1.1空间向量及其运算教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第1章 1.1　空间向量及其运算 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　空间向量的线性运算与共线向量定理 （1）教材出处 选择性必修第一册 第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算 正文：空间向量的概念、长度（模）、相等向量与相反向量，加法、减法与数乘运算，加法的交换律与结合律，平行六面体法则，以及“共线向量（平行向量）”的概念与共线向量定理。本节由“小明的位移”等情境把平面向量的运算推广到空间；课后习题 A 组为化简向量表达式、用已知向量表示其他向量的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 加法（三角形法则）：；共起点的两个向量满足平行四边形法则。 · 平行六面体法则：在平行六面体 中，从同一顶点出发的三条棱所对应的向量之和，等于该顶点出发的体对角线所对应的向量，即 。 · 减法：，即共起点作差，结果指向被减向量的终点。 · 数乘： 仍是向量，； 时与 同向， 时反向， 时为零向量。 · 运算律：，，，，。 · 共线向量定理：对空间任意两个向量 、（）， 的充要条件是存在实数 ，使 ，并且这样的 唯一。 · 推论（三点共线）：、、 三点共线的充要条件是存在实数 ，使 ；对空间任一点 ，等价地 。 图 1　平行六面体中从同一顶点出发的三条棱向量之和恰为体对角线对应的向量 （3）推导证明 平行六面体法则：底面 是平行四边形，由平面向量的加法得 ；又侧棱 与 平行且相等，故 ，于是 运算律为什么照搬平面：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内——把两条有向线段平移到公共起点，两条线段确定一个平面。所以在只涉及两个向量的加法与数乘中，平面向量的交换律、数乘分配律原样成立。三个向量的结合律则由“折线”解释：把 、、 依次首尾相接，得到 、、，无论先算 还是 ，结果都是同一条折线的首尾向量 。 共线向量定理：充分性由数乘的定义直接得到—— 时， 与 同向（）、反向（）或为零向量（），总之两向量平行。必要性：设 且 ； 时取 即可。 时两向量同向或反向，模之比为 ，故同向时取 ，反向时取 ，即得 。唯一性：若 ，则 ，由 得 。 三点共线推论： 说明 ，而两向量有公共起点 ，故 落在直线 上；反之 在直线 上时这样的 必然存在。把 、 代入，整理即得 ，其两个系数之和恒为 。 （4）适用条件与易错提醒 · 平行六面体法则只对“从同一顶点出发的三条棱”成立；一般四棱柱、四面体中不能把任意三条棱对应的向量相加，必须先确认它们能首尾相接。 · 共线向量定理必须限定第二个向量非零： 时， 只在 时成立，且 可取任意实数，唯一性同时失效。 · 零向量与任意向量平行，因此“平行”没有传递性：由 、 推不出 （当 时结论不成立）。 · 相等向量只看方向与模，与起点无关。平行六面体中与 相等的向量有 、、 三个；“与 共线”的棱向量更多，作答时要区分“相等”与“共线”两个要求。 · 作差的方向易错：（指向被减向量的终点），不是 。 · 实数与向量只能相乘，不能相加减： 没有意义，只有 与 是合法运算。 · 用 判定 、、 三点共线时，必须 ；只比较系数大小而不验证和为 ，结论无效。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，解答题中作为“向量法”的第一步——把几何线段译成向量的线性组合、把点的位置译成系数。常见设问：在平行六面体、三棱柱、空间四边形中用给定向量表示指定向量；由 判断两向量共线与三点共线；给出含参线性组合反求参数。难度基础到中档。已验证真题：2025 全国一卷·9（正三棱柱中把 、、 等线段译成空间向量的线性运算后逐项判断）。 （6）方法归纳 · 第一步　选路径：把目标向量看成从起点到终点沿已知棱走的一条折线，按首尾相接写成若干向量之和。 · 第二步　拆中点与分点：中点用 ，分点按 这类系数关系改写。 · 第三步　统一到底：把所有项都化为题设给定的那几个向量（如 、、），合并同类项，得到唯一的线性组合式。 · 第四步　下结论：两个组合式的对应系数成同一比例（比值为 ）时两向量共线，再说明它们有公共端点，即得三点共线或线线平行。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 在平行六面体 中，化简下列向量表达式，并指出结果所对应的向量： 1. ； 1. ； 1. 。 解析 1. 底面 是平行四边形，；又 ，故原式 。 1. ，故原式 ，与 (1) 是同一条体对角线。 1. 由相等向量 、，得原式 。 三式都化到 ，说明从同一顶点出发的三条棱向量之和与相加顺序无关，这正是交换律与结合律在空间中的体现。 例题 2（教材原题改编） 已知空间向量 、 不共线，且 ，，。求证：、、 三点共线。 解析 由共线向量定理，；又两向量有公共端点 ，所以 、、 三点共线。 这里 、 不共线保证 ，否则“三点共线”会退化为点的重合，定理中“非零”这一条件正是为此而设。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 在正三棱柱 中， 为 的中点，设 ，，。 1. 用 、、 表示 、 与 ； 1. 判断 与 是否共线，并说明理由。 变式 1-2（优质模拟改编） 在平行六面体 中，设 ，，， 为 的中点， 为 的中点。 1. 用 、、 表示 ； 1. 判断直线 与直线 的位置关系，并指出 、、、 四点是否共面。 条目二　空间向量的数量积、夹角与投影向量 （1）教材出处 选择性必修第一册 第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算 正文：空间向量夹角的定义与取值范围、数量积的定义（由力做功引入）、三条性质、三条运算律，以及“向量向向量（向直线）投影”与投影向量的概念；课后习题为在正四面体、平行六面体中求数量积、线段长与夹角的基本题。投影向量的概念由必修第二册平面向量的数量积推广到空间，形式不变。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 夹角：已知两个非零向量 、，在空间任取一点 ，作 、，则 叫做 与 的夹角，记作 ，且 ； 时称 与 互相垂直，记作 。 · 数量积：，规定零向量与任意向量的数量积为 。数量积是数量，可正、可负、可为零。 · 三条性质：；；，且 。 · 运算律：；；。 · 投影向量：把向量 向向量 投影，得到与 共线的向量 ， 叫做 在 上的投影向量；数量 叫做 在 方向上的投影。 · 求模与求夹角的常用变形：；。 图 2　例题 2 所用的正四面体 ，、 依次为 、 的中点 （3）推导证明 性质一：，故求模可以转化为求数量积。 性质二： 即 ，，故 ；反之由 与 、 非零得 ，而 ，只能 。 夹角公式：由定义 ，两边同除以 即得 。 分配律：记 。把 分解为沿 的分量与垂直于 的分量：，其中 ；同理 。于是 其中用到 与 。交换律由 关于两向量的对称性直接得到。 投影向量：设 与 的夹角为 。投影向量与 共线，其有向长度为 （ 为钝角时落在 的反向延长线上），方向取 的单位方向 ，故 （4）适用条件与易错提醒 · 求夹角必须先把两个向量平移到公共起点；，而两条异面直线所成的角只取 ，用向量求异面直线夹角要加绝对值：。 · 由 不能直接断定夹角是锐角：两向量同向时夹角为 ，数量积同样为正； 时也要排除反向（夹角为 ）的情形。 · 数量积不满足消去律：由 且 ，只能推出 ，推不出 。 · 数量积没有结合律： 是与 共线的向量， 是与 共线的向量，两者一般不相等，这种连乘写法本身就要避免。 · 求模必须先平方：，不能写成 。 · 投影是数量、可正可负可为零，投影向量是向量、方向由 的符号决定；“投影的长度”另需取绝对值，三者不能混写。 · 夹角只对非零向量定义： 时谈 与 的夹角没有意义，但按定义仍有 。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题高频，解答题第一问也常以“用向量表示并求长度、证明垂直”出现。常见设问：在正四面体、平行六面体、三棱锥中求两个向量的数量积；已知棱长与夹角求体对角线、中线等线段的长；用数量积为 证明两条异面直线垂直；求一个向量在另一个向量方向上的投影向量。难度基础到中档，它同时是 1.4 用空间向量研究夹角与距离的运算基础。已验证真题：2023 新课标Ⅱ卷·19 第 (1) 问（三棱锥 中 、，证 ，用数量积可一步到位）。 （6）方法归纳 · 第一步　定基底：取模与夹角都已知、且能把所有目标向量表示出来的三个向量，通常是从同一顶点出发的三条棱所对应的向量。 · 第二步　写线性组合：把要求的两个向量分别写成基底的线性组合，注意方向，如 。 · 第三步　按运算律展开：用分配律展开数量积，只保留 与 这些已知量。 · 第四步　出结论：证垂直只需说明结果为 ；求长度用 ；求夹角用余弦公式并核对取值范围；求投影向量先算投影数量，再乘上单位方向向量。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知正四面体 的棱长为 ，求 与 。 解析 正四面体的每个面都是正三角形，故 与 的夹角为 ， 又 ，且 与 的夹角也是 ，所以 由 得 ，即正四面体两条对棱互相垂直。注意 与 所在直线是异面直线，把 拆成 后，两个数量积都化成了“共起点”的角。 例题 2（教材原题改编） 已知空间四边形 的各边长与两条对角线长都相等（即 是正四面体），、 分别是 、 的中点，求 与 夹角的余弦值。 解析 设棱长为 ，记 ，，，则 ，两两夹角均为 ，故 。 由中点条件 、，得 于是 。 再求 ： 故 。设 与 的夹角为 ，则 即 与 的夹角为 。 若改问 与 的夹角，余弦值为 ；若问直线 与直线 所成的角，则取绝对值得 。三种问法答案不同，向量的方向与角的范围是最容易丢分处。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 在三棱锥 中，，，。 1. 用空间向量的数量积证明 ； 1. 求直线 与直线 所成角的余弦值。 变式 2-2（优质模拟改编） 在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为 ，且它们彼此的夹角都是 。 1. 求体对角线 的长； 1. 求 与 夹角的大小。 条目三　共面向量定理与四点共面的判定 （1）教材出处 选择性必修第一册 第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算 中“共面向量”的概念与共面向量定理（教材由平面向量基本定理类比推广，并指出空间任意两个向量都是共面向量）；本节“思考”栏目讨论空间三个向量的位置关系，课后习题含“用向量法证明四点共面”（空间四边形各边中点）与“判断三个向量是否共面”。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 共面向量：平行于同一个平面的向量叫做共面向量，也就是能平移到同一个平面内的向量。空间任意两个向量都是共面向量，三个向量则不一定。 · 共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，那么向量 与 、 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 。 · 平面的向量表示：设 、、 三点不共线，则空间一点 在平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 ；对空间任一点 ，等价形式为 。 · 四点共面的系数判据（高考常用推导结论）： 与不共线的 、、 共面 对空间任一点 ， 且 。 · 三个向量共面的线性相关表述（高考常用推导结论）：三个向量 、、 共面 存在不全为零的实数 、、，使 。 （3）推导证明 共面向量定理。充分性：设 ，把 、、 平移到公共起点 。、 确定一个平面 ， 与 仍平行于 ，以它们为邻边作平行四边形，其对角线既过 又落在 内，而这条对角线正是 ，故 平行于 ，三个向量共面。 必要性：若 与 、 共面，把它们平移到公共起点后三者在同一平面 内。在 中以 、 为一组基底，由平面向量基本定理，存在实数 、 使 。 唯一性：若 ，则 。若 ，可解出 是 的实数倍，与 、 不共线矛盾，故 ；同理 。 系数判据：若 且 ，把 代入并整理，得 即 。由共面向量定理， 与 、 共面；又这三个向量有公共起点 ，所以 落在平面 内。反之若 在平面 内，则存在实数 、 使 ，展开即得 ，三个系数之和为 。 线性相关表述：若 、 不共线而 ，取 、、（不全为零）即得 。反之，设 且某个 ：若 ，则 ，由共面向量定理三者共面；若 、 中有零向量或 ，把三者平移到公共起点后， 与 落在同一条直线上，这条直线与 确定一个平面，三者同样共面。 （4）适用条件与易错提醒 · 共面向量定理的前提是“两个基向量不共线”。若 ， 只能表示与 共线的向量，而且表示不再唯一。 · “向量共面”不等于“表示它们的有向线段本来就画在同一个平面里”：向量可以自由平移， 与 所在直线异面时，这两个向量仍然共面，因为任意两个向量都共面。 · 由 只得到“ 与 、 共面”，必须再说明这三个向量有公共起点 ，才能断言点 在平面 内。 · 系数判据 针对的是同一个起点 写出的三个向量；换掉 后各系数会变，但它们的和始终为 ，这正是判据与起点无关的原因。 · 任意三点必共面（不共线时确定唯一平面），“三点共面”不构成条件；命题中出现的多是四点共面或三个向量共面，两者不能混为一谈。 · 用向量证明线面平行的完整路线：先证直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面，再说明直线上有一点不在该平面内；只证共面，结论可能只是“直线在平面内”。 · 三个向量两两共面不能保证三者共面：平行六面体中 、、 两两共面，但三者不共面，这恰是 1.2 节基底的入口条件。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主（判断共面、由共面求参数），解答题第一问常用向量法证明“四点共面”“线面平行”。常见设问：给出含参线性组合 ，由 与 、、 共面反求参数或参数间的关系；判断三个向量能否构成基底（其反面就是共面）；借“中点＋平行”证明四点共面。难度基础到中档。已验证真题：2024 上海卷·15（用“存在不全为零的实数使 ”定义点集，把共面向量与基底互相转化）。 （6）方法归纳 · 第一步　选定起点：把要讨论的各点都连到同一个起点，优先取四点中的某一个点，或题目给定的点 。 · 第二步　降到两个向量：把待判定的向量用两个不共线的“平面内向量”表示，形如 。 · 第三步　凑系数：若已知式子已是 的形式，先算 ，等于 便直接得到共面。 · 第四步　补几何条件：向量共面要配上“公共端点”才能升格为点共面、线线平行；书写结论时把“ 为公共起点”“又 不在平面内”这类交代补全。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 、、、 分别是空间四边形 的边 、、、 的中点，用向量法证明 、、、 四点共面。 解析 如图 3，由 、 得 同理 。 于是 ，从而 。两条平行直线确定一个平面，所以 、、、 四点共面，并且四边形 是平行四边形。 图 3　例题 1 所用的空间四边形 与四条边的中点，两条中位线都等于 例题 2（教材原题改编） 已知 、、 三点不共线， 为空间任一点，。若点 与 、、 共面，求 ，并用 、 表示 。 解析 由系数判据， 与 、、 共面的充要条件是三个系数之和为 ： 此时 即 ，它与 边上的中线向量同向，且长度是该中线的四分之一，点 确在平面 内。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） 定义一个集合 ，它的元素是空间中的点：对 中任意三个点 、、，都存在不全为零的实数 、、，使得 ，其中 为坐标原点。已知 ，则 的一个充分条件是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 变式 3-2（优质模拟改编） 在四面体 中，点 满足 。 1. 证明点 在平面 内； 1. 用 、 表示 ，并指出 是 的什么特殊点。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：(1) ，，；(2) 不共线。 解析：(1) 为 的中点，故 。。。 1. 在正三棱柱中 。若 与 共线，则存在实数 使 ，即 ，于是 ，与底面是正三角形（两边不共线）矛盾。故 与 不共线，直线 与 也不平行。 变式 1-2 答案与解析 答案：(1) ；(2) 且 ，、、、 四点共面。 解析：以 为起点，各点的位置向量为 ，，，。 是 的中点，； 是 的中点，。 所以 。 又 ，故 ，由共线向量定理得 ，且 。两条平行直线确定一个平面，所以 、、、 四点共面（事实上 是梯形）。 变式 2-1 答案与解析 答案：(1) 见解析；(2) 。 解析：记 ，，，则 。由 得 ；由 得 。 1. ，于是 故 。 1. ，。 又 ，，设 与 的夹角为 ，则 两向量夹角为 ，而直线 与 所成的角取 ，故所成角的余弦值为 。 变式 2-2 答案与解析 答案：(1) ；(2) 。 解析：记 ，，，则 ，两两夹角 ，。 1. 由平行六面体法则 ，故 即 。 1. ，所以 故 ，两向量夹角为 。注意这里不能靠“看图”得到，体对角线与面对角线在直观图里看起来并不垂直，是数量积给出了结论。 变式 3-1 答案与解析 答案：C。 解析：集合 的条件等价于“ 中任意三个点对应的向量 、、 共面”，因为存在不全为零的实数使 正是三个向量共面的充要条件。要由 推出 ，只需再找一个属于 的点，使它与 、 三个向量不共面——这样 的条件就被破坏，从而第三点不可能属于 。 A： 对应零向量，三个向量中有零向量时必共面，且取 就有 ，条件恒成立，推不出任何排除。 B： 与 共线，两个共线向量与第三个向量必共面，、、 就使 ，条件仍成立，推不出。 C：、、 三个向量不共面（它们构成空间的一个基底），若 ，则 中存在三点使三个向量共面这一条件不成立，矛盾。故由 可推出 。 D： 与 共线，同 B，三向量共面，推不出。 故选 C。本题的实质是：只有当新点提供的方向落在已有两点张成的平面之外时，才能迫使第三点被排除。 变式 3-2 答案与解析 答案：(1) 见解析；(2) ， 是 的重心。 解析：(1) 。 把 拆成 并分别与 、 配对，得 由共面向量定理， 与 、 共面；又这三个向量有公共起点 ，所以点 在平面 内。 1. 由 (1) 已有 。设 为 的中点，则 ，故 ：点 在 边所在中线 上，且 。对另外两条中线完全同理，所以 是 三条中线的交点，即 的重心。 人教A版·选择性必修第一册　第1章 1.1 空间向量及其运算　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $