，所以． 【针对练习2-3】已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【解析】方法1：因为向量，不共线，且，，与共线，所以存在实数，使得，所以，求得或．故选C． 方法2：因为与共线，所以，解得或． 【针对练习2-4】已知向量，，．若，则 ． 【解析】，由，得，所以，得． 【针对练习2-5】已知，，则“”是“与共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“与共线”等价于“”，即，故“”是“与 共线”的充分不必要条件．故选A． 【针对练习2-6】 已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，所以，从而 ． 故选B． 3．平面向量基本定理及应用 利用平行四边形法则或三角形法则，或坐标式进行向量的加、减法运算，必要时可根据 线段的长度比例及向量共线的充要条件，使某一向量用其他两个向量线性表出． 三点共线定理：设向量与不共线，对于平面内的任意向量，必存在唯一的实数，使得成立，，三点共线． 证明：当时，，其中是唯一的实数． ，，三点共线． 当在线段之间且时，有； 当为线段的中点时，，有． 【例3】（2022年新课标全国Ⅰ卷第3题）在中，点D在边AB上，． 记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为点D在边AB上，，所以，即 ，所以．故选B． 【针对练习3-1】是平行四边形外一点，用、、表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则为、的中点，如下图所示： 所以，，同理可得，所以，因此．故选C． 【针对练习3-2】若，，，，用，表示，有 . 【答案】 【解析】设，则，所以解得故． 【针对练习3-3】如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得， ，所以 ，因为，，，所以，， ，所以．故选A． 【针对练习3-4】在菱形中，分别是边的中点，则（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，，在菱形中，，所以，，，所以 ．故选D． 【针对练习3-5】已知正六边形中，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正六边形中，设，，则 ，，故 ． 故选C． 【针对练习3-6】已知为的重心，且，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【解析】方法1：取的中点，则 ，即，．故选D． 方法2：取中点，则 ，即，． 方法3：过作，交于，则 ，即，． 方法4：以，为邻边作，则，即，． 【针对练习3-7】（2015年北京卷）在中，点，满足，． 若，则 ， ． 【解析】令，取，以为坐标原点建系， 则，，从而，，所以， 即，． 【针对练习3-8】在平行四边形中，和分别是，的中点．若，其中，则 ． 【解析】化斜为直，取，，，， 则，，所以由，得 ，所以，，解得． 4．与向量数量积定义的相关计算 涉及向量数量积的求值，参数求解，数量积运算律，射影等基本运算，常结合平面向量基本定理或向量的加、减法运算律． 【例4】已知正方形的边长为，为的中点，则______． 【解析】方法1：取基底，，． 方法2：如图建系，则，，，所以， ，所以． 【针对练习4-1】给出下列命题正确的是（ ） A．； B．若，则或； C．； D．若，则. 其中正确的序号是_______． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，，可能均不为，故B错误； ，故C正确； ，与不一定相等，故D错误． 故选C． 【针对练习4-2】已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_______． 【解析】． 【针对练习4-3】已知，，，则_______． 【解析】． 【针对练习4-4】设向量，满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，两式相减，得，所以．故选A． 【针对练习4-5】已知，是两个非零向量，且，则与的夹角为_______． 【解析】作，，，则， 由知，四边形为菱形，且为正三 角形，所以与的夹角为． 【针对练习4-6】在正三角形中，是上的点，，，则______． 【解析】． 【针对练习4-7】已知，是夹角为的两个单位向量，，．若，则的值为______． 【解析】由，得，所以，得，解得． 【针对练习4-8】（2020年北京）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________； _________． 【答案】， 【解析】以点为坐标原点，，所在直线分别为， 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则，，， ，，则点，，，因此，，． 【针对练习4-9】在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】，∵为斜边的中点，∴， ∴，∴，在直角中，，∴，∴． 故选C． 【针对练习4-10】设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意知，向量，可得，所以，因为，则，所以．故选B． 5．向量垂直的充要条件 【例5】已知向量，.若，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，所以， 解得．故选B． 【针对练习5-1】已知，向量，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为向量，，且，则，因为，则，得，故． 【针对练习5-2】（2020年全国II卷理）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则 ． 【解析】，由向量垂直的充要条件，得，即，解得． 【针对练习5-3】（2021年高考乙卷理） 已知向量，．若，则 ． 【解析】方法1：因为，所以由，得，即，解得． 方法2：由，得，即，所以，解得． 【针对练习5-4】已知两个向量，，且，则实数等于 ． 【解析】由，得，即， 所以，解得． 6．与模有关的计算问题 常涉及到向量的数量积，将模的运算转化为平方或开方运算，有时与正、余弦定理汇合. 【典例6】已知向量，夹角为，且，，则______． 【解析】由，即 ，解得． 【针对练习6-1】已知两个非零向量，满足，则结论正确的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，化为，所以．故选B． 【针对练习6-2】已知，是两个非零向量，且，，则的最大值是 ． 【解析】，，． 【针对练习6-3】（2017年全国新课标I卷）已知向量，的夹角为，，，则_______． 【解析】． 【针对练习6-4】（2022全国甲卷，理科）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以 ． 【针对练习6-5】（2022年全国乙卷，理科）已知向量，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，又，，，所以，解得，故选C． 【针对练习6-6】若向量，满足，，，则________． 【解析】由，得，解得． 【针对练习6-7】已知向量，，，则（ 　） A． B． C． D． 【解析】，解得．故选B． 【针对练习6-8】已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【答案】C 【解析】因为，所以，又，则， 所以，所以，所以．故选C． 【针对练习6-9】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，两式相减得，即.又，所以，所以，从而．故选B． 【针对练习6-10】已知平面向量，其中，，的夹角是，则 ；若为任意实数，则的最小值为 ． 【答案】； 【解析】由题意，平面向量，其中，的夹角是，得，则，所以，又由，所以当时，的最小值为． 【针对练习6-11】已知两个不共线的向量，满足，，． （1）若，求角的值；（2）若与垂直，求的值． 【解析】（1）因为，所以，故，因为，所以，． （2）因为与垂直，所以，即，因为，，即，解得，故 ，故． 【针对练习6-12】已知向量，向量，则的最大值是________． 【解析】 ． 7．夹角问题 一般先求角的某一三角数值，再求该角，常利用数量积定义或三角函数的知识求解． 【例7】（2020年全国III卷理）已知向量，满足，，，则（ 　） A． B． C． D． 【解析】因为，，，所以， ，所以 ．故选D． 【针对练习7-1】若为圆上的三点，且，则与的夹角为 ． 【解析】由，得为线段的中点，所以为圆的直径，所以． 【针对练习7-2】已知，，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，，则，，所以，所以．故选D． 【针对练习7-3】已知，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即 得，所以．因为，所以，代入 ，得，得， ．故选A． 【针对练习7-4】已知向量，，则向量与的夹角为 ． 【解析】，， ，所以． 【针对练习7-5】已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，且，则，即，所以，设与的夹角为，则，即，所以，因为，则．故选D． 【针对练习7-6】已知向量，．若，的夹角为，则（　 ） A． B． C． D． 【解析】，两边同时平方，得． 故选B． 【针对练习7-7】向量，满足，且，，则与的夹角为 ． 【解析】，得，所以 ，所以． 【针对练习7-8】若非零向量，，满足，，则与夹角为（ 　） A． B． C． D. 【解析】，又，所以，从而，得．故选C． 【针对练习7-9】若非零向量满足，，且，则与的夹角为（ 　） A． B． C． D. 【解析】由，所以 ，所以．故选D． 【针对练习7-10】已知，，，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，又，，所以，即，即，所以，所以，又，所以，即向量与的夹角为． 【针对练习7-11】（2019年全国III卷理）已知，为单位向量，且．若，则 ． 【解析】由题意，得， ，所以． 【针对练习7-12】（2017年山东卷）已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值为 ． 【解析】，， 所以，即，解得． 【针对练习7-13】已知向量，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【解析】，所以，从而，所以． 故选B． 【针对练习7-14】已知向量，夹角为，且，，则 ． 【解析】，即，解得． 【针对练习7-15】（2022年新高考Ⅱ卷）已知，，．若 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】，由，得，解得．故选C． 【针对练习7-16】已知，均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题: ①； ②； ③；④． 那么所有真命题的序号是 ． 【解析】由，得，解得．由，得， ．故①④为真命题． 8．向量与充分必要条件汇合 【例8】已知非零向量，，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】如图所示，，，，，当时，与垂直，，所以成立时，，所以“”不是“”的充分条件；当时，，所以，即成立，所以“”是“”的必要条件． 综上，“”是“”的必要不充分条件．故选B． 【针对练习8-1】设，都是平面内的非零向量，则“”是“”的（　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当时，由相等向量定义知，；反之，当，且与不同向时，．所以“” 是“” 的充分不必要条件．故选A． 【针对练习8-2】设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 ．故选C． 【针对练习8-3】已知向量，．设向量， ，则的充要条件是（　 ） A． B． C． D．K] 【解析】因为，，所以，，所以 ．故选D． 9．投影数量与投影向量 【例9】设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即，所以，，所以向量在向量上的投影的数量为．故选D． 【针对练习9-1】已知，且，则向量在的方向上的投影数量为 ． 【解析】向量在的方向上的投影数量为． 【针对练习9-2】已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又向量，的夹角为，且，所以，所以在方向上的投影向量为．故选D． 【针对练习9-3】（多选）已知是单位向量，且，则（    ） A．与垂直 B． C．与的夹角为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】AD 【解析】，因为是单位向量，所以，，所以，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 因为，．设与的夹角为，所以，所以与的夹角为，故错误； 在上的投影向量坐标为，所以D对． 故选AD． 【针对练习9-4】已知，，且向量在方向上的投影向量是，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，，且在方向上的投影向量为，所以，即，得，解得，故选A． 【针对练习9-5】已知，设向量在上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上的投影向量为，即，所以，则，因为，所以，故选A． 【练习9-6】已知，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，因为，所以，所以，即，解得，所以向量在上的投影向量为，故选A． 【针对练习9-7】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，，由可得，则在方向上的投影向量是，故选A． 【针对练习9-8】已知，是两个单位向量，向量在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，且，∴，所以 ，故选D． 【针对练习9-9】已知向量在方向上的投影向量为，且，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】，所以，又，，所以，所以．故选D． 学科网（北京）股份有限公司 $