6.2平面向量的运算教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第二册　第6章 6.2　平面向量的运算 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　向量加减法的三角形法则与平行四边形法则 （1）教材出处 必修第二册 第六章 6.2.1 向量加法运算及其几何意义、6.2.2 向量的减法运算 正文与课后练习；包括用平行四边形表示对角线向量、向量加减法的化简等内容。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 三角形法则：若 ，，则 。口诀是“首尾相接，首指向尾”。 · 平行四边形法则：以同一点 为起点作 ，，以 为邻边作平行四边形 ，则对角线 。 · 向量的减法： 是满足 的向量 。若 ，，则 ，即“起点相同，指向被减数”。 · 模的不等式：对任意向量 ， · 加法运算律：，。 图 1　三角形法则（左）与平行四边形法则（右） （3）推导证明 三角形法则：设质点从 移到 ，位移为 ；再从 移到 ，位移为 。两次位移的合位移是从 到 ，故 。 平行四边形法则：在平行四边形 中， 且 ，所以 。由三角形法则，。 减法：设 ，即 。取 ，，则 ，故 。 模的不等式：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；当 同向时取右边等号，反向时取左边等号。也可由 得 ，交换 得另一侧，合并即得。对 同理。 （4）适用条件与易错提醒 · 三角形法则要求“首尾相接”：；若两个向量起点相同，应先平移其中一个，不能直接把终点相连。 · 平行四边形法则要求“同起点”：以同一点为起点的两个向量之和，是以这两向量为邻边的平行四边形的对角线。 · 减法方向最容易错：，不是 ；口诀“起点相同，指向被减数”。 · 只在 同向时成立；反向时取 ；一般情形严格介于两者之间。 · 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；不要把 这类写法当作运算。 · 在平行四边形 中，若 ，，则 ，；两条对角线的方向不要弄反。 （5）考点定位与命题角度 选填题高频，主要考“用基底表示向量”“判断三点共线”“求模长或模长范围”；解答题中常作为解三角形、立体几何中建立向量关系的铺垫。对应真题：2022 新高考Ⅰ卷·3（由 用 表示 ）、2023 新课标Ⅱ卷·13（由 与 求 ）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　定路径：从起点到终点，把目标向量拆成首尾相接的已知向量之和。 · 第二步　选法则：同起点相加用平行四边形法则；首尾相接用三角形法则；减法统一写成“加上相反向量”或“同起点，指向被减数”。 · 第三步　换基底：把所有向量都用同一组不共线基底表示，比较系数；若系数和出现 ，想到三点共线。 · 第四步　算模长：求模先平方，转化为数量积；只求范围时用三角不等式 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 在平行四边形 中，，，用 表示 与 （图形见图 1 右）。 解析 由平行四边形法则，。又 ，故 。 例题 2（教材原题改编） 化简： (1) ； (2) 。 解析 1. 由三角形法则，，再加 得 。 1. ，，故原式 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2022 新高考Ⅰ卷·3）在 中，点 在边 上，。记 ，，用 表示 。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知 ，，，求 。 条目二　数乘运算与三点共线的向量刻画 （1）教材出处 必修第二册 第六章 6.2.3 向量的数乘运算 正文，包括数乘的定义、运算律、共线定理；课后习题中“用基底表示向量”“判断三点共线”的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 数乘的定义：实数 与向量 的乘积仍是一个向量，记作 ，满足 ；当 时与 同向，当 时与 反向，当 或 时 。 · 数乘运算律：，，。 · 共线定理：设 ，则 与 共线，当且仅当存在唯一实数 ，使 。 · 三点共线的向量刻画：设 不重合，则 三点共线，当且仅当存在实数 ，使 。若 为平面内任一点，则 三点共线还可写成 · 中点公式：若 为线段 的中点， 为任意一点，则 。 图 2　三点共线时，位置向量满足 且 （3）推导证明 数乘的定义：把 沿同一方向或反方向伸缩 倍，得到 ；伸缩不改变方向（）或只改变方向（），故模变为 。 共线定理：若 ，则 与 共线。反过来，设 且 。当 时取 ；当 时， 与 同向或反向，取 （同向）或 （反向），则 。唯一性由 时 得到。 三点共线：若 共线，则 与 共线，故存在 使 。取 为任意一点，，整理得 令 ，，则 。反过来，若 且 ，则 ，即 ，故 共线。 中点公式：在三点共线的结论中取 为 的中点，则 ，对应 ，，即 。 （4）适用条件与易错提醒 · 共线定理中必须强调 ：若 ，任意向量都与 共线，但 不唯一。 · 数乘的结果是向量，不是数： 与 共线；，不要漏掉绝对值。 · 三点共线写成 时，必须是同一起点 、同一组基底 ，且 ；换起点后系数和仍为 ，但系数会变。 · 只能判定 共线，不能判定 与 共线； 可以在直线外。 · “共线”包含同向、反向和重合三种位置关系，不要把它等同于“平行且不重合”。 · 若 ，则 在直线 上； 时在线段 内， 或 时在线段外。 （5）考点定位与命题角度 选填题高频，考“用基底表示向量”“由共线求参数”“三点共线的判定”；解答题中常与解三角形、立体几何的基底表示结合。对应真题：2026 新高考Ⅰ卷·2（由 且 不共线求 ）、2022 新高考Ⅰ卷·3（由 表示 ）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　选基底：取两个不共线的已知向量（或图形的两条邻边）作为基底。 · 第二步　拆路径：用三角形法则把目标向量写成基底向量的线性组合，遇到中点、三等分点先用数乘表示。 · 第三步　比系数：若同一向量在同一个不共线基底下的表示唯一，则对应系数相等；由此列方程求参数。 · 第四步　判共线：要证 共线，证 ；或用 且 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 计算： (1) ； (2) 。 解析 1. 。 1. 去括号得 。 例题 2（教材原题改编） 已知 是两个不共线的向量，，，。判断 三点是否共线，并说明理由。 解析 。所以 与 共线，且有公共点 ，故 三点共线。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2026 新高考Ⅰ卷·2）已知平面向量 不共线，且 ，求实数 的值。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知 三点不共线， 三点共线，且 。求 的值；若 ，求 的值。 条目三　数量积的定义、几何意义与投影向量 （1）教材出处 必修第二册 第六章 6.2.4 向量的数量积 正文，包括数量积的定义、物理背景、几何意义、投影向量与基本性质；课后练习中由模与夹角求数量积的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 数量积的定义：已知两个非零向量 ，它们的夹角为 （），则 · 规定零向量与任意向量的数量积为 。数量积的结果是一个实数，不是向量。 · 几何意义： 等于 与 在 方向上的投影数量的乘积；也等于 与 在 方向上的投影数量的乘积。 · 投影向量： 在 上的投影向量为 · 投影数量为 ；投影数量可正可负，投影向量与 同向或反向。 · 基本性质：；（ 为非零向量）；；。 图 3　向量 在 上的投影向量 （3）推导证明 定义：功 只与力、位移的大小及其夹角有关，抽象成向量就是 。 投影向量：设 是与 同向的单位向量，则 在 上的投影向量为 。因为 ，所以 当 为钝角时 ，投影向量与 反向；当 时投影向量为零向量。 性质：。若 为非零向量，则 。由 得 ，等号当且仅当 共线。 （4）适用条件与易错提醒 · 数量积的结果是实数，不是向量；不要把它写成 ，也不要再对结果加箭头。 · 投影向量是向量，投影数量是实数；投影数量为负时，投影向量与 反向，不能说“投影向量为负”。 · 求投影向量时分母是 ，不是 ；方向必须沿 ，不能沿 。 · 两个向量的夹角必须把起点放在同一点上再取 到 的那个角；例如在 中， 与 的夹角是 ，不是 。 · 包含 或 的退化情形；题目说“非零向量”时才能直接推出垂直。 · 只在两向量共线时成立；一般情形是严格小于。 （5）考点定位与命题角度 选填题高频，考“由定义求数量积”“求投影向量或投影数量”“由数量积判断垂直、求夹角”；解答题中常与解三角形、立体几何综合。对应真题：2023 全国乙卷·文 6（正方形中求 ）、2022 全国乙卷·理 3（由 求 ）、2022 全国甲卷·理 13（由夹角余弦值与模求 ）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　定夹角：把两个向量平移到同一起点，确认夹角是哪一个角，注意钝角与补角。 · 第二步　算模与余弦：分别求出 ，代入定义。 · 第三步　求投影：先算 ，再用 求投影向量；若只求投影数量，用 。 · 第四步　判符号：由 的符号判断夹角是锐角、直角还是钝角，并检查投影向量的方向。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，， 与 的夹角 ，求 。 解析 。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，， 与 的夹角为 。求 ，并求 在 上的投影向量。 解析 。投影向量为 其长度为 ，与 在 上的投影数量 一致。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2023 全国乙卷·文 6）正方形 的边长为 ， 是 的中点，求 在 上的投影向量。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 在 上的投影向量。 条目四　数量积运算律与不满足结合律的陷阱 （1）教材出处 必修第二册 第六章 6.2.4 向量的数量积 正文中的运算律与例题、课后习题；包括用分配律展开求值、用数量积判断垂直与求模。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 以下把 简记为 。 · 交换律：。 · 数乘结合律：。 · 分配律：。 · 常用展开式：，。 · 不满足结合律：一般地，。前者是与 共线的向量，后者是与 共线的向量；只有当 共线或两边同为零向量时才可能相等。 · 不满足消去律：由 且 ，只能得到 ，即 ，不能约去 得到 。 （3）推导证明 交换律：由定义，。 数乘结合律：。当 时 ，当 时 ，两种情形都得到 ； 时两边为零。 分配律：设 是与 同向的单位向量。向量 在 方向上的投影数量分别为 。由投影的可加性（把 首尾相接后向同一条直线投影，投影线段相加）， 两边乘 ，并用 ，得 。 展开式：由分配律， 结合律的反例：取 ， 与 、 的夹角都是 ，且 在 的两侧。则 ，于是 因 不共线，两向量不相等，故数量积不满足结合律。 消去律的反例：取 ， 且 ，则 ，但 。例如取 竖直向上， 为两个不同的水平向量，则 ，但 。 （4）适用条件与易错提醒 · 数量积没有结合律： 与 一般不等；前者沿 ，后者沿 。 · 由 不能约去 ；只能得到 （）。 · 一般不等；正确关系是 。 · ，中间的 不能漏；同理 。 · 分配律对数量积成立，但要注意记号： 是数 与向量 的数乘，不能再写成 ，后者没有定义。 · 判断一个“运算律”是否成立，先看两边是不是同类对象：一边是数、一边是向量，或方向明显不同，往往就是不成立的信号。 （5）考点定位与命题角度 选填题高频，考“用运算律展开求数量积”“由数量积求模或夹角”“判断垂直”；常与三角函数、解析几何交汇。对应真题：2024 新课标Ⅱ卷·3（由 与 求 ）、2022 全国甲卷·理 13（由夹角余弦值与模求 ）、2023 新课标Ⅱ卷·13（由 与 求 ）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　展开：用分配律把待求式展开成 的组合。 · 第二步　代入：由已知条件求出 。 · 第三步　合并：把同类项合并，注意符号和系数，不要漏掉交叉项。 · 第四步　检验：若题目要求判断恒等式，先看两边是数还是向量、方向是否可能不同，再用反例否定。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 解析 。由分配律， 例题 2（教材原题改编） 判断下列结论是否正确，并说明理由： (1) 对任意向量 ，都有 ； (2) 若 且 ，则 。 解析 1. 错误。取 ， 与 、 的夹角都是 ，且 在 的两侧。则 ，所以 ，。因 不共线，两向量不相等。 1. 错误。取 竖直向上， 为两个不同的水平向量，则 ，但 。正确结论是 ，即 。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （改编自 2024 新课标Ⅱ卷·3）已知向量 满足 ，，且 ，求 。 变式 4-2（优质模拟改编） 已知 ，， 与 的夹角为 ，求 。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：由 得 。而 所以 。于是 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：由平行四边形恒等式 代入得 ，故 ，。 变式 2-1 答案与解析 答案：，。 解析：移项得 。因 不共线，故 的系数都为 ，即 ，，解得 ，。 变式 2-2 答案与解析 答案：，。 解析：因 三点共线，且 ，由三点共线的系数和为 得 ，故 。于是 故 。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：取基底 。由 为 的中点， 又 ，，故 所以 在 上的投影向量为 变式 3-2 答案与解析 答案：。 解析：。所以 在 上的投影向量为 投影数量为 ，即投影向量与 反向，长度为 。 变式 4-1 答案与解析 答案：。 解析：由 得 又 故 ，，。 变式 4-2 答案与解析 答案：。 解析：。由分配律， 人教A版·必修第二册　第6章 6.2 平面向量的运算　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $