7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

(教师独具内容)

课程标准：了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．

教学重点：1.用三角形式进行复数乘、除运算.2.乘、除运算的几何意义的运用．

教学难点：复数三角形式的乘、除运算的几何意义的理解．

核心素养：通过复数乘、除运算的三角表示及其几何意义培养数学抽象素养和数学运算素养．

知识点一　复数三角形式的乘法

设z1，z2的三角形式分别是：

z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，

则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.

特征：旋转＋伸缩变换．

[注意]　(1)z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·…·rn(cosθn＋isinθn)＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．

(2)棣莫弗定理：[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)．

知识点二　复数三角形式的除法

设z1，z2的三角形式分别是：

z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z2≠0，则＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.

特征：旋转＋伸缩变换．

1．(复数乘法的几何意义)把z＝2－i对应的向量，按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数的代数形式为________．

答案：－1－2i

2．(棣莫弗定理)(1＋i)2025＝________．

答案：－22025

3．(复数三角形式的乘法)2×3＝________．

答案：6i

4．(复数三角形式的除法)12÷＝________(用三角形式表示)．

答案：2

题型一　复数三角形式的乘法运算

例1　计算下列各式，并用三角形式表示：

(1)×；

(2)3cos×7；

(3).

[解]　(1)原式＝＝.

(2)原式＝21

＝21.

(3)原式＝16.

【感悟提升】　乘法运算的求解策略

(1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和．

(2)做复数三角形式的乘法运算时，要注意向量旋转的方向．

(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式．

【跟踪训练】

1．(1)如果向量对应复数4i，按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍，得到向量，那么对应的复数是________．

答案：－4＋4i

解析：对应的复数为4i＝4，对应的复数为4×＝4＝4＝－4＋4i.

(2)计算：3(cos20°＋isin20°)×2(cos50°＋isin50°)×10(cos80°＋isin80°)．

解：3(cos20°＋isin20°)×2(cos50°＋isin50°)×10(cos80°＋isin80°)

＝60[cos(20°＋50°＋80°)＋isin(20°＋50°＋80°)]