专题25 平面向量数量积-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

学科网（北京）股份有限公司 专题25平面向量的数量积 一、核心体系 二、关键能力 理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系， 掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系. 三、教学建议 以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 四、高频考点 知识点1．两个向量的夹角 1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 知识点2．平面向量的数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 知识点3．数量积的运算律 1．交换律：a·b＝b·a. 2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 知识点4．向量数量积的性质 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥ba·b＝0. 3．a·a＝|a|2，. 4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角) 5．|a·b|≤|a||b|. 知识点5．数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a·b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝. 4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角) 五、重点题型 考点一、数量积 例1-1（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 例1-2（多项）若点A，B在圆C上，则·的值(　　) A. 与圆C的半径有关 B. 与圆C的半径无关 C. 与弦AB的长度有关 D. 与点A，B的位置有关 例1-3（2021·新高考卷Ⅱ）已知向量，，，_______． 训练题组 1.（2021·北京高考真题），，，则_______；_______． 2.（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为 A． B． C． D．0 3.如图，线段AB的长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑 动，以线段AB 为一边，在第一象限内作等边三角形ABC，O为坐标原点，求·的取 值范围． 考点二、向量夹角 例2-1.（2019·全国高考真题（文））已知向量，则_____. 例2-2.（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 训练题组一（有坐标） 1、【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（       ） A． B． C．5 D．6 2.已知向量＝(x，1)(x>0)，＝(1，2)，||＝，则，的夹角为(　　) A. B. C. D. 训练题组二（无坐标） 1.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　) A．－ B.－ C. D. 2.已知向量，，，，___________. 3.设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2 与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 4.（2021·陕西西安市）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 考点三、向量的模 例3-1．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ． 例3-2.（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 训练题组 1.（2021·全国高考真题（文））若向量满足，则_________. 2.（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）已知，是不共线的两个向量，若对任意的，的最小值为1，的最小值为1，若，则，所成角的余弦值为______. 3.已知，，，若，则的最小值为（ ） A．6 B． C．3 D． 考点四、向量垂直 例4-1【2020年新课标2卷文科】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（       ） A． B． C． D． 例4-2（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则_