专题5.1 平面向量的概念及线性运算（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题5.1 平面向量的概念及线性运算（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　向量的概念与表示（含零向量、单位向量、平行向量） 4 知识点2　向量的线性运算（加、减、数乘） 5 知识点3　共线向量定理与三点共线 6 知识点4　向量的线性运算的几何应用（用基底表示向量） 7 知识点5　向量的模与线性运算的简单应用 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　向量的基本概念辨析　★★ 9 重难点培优02　平面向量基本定理与用基底表示向量　★★ 13 重难点培优03　共线向量定理及其应用（三点共线）　★★★ 16 重难点培优04　向量的线性运算与几何图形（三角形、四边形）　★★★ 20 重难点培优05　向量的模与数量关系　★★★ 24 重难点培优06　向量与三角形的"四心"　★★★ 27 重难点培优07　向量线性运算中的参数求值　★★★★ 30 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 33 五、过关检测 38 一、单选题 38 二、多选题 40 三、填空题 42 四、解答题 44 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 平面向量的基本概念 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念与几何表示，理解零向量、单位向量、相等向量与平行（共线）向量的含义 平面向量的线性运算 掌握向量加、减、数乘运算及其几何意义，会作两个向量的和与差，理解数乘向量的几何意义 共线向量定理 理解两个向量共线的含义，掌握共线向量定理及其推论，会判断三点共线 平面向量基本定理 理解平面向量基本定理及其意义，会用给定的两个不共线向量作为基底表示平面内任一向量 线性运算的几何应用 能用向量方法解决简单的平面几何问题，掌握用基底表示向量、由线性表示求参数的通性通法 近三年高考真题对平面向量（概念与线性运算）板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T2 平面向量基本定理，由不共线向量的线性表示求参数 ★★ 2026 北京卷 向量模的最大值，模的不等式 ★★ 2026 上海卷 两两不平行向量的共面判断与基本定理 ★★★★ 2026 天津卷 向量的线性运算与数量积的综合（双空填空） ★★★★ 2025 全国一卷 T6 真实情境中的向量加法（视风风速） ★★★ 2025 全国二卷 T12 向量垂直的坐标表示，求向量的模 ★★ 2025 天津卷 T14 用基底表示向量；模与数量积的综合 ★★★ 2025 北京卷 向量的线性运算与取值范围 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T3 由垂直条件求向量的模 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T9 向量平行与垂直的充要条件辨析 ★★ 2024 天津卷 T14 用基底表示向量、系数和与数量积最值 ★★★★ 2024 上海卷 向量平行的坐标表示求参数 ★★ 考情分析 平面向量的概念与线性运算年年必考，近三年稳定出现在选择题、填空题的前中部，分值 5 分左右，难度以中低档为主，但"图形＋参数＋最值"的考查力度明显增强。2026 年全国一卷以两向量不共线为背景，用基本定理列方程组求参数，北京卷借助模的不等式考查向量模的最大值，上海卷以"两两不平行"为切入口考查基本定理与共面思想；2025 年全国一卷以帆船航行中"视风风速"的真实情境考查向量加法，天津卷、北京卷以基底表示与取值范围为载体，突出几何直观；2024 年新课标Ⅱ卷由垂直条件求模，全国甲卷辨析平行与垂直的充要条件，天津卷考查基底表示与系数和。依据《普通高中数学课程标准》，本板块核心素养指向"直观想象、数学运算与逻辑推理"。预测 2027 年高考仍以"线性运算＋基本定理"为主线，以图形中的参数求值、系数和（等和线）、模的取值范围、向量与三角形"四心"及新定义交汇为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析零向量、单位向量、相等向量、相反向量与平行（共线）向量，会用有向线段规范表示向量； 2．熟练掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则、减法的三角形法则，理解数乘向量的几何意义； 3．掌握共线向量定理与平面向量基本定理，会用基底表示向量，快速判定三点共线； 4．突破"图形中的参数求值、系数和的最值、向量与三角形四心、新定义与交汇"等培优题型。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　平面向量的概念及线性运算知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　向量的概念与表示（含零向量、单位向量、平行向量） 既有大小又有方向的量叫做向量，向量常用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量 的大小叫做向量的长度（或称模），记作 。 ①零向量：长度为 的向量，记作 ，零向量的方向是任意的，规定它与任一向量平行； ②单位向量：长度等于 个单位长度的向量，与 （）同向的单位向量为 ； ③相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 ，相等向量与它们的起点位置无关； ④相反向量：长度相等且方向相反的向量， 的相反向量记作 ； ⑤平行（共线）向量：方向相同或相反的向量，记作 。 说明：向量是"自由向量"，可以自由平移。两个向量相等，只需"大小相等、方向相同"，与起点落在哪里无关；因此有向线段只是向量的几何表示，而不是向量本身。 【方法技巧】 1．概念辨析"三抓一画"：抓长度（模）、抓方向、抓是否含零向量，必要时画有向线段验证； 2．单位向量不唯一：与非零向量 同向的单位向量唯一，为 ，与该向量共线的单位向量有两个，即 ； 3．平行与共线是同一个概念，它只要求方向相同或相反，并不要求两个向量"落在同一条直线上"。 【易错清单】 1．零向量的方向任意，故 恒成立，但 与 不一定相等； 2．向量不能比较大小，""只是模的大小关系，不能写成 ； 3．注意 与 模相等、方向相反，即 ，不可把二者当作同一个向量。 知识点2　向量的线性运算（加、减、数乘） 向量的加法与减法： ①三角形法则：，首尾相接，首连尾； ②平行四边形法则：以同一起点为邻边作平行四边形，共起点的对角线所对应的向量就是和向量； ③向量减法：，口诀是共起点、指被减。 数乘向量：实数 与向量 的乘积 仍是一个向量，其模为 ，方向由 的符号决定： 时 与 同向， 时反向， 时 。 运算律 表达式 加法交换律 加法结合律 数乘结合律 分配律 ， 【方法技巧】 1．化简向量式"三步走"：去括号 → 合并同类向量 → 把首尾相接的向量合并成一条有向线段； 2．"首尾相接"用加法，"共起点"用减法，遇到 直接写成 ； 3．数乘常用来"配凑"比例关系，如 即表示 三点共线。 【易错清单】 1．向量加法不能用"模相加"：一般地 ，除非 同向； 2．减法最容易出错：，方向由减数指向被减数，不要写成 ； 3．由 只能推出 或 ，两种情形都要考虑，不能只取其一。 知识点3　共线向量定理与三点共线 共线向量定理：向量 与 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使得 。 三点共线的两个等价刻画（ 为平面内任意一点）： ① 三点共线 ，前提是 与 有公共点 ； ② 三点共线 ，且 ；反之，若 ，则 三点共线。 重要推论：若 不共线，且 ，则 ，即"系数全为零"。它是平面向量基本定理的核心推论，也是"化向量等式为方程组"的理论依据。 【方法技巧】 1．证三点共线只需"两条腿"：找公共点 → 证 ，两向量必须从同一点出发； 2．"系数和为 "是三点共线的快捷判据，选择、填空题中往往可以一步秒杀； 3．含参共线问题优先"化等式、比系数"：把条件整理成 的形式，再由不共线得 。 【易错清单】 1．用共线定理前必须确认 ，否则 可能不存在或不唯一； 2．"共线"包含"同向"与"反向"两种情形，讨论时不要只考虑同向； 3．由 判断三点共线时，必须检验 ，只看形式会误判。 知识点4　向量的线性运算的几何应用（用基底表示向量） 平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任一向量 ，存在唯一的一对实数 ，使 ；其中 叫做这一平面内所有向量的一组基底。 用基底表示向量的三条常用路径： ①三角形路径：把目标向量放进三角形或多边形中，沿"首尾相接"的方向拆成若干已知向量的和； ②回路路径：把目标向量表示成若干向量的和，再用减法把起点"归零"，如 ； ③比例路径：当目标向量的端点在图形的分点（中点、三等分点等）上时，先用比例关系表示分向量，再回代到基底中。 【方法技巧】 1．选基底的原则：取两个不共线且"好用"的向量，通常取同一顶点出发的两条边所在向量； 2．出现" 是 的中点"时，；出现三等分点时，直接把分向量按比例写开； 3．遇到 （ 不共线），立刻写出 、，这是最稳的代数化手段。 【易错清单】 1．基底必须不共线，用两个共线向量作基底，表示方法不唯一，结论必然出错； 2．用基底表示时方向弄反（如把 写成 ）会使整条式子差一个负号； 3．"用 表示"要求结果中只含 ，不能再保留其它字母向量。 知识点5　向量的模与线性运算的简单应用 向量的模具有如下性质： ①，特别地 ； ②（三角不等式），当且仅当 同向时取右等号，反向时取左等号； ③ 的充要条件是 同向（或其中至少有一个为零向量）。 常见结论：当 共线时， 与 只能取 与 两个值，具体取哪一个由"同向还是反向"决定。 【方法技巧】 1．求模的取值范围先"戴不等式"：用三角不等式定界，再用同向（或反向）确定能否取到端点； 2．含参模的最值问题先化到 的形式，把 的符号对应的两个极端值逐一检验； 3．若条件给出 ，可直接判定 与 同向，这是"逆向使用不等式"的常见考法。 【易错清单】 1．注意 与 不同，前者非负，后者可能为负，先判断符号再化简； 2．共线带来的两个取值必须逐一讨论，漏掉"反向"是最高频失分点； 3．由 只能推出长度相等，不能推出 或 。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　向量的基本概念辨析　★★ 【解题技巧】概念辨析题"三抓一画"：抓长度（模）、抓方向、抓是否含零向量，必要时画有向线段验证。凡选项中出现"任意""一定""都是"等字眼，先举反例或取特例检验；涉及相等向量、相反向量时，"大小相等、方向相同（相反）"是唯一标准，与向量的起点无关。 【注意事项】概念题的三大陷阱：①零向量方向任意， 与任何向量平行，但不一定与它们相等；②向量不能比较大小，""只说明长度的关系；③共线向量可以不在同一条直线上，把"共线"理解为"落在同一直线上"是常见误解。 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·T9）设向量 ，，则（　　） A．""是""的必要条件 B．""是""的必要条件 C．""是""的充分条件 D．""是""的充分条件 【答案】C 【解题思路】先由 与 对应坐标成比例，分别解出 的取值集合，再用充分条件、必要条件的定义逐项判断。 【解答过程】若 ，则 ，即 ，解得 或 。 若 ，则 ，即 ，解得 或 。 A 选项：由 只能得 或 ，推不出 ，必要性不成立，错误； B 选项：由 得 ，推不出 ，必要性不成立，错误； C 选项：当 时，，，，即 ，充分性成立，正确； D 选项： 不满足 ，故 不成立，错误。 故选 C。 【例1-2】（2026·湖南·长沙市长郡中学·高三第六次月考）下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．所有单位向量都相等 C．若 ，则 或 D．若 ，则 且 【答案】D 【解题思路】逐项用零向量、单位向量的定义以及相等向量、平行向量的含义检验，必要时举反例。 【解答过程】A 选项：当 时， 与任一向量平行，但 与 可以方向任意，不一定平行，错误； B 选项：单位向量模都为 ，但方向可以不同，故不一定相等，错误； C 选项： 只说明长度相等， 与 的方向可以既不平行也不相反，如 ，，错误； D 选项： 表示两向量大小相等、方向相同，故 且 ，正确。 故选 D。 【例1-3】（2025·山东·青岛市第二中学·高三期中改编）已知 是不共线的四点，则""是"四边形 为平行四边形"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】把 翻译为" 且 "，再与平行四边形的判定定理对照。 【解答过程】由 得 且 ，即四边形 的一组对边平行且相等，故 为平行四边形，充分性成立； 反之，若 为平行四边形，则 且 ，又 与 方向相同，故 ，必要性成立。 所以""是"四边形 为平行四边形"的充要条件。故选 C。 【变式1-1】下列命题中正确的是（　　） A．长度相等的两个向量相等 B．若 ，则 与 的方向相同 C．零向量与任一向量平行 D．零向量没有大小，所以它不是向量 【答案】C 【解题思路】抓住"模""方向""零向量"三个关键词逐项检验。 【解答过程】A 选项：长度相等但方向不同的两个向量并不相等，错误； B 选项： 时两向量方向可以相同，也可以相反，错误； C 选项：规定零向量与任一向量平行，正确； D 选项：零向量的大小为 ，但它仍然是向量，错误。 故选 C。 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 与 共线，则 D．有共同起点的两个单位向量相等 【答案】A 【解题思路】相等向量要求"模相等且方向相同"，逐项判断两个条件是否同时满足。 【解答过程】A 选项： 说明两向量完全相同，故模必相等，正确； B 选项：模相等方向不一定相同，错误； C 选项：共线只说明方向相同或相反，错误； D 选项：单位向量模都为 ，但方向可以不同，错误。 故选 A。 【变式1-3】在四边形 中，若 ，则四边形 一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】C 【解题思路】由向量相等得出对边"平行且相等"，再用平行四边形判定定理。 【解答过程】由 得 且 ，即四边形 的一组对边平行且相等， 所以四边形 一定是平行四边形（不一定是矩形或菱形）。故选 C。 【变式1-4】关于零向量 ，下列说法正确的是（　　） A． 没有方向 B． C． 与 不是平行向量 D． 不存在 【答案】B 【解题思路】依据零向量的定义与规定逐项判断。 【解答过程】A 选项：零向量的方向是任意的，但并非"没有方向"，错误； B 选项：零向量的模为 ，正确； C 选项：零向量与任一向量平行，与自身也平行，错误； D 选项：，存在且与 相同，错误。 故选 B。 【变式1-5】（2026·福建·厦门双十中学·高三质检）下列命题中正确的是（　　） A．若 且 ，则 B．若 ，则 是与 同向的单位向量 C．若 与 都是单位向量，则 D．向量 与 一定不相等 【答案】B 【解题思路】用"平行传递性成立的条件""单位向量的模""相等向量的含义"逐项检验。 【解答过程】A 选项：当 时结论不一定成立，平行向量的传递性要求中间向量非零，错误； B 选项： 且与 同向，故它是与 同向的单位向量，正确； C 选项：两个单位向量的方向可以不同，不一定相等，错误； D 选项：当 时，，错误。 故选 B。 【变式1-6】已知 是不共线的三点，则下列结论正确的是（　　） A． 与 是相等向量 B． 与 是共线向量 C． 与 是共线向量 D． 与 是平行向量 【答案】D 【解题思路】先由"三点不共线"得到任意两向量的方向关系，再按相等、共线的定义判断。 【解答过程】因为 不共线，所以 与 方向不同， 与 也不共线，B、C 均错误； 与 模相等、方向相反，故它们不是相等向量，而是平行（共线）向量，A 错误，D 正确。 故选 D。 重难点培优02　平面向量基本定理与用基底表示向量　★★ 【解题技巧】用基底表示向量的"万能三步"：① 选基底（同一顶点出发的两条边所在向量）→ ② 把目标向量放进三角形或多边形的回路 → ③ 用加减法把回路中的向量逐一换成基底。遇见" 在 上且 "，先写 再回代；遇见 且 不共线，直接比较系数列方程组。 【注意事项】①基底必须不共线，否则表示不唯一，结论容易出错；②用基底表示时方向不能弄反，如 ；③完成后要检查结果，式中应当只出现基底 ，若还残留其它向量符号，说明分解尚未完成。 【例2-1】（2026·全国一卷·T2）已知平面向量 不共线，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把等式移项整理成""的形式，由 不共线得系数全为零，列方程组求 。 【解答过程】由 得 。 因为 不共线，所以 且 ，解得 ，。 故选 A。 【例2-2】（2025·天津卷·T14）在 中， 为 边的中点，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把 写成关于 点的向量等式，解出 ，再用 、 代换。 【解答过程】因为 ，所以 ， 整理得 。 又 为 的中点，故 ，且 ， 所以 。 故选 A。 【例2-3】（2026·浙江·杭州学军中学·高三适应性测试）在平行四边形 中， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以 为基底，把 沿""的回路拆开，再由基本定理比较系数。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 ， 从而 。 由平面向量基本定理得 ，，所以 。 故选 D。 【变式2-1】在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用"中线向量等于两边向量之和的一半"直接写出。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 ， 故 。 故选 A。 【变式2-2】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】沿""的回路表示 ，再把 按比例换成基底。 【解答过程】。 故选 A。 【变式2-3】（2026·广西·南宁三中·高三模拟）在平行四边形 中， 是 的中点，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】沿""的回路表示，注意 在 上且 ，而 。 【解答过程】。 故选 B。 【变式2-4】已知 ，， 为线段 上一点，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由 得 ，再沿""的回路表示 。 【解答过程】因为 ，所以 ， 故 。 故选 A。 【变式2-5】在 中， 为 的重心，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用重心性质： 在中线 上且 ，再把 用基底表示。 【解答过程】设 为 的中点，则 。 因为 为重心，所以 。 故选 B。 重难点培优03　共线向量定理及其应用（三点共线）　★★★ 【解题技巧】共线问题用"两步判定法"：① 把待判的两个向量都用同一组基底表示；② 整理成 的形式，若能化成 （有公共点 ），则三点共线。含参问题优先使用"系数全为零"：由 （ 不共线）立得 ；由 判断三点共线时，盯住 。 【注意事项】①判定三点共线时两向量必须有公共起点， 与 共线可以说明 共线，而 与 共线一般不能；②共线包含同向与反向两种情形，求参数时不要漏解或擅自舍解；③用"系数和为 "时起点必须统一写在同一边，否则结论不成立。 【例3-1】（2025·江苏·南京师范大学附属中学·高三学情调研）已知 ，，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】C 【解题思路】把三个向量首尾相接合成 ，再检验它与 是否共线，其余选项逐一用同类方法排除。 【解答过程】， 所以 。又两向量有公共点 ，故 三点共线。 检验其它选项：，若与 共线，设 ，则 且 ，矛盾，A 错误； 若 与 共线，设 ，则 且 ，矛盾，B 错误； 同理 与 不共线，D 错误。 故选 C。 【例3-2】（2026·湖北·华中师范大学第一附属中学·高三联考）设 是两个不共线的向量，已知 ，，，若 三点共线，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先用基底表示 ，再由 三点共线得 ，比较系数解 。 【解答过程】。 因为 三点共线，所以存在实数 使 ，即 。 由 不共线，得 ，解得 ，。 故选 D。 【例3-3】（2024·江西·临川第一中学·高三联考）已知 为直线 外一点，点 满足 ，则""是" 三点共线"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用三点共线的"系数和为 "判据，分别验证充分性与必要性。 【解答过程】充分性：若 ，则 ，即 ，也就是 ， 所以 ，又两向量有公共点 ，故 三点共线。 必要性：若 三点共线且 在直线 外，则存在实数 使 ，即 ，整理得 ， 由平面向量基本定理知 ，，故 。 所以""是" 三点共线"的充要条件。故选 C。 【变式3-1】已知 ，，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】C 【解题思路】先合成 ，再检验它与 的共线关系。 【解答过程】， ， 所以 ，又两向量有公共点 ，故 三点共线。 检验： 与 不共线， 与 不共线，A、B、D 均错误。 故选 C。 【变式3-2】设 是不共线的向量，，，若 三点共线，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先合成 ，再由 与 共线比较系数。 【解答过程】。 因为 三点共线，所以存在实数 使 ，即 。 由 不共线得 ，解得 ，。 故选 A。 【变式3-3】已知 三点共线， 为直线 外一点，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接用"系数和为 "的三点共线判据列方程。 【解答过程】因为 三点共线，且 在直线外，由三点共线的充要条件得 ， 所以 。故选 B。 【变式3-4】在 中， 为边 上一点，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由 在直线 上，利用"系数和为 "直接列方程。 【解答过程】因为 在边 上，所以 与直线 上的点满足"系数和为 "， 即 ，解得 。 故选 B。 【变式3-5】（2026·四川·成都七中·高三模拟）设 是不共线的向量，若 与 共线，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，利用 不共线比较系数。 【解答过程】因为两向量共线，所以存在实数 使 。 由 不共线得 ，解得 ，。 故选 A。 【变式3-6】在 中， 分别在边 上，且 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行或重合 【答案】A 【解题思路】把 用 表示，看它能否化成 的倍数。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 所以 ， 故 。故选 A。 重难点培优04　向量的线性运算与几何图形（三角形、四边形）　★★★ 【解题技巧】图形中的线性运算遵循""先定起点，再找回路"：把目标向量放进一个封闭回路，沿已知边的方向把它拆开。遇到中点、三等分点等条件，先把比例关系写成向量等式，再整体代入基底。求形如 的问题时，先由基本定理写出唯一表示，再直接求和，不必分别求出 。 【注意事项】①向量起点不同，表达式就不同，写回路时必须"首尾相接"；② 与 相差一个负号，这是图形题最集中的失分点；③由图形条件列线性表示时，基底与起点必须配套，如已用 作基底，就不能把另一项写成 。 【例4-1】（2024·天津卷·T14）在边长为 的正方形 中， 为线段 的三等分点，且 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由 定出 与 的比例，再把 沿""的回路拆开，最后用 化为题设基底。 【解答过程】因为 且 ，所以 。 于是 。 又正方形中 与 平行且长度相等、方向相同，故 ， 所以 ，即 ，，从而 。 故选 B。 【例4-2】（2025·河南·郑州外国语学校·高三月考）在梯形 中，，， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以 为基底，先用""的回路求出 ，再用中点条件表示 。 【解答过程】在梯形 中，由 且 得 ， 所以 。 因为 为 的中点，所以 ， 于是 。 所以 ，，。故选 D。 【例4-3】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三联考）在 中，，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先把 用基底表示，再沿""的回路表示 。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 所以 ， 即 ，，故 。故选 B。 【变式4-1】在平行四边形 中， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】沿""的回路表示 ，注意 。 【解答过程】， 所以 ，，。故选 B。 【变式4-2】在 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先写出中线向量 ，再由中点条件表示 ，最后沿""表示 。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 。 又 为 的中点，所以 ， 故 ， 所以 。故选 A。 【变式4-3】（2026·云南·昆明市第一中学·高三模拟）在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由 得 ，再沿""的回路表示。 【解答过程】因为 ，所以 。 所以 。 故选 B。 【变式4-4】在正六边形 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正六边形的性质： 与 （ 为中心）相等，且 可由平行四边形法则得到。 【解答过程】设正六边形的中心为 ，则四边形 为菱形，故 。 又正六边形中 与半径所在向量 平行且长度相等、方向相同，所以 ， 故 。 故选 D。 【变式4-5】在平行四边形 中， 在边 上且 ， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】沿""或""的回路表示 ，注意 。 【解答过程】， 所以 ，，。故选 D。 【变式4-6】在 中， 为 的重心，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】重心在中线 上且 ，把 用基底表示后求和。 【解答过程】设 为 的中点，则 。 因为 为重心，所以 ， 所以 。故选 B。 重难点培优05　向量的模与数量关系　★★★ 【解题技巧】处理向量模的问题，记住""范围靠不等式，定值靠共线"： 负责给出取值范围，同向时取右端、反向时取左端。题中出现含系数的模 时，先把公共系数提到模外化成 ，再讨论共线情形。 【注意事项】① 不是恒等式，它成立需要 同向；②共线时要分"同向""反向"两种情形分别求值，不能只写一个答案；③求模时常用 转化，展开 时不要漏掉混合项 。 【例5-1】（2024·新课标Ⅱ卷·T3）已知向量 满足 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由垂直关系得到 与 的关系，再把 两边平方，转化为关于 的方程。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 。 把 两边平方得 。 代入 与 ，得 ，即 ， 所以 。故选 B。 【例5-2】（2026·河北·邢台市第一中学·高三三模）已知向量 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接用三角不等式定出上下界，再验证两个端点能否取到。 【解答过程】由三角不等式得 ，即 。 当 与 同向时 ；当 与 反向时 ，两端都能取到， 所以 的取值范围是 。故选 A。 【例5-3】（2026·陕西·西安市铁一中学·高三模拟预测）已知 是单位向量，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逆向使用三角不等式：右端等号成立说明两向量同向，再由单位向量的模计算差向量的模。 【解答过程】由 知等号成立，故 与 同向。 又 ，所以 ，从而 。 故选 B。 【变式5-1】已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解题思路】共线要分同向、反向两种情形，分别求模。 【解答过程】当 与 同向时，； 当 与 反向时，。 所以 的值为 或 。故选 D。 【变式5-2】已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用三角不等式求下界，并说明等号可取。 【解答过程】由 ， 当 与 同向时等号成立，所以 的最小值为 。故选 D。 【变式5-3】（2026·贵州·贵阳一中·高三质检）已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把 看作一个向量，对 使用三角不等式，最大值在同向时取得。 【解答过程】由三角不等式得 。 当 与 同向（即 与 同向）时取到最大值 。故选 D。 【变式5-4】若 是两个非零向量，则下列关系式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用三角不等式与反例逐项检验。 【解答过程】A 选项：取 与 反向，如 ，，则 ，错误； B 选项：只有当 同向时才成立，错误； C 选项：由三角不等式知对任意两个向量都成立，正确； D 选项：左端可能为负数，如 ， 时左端为 ，右端为 ，错误。 故选 C。 【变式5-5】已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解题思路】共线分同向、反向讨论，注意 与 的方向关系随情形改变。 【解答过程】当 与 同向时， 与 反向，此时 ； 当 与 反向时， 与 同向，此时 。 所以 的值为 或 。故选 D。 【变式5-6】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用三角不等式确定范围，再验证端点能否取到。 【解答过程】由 得 。 当 同向时取到 ，反向时取到 ，故取值范围为 。故选 D。 重难点培优06　向量与三角形的"四心"　★★★ 【解题技巧】四心问题要背熟""向量语言翻译表"：① 为重心 ；② 为垂心 ；③ 为外心 ；④ 为内心 与 同向。见"和为零"想重心，见"模相等"想外心。 【注意事项】①四个"心"的判据互不通用，不要用一个心去套另一个心；②四心问题本质上仍是线性运算，先把条件翻译成关于基底的向量等式，再比较系数；③注意重心与中点的关系，重心把每条中线分成 ，且重心到顶点的距离是到中点距离的 倍。 【例6-1】（2025·广东·华南师范大学附属中学·高三统测）已知 是 所在平面内一点，若 ，则 是 的（　　） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【解题思路】取 的中点 ，把条件化为 ，判断 在中线上的位置。 【解答过程】设 为 的中点，则 。 由 得 ，即 ， 这说明 在中线 上，且 到 的距离是它到 中点距离的 倍，所以 为 的重心。 故选 A。 【例6-2】（2026·山西·忻州市第一中学·高三模拟预测）已知 为 的重心， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用重心"中线 "的性质直接写出 与 的关系。 【解答过程】因为 为重心，所以 在中线 上，且 ， 所以 ，即 。故选 B。 【例6-3】（2026·辽宁·大连市第八中学·高三模拟）已知 是 的重心，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接用重心的向量式 反解 。 【解答过程】因为 是 的重心，所以 ， 于是 。故选 D。 【变式6-1】已知点 为 所在平面内一点，且满足 ，则 是 的（　　） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】D 【解题思路】把三个数量积两两相等的关系化为垂直关系，从而判断 在高的位置。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 。 同理可得 ，，即 是三条高所在直线的交点， 所以 是 的垂心。故选 D。 【变式6-2】已知 为 的内心，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．点 到 三边的距离相等 D． 【答案】C 【解题思路】依据内心（三条角平分线交点，即内切圆圆心）的定义逐项判断。 【解答过程】内心是三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心，故到三边距离相等，C 正确； A 是外心的特征，B 是重心的特征，D 是直角三角形中特殊情形的巧合，均错误。 故选 C。 【变式6-3】已知 的重心为 ， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接使用重心分中线为 的性质。 【解答过程】重心 在中线 上，且 ，所以 。故选 D。 【变式6-4】（2026·甘肃·兰州第一中学·高三模拟）已知 是 所在平面内一点，且 ，，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【解题思路】由"和为零"确定 为重心，由"模相等"确定 为外心，重心与外心重合的三角形为等边三角形。 【解答过程】由 知 为 的重心；由 知 为 的外心。 重心与外心重合的三角形是等边三角形，所以 是等边三角形。故选 A。 【变式6-5】在 中， 为 的中点， 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用中点性质把 化为 ，再判断 与 的位置关系。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 。 由 得 ，即 ， 所以 为 的中点，从而 。故选 A。 【变式6-6】已知 为 所在平面内一点，且 ，则点 一定在（　　） A．边 上 B．边 上 C． 的内部 D．边 上 【答案】D 【解题思路】把 化为以 为起点的差向量，整理条件得到 与 共线，再判断 的位置。 【解答过程】因为 ，所以条件化为 ， 即 ，也就是 。 这说明 与 共线且方向相反，故 三点共线，且 在线段 上（）， 所以点 一定在边 上。故选 D。 重难点培优07　向量线性运算中的参数求值　★★★★ 【解题技巧】参数求值问题用""三步归零"：① 把条件全部换成同一组基底表示；② 整理成 的形式；③ 由基底不共线得 ，列方程组求参。若条件中含"三点共线""系数和"等结构，优先用 或共线定理搭桥，可省去大量运算；多个参数则分组列方程、逐个击破。 【注意事项】①"系数全为零"的前提是基底不共线，若两向量可能共线，必须单独讨论；②解出参数后要代回原条件检验，尤其当参数对应"反向"情形时；③比较系数时对应项不能漏，如 中， 的系数与 的系数要分别对应，不可交叉。 【例7-1】（2025·湖南·长沙市第一中学·高三联考）已知 不共线，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】由三点共线得 ，再由 不共线比较系数，得到关于 的方程。 【解答过程】因为 三点共线，所以存在实数 使 ，即 。 由 不共线得 ，消去 得 ，所以 或 。 （当 时 ，当 时 ，均满足三点共线。） 故选 C。 【例7-2】（2026·山东·济南市历城第二中学·高三调研）已知 不共线，若 与 共线，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设两向量相等的一个倍数关系，再由 不共线比较系数，解方程组。 【解答过程】因为两向量共线，所以存在实数 使 ，即 。 由 不共线得 ，代入 得 ，解得 。 故选 D。 【例7-3】（2024·重庆·巴蜀中学·高三第三次月考）在 中，，， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以 为基底，先由中点条件写出 ，再表示 ，与已知条件比较系数求 。 【解答过程】因为 为 的中点，所以 。 于是 。 又 ， 比较系数得 ，，解得 ，， 所以 。故选 C。 【变式7-1】已知 不共线，若 与 共线，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设共线关系式，比较两个基底的系数解 。 【解答过程】设 ，即 。 由 不共线得 ，解得 ，。 故选 B。 【变式7-2】已知 不共线，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先合成 ，再由共线关系比较系数。 【解答过程】。 因为 三点共线，所以存在实数 使 。 由 不共线得 ，所以 ，解得 。 故选 D。 【变式7-3】在 中，，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 得 ，把两向量都用基底表示后比较系数。 【解答过程】，。 由 得 ， 比较系数得 且 ，所以 ，。故选 A。 【变式7-4】（2026·湖北·武汉市第六中学·高三模拟）已知 不共线，，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由三点共线得 且 ，列出方程组求 。 【解答过程】因为 三点共线且 在直线外，所以存在实数 使 且 ， 即 。 由 不共线得 ，又 ， 由 解得 ，，所以 。 故选 D。 【变式7-5】已知 不共线，若 与 共线，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】设共线关系式，比较系数后消去比例系数，得到关于 的方程。 【解答过程】设 ， 由 不共线得 ，代入得 ，所以 或 。 （当 时两向量同向，当 时两向量反向，均共线。） 故选 C。 【变式7-6】在平行四边形 中， 是 上一点，若 ，则 （　　） A． B．与 的位置有关 C． D． 【答案】D 【解题思路】把 在直线 上写成 ，回代后由基本定理读出 与 的关系。 【解答过程】设 ，则 ， 所以 ，，。故选 D。 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【解题技巧】新定义向量题用""读、译、算"三字诀：① 逐字读清定义中的运算规则与关键词（"且""或""至少满足一个"）；② 把新符号翻译成加法、减法、数乘、共线等熟悉的运算；③ 严格按定义顺序代入计算，最后用共线定理或基本定理化简。交汇问题则先剥离向量的"外壳"，回归"用基底表示＋比较系数"的通法。 【注意事项】①新定义题最忌凭记忆套用旧公式：定义中的个别字词（"共线""不共线""任意"）往往就是解题的关键；②看清定义的适用范围，"对任意 "与"对任意 "的结论完全不同；③交汇题中不要对新符号做"想当然"的化简，每一步都要有定义依据。 【例8-1】（2026·河南·开封市高级中学·高三二模）定义：对不共线的向量 ，若 ，，则称 为 的"共线判别式"。已知 ，，若 的"共线判别式"为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按定义写出判别式，令其为零解方程；也可由判别式为 直接得到两向量共线，再用共线定理求解。 【解答过程】由定义， 的共线判别式为 。 令 ，解得 。 （也可由判别式为 知 ，设 ，比较系数得 ，，同样得 。） 故选 B。 【例8-2】（2026·四川·成都市第七中学·高三模拟）已知 是 所在平面内一点，且 （），则点 的轨迹是（　　） A．线段 B．直线 C．射线 D．圆 【答案】B 【解题思路】把 整理成"一个定点向量 参数 一个固定方向向量"的形式，由参数取遍全体实数判断轨迹。 【解答过程】设 为 的中点，则 ，于是 。 因为 取遍全体实数，所以 的轨迹是过点 且方向为 的直线，即直线 。 故选 B。 【例8-3】（2025·北京·中国人民大学附属中学·高三统练）已知 不共线，则下列各组向量能作为该平面内一组基底的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【解题思路】判断每组中两个向量是否共线（含零向量的情形），不共线者才能作为基底。 【解答过程】A 选项：，两向量共线，不能作基底； B 选项： 与 共线，不能作基底； C 选项：若 ，则 且 ，矛盾，故两向量不共线（ 不共线时），能作基底； D 选项： 与任一向量共线，不能作基底。 故选 C。 【变式8-1】已知 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由共线关系比较基底系数。 【解答过程】设 ，由 不共线得 ， 解得 ，。故选 B。 【变式8-2】（2026·广西·桂林中学·高三模拟）定义运算 。已知 不共线，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】严格按新定义代入，再用数乘与加减法合并同类项。 【解答过程】。 故选 A。 【变式8-3】已知 是 所在平面内一点，且 （），则点 的轨迹是（　　） A．直线 B．线段 C．直线 D．直线 【答案】A 【解题思路】把 化为"从点 出发、方向为 "的形式，由 的范围判断轨迹。 【解答过程】。 因为 取遍全体实数，所以 的轨迹是过点 且方向为 的直线，即直线 。 故选 A。 【变式8-4】定义：若向量 （ 不共线），则称 为 关于基 的坐标。已知 ，则 关于基 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先数乘得到 的表示，再按定义读出坐标。 【解答过程】， 由定义知 关于基 的坐标为 。故选 A。 【变式8-5】已知 为 的重心，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用重心的向量式 反解 ，再读出 。 【解答过程】因为 为重心，所以 ， 即 ，所以 ，。故选 A。 【变式8-6】已知 不共线，，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求 ，再由 与 共线比较系数。 【解答过程】。 因为 三点共线，所以 ，即 ， 由 不共线得 ，所以 ，。 故选 D。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列命题中正确的是（　　） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．相等向量的模一定相等 D．共线向量一定在同一条直线上 【答案】C 【解题思路】按零向量、单位向量、相等向量、共线向量的定义逐项检验。 【解答过程】A 选项：零向量方向任意，并非"没有方向"，错误； B 选项：单位向量模都为 ，但方向可以不同，错误； C 选项：相等向量大小相等、方向相同，故模一定相等，正确； D 选项：共线向量只需方向相同或相反，可以不在同一条直线上，错误。 故选 C。 2．【巩固】在平行四边形 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用基底表示 与 ，再作加法合并。 【解答过程】由平行四边形法则 ，而 ， 所以 。故选 B。 3．【巩固】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 首尾相接合成，再合并同类项。 【解答过程】。 故选 A。 4．【巩固】已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用三角不等式求上界，并指出等号成立的条件。 【解答过程】由三角不等式得 ， 当 与 同向时等号成立，故最大值为 。故选 C。 5．【进阶】已知 ，，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】B 【解题思路】合成 （或 ）后与已知向量比较，检验是否存在共线关系。 【解答过程】， ， 所以 ，又两向量有公共点 ，故 三点共线。 检验： 与 不共线，A 错误； 与 不共线，C 错误； 显然不共线（否则与 A、B、D 共线矛盾），D 错误。 故选 B。 6．【进阶】在 中， 为边 上一点，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 得 ，再沿""的回路表示。 【解答过程】因为 ，所以 ， 故 。 故选 A。 7．【进阶】已知 不共线，，，若 三点共线，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】合成 后，由共线关系比较基底系数。 【解答过程】。 因为 三点共线，所以存在实数 使 ，即 ， 由 不共线得 ，所以 。故选 B。 8．【进阶】（2026·江苏·南京外国语学校·高三质检）已知 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的（　　） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】B 【解题思路】由"到三个顶点距离相等"直接对应外心的定义。 【解答过程】因为 ，即 到 三点的距离相等， 所以 是 外接圆的圆心，即外心。故选 B。 二、多选题 9．【进阶】已知 是两个非零向量，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则存在唯一实数 使 B．若 ，则 C． 恒成立 D．若 与 方向相同，则 【答案】ABD 【解题思路】逐项用共线定理、相等向量的含义、三角不等式的取等条件与平行向量的定义检验。 【解答过程】A 选项： 且 ，由共线定理知存在唯一实数 使 ，正确； B 选项： 说明两向量完全相同，故模相等，正确； C 选项： 才是恒成立的，等号需 同向，错误； D 选项：方向相同是平行（共线）的一种情形，正确。 故选 ABD。 10．【进阶】已知 中， 为 的中点， 为 的重心，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】用中线向量公式与重心的向量式逐项检验。 【解答过程】A 选项： 为 的中点，故 ，正确； B 选项：重心在中线上且 ，故 ，正确； C 选项：由重心的向量式直接得 ，正确； D 选项： 为 的中点，故 ，而不是 ，错误。 故选 ABC。 11．【培优】定义运算 ，已知 不共线，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 与 不共线 D． 【答案】ACD 【解题思路】严格按新定义逐个代入计算，再用共线判别式判断两向量是否共线。 【解答过程】A 选项：，正确； B 选项：，与选项不符，错误； C 选项：若 与 共线，设 得 且 ，矛盾，故两向量不共线，正确； D 选项：，正确。 故选 ACD。 12．【培优】已知 是不共线的向量，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B．若 三点共线，则 C．若 三点共线，则 为定值 D．当 ， 时， 三点共线 【答案】ABD 【解题思路】先用基底表示 ，再由 三点共线（ 与 共线）建立 的关系，最后逐项判断。 【解答过程】A 选项：，正确； ，由 三点共线得 与 共线， 即 ，化简得 ，即 ，B 正确； C 选项： 随 变化，不是定值，错误； D 选项：当 ， 时 成立，故三点共线，正确。 故选 ABD。 三、填空题 13．【巩固】（2025·全国二卷·T12）已知平面向量 ，，若 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求出 的坐标，由垂直关系得数量积为零，解出 后再求 。 【解答过程】， 由 得 ，解得 。 此时 ，所以 。 14．【进阶】（2026·浙江·温州中学·高三模拟）已知 ，，且 ，则 ______． 【答案】 或 【解题思路】共线要分同向、反向两种情形，分别用三角不等式的两个端点求值。 【解答过程】当 与 同向时，； 当 与 反向时，。 所以 的值为 或 。 15．【进阶】（2026·江西·南昌市第二中学·高三质检）在 中，，， 为 的中点， 在 上且 ，则 ______（用 表示）． 【答案】 【解题思路】先确定 与 的表示式，再沿""的回路表示 。 【解答过程】由 为 的中点得 ； 由 得 。 所以 。 16．【培优】（2026·辽宁·沈阳市第二中学·高三模拟）已知 为 的重心，，且 ，则 的面积为 ______． 【答案】 【解题思路】由"重心与外心重合"判定三角形为等边三角形，再由边长求面积。 【解答过程】由 是重心得 ，由 得 是外心。 重心与外心重合的三角形是等边三角形，故 为等边三角形。 又 ，所以 的面积 。 四、解答题 17．【进阶】在 中，，， 为 的中点， 在 上，且 ． (1) 用 表示 ； (2) 若 ，求 的值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用中线向量公式；(2) 先由 确定 ，再沿""表示 ，比较系数求和。 【解答过程】(1) 因为 为 的中点，所以 。 (2) 由 得 ， 所以 ， 即 ，，故 。 18．【进阶】已知 是两个不共线的向量，，，． (1) 求 ； (2) 若 三点共线，求 与 满足的关系式，并求当 时 的值． 【答案】(1) ；(2) ，当 时 ． 【解题思路】(1) 用首尾相接的加法合成；(2) 由 三点共线得 与 共线，比较基底系数得关系式。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 三点共线，所以 与 共线，设 ，即 。 由 不共线得 ，消去 得 。 当 时，。 19．【培优】在 中， 为 的中点， 为 上一点，且 ，直线 与 交于点 ．设 ，． (1) 用 表示 ； (2) 若 ，求 的值． 【答案】(1) ；(2) ，． 【解题思路】(1) 由 求 ，再沿""表示；(2) 把 分别在直线 与直线 上用参数表示，由同一向量表示的唯一性比较系数解方程组。 【解答过程】(1) 由 得 ， 所以 。 (2) 因为 在直线 上，所以存在实数 使 。 又 在直线 上，且 为 的中点、 在 上，所以存在实数 使 。 由 不共线得 ， 由第二式得 ，代入第一式得 ，解得 ，从而 。 所以 ，即 ，。 20．【培优】已知 是不共线的向量，，，，且 三点共线． (1) 求 与 满足的关系式； (2) 若 ，求 的值，并判断此时点 是否在线段 上． 【答案】(1) ；(2) ，点 不在线段 上． 【解题思路】(1) 由 三点共线得 与 共线，比较基底系数得关系式；(2) 代入 求 ，再由 与 的倍数关系判断 的位置。 【解答过程】(1) ， 。 因为 三点共线，所以 与 共线，即 ， 化简得 ，即 。 (2) 当 时，，解得 。 此时 ， 由于 且系数 ，所以点 在射线 上且在点 的外侧， 即点 不在线段 上。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 平面向量的概念及线性运算（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　向量的概念与表示（含零向量、单位向量、平行向量） 4 知识点2　向量的线性运算（加、减、数乘） 5 知识点3　共线向量定理与三点共线 6 知识点4　向量的线性运算的几何应用（用基底表示向量） 7 知识点5　向量的模与线性运算的简单应用 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　向量的基本概念辨析　★★ 9 重难点培优02　平面向量基本定理与用基底表示向量　★★ 10 重难点培优03　共线向量定理及其应用（三点共线）　★★★ 12 重难点培优04　向量的线性运算与几何图形（三角形、四边形）　★★★ 14 重难点培优05　向量的模与数量关系　★★★ 15 重难点培优06　向量与三角形的"四心"　★★★ 16 重难点培优07　向量线性运算中的参数求值　★★★★ 18 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 19 五、过关检测 21 一、单选题 21 二、多选题 22 三、填空题 23 四、解答题 23 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 平面向量的基本概念 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念与几何表示，理解零向量、单位向量、相等向量与平行（共线）向量的含义 平面向量的线性运算 掌握向量加、减、数乘运算及其几何意义，会作两个向量的和与差，理解数乘向量的几何意义 共线向量定理 理解两个向量共线的含义，掌握共线向量定理及其推论，会判断三点共线 平面向量基本定理 理解平面向量基本定理及其意义，会用给定的两个不共线向量作为基底表示平面内任一向量 线性运算的几何应用 能用向量方法解决简单的平面几何问题，掌握用基底表示向量、由线性表示求参数的通性通法 近三年高考真题对平面向量（概念与线性运算）板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T2 平面向量基本定理，由不共线向量的线性表示求参数 ★★ 2026 北京卷 向量模的最大值，模的不等式 ★★ 2026 上海卷 两两不平行向量的共面判断与基本定理 ★★★★ 2026 天津卷 向量的线性运算与数量积的综合（双空填空） ★★★★ 2025 全国一卷 T6 真实情境中的向量加法（视风风速） ★★★ 2025 全国二卷 T12 向量垂直的坐标表示，求向量的模 ★★ 2025 天津卷 T14 用基底表示向量；模与数量积的综合 ★★★ 2025 北京卷 向量的线性运算与取值范围 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T3 由垂直条件求向量的模 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T9 向量平行与垂直的充要条件辨析 ★★ 2024 天津卷 T14 用基底表示向量、系数和与数量积最值 ★★★★ 2024 上海卷 向量平行的坐标表示求参数 ★★ 考情分析 平面向量的概念与线性运算年年必考，近三年稳定出现在选择题、填空题的前中部，分值 5 分左右，难度以中低档为主，但"图形＋参数＋最值"的考查力度明显增强。2026 年全国一卷以两向量不共线为背景，用基本定理列方程组求参数，北京卷借助模的不等式考查向量模的最大值，上海卷以"两两不平行"为切入口考查基本定理与共面思想；2025 年全国一卷以帆船航行中"视风风速"的真实情境考查向量加法，天津卷、北京卷以基底表示与取值范围为载体，突出几何直观；2024 年新课标Ⅱ卷由垂直条件求模，全国甲卷辨析平行与垂直的充要条件，天津卷考查基底表示与系数和。依据《普通高中数学课程标准》，本板块核心素养指向"直观想象、数学运算与逻辑推理"。预测 2027 年高考仍以"线性运算＋基本定理"为主线，以图形中的参数求值、系数和（等和线）、模的取值范围、向量与三角形"四心"及新定义交汇为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析零向量、单位向量、相等向量、相反向量与平行（共线）向量，会用有向线段规范表示向量； 2．熟练掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则、减法的三角形法则，理解数乘向量的几何意义； 3．掌握共线向量定理与平面向量基本定理，会用基底表示向量，快速判定三点共线； 4．突破"图形中的参数求值、系数和的最值、向量与三角形四心、新定义与交汇"等培优题型。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　平面向量的概念及线性运算知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　向量的概念与表示（含零向量、单位向量、平行向量） 既有大小又有方向的量叫做向量，向量常用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量 的大小叫做向量的长度（或称模），记作 。 ①零向量：长度为 的向量，记作 ，零向量的方向是任意的，规定它与任一向量平行； ②单位向量：长度等于 个单位长度的向量，与 （）同向的单位向量为 ； ③相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 ，相等向量与它们的起点位置无关； ④相反向量：长度相等且方向相反的向量， 的相反向量记作 ； ⑤平行（共线）向量：方向相同或相反的向量，记作 。 说明：向量是"自由向量"，可以自由平移。两个向量相等，只需"大小相等、方向相同"，与起点落在哪里无关；因此有向线段只是向量的几何表示，而不是向量本身。 【方法技巧】 1．概念辨析"三抓一画"：抓长度（模）、抓方向、抓是否含零向量，必要时画有向线段验证； 2．单位向量不唯一：与非零向量 同向的单位向量唯一，为 ，与该向量共线的单位向量有两个，即 ； 3．平行与共线是同一个概念，它只要求方向相同或相反，并不要求两个向量"落在同一条直线上"。 【易错清单】 1．零向量的方向任意，故 恒成立，但 与 不一定相等； 2．向量不能比较大小，""只是模的大小关系，不能写成 ； 3．注意 与 模相等、方向相反，即 ，不可把二者当作同一个向量。 知识点2　向量的线性运算（加、减、数乘） 向量的加法与减法： ①三角形法则：，首尾相接，首连尾； ②平行四边形法则：以同一起点为邻边作平行四边形，共起点的对角线所对应的向量就是和向量； ③向量减法：，口诀是共起点、指被减。 数乘向量：实数 与向量 的乘积 仍是一个向量，其模为 ，方向由 的符号决定： 时 与 同向， 时反向， 时 。 运算律 表达式 加法交换律 加法结合律 数乘结合律 分配律 ， 【方法技巧】 1．化简向量式"三步走"：去括号 → 合并同类向量 → 把首尾相接的向量合并成一条有向线段； 2．"首尾相接"用加法，"共起点"用减法，遇到 直接写成 ； 3．数乘常用来"配凑"比例关系，如 即表示 三点共线。 【易错清单】 1．向量加法不能用"模相加"：一般地 ，除非 同向； 2．减法最容易出错：，方向由减数指向被减数，不要写成 ； 3．由 只能推出 或 ，两种情形都要考虑，不能只取其一。 知识点3　共线向量定理与三点共线 共线向量定理：向量 与 共线的充要条件是存在唯一实数 ，使得 。 三点共线的两个等价刻画（ 为平面内任意一点）： ① 三点共线 ，前提是 与 有公共点 ； ② 三点共线 ，且 ；反之，若 ，则 三点共线。 重要推论：若 不共线，且 ，则 ，即"系数全为零"。它是平面向量基本定理的核心推论，也是"化向量等式为方程组"的理论依据。 【方法技巧】 1．证三点共线只需"两条腿"：找公共点 → 证 ，两向量必须从同一点出发； 2．"系数和为 "是三点共线的快捷判据，选择、填空题中往往可以一步秒杀； 3．含参共线问题优先"化等式、比系数"：把条件整理成 的形式，再由不共线得 。 【易错清单】 1．用共线定理前必须确认 ，否则 可能不存在或不唯一； 2．"共线"包含"同向"与"反向"两种情形，讨论时不要只考虑同向； 3．由 判断三点共线时，必须检验 ，只看形式会误判。 知识点4　向量的线性运算的几何应用（用基底表示向量） 平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任一向量 ，存在唯一的一对实数 ，使 ；其中 叫做这一平面内所有向量的一组基底。 用基底表示向量的三条常用路径： ①三角形路径：把目标向量放进三角形或多边形中，沿"首尾相接"的方向拆成若干已知向量的和； ②回路路径：把目标向量表示成若干向量的和，再用减法把起点"归零"，如 ； ③比例路径：当目标向量的端点在图形的分点（中点、三等分点等）上时，先用比例关系表示分向量，再回代到基底中。 【方法技巧】 1．选基底的原则：取两个不共线且"好用"的向量，通常取同一顶点出发的两条边所在向量； 2．出现" 是 的中点"时，；出现三等分点时，直接把分向量按比例写开； 3．遇到 （ 不共线），立刻写出 、，这是最稳的代数化手段。 【易错清单】 1．基底必须不共线，用两个共线向量作基底，表示方法不唯一，结论必然出错； 2．用基底表示时方向弄反（如把 写成 ）会使整条式子差一个负号； 3．"用 表示"要求结果中只含 ，不能再保留其它字母向量。 知识点5　向量的模与线性运算的简单应用 向量的模具有如下性质： ①，特别地 ； ②（三角不等式），当且仅当 同向时取右等号，反向时取左等号； ③ 的充要条件是 同向（或其中至少有一个为零向量）。 常见结论：当 共线时， 与 只能取 与 两个值，具体取哪一个由"同向还是反向"决定。 【方法技巧】 1．求模的取值范围先"戴不等式"：用三角不等式定界，再用同向（或反向）确定能否取到端点； 2．含参模的最值问题先化到 的形式，把 的符号对应的两个极端值逐一检验； 3．若条件给出 ，可直接判定 与 同向，这是"逆向使用不等式"的常见考法。 【易错清单】 1．注意 与 不同，前者非负，后者可能为负，先判断符号再化简； 2．共线带来的两个取值必须逐一讨论，漏掉"反向"是最高频失分点； 3．由 只能推出长度相等，不能推出 或 。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　向量的基本概念辨析　★★ 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·T9）设向量 ，，则（　　） A．""是""的必要条件 B．""是""的必要条件 C．""是""的充分条件 D．""是""的充分条件 【例1-2】（2026·湖南·长沙市长郡中学·高三第六次月考）下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．所有单位向量都相等 C．若 ，则 或 D．若 ，则 且 【例1-3】（2025·山东·青岛市第二中学·高三期中改编）已知 是不共线的四点，则""是"四边形 为平行四边形"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】下列命题中正确的是（　　） A．长度相等的两个向量相等 B．若 ，则 与 的方向相同 C．零向量与任一向量平行 D．零向量没有大小，所以它不是向量 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 与 共线，则 D．有共同起点的两个单位向量相等 【变式1-3】在四边形 中，若 ，则四边形 一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．梯形 【变式1-4】关于零向量 ，下列说法正确的是（　　） A． 没有方向 B． C． 与 不是平行向量 D． 不存在 【变式1-5】（2026·福建·厦门双十中学·高三质检）下列命题中正确的是（　　） A．若 且 ，则 B．若 ，则 是与 同向的单位向量 C．若 与 都是单位向量，则 D．向量 与 一定不相等 【变式1-6】已知 是不共线的三点，则下列结论正确的是（　　） A． 与 是相等向量 B． 与 是共线向量 C． 与 是共线向量 D． 与 是平行向量 重难点培优02　平面向量基本定理与用基底表示向量　★★ 【例2-1】（2026·全国一卷·T2）已知平面向量 不共线，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·天津卷·T14）在 中， 为 边的中点，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【例2-3】（2026·浙江·杭州学军中学·高三适应性测试）在平行四边形 中， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-1】在 中， 是 的中点，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-2】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·广西·南宁三中·高三模拟）在平行四边形 中， 是 的中点，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-4】已知 ，， 为线段 上一点，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-5】在 中， 为 的重心，，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优03　共线向量定理及其应用（三点共线）　★★★ 【例3-1】（2025·江苏·南京师范大学附属中学·高三学情调研）已知 ，，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【例3-2】（2026·湖北·华中师范大学第一附属中学·高三联考）设 是两个不共线的向量，已知 ，，，若 三点共线，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【例3-3】（2024·江西·临川第一中学·高三联考）已知 为直线 外一点，点 满足 ，则""是" 三点共线"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知 ，，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【变式3-2】设 是不共线的向量，，，若 三点共线，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知 三点共线， 为直线 外一点，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【变式3-4】在 中， 为边 上一点，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【变式3-5】（2026·四川·成都七中·高三模拟）设 是不共线的向量，若 与 共线，则实数 （　　） A． B． C． D． 【变式3-6】在 中， 分别在边 上，且 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行或重合 重难点培优04　向量的线性运算与几何图形（三角形、四边形）　★★★ 【例4-1】（2024·天津卷·T14）在边长为 的正方形 中， 为线段 的三等分点，且 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·河南·郑州外国语学校·高三月考）在梯形 中，，， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三联考）在 中，，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-1】在平行四边形 中， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-2】在 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·云南·昆明市第一中学·高三模拟）在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-4】在正六边形 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】在平行四边形 中， 在边 上且 ， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-6】在 中， 为 的重心，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优05　向量的模与数量关系　★★★ 【例5-1】（2024·新课标Ⅱ卷·T3）已知向量 满足 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·河北·邢台市第一中学·高三三模）已知向量 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例5-3】（2026·陕西·西安市铁一中学·高三模拟预测）已知 是单位向量，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【变式5-2】已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·贵州·贵阳一中·高三质检）已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】若 是两个非零向量，则下列关系式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【变式5-6】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　向量与三角形的"四心"　★★★ 【例6-1】（2025·广东·华南师范大学附属中学·高三统测）已知 是 所在平面内一点，若 ，则 是 的（　　） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【例6-2】（2026·山西·忻州市第一中学·高三模拟预测）已知 为 的重心， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例6-3】（2026·辽宁·大连市第八中学·高三模拟）已知 是 的重心，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点 为 所在平面内一点，且满足 ，则 是 的（　　） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【变式6-2】已知 为 的内心，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．点 到 三边的距离相等 D． 【变式6-3】已知 的重心为 ， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-4】（2026·甘肃·兰州第一中学·高三模拟）已知 是 所在平面内一点，且 ，，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式6-5】在 中， 为 的中点， 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-6】已知 为 所在平面内一点，且 ，则点 一定在（　　） A．边 上 B．边 上 C． 的内部 D．边 上 重难点培优07　向量线性运算中的参数求值　★★★★ 【例7-1】（2025·湖南·长沙市第一中学·高三联考）已知 不共线，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【例7-2】（2026·山东·济南市历城第二中学·高三调研）已知 不共线，若 与 共线，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【例7-3】（2024·重庆·巴蜀中学·高三第三次月考）在 中，，， 为 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知 不共线，若 与 共线，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知 不共线，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】在 中，，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】（2026·湖北·武汉市第六中学·高三模拟）已知 不共线，，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知 不共线，若 与 共线，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【变式7-6】在平行四边形 中， 是 上一点，若 ，则 （　　） A． B．与 的位置有关 C． D． 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【例8-1】（2026·河南·开封市高级中学·高三二模）定义：对不共线的向量 ，若 ，，则称 为 的"共线判别式"。已知 ，，若 的"共线判别式"为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·四川·成都市第七中学·高三模拟）已知 是 所在平面内一点，且 （），则点 的轨迹是（　　） A．线段 B．直线 C．射线 D．圆 【例8-3】（2025·北京·中国人民大学附属中学·高三统练）已知 不共线，则下列各组向量能作为该平面内一组基底的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【变式8-1】已知 不共线，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·广西·桂林中学·高三模拟）定义运算 。已知 不共线，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-3】已知 是 所在平面内一点，且 （），则点 的轨迹是（　　） A．直线 B．线段 C．直线 D．直线 【变式8-4】定义：若向量 （ 不共线），则称 为 关于基 的坐标。已知 ，则 关于基 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】已知 为 的重心，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-6】已知 不共线，，，，若 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列命题中正确的是（　　） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．相等向量的模一定相等 D．共线向量一定在同一条直线上 2．【巩固】在平行四边形 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．【巩固】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知 ，，，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 6．【进阶】在 中， 为边 上一点，，，，则 （　　） A． B． C． D． 7．【进阶】已知 不共线，，，若 三点共线，则实数 （　　） A． B． C． D． 8．【进阶】（2026·江苏·南京外国语学校·高三质检）已知 是 所在平面内一点，且 ，则 是 的（　　） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 二、多选题 9．【进阶】已知 是两个非零向量，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则存在唯一实数 使 B．若 ，则 C． 恒成立 D．若 与 方向相同，则 10．【进阶】已知 中， 为 的中点， 为 的重心，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．【培优】定义运算 ，已知 不共线，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 与 不共线 D． 12．【培优】已知 是不共线的向量，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B．若 三点共线，则 C．若 三点共线，则 为定值 D．当 ， 时， 三点共线 三、填空题 13．【巩固】（2025·全国二卷·T12）已知平面向量 ，，若 ，则 ______． 14．【进阶】（2026·浙江·温州中学·高三模拟）已知 ，，且 ，则 ______． 15．【进阶】（2026·江西·南昌市第二中学·高三质检）在 中，，， 为 的中点， 在 上且 ，则 ______（用 表示）． 16．【培优】（2026·辽宁·沈阳市第二中学·高三模拟）已知 为 的重心，，且 ，则 的面积为 ______． 四、解答题 17．【进阶】在 中，，， 为 的中点， 在 上，且 ． (1) 用 表示 ； (2) 若 ，求 的值． 18．【进阶】已知 是两个不共线的向量，，，． (1) 求 ； (2) 若 三点共线，求 与 满足的关系式，并求当 时 的值． 19．【培优】在 中， 为 的中点， 为 上一点，且 ，直线 与 交于点 ．设 ，． (1) 用 表示 ； (2) 若 ，求 的值． 20．【培优】已知 是不共线的向量，，，，且 三点共线． (1) 求 与 满足的关系式； (2) 若 ，求 的值，并判断此时点 是否在线段 上． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $