专题5.1 平面向量的概念及线性运算讲义-2027届高三数学一轮复习

专题5.1 平面向量的概念及线性运算 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·四川广元·期末）（多选）对于平面非零向量，，，下列命题正确的是（   ） A．与是否相等和，的方向无关 B． C． D．在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量） 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 【跟踪训练】 2．（2025高三下·湖北·学业考试）如图，在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在中，点在边上且，为的中点，则（     ） A． B． C． D． 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 【跟踪训练】 4．（2026·河北沧州·一模）已知，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型一：平面向量的基本概念 题型二：平面向量的线性运算 题型三：共线定理及其应用 题型四：平面向量基本定理及其应用 题型五：平面向量线性运算求参数 题型六：平面向量的直角坐标运算 题型七：向量共线的坐标表示及其求参 题型八：利用平面向量解决三点共线问题 题型一：平面向量的基本概念 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知平面向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则存在实数，使得 B．若存在实数，使得，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 3．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 4．（25-26高三下·四川凉山·期末）（多选）下列关于平面向量的说法错误的是（    ） A．若，则或 B．若与反向，则 C．若，，则 D．若存在实数，使得，则 题型二：平面向量的线性运算 5．（25-26高三下·陕西西安·期中）已知为所在平面内的一点，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）在等腰梯形中，，，，记，，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·广东广州·期中）（多选）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·辽宁营口·开学考试）矩形中，，其内部一点满足，若的长为整数，则（    ） A． B． C． D． 题型三：共线定理及其应用 9．（25-26高三下·北京·期中）已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形中，点、分别为、的中点，连接、交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三下·四川南充·阶段检测）如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，． (1)用，表示向量； (2)设，求，的值； (3)如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值． 题型四：平面向量基本定理及其应用 13．（26-27高三上·广东广州·开学考试）在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三下·新疆伊犁·期中）若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 15．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，与交于点.若，则的值是（   ） A． B． C． D． 16．（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五：平面向量线性运算求参数 17．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26高三下·广东广州·期末）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 19．（25-26高三下·贵州遵义·期中）（多选）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 20．（25-26高三下·河南信阳·期末）如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 题型六：平面向量的直角坐标运算 21．（25-26高三下·河南开封·期末）已知，点满足，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三下·天津宝坻·期中）已知，则____________． 23．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点，且，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 24．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：向量共线的坐标表示及其求参 25．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三下·甘肃庆阳·期末）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 27．（25-26高三下·广东湛江·期末）已知向量，，，． (1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 28．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）设向量，则与平行的向量可以是（    ） A． B． C． D． 题型八：利用平面向量解决三点共线问题 29．（25-26高三下·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，分别是，的中点，，为与的交点. (1)若，求的值 (2)求证：三点共线. 30．（25-26高三下·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 31．（25-26高三下·广东广州·期末）已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（    ） A． B．3 C．2或3 D．或 32．（25-26高三下·河南信阳·期末）若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 1．（25-26高三下·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·云南丽江·期末）在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖北恩施·期末）已知向量，不共线，若与共线，则实数的值为（     ） A． B． C．1 D．2 5．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·江苏苏州·阶段检测）已知平面向量，若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）若O是正八边形的中心，且（），则（     ） A． B． C． D．3 9．（25-26高三下·广东梅州·期末）（多选）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·安徽安庆·阶段检测）（多选）已知点，，，则下列结论正确的是（   ） A．线段的中点的坐标为 B．若，则点D的坐标为 C．若，则 D．若，则向量，可以作为平面内的一组基底 11．（25-26高三下·江苏无锡·期中）（多选）设向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则 D．与共线的单位向量是 12．（26-27高三上·上海·开学考试）已知，向量两两不平行，若，则_____. 13．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）已知正方形的边长为1，则______. 14．（25-26高三下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 15．（25-26高三下·山东泰安·期末）如图，已知在中，，是线段的中点，过的直线交线段于点，交线段于点，，． (1)用向量，表示； (2)求的值． 1 6．（25-26高三下·湖北恩施·期末）已知向量， (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与共线． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 平面向量的概念及线性运算 知识点1：向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·四川广元·期末）（多选）对于平面非零向量，，，下列命题正确的是（   ） A．与是否相等和，的方向无关 B． C． D．在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量） 【答案】AC 【分析】根据模长的定义，向量垂直的性质，及投影的定义逐一判断即可． 【详解】对于A，与是向量的模长，只与向量的长度有关，和向量的方向无关，故A正确； 对于B，若，则，即，但不一定有，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，当与同向时，在上的投影向量为，故D错误． 知识点2：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 【跟踪训练】 2．（2025高三下·湖北·学业考试）如图，在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且点在线段上，所以. 所以 . 知识点3：平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在中，点在边上且，为的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 所以. 知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． （5）平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 【跟踪训练】 4．（2026·河北沧州·一模）已知，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，，则，， 若，则，解得. 题型一：平面向量的基本概念 题型二：平面向量的线性运算 题型三：共线定理及其应用 题型四：平面向量基本定理及其应用 题型五：平面向量线性运算求参数 题型六：平面向量的直角坐标运算 题型七：向量共线的坐标表示及其求参 题型八：利用平面向量解决三点共线问题 题型一：平面向量的基本概念 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知平面向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则存在实数，使得 B．若存在实数，使得，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】A选项： 且时，满足，此时不存在实数，使得，A选项错误； B选项： 存在实数，使得，若则，满足； 若，由向量数乘的定义可知，与共线，即，B选项正确； C选项： 若，两边同时平方化简得，若或，满足； 时，由，得，即与同向，满足，C选项正确； D选项： 时，若与方向相反，则不成立，D选项错误. 2．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 【答案】BC 【详解】选项A，任意两个向量不能比较大小，故A错误； 选项B，设的夹角为，则， 所以，即，故B正确； 选项C，由零向量的定义可知，零向量的长度为0，方向是任意的，故C正确； 选项D，零向量与任意向量平行，在同一平面内，对任意两个向量，必然满足且， 但这两个向量不一定平行，仅当共同平行的向量为非零向量时结论才成立，故D错误. 3．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【详解】选项A，相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B，由，，得，B正确； 选项C，是与同向的单位向量，C正确； 选项D，当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误． 4．（25-26高三下·四川凉山·期末）（多选）下列关于平面向量的说法错误的是（    ） A．若，则或 B．若与反向，则 C．若，，则 D．若存在实数，使得，则 【答案】AC 【详解】对于A：当，则，但是或可能不成立，A选项错误； 对于B：若与反向，则，B选项正确； 对于C：若满足，，但是可能不成立，C选项错误； 对于D：若存在实数，使得， 当为零向量时，则为零向量，可得； 当不为零向量时，由向量共线的判定定理可得； 综上所述：，D选项正确. 题型二：平面向量的线性运算 5．（25-26高三下·陕西西安·期中）已知为所在平面内的一点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算，直接利用基底来表示向量. 【详解】由题得， .    6．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）在等腰梯形中，，，，记，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 连接，因为 . 7．（25-26高三下·广东广州·期中）（多选）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解. 【详解】如图，设 因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以，且. 又是等腰三角形，所以， 从而可有， 则， 所以,同理有. 所以，所以选项A正确； ，所以选项B正确； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 8．（26-27高三上·辽宁营口·开学考试）矩形中，，其内部一点满足，若的长为整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由题意化简得到，得到，结合点在矩形的内部，列出不等式组，求得，代入即可求解. 【详解】设，其中为正整数， 因为，可得， 两边同除以，可得， 在矩形中，可得， 则， 因为点在矩形的内部，可得，且， 即，可得，因为为正整数，所以， 把代入可得. 题型三：共线定理及其应用 9．（25-26高三下·北京·期中）已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比较系数列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 10．（2026高三·全国·专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形推得，再由共线向量基本定理即可求解. 【详解】因为 ，且 ， 所以， 因为是中点，故 ，则得， 因为三点共线，则，解得.    11．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形中，点、分别为、的中点，连接、交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量、用基底、加以表示，设，，利用平面向量的基本定理可得出关于、的两个表达式，利用平面向量的基本定理可求出、的值，再利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，即可得出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 由题意可知，， 设， 所以， 因为、交于点，则， 设， 因为、不共线，由平面向量的基本定理可得，解得， 故， 所以， 又因为，所以，，故. 12．（25-26高三下·四川南充·阶段检测）如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，． (1)用，表示向量； (2)设，求，的值； (3)如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）直接由向量的线性运算可得； （2）根据、、三点共线及、、三点共线，并结合三点共线的结论可得； （3）由（2）的结论可得，再结合条件及、、三点共线可得. 【详解】（1）因为，所以，因此. （2）因为，即，又因为，即. 由题，所以， 因为、、三点共线，所以.① 又因为，，所以， 因为、、三点共线，所以.② 联立①②得，解得，. 因此，. （3）由（2）知，，所以，即. 因为，（，均为非零实数），所以，. 所以，因为、、三点共线，所以. 因此. 题型四：平面向量基本定理及其应用 13．（26-27高三上·广东广州·开学考试）在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：因为，所以， 则. 14．（25-26高三下·新疆伊犁·期中）若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】因为向量，为平面内不共线的向量，所以向量，是平面内的一组基底， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解. 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 则选项B不能作为一组基底. 15．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，与交于点.若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底表示，利用共线向量基本定理即可求解. 【详解】因为在上，所以与共线，设，又， 所以，. 又因为，所以，又因为，，三点共线，所以存在，使得， 而， 所以，解得， 所以， 即，所以. 16．（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设交于，交于，可求得，进而得到，然后利用向量的运算和平面向量基本定理即可求解． 【详解】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 题型五：平面向量线性运算求参数 17．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线定理和三角形的中线求出和的关系，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 18．（25-26高三下·广东广州·期末）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 19．（25-26高三下·贵州遵义·期中）（多选）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 【答案】BC 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为，且三点共线， 所以，即，故C正确； ， 等号成立时，故D错误. 20．（25-26高三下·河南信阳·期末）如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可； （2）①利用三点共线，结合（1）的结论可得；②利用基本不等式1的妙用即可求解. 【详解】（1）因为三点共线，所以可设， 又， 所以. 因为三点共线，所以， 解得. 所以. （2）设，， 则. 由（1）知，， 所以. 又三点共线，所以， ① ②， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 题型六：平面向量的直角坐标运算 21．（25-26高三下·河南开封·期末）已知，点满足，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 由，得，得，故的坐标为. 22．（25-26高三下·天津宝坻·期中）已知，则____________． 【答案】 【详解】设为坐标原点， 因为， 所以，， 所以. 23．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点，且，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设线段的中点为，则，所以线段的中点坐标为. 24．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件求向量的坐标，再根据选项，判断选项. 【详解】由条件可知，， ，故A正确 其中，故B错误；，故C正确； ，所以，故D正确. 题型七：向量共线的坐标表示及其求参 25．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出的坐标，再由列方程组可求出的值，从而可求出的值. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以，解得，所以. 26．（25-26高三下·甘肃庆阳·期末）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程进行求解； （2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组进行求解. 【详解】（1）由题得， 因为与共线，， 所以，解得． （2），即， 则， 解得． 27．（25-26高三下·广东湛江·期末）已知向量，，，． (1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三点共线即向量平行求参数. （2）利用向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】（1）向量，，， 所以，，                                     由A，B，C三点共线知， 即， 解得． （2）由，， ，，                 若四边形为矩形，则， 即，解得．                 由，得， 解得，，                                 所以． 28．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）设向量，则与平行的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，设， 令，则，即，对照选项只有C满足，故选C. 题型八：利用平面向量解决三点共线问题 29．（25-26高三下·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，分别是，的中点，，为与的交点. (1)若，求的值 (2)求证：三点共线. 【答案】(1) (2)，设，， 则， 又， ，解得，则， ， ，即三点共线. 【分析】（1）设，，再用向量，为基底表示，，，再由向量的线性运算列方程组求解； （2）设，，由，，用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论． 【详解】（1）设，， 因为在中，E，H分别是的中点，， 所以， ， ， 又， ，解得． （2）略 30．（25-26高三下·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出，； （2）由题意，设，，结合（1）及平面向量的基本定理列方程求参数值. 【详解】（1）由，且； （2）因为B，P，E三点共线，可设，， 由（1）可得， 因为，所以，解得，故x的值为6. 31．（25-26高三下·广东广州·期末）已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（    ） A． B．3 C．2或3 D．或 【答案】B 【详解】因为A，B，C三点共线，可知，则， 可得，所以. 32．（25-26高三下·河南信阳·期末）若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值为____. 【答案】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， . 1．（25-26高三下·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 【答案】C 【详解】对于①，表示的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，两个向量相等的充要条件是它们方向相同，模长相等，起点与终点不一定相同，故②错误； 对于③，如果四点共线，则不为四边形，当然也不是平行四边形，故③错误； 对④，因为四边形是平行四边形，则，且， 而方向也相同，故，故④正确； 对于⑤，若，故为相等向量，故，故⑤正确； 对于⑥，若，则都成立，但不一定为共线向量，故⑥错误. 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在中, 因为所以,在中， 故. 3．（25-26高三下·云南丽江·期末）在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得. 【详解】由题意， 故, 根据平面向量基本定理可知，，则. 4．（25-26高三下·湖北恩施·期末）已知向量，不共线，若与共线，则实数的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由向量共线即可求解. 【详解】因为向量，不共线，且与共线，所以， 所以，所以，解得. 5．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，若与共线， 则， 所以且. 6．（25-26高三下·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将转化为，利用，，三点共线建立关于的方程求解即可. 【详解】由，得，则， 所以． 因为是上的一点，即，，三点共线， 根据共线向量定理的推论则有，即，解得． 7．（25-26高三下·江苏苏州·阶段检测）已知平面向量，若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 解得． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）若O是正八边形的中心，且（），则（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 如图，连接，，分别过，作垂直于线段的垂线，垂足分别为，, 设正八边形边长为，正八边形每个内角， 由几何性质可知，,， 所以，，所以， 即，又， 所以，，故. 9．（25-26高三下·广东梅州·期末）（多选）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理，利用向量的加法、减法及共线向量性质，将目标向量用基底向量表示出来. 【详解】 ，，所以，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C正确； ，， 选项D错误. 10．（25-26高三下·安徽安庆·阶段检测）（多选）已知点，，，则下列结论正确的是（   ） A．线段的中点的坐标为 B．若，则点D的坐标为 C．若，则 D．若，则向量，可以作为平面内的一组基底 【答案】AC 【分析】由中点坐标公式、向量的坐标表示、垂直的坐标表示和向量共线的判定逐项判断即可. 【详解】由中点坐标公式可得线段的中点的坐标为，A正确； ，所以点D的坐标为，B错误； ，，若，则，解得，C正确； 若，则，，所以，共线，不能作为平面内的一组基底，D错误. 11．（25-26高三下·江苏无锡·期中）（多选）设向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则 D．与共线的单位向量是 【答案】AB 【分析】对于A选项，由向量垂直可得，再由平面向量的坐标运算即可求解； 对于B选项，由向量共线以及向量的坐标运算即可求解； 对于C选项，由向量夹角为锐角可得以及向量不可共线即可求解； 对于D选项，由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，即，解得，故A正确； 对于B选项，因为，由，则，解得，故B正确； 对于C选项，由与的夹角为锐角，可得，解得且，故C错误； 对于D选项，与共线的单位向量有两个，即，可得或，故D错误. 12．（26-27高三上·上海·开学考试）已知，向量两两不平行，若，则_____. 【答案】 【分析】根据已知条件，由向量共线定理建立数量关系，化简即可求出的值. 【详解】由，则由向量共线定理可知，存在， 使得，则， 所以，因此， 又两两不平行，所以，即，即，所以. 13．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）已知正方形的边长为1，则______. 【答案】 【详解】如图所示：，由已知可得与的夹角为， . 14．（25-26高三下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】/ 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 15．（25-26高三下·山东泰安·期末）如图，已知在中，，是线段的中点，过的直线交线段于点，交线段于点，，． (1)用向量，表示； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可用，表示； （2）结合（1）和已知可得，根据三点共线，可求得的值． 【详解】（1）由，得，又，所以， 又因为， 又因为是线段的中点，所以. （2）由（1）知， 又，，所以，， 所以， 又因为在同一直线上，所以，所以. 16．（25-26高三下·湖北恩施·期末）已知向量， (1)若，求的值及的模； (2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得与共线． 【答案】(1)， (2)不存在实数使得与共线． 【分析】（1）先利用向量垂直时点积为0列方程求出参数，再做向量线性坐标运算，最后代入模长公式计算向量的模； （2）先完成向量线性坐标运算，再运用向量共线的坐标公式列出方程，接着判断方程无解，得到满足条件的实数不存在即可. 【详解】（1）由，，， 则，得， 即，所以， 所以； （2）在（1）的条件下可知： ， 与共线，所以，得方程无解， 所以不存在实数使得与共线． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $