8.1基本立体图形教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第二册　第8章 8.1　基本立体图形 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　棱柱、棱锥、棱台的结构特征与分类 （1）教材出处 必修第二册 第八章 8.1 基本立体图形，8.1.1 棱柱、棱锥、棱台；包括多面体的面、棱、顶点，三类多面体的定义、分类与正棱柱、正棱锥、正棱台，以及课后练习中的结构辨析与元素计数。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫面，相邻两个面的公共边叫棱，棱与棱的公共点叫顶点。 · 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫棱柱。两个互相平行的面叫底面，其余各面叫侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱。 · 棱柱的分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱，正棱柱的侧面是全等的矩形。 · 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥。多边形面叫底面，有公共顶点的各个三角形面叫侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，各侧面的公共顶点叫顶点。 · 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形。 · 棱台：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台。原棱锥的底面和截面分别叫棱台的下底面和上底面；棱台的侧面都是梯形；由正棱锥截得的棱台叫正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形。 下面归纳三类多面体的元素计数与相互关系。 · 元素计数：底面为 边形（）时， 棱柱有 个顶点、 条棱、 个面； 棱锥有 个顶点、 条棱、 个面； 棱台有 个顶点、 条棱、 个面。 · 三类多面体的关系：棱台的上底面缩成一个点时得到棱锥；上底面扩大到与下底面全等时得到棱柱。 图 1　三棱柱、四棱锥、三棱台的结构（虚线为被遮挡的棱） （3）推导证明 · 棱台的上、下底面相似：设截面平行于棱锥底面，截得的小棱锥与原棱锥的对应侧棱成比例，对应边也成比例，对应角相等，故上、下底面相似。 · 棱台的侧棱延长后交于一点：棱台的各条侧棱都是原棱锥侧棱的一部分，延长后都经过原棱锥的顶点。 · 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形：正棱锥的顶点在底面中心的正上方，它到正多边形各顶点的距离相等，故各侧棱相等；底面各边相等，故各侧面是全等的等腰三角形。 · 正棱台的侧面是全等的等腰梯形：正棱台由正棱锥截得，各侧棱相等，上、下底面的对应边分别相等，故各侧面是全等的等腰梯形。 · 元素计数： 棱柱的两个底面各有 个顶点、 条边，另有 条侧棱，故顶点 个、棱 条、面 个； 棱锥的底面有 个顶点和 条边，另有顶点 个、侧棱 条，故顶点 个、棱 条、面 个； 棱台的上、下底面各有 个顶点和 条边，另有 条侧棱，故顶点 个、棱 条、面 个。 （4）适用条件与易错提醒 · 棱柱定义中“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”不能漏；只凭“有两个面互相平行，其余各面都是四边形”不能判定棱柱。 · 棱柱的侧棱本来都相等且互相平行，不能由“侧棱都相等”推出正棱柱；正棱柱必须同时是直棱柱且底面为正多边形。 · 各面都是三角形的多面体不一定是棱锥；把两个三棱锥沿一个三角形面拼接，所得多面体的各面都是三角形，但它没有“一个多边形底面加一个公共顶点”的结构，不是棱锥。 · 棱台的上、下底面相似但不全等；若全等，上、下底面之间的部分就是棱柱。棱台的侧棱延长后必须交于一点，否则不是棱台。 · 正棱锥的顶点在底面的射影必须是底面中心，不能只是“底面内一点”；正棱台的上、下底面中心连线垂直于底面。 · 三棱锥又叫四面体；三棱柱、三棱台都有 个面，三棱锥有 个面。 （5）考点定位与命题角度 以选填为主，考结构辨析（判断是否为棱柱、棱锥、棱台或正棱柱、正棱锥、正棱台）、元素计数、截面形状；解答题中常先识别几何体结构，再确定底面与高。难度基础到中档。近年真题：2023 新课标Ⅰ·14（正四棱台体积）、2023 新课标Ⅱ·14（正四棱锥截得棱台）、2022 新高考Ⅰ·4（水库棱台体积）。 （6）方法归纳 · 第一步　找平行面：先找出两个互相平行的面，作为底面候选；再看其余各面是否为四边形。 · 第二步　看侧棱：侧棱互相平行，是棱柱；侧棱交于一点，是棱锥；侧棱延长交于一点且上、下底面相似，是棱台。 · 第三步　定分类：按底面边数命名；再判断直棱柱与斜棱柱、正棱柱与一般棱柱，正棱锥与一般棱锥，正棱台与一般棱台。 · 第四步　数元素或验关系：用 棱柱、 棱锥、 棱台的计数公式核对顶点数、棱数、面数；用“上底面缩成点或扩大到全等”检验三类多面体的关系。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） （1）一个棱柱至少有几个面？一个棱锥、一个棱台呢？ （2）若它们的底面都是 边形（），分别写出它们的顶点数、棱数、面数。 解析 （1）棱柱至少有 个面（三棱柱： 个底面与 个侧面）；棱锥至少有 个面（三棱锥： 个底面与 个侧面）；棱台至少有 个面（三棱台： 个底面与 个侧面）。 （2） 棱柱：顶点 个，棱 条，面 个。 棱锥：顶点 个，棱 条，面 个。 棱台：顶点 个，棱 条，面 个。 例题 2（教材原题改编） 判断下列说法是否正确，并说明理由： ① 侧棱都相等的棱柱是正棱柱； ② 底面是正多边形，且侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③ 正棱台的侧面是全等的等腰梯形； ④ 棱台的侧棱延长后必交于一点。 解析 ① 错误。任何棱柱的侧棱都相等且互相平行；正棱柱还要求侧棱垂直于底面，且底面是正多边形。斜棱柱的侧棱也相等，但它不是正棱柱。 ② 正确。设棱锥顶点为 ，底面正多边形的中心为 。由各侧棱相等，点 在底面所在平面上的射影到各顶点距离相等，故射影是底面正多边形的中心 ，即 垂直于底面，符合正棱锥的定义。 ③ 正确。正棱台由正棱锥截得，各侧棱相等，上、下底面的对应边分别相等，故各侧面是全等的等腰梯形。 ④ 正确。棱台由平行于棱锥底面的平面截得，各侧棱都是原棱锥侧棱的一部分，延长后都交于原棱锥的顶点。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 在正四棱台 中，，，，求该棱台的高和斜高。 变式 1-2（优质模拟改编） 一个棱台共有 个顶点，所有侧棱长之和为 。 （1）求它的底面边数、面数、棱数； （2）若它是正棱台，上、下底面边长分别为 和 ，求它的斜高。 条目二　旋转体的形成与轴截面 （1）教材出处 必修第二册 第八章 8.1 基本立体图形，8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体；包括旋转体的形成、轴、底面、侧面、母线，球的截面与大圆、小圆，以及课后练习中的轴截面与母线计算。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱。旋转轴叫轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫侧面，平行于轴的边叫母线。母线平行且相等，母线长等于高。 · 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥。旋转轴叫轴，另一条直角边旋转而成的圆面叫底面，斜边旋转而成的曲面叫侧面，斜边叫母线。设底面半径为 ，高为 ，母线长为 ，则 。 · 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台；也可看成直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周所得。设上、下底面半径分别为 、，高为 ，母线长为 ，则 。 · 球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球。半圆的圆心叫球心，半圆的半径叫球的半径。 · 球的截面：用平面截球，截面是圆面。过球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆。设球半径为 ，截面圆半径为 ，球心到截面的距离为 ，则 ，其中 （图形见图 3）。 · 轴截面：过旋转轴的平面截旋转体所得的截面。圆柱的轴截面是矩形，两边长分别为 与 ；圆锥的轴截面是等腰三角形，底边为 ，腰为 ，高为 ；圆台的轴截面是等腰梯形，上、下底分别为 、，腰为 ，高为 ；球的轴截面是半径为 的大圆。 图 2　矩形绕一边、直角三角形绕直角边、直角梯形绕垂直于底的腰旋转，分别得到圆柱、圆锥、圆台 （3）推导证明 · 圆锥的母线、高、底面半径关系：圆锥的轴截面是等腰三角形，底边为底面直径 ，腰为母线 ，高为 。高把轴截面分成两个直角三角形，由勾股定理得 。 · 圆台的母线、高、两底半径关系：圆台的轴截面是等腰梯形，上、下底分别为 、，腰为 ，高为 。过梯形上底端点作高，得到一个直角三角形，其水平直角边为 ，故 。 · 球的截面性质：设截面圆心为 ，球心为 ，截面圆上一点为 。则 截面，，，在直角三角形 中由勾股定理得 。 图 3　球的截面：（过球心的截面为大圆） · 圆台补成圆锥：把圆台的两条母线延长，与轴交于一点，得到原圆锥。轴截面中的两个三角形相似，相似比等于上、下底面半径之比 ，由此可求补上的小圆锥的母线长与高。 （4）适用条件与易错提醒 · 旋转体由“平面图形、旋转轴、旋转一周”确定；长与宽不等的矩形绕不同的边旋转，得到的圆柱不同，不能只凭“矩形旋转”就认定某一种圆柱。 · 圆锥中 是斜边， 与 是直角边，故 且 ；解题时不要把母线与高混用。 · 圆台的高是上、下底面中心之间的距离，不是母线长；关系式是 ，不是 。 · 球的截面性质中 是球心到截面的距离，不是球心到截面圆周的距离；截面圆半径 ，且必须满足 。 · 圆锥的轴截面必须过顶点和底面圆心，底边是底面直径；过顶点但不过底面圆心的截面也是等腰三角形，但其底边不是直径，不能直接用 作底。 · 圆台的轴截面是等腰梯形；若把上底面扩大到与下底面全等，圆台变成圆柱；若把上底面缩成一个点，圆台变成圆锥。 （5）考点定位与命题角度 以选填为主，考旋转体的形成与识别、轴截面中的长度关系、球的截面与球面距离；解答题中常作圆锥、圆柱、球的切接问题的辅助截面。难度基础到中档，球截面可到中档偏难。近年真题：2023 新课标Ⅱ·9（圆锥轴截面与二面角）、2024 新课标Ⅰ·5（圆柱与圆锥侧面积相等求体积）。 （6）方法归纳 · 第一步　定轴：找出旋转轴，作过轴的截面，把空间问题转化为平面图形问题。 · 第二步　标量：在轴截面中标出 、、；圆台还要标出 ，球要标出 、、。 · 第三步　用勾股或相似：圆锥用 ，圆台用 ，球用 ；圆台补成圆锥用相似三角形。 · 第四步　回验：检查 是否为最长边、 是否在 内、截面是否过球心，避免把弦长当直径。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，求它的高、轴截面面积和轴截面顶角。 解析 设圆锥的高为 。由 得 。 轴截面是等腰三角形，底边为 ，腰为 ，高为 ，故轴截面面积为 。 设轴截面顶角为 ，则 ，故 ，。此时轴截面是边长为 的等边三角形。 例题 2（教材原题改编） 一个圆台的上、下底面半径分别为 和 ，母线长为 ，求它的高、轴截面面积；若将该圆台补成圆锥，求补上的小圆锥的母线长。 解析 设圆台的高为 。由 得 。 轴截面是等腰梯形，上底为 ，下底为 ，高为 ，故轴截面面积为 。 设补上的小圆锥母线长为 。由相似三角形 ，解得 ，即 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面直径，，。 （1）求圆锥的底面半径和高； （2）求该圆锥的轴截面面积。 变式 2-2（优质模拟改编） 一个圆台的母线长为 ，上、下底面半径分别为 和 。 （1）求圆台的高； （2）将该圆台补成圆锥，求补上的小圆锥的母线长和原圆锥的高。 条目三　简单组合体的分割与补形识别 （1）教材出处 必修第二册 第八章 8.1 基本立体图形，8.1.2 简单组合体；包括由简单几何体拼接、截去、挖去构成组合体，以及课后习题中组合体的结构识别与球的内接几何体问题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体。基本构成方式有三种：拼接、截去、挖去。 · 分割：用拼接面或截面把组合体分成若干个简单几何体（柱体、锥体、台体、球），分别识别各部分的底面、高、半径。 · 补形：把不规则的几何体补成规则的几何体，使原有顶点、棱成为规则几何体的顶点、棱。常见补形有：三棱锥补成长方体、台体补成锥体、三棱柱补成平行六面体。 · 补形法求外接球（高考常用推导结论）： · 长方体的外接球球心在体对角线的中点，，其中 为长方体的长、宽、高。 · 三棱锥的三条侧棱两两垂直时，可补成长方体，三棱锥的外接球就是该长方体的外接球。 · 正棱锥的外接球球心在过顶点和底面中心的高线上；设底面外接圆半径为 ，高为 ，球半径为 ，则 。 · 正棱台的外接球球心在上下底面中心连线的直线上；设上、下底面外接圆半径分别为 ，球心到两底面的距离分别为 ，则 ；球心在两底面之间时 ，球心在某一底面外侧时 。 · 组合体的面、棱、顶点计数：拼接时，拼接面不是组合体的表面；数面数时两个拼接面都要减去，数棱数时重合的棱只算一次，数顶点时重合的顶点只算一次。 图 4　组合体的拼接（左）与三棱锥补成长方体（右） （3）推导证明 · 三棱锥补成长方体：设三棱锥 中 两两垂直。以 为一个顶点， 所在直线为三条棱作长方体，则 都是长方体的顶点，三棱锥的四个顶点都是长方体的顶点。长方体的外接球经过它的所有顶点，而经过四个不共面点的球唯一，故该球也是三棱锥的外接球。 · 长方体与外接球半径：设长方体的长、宽、高分别为 ，体对角线长为 。外接球的直径等于体对角线，故 。 · 正棱锥外接球：球心在过顶点 和底面中心 的直线上。设底面外接圆半径为 ，高 ，球心为 ，则 ，由 解出 ，再按 与 的大小判断球心在棱锥内部还是底面下方。 · 正棱台外接球：球心在上下底面中心连线的直线上。设球心到上、下底面的距离分别为 ，则 。球心在两底面之间时 ；球心在某一底面外侧时 ，需结合方程判断。 · 组合体计数：以正方体上接正四棱锥为例，拼接面是正方体的上底面，也是正四棱锥的底面。面数为 ；棱数为 （四条底边重合）；顶点数为 （正四棱锥底面的四个顶点与正方体上底面的四个顶点重合）。 （4）适用条件与易错提醒 · 拼接组合体的接缝面不是外表面；数面数、算表面积时要扣除两个拼接面，不能把内部接缝算进去。 · 挖去组合体时，外表面积要加上挖去部分的内表面积，体积用原体积减去挖去部分的体积；不要把“挖去”当成“没有”。 · 补形不能改变原几何体的顶点与棱的位置关系；三棱锥补成长方体要求三条侧棱两两垂直（或能嵌入长方体），不是任意三棱锥都能补成长方体。 · 正棱锥的外接球球心不一定在棱锥内部：当底面外接圆半径较大、高较小时，球心在底面下方；列方程时要用 ，不能默认 。 · 正棱台的外接球球心可能在两底面之间，也可能在某一底面外侧；不要默认 ，要先判断球心位置或分情况讨论。 · 同一个组合体在不同位置的截面形状可能不同；不能只画一个截面就断定所有截面。 · 三棱锥有 个面、 条棱、 个顶点；补成长方体后，长方体的 个顶点中只有 个是三棱锥的顶点，不要把长方体的其他顶点也算作三棱锥的顶点。 （5）考点定位与命题角度 以选填为主，考组合体的结构识别、截面形状、外接球与内切球半径、表面积与体积；解答题中组合体常作为载体，第一步是识别结构、作辅助截面。难度基础到压轴。近年真题：2022 新高考Ⅱ·7（正三棱台外接球）、2022 新高考Ⅰ·8（正四棱锥外接球体积范围）、2024 新课标Ⅱ·7（正三棱台体积与线面角）。 （6）方法归纳 · 第一步　识图：找出组合体的拼接面、截面或挖去部分，标出公共顶点、公共棱。 · 第二步　分割：把组合体分成柱、锥、台、球，分别写出各部分的底面、高、半径。 · 第三步　补形：若分割困难，把几何体补成正方体、长方体、圆柱、圆锥或球，利用对称性找球心或轴。 · 第四步　列式：用 、 等关系求半径；用“和”或“差”求表面积、体积，回验接缝是否重复计算。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 如图，一个几何体由下方棱长为 的正方体和上方高为 的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正方体的上底面重合。 （1）说出该组合体的构成方式； （2）求它的面数、棱数、顶点数。 解析 （1）该组合体由正方体与正四棱锥拼接而成，公共面是正方体的上底面，也是正四棱锥的底面（图形见图 4 左）。 （2）面数：正方体有 个面，正四棱锥有 个面，两个拼接面重合，故面数为 。 棱数：正方体有 条棱，正四棱锥有 条棱，其中正四棱锥底面的 条边与正方体上底面的 条边重合，故棱数为 。 顶点数：正方体有 个顶点，正四棱锥另有顶点 个，其底面的 个顶点与正方体上底面的 个顶点重合，故顶点数为 。 例题 2（教材原题改编） 在三棱锥 中， 两两垂直，且 ，，，求该三棱锥外接球的半径。 解析 以 为一个顶点， 所在直线为三条棱，把三棱锥补成长方体（图形见图 4 右），长方体的长、宽、高分别为 。 三棱锥的四个顶点 都是长方体的顶点，故三棱锥的外接球就是长方体的外接球。长方体体对角线长为 ，它等于外接球的直径，故外接球半径 。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） 已知正三棱台的高为 ，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上。 （1）求该球的半径； （2）求球心到上底面的距离。 变式 3-2（优质模拟改编） 正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，求其外接球的半径。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：高为 ，斜高为 。 解析：设正四棱台上、下底面的中心分别为 。下底 ，对角线 ，故 ；上底 ，对角线 ，故 。 正四棱台的上底面中心 在 的正上方，点 在底面的射影为 上的点 ，且 。于是 。 在直角三角形 中，。由勾股定理得 取 的中点 ， 的中点 ，则 为斜高。由 ，，得 的水平投影为 。故 变式 1-2 答案与解析 答案：（1）底面为五边形，面数为 ，棱数为 ；（2）斜高为 。 解析：（1）设棱台的底面为 边形，则顶点数为 。由 得 ，即底面为五边形。 棱台的面数为 ，棱数为 。 （2）五棱台有 条侧棱，侧棱长之和为 ，故每条侧棱长为 。正五棱台的侧面是全等的等腰梯形，上、下底边长分别为 和 ，故斜高 满足 即斜高为 。 变式 2-1 答案与解析 答案：（1）底面半径为 ，高为 ；（2）轴截面面积为 。 解析：（1）圆锥的轴截面是等腰三角形 ，，。取 的中点 （即底面圆心），则 ，且 平分 ，故 。 在直角三角形 中，由 得 故底面半径 ，高 。 （2），轴截面面积 。 变式 2-2 答案与解析 答案：（1）高为 ；（2）补上的小圆锥母线长为 ，原圆锥的高为 。 解析：（1）由圆台的母线、高、两底半径关系，得 （2）设补上的小圆锥母线长为 。圆台补成圆锥后，小圆锥与原圆锥的轴截面三角形相似，相似比为 。故 解得 。 设原圆锥的高为 。由相似比得 解得 。 变式 3-1 答案与解析 答案：（1）；（2）球心到上底面的距离为 。 解析：正三棱台的上、下底面都是正三角形。上底面边长 ，其外接圆半径 ；下底面边长 ，其外接圆半径 。 设球心为 ，球心到上、下底面的距离分别为 ，球半径为 。由于球心在上下底面中心连线的直线上，故 若球心在两底面之间，则 。由 得 ，即 ，故 。联立 得 ，不符合 ，舍去。 故球心在上底面外侧，。代入得 即 ，。于是 ，且 变式 3-2 答案与解析 答案：。 解析：设正四棱锥底面中心为 ，高 。底面正方形边长为 ，其外接圆半径 。侧棱 ，故 。 设外接球球心为 ，半径为 。球心在高 所在直线上。若 在线段 上，则 ，由 得 化简得 ，故 此时 ，球心确实在线段 上，符合题意。 人教A版·必修第二册　第8章 8.1 基本立体图形　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $