专题4.3 三角恒等变换（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题4.3 三角恒等变换（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 4 知识点2　二倍角公式 5 知识点3　辅助角公式（合一变形） 6 知识点4　降幂公式与半角公式 6 知识点5　三角恒等变换的常用技巧（角变换、次数变换、函数名变换） 7 四、重难点培优 8 重难点培优01　给值求值（凑角）　★★ 8 重难点培优02　给值求角　★★ 9 重难点培优03　三角函数式的化简与求值　★★★ 10 重难点培优04　辅助角公式的应用（合一变形）　★★★ 11 重难点培优05　二倍角与降幂公式的应用　★★★ 12 重难点培优06　三角恒等变换与最值（含参数）　★★★ 13 重难点培优07　与向量、解三角形、函数的交汇　★★★★ 14 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 16 五、过关检测 18 一、单选题 18 二、多选题 19 三、填空题 20 四、解答题 20 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 理解公式的推导思路，能正用、逆用、变形使用公式进行化简与求值，掌握 的结构特征与使用条件 二倍角公式 能由两角和公式推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解 的三种表达形式并能按需选用 辅助角公式（合一变形） 能把 化为 的形式，用以求值、求最值并研究三角函数的性质 降幂公式与半角公式 掌握 、 与半角公式，能实现"降幂"与"升幂"的双向转化 三角恒等变换的常用技巧 熟练运用角变换、次数变换、函数名变换三大策略，对三角函数式进行化简、求值与证明 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T1 集合中以特殊角三角函数值为元素，考查诱导公式求值 ★ 2026 全国二卷 T7 二倍角公式化简、同角关系与给值求值 ★★★ 2026 上海卷 T9 两角和与差的正、余弦公式给值求值 ★★ 2025 全国一卷 T11 解三角形背景下二倍角与两角和差公式的综合（多选） ★★★★ 2025 全国二卷 T8 由半角余弦值经二倍角公式求两角差的正弦 ★★★ 2025 北京卷 T13 由 探求角的关系 ★★★ 2025 天津卷 T7 由终边上两点坐标结合同角关系求 ★★★ 2025 天津卷 T1 ""与""的充分必要性 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T4 两角和与差余弦公式的给值求值（凑角） ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T13 两角和的正切公式与同角关系求 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T9 正、余弦齐次式与两角和的正切公式求值 ★★★ 考情分析 三角恒等变换是三角函数的"心脏"，它把角、次数、函数名三者反复转化，是化简、求值、研究性质与解三角形的通用工具。近三年高考对本板块的考查呈现三个特点：一是"直接考"，如 2024 年新课标Ⅰ卷 T4、2024 年新课标Ⅱ卷 T13，均以"给出若干三角关系式、求另一个三角函数值"的形式出现，重在凑角与切化弦；二是"工具化"，把二倍角、和差公式嵌入解三角形、函数性质、向量等问题，如 2025 年全国一卷 T11、2025 年天津卷 T7；三是"重变形"，辅助角公式（合一变形）、降幂公式与齐次式化切是拉开区分度的主战场，如 2025 年全国二卷 T8、2026 年全国二卷 T7。依据《普通高中数学课程标准》，本板块核心素养指向"数学运算、逻辑推理与数学建模"。预测 2027 年高考仍以选择、填空为主，分值 5～15 分，并可能在与解三角形、函数的交汇处提升难度。 复习目标 1．准确记忆并灵活变形两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握正用、逆用与变形使用的技巧； 2．熟练运用二倍角公式与降幂公式，实现"倍角"与"单角"、"高次"与"低次"的双向转化； 3．掌握辅助角公式（合一变形），能把 化为一个三角函数，解决求值与求最值问题； 4．形成角变换、次数变换、函数名变换三大策略的系统认识，能独立攻克交汇问题与创新问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　三角恒等变换知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 三角恒等变换的核心是下面六组基本公式（ 为使式子有意义的任意角）： ①，； ②，； ③，。 公式的变形与常用结论： ①（正切和角公式的逆用）； ②，是合一变形的最简特例； ③把 、 等看作"整体角"，便于用和差公式展开与凑角。 【方法技巧】 1．公式要"正用、逆用、变形用"三管齐下：见到 一类结构，要立刻联想正切公式的变形； 2．拆角与凑角是核心技能：如 、、； 3．展开前先看"能否凑出特殊角"，能凑则凑，比硬算更快更稳。 【易错清单】 1．正切公式中要求 、、 的正切均有意义，分母 不可为零； 2．公式中""与""位置容易记反，正切公式分子分母的符号相反； 3．余弦和角公式是"减"、差角公式是"加"，与正弦公式的符号方向恰好相反，务必分清。 知识点2　二倍角公式 在两角和公式中令 ，即得二倍角公式： ①； ②（三种形式，按需选用）； ③。 常用变形：，，。 【方法技巧】 1． 的三种形式要按"目标"选用：式中有 用 ，有 用 ，有 用 ； 2．"升降幂"是二倍角的灵魂： 与 、 互换可实现降幂； 3． 是"配方"利器，常与辅助角公式衔接使用。 【易错清单】 1．、，二倍角不是简单的"乘 2"； 2． 中要求 ，否则分母为零； 3．使用 的三种形式时，要注意角 的范围对符号的影响。 知识点3　辅助角公式（合一变形） 形如 （ 不全为零）的式子，总可化为： ，其中辅助角 由 、 确定。也可写成 的形式。 常用特例：，，。 【方法技巧】 1．合一变形"一提二定"：先提出 ，再由 的符号共同确定辅助角 ； 2．记忆口诀："平方和开根号，分子分母配正弦余弦"， 就是所得函数的振幅； 3．合一变形后整体求最值、周期、单调区间与对称轴，是研究三角函数性质的通用套路。 【易错清单】 1．辅助角 所在象限由 的符号共同决定，仅凭 会漏解； 2．不要漏掉振幅 ，它直接决定最值大小； 3．求最值时须把 看作一个整体，再结合自变量范围与正弦函数图象确定取值。 知识点4　降幂公式与半角公式 由二倍角公式移项变形，得降幂公式： ①；②；③。 相应地可得半角公式（在使函数有意义处）： ①；②； ③。 【方法技巧】 1．"见到平方先降幂"：、 一律化为 ，把"高次"降为"一次"； 2．降幂后式子里只剩 、，通常接辅助角公式合一，一步到位求出最值； 3． 用""可避开根号讨论符号，是最省事的写法。 【易错清单】 1．降幂与升幂方向互逆， 把次数降下来，也可反向把 升回，不要记反； 2．应用半角公式时先判断半角所在象限，再定根号外的符号； 3． 要求 ，即 时才可用。 知识点5　三角恒等变换的常用技巧（角变换、次数变换、函数名变换） 三角恒等变换的基本路数是"三看三变换"： ①看角——统一角或凑角：、、； ②看次数——降幂与升幂：平方降次用降幂公式， 换成 ； ③看函数名——切化弦或弦化切：分式化齐次后同除以 的幂，转为 的式子。 化简的终点只有三种形态：、、。化到"一个角、一个函数名、一次"的标准形式后，再去求值或研究性质。 【方法技巧】 1．先统一角、再统一函数名、最后统一次数，是化简的"固定顺序"； 2．齐次式化切：分式的分子分母同除以 的幂，一次式除 ，二次式除 ，分母缺失时用 补一个"1"； 3．化到 后整体求最值：令 ，转化为 在给定区间上的取值问题。 【易错清单】 1．变换要保持等价，去分母、开方、平方等步骤都要注明条件，防止增根或丢解； 2．切化弦时勿忘 ，正切的定义域限制是高频失分点； 3．化简结果要尽量最简且统一（同名、同角、低次），否则容易被判"未化到底"。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　给值求值（凑角）　★★ 【例1-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·湖北·武汉·模拟改编）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-4】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　给值求角　★★ 【例2-1】（2026·江苏·南京·模拟）已知 均为锐角，，，则 （　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·山东·青岛·模拟改编）已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知 均为锐角，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-4】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-5】已知 为锐角，，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优03　三角函数式的化简与求值　★★★ 【例3-1】（2024·全国甲卷·文·高考真题）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·福建·厦门·模拟）化简 （　　） A． B． C． D． 【例3-3】（2026·江西·南昌·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-1】化简 （　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-3】化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　辅助角公式的应用（合一变形）　★★★ 【例4-1】（2026·河南·郑州·模拟）将 化为 的形式，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·陕西·西安·模拟改编）函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】若函数 的最大值为 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　二倍角与降幂公式的应用　★★★ 【例5-1】（2025·天津卷·高考真题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·全国二卷·高考真题）若 为第二象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-3】化简 （　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优06　三角恒等变换与最值（含参数）　★★★ 【例6-1】（2026·湖南·长沙·模拟）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·安徽·合肥·模拟改编）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】若函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-5】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　与向量、解三角形、函数的交汇　★★★★ 【例7-1】（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知 的面积为 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·安徽·合肥·模拟）已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例7-3】（2026·四川·成都·模拟）已知函数 ，则 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】在 中，若 ，则 一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式7-2】已知向量 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】在 中，若 ，则角 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知向量 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 【例8-1】（2026·浙江·杭州·模拟）定义函数 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·重庆·模拟）对于角 ，定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-1】定义函数 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-3】对于角 ，定义 。若 为第一象限角，则 表示的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】定义 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-5】对于实数 ，定义 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．【巩固】（2024·全国甲卷·文·高考真题）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．【进阶】（2025·天津卷·高考真题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．【进阶】函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】已知 为第二象限角，且 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】（2026·全国·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的有（　　） A． 的最小正周期为 B． 的最大值为 C． 的图象关于直线 对称 D． 11．【进阶】（2026·湖北·模拟）已知 ，且 ，，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 12．【培优】（2026·辽宁·模拟）定义运算 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 三、填空题 13．【巩固】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角，，，则 ______． 14．【进阶】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，且 ，，则满足条件的一组 可以是 ______．（写出一组即可） 15．【进阶】已知 ，则 ______． 16．【培优】已知函数 ，则 的最大值为 ______． 四、解答题 17．【进阶】（2026·河北·石家庄·模拟）已知 ． (1) 求 的最小正周期； (2) 求 在 上的最大值与最小值． 18．【培优】（2026·江苏·南通·模拟）已知 ，，，． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 19．【培优】（2026·山东·济南·模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，，且 ． (1) 判断 的形状； (2) 求 的面积． 20．【培优】（2026·广东·广州·模拟）已知向量 ，，设函数 ． (1) 把 化简为 的形式； (2) 求 在 上的最小值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 三角恒等变换（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 4 知识点2　二倍角公式 5 知识点3　辅助角公式（合一变形） 6 知识点4　降幂公式与半角公式 6 知识点5　三角恒等变换的常用技巧（角变换、次数变换、函数名变换） 7 四、重难点培优 8 重难点培优01　给值求值（凑角）　★★ 8 重难点培优02　给值求角　★★ 10 重难点培优03　三角函数式的化简与求值　★★★ 13 重难点培优04　辅助角公式的应用（合一变形）　★★★ 15 重难点培优05　二倍角与降幂公式的应用　★★★ 18 重难点培优06　三角恒等变换与最值（含参数）　★★★ 20 重难点培优07　与向量、解三角形、函数的交汇　★★★★ 22 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 25 五、过关检测 28 一、单选题 28 二、多选题 30 三、填空题 31 四、解答题 33 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 理解公式的推导思路，能正用、逆用、变形使用公式进行化简与求值，掌握 的结构特征与使用条件 二倍角公式 能由两角和公式推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解 的三种表达形式并能按需选用 辅助角公式（合一变形） 能把 化为 的形式，用以求值、求最值并研究三角函数的性质 降幂公式与半角公式 掌握 、 与半角公式，能实现"降幂"与"升幂"的双向转化 三角恒等变换的常用技巧 熟练运用角变换、次数变换、函数名变换三大策略，对三角函数式进行化简、求值与证明 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T1 集合中以特殊角三角函数值为元素，考查诱导公式求值 ★ 2026 全国二卷 T7 二倍角公式化简、同角关系与给值求值 ★★★ 2026 上海卷 T9 两角和与差的正、余弦公式给值求值 ★★ 2025 全国一卷 T11 解三角形背景下二倍角与两角和差公式的综合（多选） ★★★★ 2025 全国二卷 T8 由半角余弦值经二倍角公式求两角差的正弦 ★★★ 2025 北京卷 T13 由 探求角的关系 ★★★ 2025 天津卷 T7 由终边上两点坐标结合同角关系求 ★★★ 2025 天津卷 T1 ""与""的充分必要性 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T4 两角和与差余弦公式的给值求值（凑角） ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T13 两角和的正切公式与同角关系求 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T9 正、余弦齐次式与两角和的正切公式求值 ★★★ 考情分析 三角恒等变换是三角函数的"心脏"，它把角、次数、函数名三者反复转化，是化简、求值、研究性质与解三角形的通用工具。近三年高考对本板块的考查呈现三个特点：一是"直接考"，如 2024 年新课标Ⅰ卷 T4、2024 年新课标Ⅱ卷 T13，均以"给出若干三角关系式、求另一个三角函数值"的形式出现，重在凑角与切化弦；二是"工具化"，把二倍角、和差公式嵌入解三角形、函数性质、向量等问题，如 2025 年全国一卷 T11、2025 年天津卷 T7；三是"重变形"，辅助角公式（合一变形）、降幂公式与齐次式化切是拉开区分度的主战场，如 2025 年全国二卷 T8、2026 年全国二卷 T7。依据《普通高中数学课程标准》，本板块核心素养指向"数学运算、逻辑推理与数学建模"。预测 2027 年高考仍以选择、填空为主，分值 5～15 分，并可能在与解三角形、函数的交汇处提升难度。 复习目标 1．准确记忆并灵活变形两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握正用、逆用与变形使用的技巧； 2．熟练运用二倍角公式与降幂公式，实现"倍角"与"单角"、"高次"与"低次"的双向转化； 3．掌握辅助角公式（合一变形），能把 化为一个三角函数，解决求值与求最值问题； 4．形成角变换、次数变换、函数名变换三大策略的系统认识，能独立攻克交汇问题与创新问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　三角恒等变换知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 三角恒等变换的核心是下面六组基本公式（ 为使式子有意义的任意角）： ①，； ②，； ③，。 公式的变形与常用结论： ①（正切和角公式的逆用）； ②，是合一变形的最简特例； ③把 、 等看作"整体角"，便于用和差公式展开与凑角。 【方法技巧】 1．公式要"正用、逆用、变形用"三管齐下：见到 一类结构，要立刻联想正切公式的变形； 2．拆角与凑角是核心技能：如 、、； 3．展开前先看"能否凑出特殊角"，能凑则凑，比硬算更快更稳。 【易错清单】 1．正切公式中要求 、、 的正切均有意义，分母 不可为零； 2．公式中""与""位置容易记反，正切公式分子分母的符号相反； 3．余弦和角公式是"减"、差角公式是"加"，与正弦公式的符号方向恰好相反，务必分清。 知识点2　二倍角公式 在两角和公式中令 ，即得二倍角公式： ①； ②（三种形式，按需选用）； ③。 常用变形：，，。 【方法技巧】 1． 的三种形式要按"目标"选用：式中有 用 ，有 用 ，有 用 ； 2．"升降幂"是二倍角的灵魂： 与 、 互换可实现降幂； 3． 是"配方"利器，常与辅助角公式衔接使用。 【易错清单】 1．、，二倍角不是简单的"乘 2"； 2． 中要求 ，否则分母为零； 3．使用 的三种形式时，要注意角 的范围对符号的影响。 知识点3　辅助角公式（合一变形） 形如 （ 不全为零）的式子，总可化为： ，其中辅助角 由 、 确定。也可写成 的形式。 常用特例：，，。 【方法技巧】 1．合一变形"一提二定"：先提出 ，再由 的符号共同确定辅助角 ； 2．记忆口诀："平方和开根号，分子分母配正弦余弦"， 就是所得函数的振幅； 3．合一变形后整体求最值、周期、单调区间与对称轴，是研究三角函数性质的通用套路。 【易错清单】 1．辅助角 所在象限由 的符号共同决定，仅凭 会漏解； 2．不要漏掉振幅 ，它直接决定最值大小； 3．求最值时须把 看作一个整体，再结合自变量范围与正弦函数图象确定取值。 知识点4　降幂公式与半角公式 由二倍角公式移项变形，得降幂公式： ①；②；③。 相应地可得半角公式（在使函数有意义处）： ①；②； ③。 【方法技巧】 1．"见到平方先降幂"：、 一律化为 ，把"高次"降为"一次"； 2．降幂后式子里只剩 、，通常接辅助角公式合一，一步到位求出最值； 3． 用""可避开根号讨论符号，是最省事的写法。 【易错清单】 1．降幂与升幂方向互逆， 把次数降下来，也可反向把 升回，不要记反； 2．应用半角公式时先判断半角所在象限，再定根号外的符号； 3． 要求 ，即 时才可用。 知识点5　三角恒等变换的常用技巧（角变换、次数变换、函数名变换） 三角恒等变换的基本路数是"三看三变换"： ①看角——统一角或凑角：、、； ②看次数——降幂与升幂：平方降次用降幂公式， 换成 ； ③看函数名——切化弦或弦化切：分式化齐次后同除以 的幂，转为 的式子。 化简的终点只有三种形态：、、。化到"一个角、一个函数名、一次"的标准形式后，再去求值或研究性质。 【方法技巧】 1．先统一角、再统一函数名、最后统一次数，是化简的"固定顺序"； 2．齐次式化切：分式的分子分母同除以 的幂，一次式除 ，二次式除 ，分母缺失时用 补一个"1"； 3．化到 后整体求最值：令 ，转化为 在给定区间上的取值问题。 【易错清单】 1．变换要保持等价，去分母、开方、平方等步骤都要注明条件，防止增根或丢解； 2．切化弦时勿忘 ，正切的定义域限制是高频失分点； 3．化简结果要尽量最简且统一（同名、同角、低次），否则容易被判"未化到底"。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　给值求值（凑角）　★★ 【解题技巧】给值求值的命门是"变角"：把所求角用已知角线性表示，即所求角 = 已知角之和、差或倍数。常用凑角：、、。 【注意事项】①先定范围再定符号：只有确定了"已知角"的范围，才能确定其函数值的正负；②把已知角的"另一个函数值"一并算出再代入；③核对所求角与已知角的和差是否与特殊角有关，这是能否"凑成"的关键。 【例1-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 切化弦得 ，与 联立求出 、，再代入 的展开式。 【解答过程】由 ，得 。 又 ，代入得 ，即 ，从而 。 所以 。故选 A。 【例1-2】（2026·湖北·武汉·模拟改编）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，先由 的范围判断 的范围并求出 ，再用两角差的余弦公式。 【解答过程】因为 ，所以 ，故 。 由 ，得 。故选 A。 【变式1-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由范围求 ，再把 拆成 ，用两角差的余弦公式。 【解答过程】因为 ，所以 ，故 。 所以 。故选 A。 【变式1-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】观察到 ，直接用二倍角余弦公式。 【解答过程】。故选 A。 【变式1-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令 ，则 ，而 ，用诱导公式与二倍角公式求解。 【解答过程】记 ，则 ，。 又 ，所以 。故选 A。 【变式1-4】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接代入两角和的正切公式计算。 【解答过程】。故选 A。 【变式1-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 ，先用二倍角余弦求 ，再用诱导公式化为 。 【解答过程】。 又 ，所以 。故选 A。 重难点培优02　给值求角　★★ 【解题技巧】给值求角"先求值、后定角"：①由条件求出目标角的某个三角函数值，优先选在该角范围内单调的函数（通常取余弦或正切，以避免增解）；②先算出目标角的取值范围；③在该范围内找出满足函数值的角，范围越小越保险。 【注意事项】①角的范围是给值求角的"生死线"，范围过大就会出现多解，务必结合已知条件把范围缩到最小；②选函数要讲技巧：角在 内正切、余弦均可，在 内优先用余弦（单调）；③回代检验所求角是否真的落在所得区间内。 【例2-1】（2026·江苏·南京·模拟）已知 均为锐角，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求 、，再算 ，结合 的范围定角，取余弦可避免增解。 【解答过程】由 为锐角得 ，。 。 又 且 ，故 ，所以 。故选 B。 【例2-2】（2026·山东·青岛·模拟改编）已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用二倍角正切公式求 ，再用两角和的正切公式求 ，最后结合范围定角。 【解答过程】。 所以 。 由 知 ，由 知 ，故 ，结合 得 。故选 B。 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用两角和的正切公式求 ，再结合范围定角。 【解答过程】。 由 且 ，得 ，所以 。故选 A。 【变式2-2】已知 均为锐角，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由同角关系求 、，再算 定角。 【解答过程】由锐角条件得 ，。 ，且 ，故 。故选 A。 【变式2-3】已知 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出 、，算 并确定范围。 【解答过程】由条件得 ，。 。 又 ，故 。故选 A。 【变式2-4】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，用两角差的正切公式。 【解答过程】。故选 A。 【变式2-5】已知 为锐角，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，用两角差的正弦公式。 【解答过程】由 为锐角且 ，得 ，；又 。 所以 。故选 A。 重难点培优03　三角函数式的化简与求值　★★★ 【解题技巧】化简遵循"三看三变"：一看角（统一角或凑角）、二看函数名（切化弦或弦化切）、三看式子结构（次数与齐次性）。化简的终点只有三种形态：、、。 【注意事项】①切化弦后勿忘 ；②齐次式化切要"补 1"：分母缺失时用 补一个分母；③变形须等价，平方、开方、去分母等操作要注明条件，避免增根或丢解。 【例3-1】（2024·全国甲卷·文·高考真题）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把已知分式的分子分母同除以 ，化为 的方程求出 ，再代入两角和的正切公式。 【解答过程】由分子分母同除以 （）得 ，即 ，所以 。 故 。故选 B。 【例3-2】（2026·福建·厦门·模拟）化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二倍角余弦把分子、分母分别化为 的形式，再约分。 【解答过程】，。 所以 。故选 A。 【例3-3】（2026·江西·南昌·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分子分母都是关于 、 的二次齐次式，同除以 化为 的式子。 【解答过程】。 代入 ，得 。故选 A。 【变式3-1】化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把分子用平方关系化为 ，再约去 。 【解答过程】。故选 A。 【变式3-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分子分母同除以 ，化为 的式子再代入。 【解答过程】。故选 A。 【变式3-3】化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用降幂公式把根号内化为完全平方，再由 的范围去绝对值。 【解答过程】，所以 。 因为 ，所以 ，故原式 。故选 A。 【变式3-4】（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逆用两角和的正切公式，注意 。 【解答过程】。故选 A。 【变式3-5】（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通分后把分子用辅助角公式化为一个正弦值，再与分母约分。 【解答过程】原式 。故选 A。 重难点培优04　辅助角公式的应用（合一变形）　★★★ 【解题技巧】合一变形的口诀是"一提二定"：先提出 ，再由 、 确定辅助角 ，即 。合一变形后即可整体求最值、周期与单调区间。 【注意事项】①辅助角 由 的符号共同确定，仅凭 会漏解；②不要漏掉振幅 ；③求最值时把 看作一个整体，再结合正弦函数的图象与自变量的范围确定取值。 【例4-1】（2026·河南·郑州·模拟）将 化为 的形式，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】提出 ，配成 、 后回代特殊角。 【解答过程】。 所以 。故选 A。 【例4-2】（2026·陕西·西安·模拟改编）函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先合一变形，再把 看作整体，结合其范围求 的最大值。 【解答过程】。 因为 ，所以 ， 的最大值为 ，故 的最大值为 。故选 A。 【变式4-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】合一变形为 后直接读振幅。 【解答过程】，故最大值为 。故选 A。 【变式4-2】化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】提出 后配正弦展开式。 【解答过程】。故选 A。 【变式4-3】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】提出 后配成余弦的差角形式。 【解答过程】，故最大值为 。故选 A。 【变式4-4】若函数 的最大值为 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 的振幅为 ，令其等于 求解。 【解答过程】，其最大值为 。 由 ，得 ，故 。故选 A。 【变式4-5】化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】 恰为 、，直接配正弦和角。 【解答过程】。故选 A。 重难点培优05　二倍角与降幂公式的应用　★★★ 【解题技巧】二倍角与降幂是"一对孪生工具"：见到平方先降幂，、、；见到倍角要会"升"回去。 的三种形式要按目标式中 、、 的出现情况选用。 【注意事项】①、，二倍角不是简单的"乘 2"；②降幂与升幂方向不能记反；③使用半角或开方时要先判断角度所在象限再定符号。 【例5-1】（2025·天津卷·高考真题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数定义把 用 表示，求出 ，再用 求值。 【解答过程】因为 、 都在角 的终边上，所以 ，即 ，。 由 ，得 。 所以 。故选 B。 【例5-2】（2026·全国二卷·高考真题）若 为第二象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用二倍角公式展开并约去 ，把条件化为 与 的关系，结合平方关系求出 、，再代入求值。 【解答过程】因为 为第二象限角，所以 ，。 由 ，代入 、，并约去 ，得 ，整理得 。 结合 得 ，故 ，。 于是 。故选 C。 【变式5-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接用二倍角余弦公式计算。 【解答过程】。故选 A。 【变式5-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 求值。 【解答过程】。故选 A。 【变式5-3】化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用降幂公式把分子化为 ，分母用二倍角正弦，再约分。 【解答过程】。故选 A。 【变式5-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两边平方，用 。 【解答过程】由 ，得 。故选 A。 【变式5-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 并降幂。 【解答过程】。 又 ，所以原式 。故选 A。 重难点培优06　三角恒等变换与最值（含参数）　★★★ 【解题技巧】三角最值的通法是"化一角一函数"：先用降幂、辅助角公式把式子化为 ，由 得 ；若含自变量范围，则把 看作整体 ，结合 的范围求 的最值。含参数时把参数当作振幅或相位，列方程或不等式求解。 【注意事项】①先化简再求最值，直接猜端点值极易出错；②有范围时不能简单取 ，必须落到整体角的实际区间上；③含参问题要注意参数的取值范围（如振幅 、正弦值不超过 ）。 【例6-1】（2026·湖南·长沙·模拟）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用降幂公式与二倍角公式把 化为 的形式，再由正弦的有界性求最小值。 【解答过程】。 所以 的最小值为 。故选 A。 【例6-2】（2026·安徽·合肥·模拟改编）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】合一变形为 后由有界性求最小值。 【解答过程】，故最小值为 。故选 A。 【变式6-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用二倍角余弦化为 后求最大值。 【解答过程】，故最大值为 。故选 A。 【变式6-2】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】合一变形后由正弦的有界性得值域。 【解答过程】，故值域为 。故选 A。 【变式6-3】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】合一变形为 后读振幅。 【解答过程】，故最大值为 。故选 A。 【变式6-4】若函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由振幅 且 求解。 【解答过程】 的最大值为 ，由 得 ，又 ，故 。故选 A。 【变式6-5】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把两项统一为同名同角，再合并。 【解答过程】， 所以 ，最大值为 。故选 A。 重难点培优07　与向量、解三角形、函数的交汇　★★★★ 【解题技巧】交汇题的"拆壳"策略：向量条件翻译成数量积、平行或垂直的坐标式；三角形条件用内角和 、正弦或余弦定理转化为角的关系；函数问题先化简为 再研究性质。落到三角恒等变换，仍是"同角、同名、同次"三个统一。 【注意事项】①三角形中角的范围是 ，且 ，化简时注意利用内角和消元；②向量垂直、平行要写对坐标关系（垂直对应数量积为零）；③解三角形中求角要结合角的范围取舍，避免增解。 【例7-1】（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知 的面积为 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】先用二倍角公式化简第一个等式得 ，判断 A；再结合第二个等式判断三角形为直角三角形，用面积、正弦定理与勾股定理逐一检验 B、C、D。 【解答过程】由 ，用 得 ，即 。故 A 正确。 由 A 知 ，又 ，可知 均为锐角。结合 可推得 （判定过程从略）。 此时 ，又 ，故 。 设 ，，，由面积 得 。 由正弦定理 ，得 ，所以 ，。故 B 正确。 ，故 。故 C 正确。 在直角三角形中 ，故 D 错误。故选 ABC。 【例7-2】（2026·安徽·合肥·模拟）已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 得数量积为零，转化为 ，进而求出 与 ，再代入展开式。 【解答过程】由 得 。 两边平方得 ，所以 ，从而 。 所以 。故选 A。 【例7-3】（2026·四川·成都·模拟）已知函数 ，则 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用二倍角与降幂公式化简为 后读周期。 【解答过程】。 所以最小正周期 。故选 A。 【变式7-1】在 中，若 ，则 一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解题思路】由 得 或 ，分别对应两种情况。 【解答过程】由 ，结合 ，得 或 ，即 或 。 当 时为等腰三角形；当 时 ，为直角三角形。故选 C。 【变式7-2】已知向量 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由数量积为零得 ，用 求值。 【解答过程】由 得 ，故 。故选 A。 【变式7-3】在 中，若 ，则角 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 得 ，由 求 再求 。 【解答过程】因为 ，所以 。由 得 ，故 。故选 A。 【变式7-4】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用二倍角公式化为关于 的二次函数，配方后结合 的范围求最值。 【解答过程】。 因为 ，所以当 时 取最大值 。故选 A。 【变式7-5】已知向量 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先算 ，用数量积与合一变形求其最大值，再开方。 【解答过程】。 当 时， 取最大值 ，故 的最大值为 。故选 A。 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题"三字诀"：读（逐字读清定义的式子与运算对象）、译（把新符号翻译成熟悉的和差、倍角、辅助角公式）、算（按定义代入并化简到已知形态）。定义给什么就用什么，不要套用惯性公式。 【注意事项】①先弄清新定义"运算的对象"是什么（角、函数值还是式子）；②代入后要按恒等变换的规范化简，不可停留在原始形式；③注意定义中对范围或符号的限制（如角的范围、分母不为零）。 【例8-1】（2026·浙江·杭州·模拟）定义函数 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对定义的式子用二倍角公式降幂后合一变形，再求最大值。 【解答过程】。 所以 的最大值为 。故选 A。 【例8-2】（2026·重庆·模拟）对于角 ，定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义代入，把 的和角直接计算。 【解答过程】。故选 A。 【变式8-1】定义函数 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用诱导公式把两项化为同名同角后再合并。 【解答过程】，故 ，最大值为 。故选 A。 【变式8-2】定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义代入，用两角差的余弦公式合并。 【解答过程】。故选 A。 【变式8-3】对于角 ，定义 。若 为第一象限角，则 表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】认出 就是半角余弦公式的"正号"形式，结合 的范围判断 所在象限即可。 【解答过程】由 知 。因为 为第一象限角，所以 为第一象限角，，故 。故选 B。 【变式8-4】定义 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用二倍角公式化简 ，再代入 。 【解答过程】，故 。故选 A。 【变式8-5】对于实数 ，定义 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 化为 ，再用二倍角公式降幂求最大值。 【解答过程】，故最大值为 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由同角关系求 ，再用二倍角正弦公式。 【解答过程】由 且 得 ，故 。故选 A。 2．【巩固】（2024·全国甲卷·文·高考真题）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分子分母同除以 求出 ，再代入两角和的正切公式。 【解答过程】由 得 ，故 。故选 B。 3．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两边平方后用 。 【解答过程】由 ，得 。故选 A。 4．【巩固】（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用辅助角公式合一变形后代入特殊角。 【解答过程】。故选 A。 5．【进阶】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接代入两角和的正切公式。 【解答过程】。故选 A。 6．【进阶】（2025·天津卷·高考真题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由定义得 、，求出 后用 。 【解答过程】由 得 ，故 。故选 B。 7．【进阶】函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】合一变形后把 看作整体求最小值。 【解答过程】，当 时 ， 的最小值为 ，故 的最小值为 。故选 A。 8．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】注意 ，用二倍角余弦公式。 【解答过程】。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】已知 为第二象限角，且 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解题思路】先用同角关系求 、，再用二倍角公式求 、，逐一验证。 【解答过程】由 为第二象限角且 得 ，A 正确；，B 正确；，C 正确；，D 正确。故选 ABCD。 10．【进阶】（2026·全国·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的有（　　） A． 的最小正周期为 B． 的最大值为 C． 的图象关于直线 对称 D． 【答案】ABC 【解题思路】先合一变形为 ，再逐一验证周期、最值、对称轴与函数值。 【解答过程】。 最小正周期 ，A 正确；最大值为 ，B 正确；当 时 ， 取得最大值，图象关于直线 对称，C 正确；，D 错误。故选 ABC。 11．【进阶】（2026·湖北·模拟）已知 ，且 ，，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】先求 、，算 并定角，再验证正切之积。 【解答过程】由 为锐角得 ，，A 正确；，B 正确；由 得 ，C 正确；，，，D 错误。故选 ABC。 12．【培优】（2026·辽宁·模拟）定义运算 ，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由定义直接认作 ，再逐项计算。 【解答过程】由定义 ，B 正确。，A 正确；，C 错误；因 ，故 ，D 正确。故选 ABD。 三、填空题 13．【巩固】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角，，，则 ______． 【答案】 【解题思路】用两角和的正切公式求 ，确定 的象限后由同角关系求 。 【解答过程】。 由 为第一象限角、 为第三象限角知 ，结合 得 ，故 。 由 得 ，故 ，。 14．【进阶】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，且 ，，则满足条件的一组 可以是 ______．（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】用两角和与差的正、余弦公式展开，把条件化为 且 。 【解答过程】由 展开得 ；由 展开得 。 两式联立得 且 ，取 ， 即满足条件。 15．【进阶】已知 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】把 拆成 ，用两角差的正切公式。 【解答过程】。 16．【培优】已知函数 ，则 的最大值为 ______． 【答案】 【解题思路】用降幂与二倍角公式化简为 后求最大值。 【解答过程】，故最大值为 。 四、解答题 17．【进阶】（2026·河北·石家庄·模拟）已知 ． (1) 求 的最小正周期； (2) 求 在 上的最大值与最小值． 【答案】(1) ；(2) 最大值 ，最小值 ． 【解题思路】先用二倍角与降幂公式化简为 ，再由整体角的范围求最值。 【解答过程】(1) ，故最小正周期 。 (2) 当 时，，所以 。 故 的最大值为 ，最小值为 。 18．【培优】（2026·江苏·南通·模拟）已知 ，，，． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 由 与角的范围求 ；(2) 把 写成 ，用两角差的余弦公式求 再定角。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 ，结合 得 。 故 。 (2) 由 得 。 。 又 ，所以 。 19．【培优】（2026·山东·济南·模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，，且 ． (1) 判断 的形状； (2) 求 的面积． 【答案】(1) 等边三角形；(2) ． 【解题思路】(1) 由 结合 判断 ；(2) 由等腰条件与余弦定理求边，再算面积。 【解答过程】(1) 由 ，得 或 。 若 ，则 ，即 ，与 矛盾；所以 。 又 ，故 ， 为等边三角形。 (2) 由 (1) 得 ，由余弦定理 ，故 ，即 。 所以 的面积 。 20．【培优】（2026·广东·广州·模拟）已知向量 ，，设函数 ． (1) 把 化简为 的形式； (2) 求 在 上的最小值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 由数量积得 ，用二倍角与降幂公式化简；(2) 把 看作整体求最小值。 【解答过程】(1) 。 (2) 当 时，，所以 的最小值为 。 故 的最小值为 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $