1.2集合间的基本关系教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第1章 1.2　集合间的基本关系 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　子集个数公式与含参子集的空集讨论 （1）教材出处 必修第一册第一章 1.2 节正文中子集、真子集、集合相等的定义与“思考”栏目；例 1（写出集合 的所有子集）；课后“用适当的符号填空”练习；习题 1.2 中“ 求参数范围”一类题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 子集：若集合 中任意一个元素都是集合 的元素，则称 是 的子集，记作 （或 ）。 · 真子集：若 且 ，则称 是 的真子集，记作 。 · 集合相等： 且 等价于 。 · 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作 。 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 · 传递性：若 ，，则 。 · 子集个数：含 个元素（）的有限集有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集。 · 中间集合计数：若 是有限集，，且 ，则满足 的集合 有 个。 · 含参子集：设 ，，则 的完整条件是：，或 且 且 。其中 就是 的情形。 图 1　含参集合 的数轴表示（ 的情形） （3）推导证明 · 子集个数：对 的每一个元素作“取”或“不取”两种选择， 个元素的选择彼此独立，共有 种选择；每一种选择对应唯一一个子集，反之每个子集也对应唯一一种选择，所以子集总数为 。去掉集合本身 ，得 个真子集；去掉空集 ，得 个非空子集；两者都去掉，得 个非空真子集。 · 中间集合计数：若 ，则 由“必须取的 ”与“从 中任取一部分”拼成，即 ，其中 。因为 ，所以 有 种取法，每一种取法对应唯一一个 ，故这样的 有 个。 · 空集讨论：当 时，，而 恒成立。当 时，，此时 等价于 且 。两者合并即得（2）中的完整条件。只讨论 的情形，就会漏掉 对应的整整一段参数。 · 传递性：任取 ，由 得 ，再由 得 ，所以 。 （4）适用条件与易错提醒 · 空集优先：含参集合 时，先令 （左端点大于右端点），再讨论 。只列端点不等式会漏掉一段参数。 · 端点取等： 时端点可以重合；若题目要求 或 ，则至少有一个端点必须严格错开，不能两个都取等。 · 公式适用范围：子集个数公式只适用于元素个数确定的有限集。描述法给出的集合要先解方程或不等式，化为列举法或区间，再数元素个数；元素重复时按互异性只算一个。 · 中间集合的三种变式： 有 个； 与 分别有 个； 有 个。先看清两端是否允许取等，再套公式。 · 由子集个数反求元素个数： 有 个子集等价于 恰有 个元素； 有 个子集等价于 恰有 个元素。若集合由方程 的解给出，不要漏掉 时方程退化为一元一次方程的情形。 · 回代检验：求出参数后要回代，检查集合元素是否互异、端点是否真的落在范围内；参数使 的左端点超过右端点时， 已经是空集，不能再按非空区间处理。 （5）考点定位与命题角度 选填为主，常见设问： · 求子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数； · 由“集合 有 个子集”反求元素个数或参数； · 求满足 的集合 的个数； · 含参集合 求参数范围，重点考查空集讨论。 解答题中常作集合综合题的第一问，与方程、不等式的解集结合。难度基础到中档。全国卷直接考子集计数的题目不多，2023 新课标Ⅱ卷·2 以 求参数的形式考查本节；2012 湖北文·1 是 计数的经典原题。 （6）方法归纳 · 第一步　化简集合：解方程或不等式，把描述法集合化为列举法或区间，数清元素个数。 · 第二步　选公式：求全部子集用 ；求 的中间集合用 ；由子集个数反求元素个数，用 反解 。 · 第三步　先判空：含参 先解 的条件（左端点大于右端点），再解 时的端点不等式组。 · 第四步　合并回验：把两段参数范围取并集，回代检验端点、元素互异性与空集是否重复或遗漏。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 写出集合 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解析 按子集中元素的个数分类： · 个元素：； · 个元素：，； · 个元素：。 所以所有子集为 ，共 个。真子集要去掉集合本身 ，即 ，共 个。 例题 2（教材原题改编） 已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 解析 先看 是否为空集。 · 当 时，，解得 。此时 成立。 · 当 时，，即 。此时 ，要使 ，需 解得 且 。与 取交集，得 。 综上， 或 ，即 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 已知集合 ，，若 ，求实数 的值。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知集合 有且只有 个子集，求实数 的取值集合。 条目二　从属关系∈与包含关系⊆的符号边界 （1）教材出处 必修第一册第一章 1.2 节正文对子集、真子集、集合相等的定义，以及“元素与集合的关系用 ，集合与集合的关系用 ”的旁注；课后“用适当的符号填空”练习与习题 1.2 复习巩固中的符号填空题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：旁注。 · 从属关系： 表示 是集合 的元素； 表示 不是 的元素。 的左边是元素，右边是集合。 · 包含关系： 表示 中任意一个元素都在 中； 的左右两边都必须是集合。 · 真包含： 表示 且 ，即 中至少有一个元素不属于 。 · 相等： 等价于 且 。 · 空集： 不含任何元素；对任意集合 ，；若 ，则 。 · 集合作为元素：，且 ； 不是空集，它含有一个元素 。 · 数集链：自然数集 整数集 有理数集 实数集。 图 2　、 与 三种情形的韦恩图 （3）推导证明 · 空集是任何集合的子集：用反证法。若 ，则存在 且 ；但 不含任何元素，不可能找到这样的 ，矛盾。故 。 · 不是空集：，所以 含有元素；而 不含任何元素，故 。又 ，所以 。 · 集合相等：若 ，则两个集合的元素完全相同，互相包含；反之，若 且 ，则 的每个元素都在 中， 的每个元素都在 中，两个集合元素完全相同，故 。 · 传递性：任取 ，由 得 ，由 得 ，所以 。 · 与 的区别： 不含任何元素，所以 ；而 含有一个元素 ，所以 ，且 。 · 真子集的判别： 等价于 ，且存在 使 。 （4）适用条件与易错提醒 · 与 不能互换： 是把元素当成了集合； 只有在 本身是 的元素时才成立，例如 。 · 、、 三者不同： 是数， 不含任何元素， 含有一个元素 。所以 ，，。 · 与 不同：前者无元素，后者含一个元素 。 与 都成立，但 不成立。 · 数集与点集不能混： 有两个数， 只有一个点。，，但 。 · 写子集不要漏项：不要漏掉 和集合本身；写真子集时再去掉集合本身。 · 判断 的方法：证明必须对任意 推出 ；否定只需举出一个 且 的反例。 · 集合相等不能只看元素个数： 与 元素个数相同，但不相等；必须逐元素比较。 · 含参集合先判空：若 可能是 ，讨论 时不能默认 非空。 （5）考点定位与命题角度 选填基础题，常见设问： · 用 、、、、 填空； · 判断给出的关系式是否正确，常把 与 混用，或把 与 混用； · 由 或 求参数； · 判断两个集合是否相等，或一个集合是否为另一个集合的子集。 高考中多与集合运算合并为第 1 题。2023 上海春考·1 以 求参数直接考查集合相等；2012 大纲全国文·1 以平行四边形、矩形、正方形、菱形的集合关系考查包含关系。难度基础。 （6）方法归纳 · 第一步　看对象：先判断每个对象是元素还是集合，如数、点、、、。 · 第二步　选符号：元素对集合用 、；集合对集合用 、、、。 · 第三步　判包含：证明 时，对任意 推出 ；否定时举一个反例。 · 第四步　查特殊：单独检查 、、 与集合本身，确认没有漏掉空集，也没有把相等写成真包含。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 用适当的符号填空： 1. ______ ； 1. ______ ； 1. ______ （ 为实数）； 1. ______ 自然数集； 1. ______ ； 1. ______ 。 解析 1. 是集合 的元素，填 。 1. ， 是它的元素，填 。 1. 方程 没有实数解，右边是 ，填 。 1. 中每个元素都是自然数，而自然数集还含有 ，填 。 1. ， 是它的真子集，填 。 1. ，填 。 例题 2（教材原题改编） 设 是全体正方形组成的集合， 是全体菱形组成的集合， 是全体矩形组成的集合。判断 与 、 与 的包含关系，并说明理由。 解析 正方形四条边相等，所以正方形一定是菱形，故 。菱形只要求四边相等，不要求四个角是直角，如有一个内角为 的菱形不是正方形，故 ，即 。 正方形四个角都是直角，所以正方形一定是矩形，故 。矩形只要求四个角是直角，不要求四边相等，如长为 、宽为 的矩形不是正方形，故 ，即 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 设 是全体平行四边形组成的集合， 是全体矩形组成的集合， 是全体正方形组成的集合， 是全体菱形组成的集合。给出下列关系： ① ；② ；③ ；④ 。 其中正确的是______（填序号）。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知集合 ，判断下列关系是否正确： ① ；② ；③ ；④ 。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：由 得 。因为 且 ，所以 或 。 · 若 ，则 。此时 ，，，不满足 ，舍去。 · 若 ，则 。此时 ，， 的两个元素都在 中，满足条件。 故 。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析： 有且只有 个子集，等价于 恰有 个元素，即方程 只有一个实数根。 · 当 时，方程化为 ，只有一个根 ，符合。 · 当 时，方程为二次方程，只有一个实数根需判别式为零：，解得 。此时方程为 ，即 ，根为 ，符合。 综上， 的取值集合为 。 变式 2-1 答案与解析 答案：②。 解析：矩形一定是平行四边形，正方形一定是矩形，菱形不一定是正方形，矩形也不一定是菱形。 ① 平行四边形不一定是矩形，故 ，错。 ② 正方形一定是矩形，且存在不是正方形的矩形，故 ，对。 ③ 菱形不一定是正方形，故 ，错。 ④ 矩形不一定是菱形，故 ，错。 变式 2-2 答案与解析 答案：①②④。 解析： 的元素是 、、、，共 个。 ① 是 的元素，正确。 ② 是含元素 的集合，而 ，故 ，正确。 ③ 是元素，不是集合，不能与 写包含关系，错误。 ④ 是 的元素，正确。 人教A版·必修第一册　第1章 1.2 集合间的基本关系　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $