重难点培优02 累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列通项公式求法核心考点，涵盖累加法、累乘法、构造法（含加减常数、倒数等）、an与Sn关系递推等题型，按知识重构、题型精研、实战检测逻辑展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生系统掌握递推转化策略，突破解题难点。 讲义以“技巧通法+分层突破”为特色，如累加法通过逐项作差累加消中间项，构造法引导用待定系数转化为等比数列，培养数学思维与转化能力。设置重难巩固和创新提升分层练习，配合步骤化解题指导，助力学生高效掌握通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优02 累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 累加法（★★★★★） 3 题型02 累乘法（★★★★★） 7 题型03 加减常数、构造（★★★★★） 9 题型04 倒数构造（★★★★★） 12 题型05 其他形式构造（★★★★） 15 题型06 an与Sn的关系递推（★★★★★） 18 题型07 其他形式递推（★★★★） 21 03 实战检测·分层突破验成效 24 重难知识巩固 24 创新能力提升 34 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 知识点02 累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识点03 构造数列法 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （*）法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出 2、形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用（*）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再转化用（*）便可求出． 3、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 4、还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 5、形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 题型精研·技巧通法提能力 题型01 累加法 【技巧通法·提分快招】 适用题型：递推关系为,其中是可求和的函数(如多项式、指数函数、分式等) 通过逐项作差并累加消去中间项： 1、写出差式: 2、累加得: 3.、解得: 1．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 2．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 3．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 4．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累加法，结合等比数列前项和公式分析即可. 【详解】当时，由， 则， ， ， ， ， ， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 5．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知数列和满足，且，则 （    ） A．12 B．15 C．16 D．19 【答案】A 【分析】根据题意可得，由求得答案． 【详解】因为，所以，且，， 所以． 又因为，所以， 故， 所以． 故选：A. 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据裂项相消法、累加法求出通项公式即可. 【详解】由可得，. ，，，，， 所以（）， ， 又当时，依然成立， 所以. 故选：B. 7．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 题型02 累乘法 【技巧通法·提分快招】 适用题型：递推关系为 ,其中 是可求积的函数(如分式、阶乘相关式等) 通过逐项作比并累乘消去中间项： 1. 写出比式: 2. 累乘得: 3. 解得: 1．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 2．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 3．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 4．数列中，，且，则等于__________. 【答案】 【分析】先根据条件求首项，再利用累乘法求通项即可. 【详解】由题意可知：， 显然有， 由累乘法可得. 而符合， 故答案为： 5．若数列满足，， 则______，数列的通项公式______． 【答案】 8 【分析】利用递推关系式可求，利用累乘法可求通项公式. 【详解】因为，，所以，. 由题意，，，， 以上各式相乘可得. 故答案为：8   6．已知数列满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由累乘法求出，结合指数函数和二次函数的性质求即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 题型03 加减常数、构造 【技巧通法·提分快招】 1、递推式为 ( , 为常数),目标是构造等比数列 构造方法 1、设 ,展开后与原式对比,得： 2、新数列 是首项为 、公比为的等比数列, 故: 扩展形式：若递推式为 ,两边同除以 ,令 ,转化为 ,再用待定系数法 3、形如型的递推式 当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用常规思路便可求出 1．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项. 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 3．对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【答案】B 【分析】构造数列可得为等比数列，进而可得的通项公式，结合，恒成立，求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 4．已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 6．已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【分析】根据题中递推关系构造两个等比数列，联立方程求解通项公式； 【详解】因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为3， 因此①， 又因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 因此②， ① ②两式相减可得. 故答案为：. 题型04 倒数构造 【技巧通法·提分快招】 适用题型：递推式为 ( , ),分母含的一次式 关键步骤 1、两边取倒数: 2、令 ,转化为一阶线性递推: 用待定系数法求后,回代得 特殊情况：若 ,则,直接为等比数列,无需取倒数 1．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【详解】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 2．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 3．已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，即 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：B 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 5．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 6．已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由，得，再利用待定系数法构造新的数列，结合等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 题型05 其他形式构造 【技巧通法·提分快招】 适用于形如型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 1．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 2．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 3．已知，且，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【分析】由已知可得，构造应用累加法求其通项公式，进而可得的通项公式. 【详解】等式两侧同除，得， 所以， 令，所以， 则，，，……，， 累加得：，而，故， 即，整理得. 故答案为： 4．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 5．数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 【答案】 【分析】利用对数运算将幂运算降次，再通过构造等比数列，最后通过 指对互化求出的通项公式. 【详解】因为，所以， 又， 则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此即， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是______________ 【答案】 【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解. 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 题型06 an与Sn的关系递推 【技巧通法·提分快招】 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 2．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 【答案】C 【分析】利用，可求得，再利用求解即可. 【详解】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 4．（多选题）（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）记分别为数列的前n项和与前n项积，已知各项均为正数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于AB，因为，各项均为正数， 所以， 所以，故A正确，B错误； 对于C，当时，， 所以，即， 所以从第二项起为公比为2的等比数列， 所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 5．已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 6．（25-26高三上·天津·开学考试）设为数列的前项和，若，则___________． 【答案】17 【分析】根据给定条件，利用的关系及等比数列的通项公式求出，进而求出． 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，即， 又，即，解得，则， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，则． 故答案为：17． 7．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）记为数列的前项和，满足，且，则______． 【答案】38 【分析】利用与的关系，代入解方程求解前4项，然后利用与的关系得到，进而由累乘法即可求得. 【详解】因为，且， 所以当时，， 则，结合，即①； 当时，②； 当时，③； 将③代入②可得，结合代入①可得. 即，，，， 因为，所以当时，， 则，即， 可得． 故答案为：38 题型07 其他形式递推 1．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【分析】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 2．已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】通过已知条件求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，进而得到数列的通项公式. 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 3．已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 4．已知对任意正整数n都有，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据数列的前项和求数列的通项公式，再利用裂项求和法求和. 【详解】当时， 当时，，， 两式相减得： 时，上式也成立， 所以，. 所以. 当时， 所以 . 故答案为：. 5．若数列满足，则数列的通项公式__________. 【答案】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 6．已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，则， 令，得，则， ， 显然也满足上式， ，则，显然个位数字为2. 2．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 3．若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义，结合累加法、利用等比数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则得， 因此有， 于是有. 故选：B 4．设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 5．（25-26高三上·河北保定·期中）已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】因为，所以， 两式相减可得， 所以，所以， 当时，， 当时，符合的情况， 所以，所以， 所以， 故选：C. 6．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【详解】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B 7．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 8．设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据的关系，构造法求数列的通项公式，并确定为等差数列，最后应用等差中项的性质求. 【详解】因为， 当时，，得， 当时，， 所以，则， 所以，又， 所以，所以是等差数列. 因为，所以. 故选：D 9．已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】D 【分析】借助所给条件可得，，逐项计算即可得. 【详解】由，，得， 有，，，，， 所以，则， 故，，故，，是等比数列， ，故A、B、C正确，D错误. 故选：D. 10．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11．（多选题）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 12．已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【分析】利用数列的前 项和 与通项 的关系计算. 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 13．已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 14．数列中，，，则通项______． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 15．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 16．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段检测）设数列的前n项和为，若，则 ___________ 【答案】 【分析】时，求出，由与的关系，得时为等比数列，可求数列通项. 【详解】已知，当时，有， 两式相减得：，即， 所以时，有， 时，由，有，又，解得， 则，，， 故当时，为等比数列，公比为2， 当时，，故，所以. 故答案为： 17．已知数列满足，则__________. 【答案】 【分析】化简递推关系可得，证明数列为常数数列，由此可求结论. 【详解】由，可得， 所以， 所以数列为常数数列，又， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 18．已知数列满足，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】对取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可. 【详解】对两边取倒数得，即， 当时，，，，，， 将以上各式累加得，又， 所以，所以，当时，也满足，所以. 故答案为： 19．已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 【答案】 【详解】当时，，因此， 则，则， 同时，当时，， 因此， 所以， 而因为，所以， 即， 所以是首项，公差的等差数列， 因此， 当时，满足条件， 因此数列的通项公式为. 20．数列满足，数列的前项和为___________． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，借助求出通项公式，再利用等比数列前项和公式求解即得. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而，即，满足上式，因此， 所以数列的前项和为. 故答案为： 21．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而， 因此当时，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式. 故答案为： 22．（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，则_____. 【答案】 【分析】分和两种情况，根据题意结合前n项和与通项之间的关系运算求解. 【详解】因为， 若，则； 若，则， 两式相减可得； 且不符合，所以，. 故答案为：. 23．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，由数列的前项和与的关系得出数列的通项公式即可求解. 【详解】设数列的前项和为，由可得，， 当时，有，两式相减，， 化简得， 则当时， 解得，当时，，符合；当时，由求得，也符合. 所以. 创新能力提升 1．设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时，的前项和为. 所以. 2．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 3．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 4．已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断. 【详解】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以， 故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 故选：A. 5．（多选题）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的递推公式，利用及构造法求出，进而判断AB；利用裂项相消法求和及放缩法推理判断CD. 【详解】数列中，，当时，， 整理得，即，则， 当时，数列是常数列，因此，， 当时，，解得，满足上式， 当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式为， A，，A正确； B，，B错误； C，当时，， 因此，C正确； D，，， 则，即， 因此，D正确. 6．已知数列满足，，，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由, 得，且， 故数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 故， 所以， 设，则，又， 所以数列的所有项均为0，即， 所以. 故答案为：. 7．已知数列满足，则的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过对递推公式相加、相减，分别构造出和为等比数列， 求出这两个数列的通项，再联立解出. 【详解】 ，则； 同理可得 ， 所以． 8．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为且，则__________. 【答案】 【分析】首先将已知条件与递推公式结合，推导出关于的递推关系，接着利用累乘法求得的通项公式，得到，最后代入题目给定的奇数项和式，并运用等差数列求和公式，列出关于首项的方程求解. 【详解】当时，， 代入条件，得， 整理得：， 由可得：， 累乘得（）： 化简得 又，因此 ， 其中，故： 括号内是首项为、末项为、公差为、项数为的等差数列， 其和为： 代入得 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 累加法（★★★★★） 3 题型02 累乘法（★★★★★） 4 题型03 加减常数、构造（★★★★★） 5 题型04 倒数构造（★★★★★） 6 题型05 其他形式构造（★★★★） 7 题型06 an与Sn的关系递推（★★★★★） 7 题型07 其他形式递推（★★★★） 8 03 实战检测·分层突破验成效 9 重难知识巩固 9 创新能力提升 10 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 知识点02 累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识点03 构造数列法 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （*）法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出 2、形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用（*）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再转化用（*）便可求出． 3、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 4、还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 5、形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 题型精研·技巧通法提能力 题型01 累加法 【技巧通法·提分快招】 适用题型：递推关系为,其中是可求和的函数(如多项式、指数函数、分式等) 通过逐项作差并累加消去中间项： 1、写出差式: 2、累加得: 3.、解得: 1．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知数列和满足，且，则 （    ） A．12 B．15 C．16 D．19 6．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 累乘法 【技巧通法·提分快招】 适用题型：递推关系为 ,其中 是可求积的函数(如分式、阶乘相关式等) 通过逐项作比并累乘消去中间项： 1. 写出比式: 2. 累乘得: 3. 解得: 1．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 4．数列中，，且，则等于__________. 5．若数列满足，， 则______，数列的通项公式______． 6．已知数列满足，则的最小值为______． 题型03 加减常数、构造 【技巧通法·提分快招】 1、递推式为 ( , 为常数),目标是构造等比数列 构造方法 1、设 ,展开后与原式对比,得： 2、新数列 是首项为 、公比为的等比数列, 故: 扩展形式：若递推式为 ,两边同除以 ,令 ,转化为 ,再用待定系数法 3、形如型的递推式 当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用常规思路便可求出 1．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 3．对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 4．已知数列满足，，则______． 5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 6．已知数列满足，，，则通项公式______ 题型04 倒数构造 【技巧通法·提分快招】 适用题型：递推式为 ( , ),分母含的一次式 关键步骤 1、两边取倒数: 2、令 ,转化为一阶线性递推: 用待定系数法求后,回代得 特殊情况：若 ,则,直接为等比数列,无需取倒数 1．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 3．已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，求数列的通项公式． 题型05 其他形式构造 【技巧通法·提分快招】 适用于形如型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 1．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 2．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则数列的通项公式为___________. 4．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 5．数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 6．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是______________ 题型06 an与Sn的关系递推 【技巧通法·提分快招】 若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 4．（多选题）（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）记分别为数列的前n项和与前n项积，已知各项均为正数，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 6．（25-26高三上·天津·开学考试）设为数列的前项和，若，则___________． 7．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）记为数列的前项和，满足，且，则______． 题型07 其他形式递推 1．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为________. 2．已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 3．已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 4．已知对任意正整数n都有，则__________. 5．若数列满足，则数列的通项公式__________. 6．已知数列满足：（为正整数），则______. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 3．若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北保定·期中）已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 7．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 8．设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 9．已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 10．（多选题）（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 12．已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 13．已知数列中，，且，则___________． 14．数列中，，，则通项______． 15．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则__________. 16．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段检测）设数列的前n项和为，若，则 ___________ 17．已知数列满足，则__________. 18．已知数列满足，则的通项公式为______. 19．已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 20．数列满足，数列的前项和为___________． 21．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 22．（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，则_____. 23．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 创新能力提升 1．设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 3．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，，则的通项公式为______. 7．已知数列满足，则的通项公式_____． 8．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为且，则__________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $