专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　同角三角函数的基本关系 4 知识点2　 与 的关系（"三兄弟"） 5 知识点3　诱导公式（公式一至六） 6 知识点4　诱导公式的记忆与应用（奇变偶不变，符号看象限） 7 知识点5　同角关系与诱导公式的综合应用 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　由同角关系求三角函数值（知一求二）　★★ 9 重难点培优02　关于 、 的齐次式求值　★★ 12 重难点培优03　 与 的互化　★★★ 15 重难点培优04　利用诱导公式化简求值　★★★ 18 重难点培优05　诱导公式与同角关系的综合　★★★ 21 重难点培优06　含参三角函数式的化简与求值　★★★ 24 重难点培优07　三角函数式的最值（配方法与换元）　★★★★ 28 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 31 五、过关检测 35 一、单选题 35 二、多选题 37 三、填空题 39 四、解答题 40 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 同角三角函数的基本关系 理解平方关系 与商数关系 ，能由同一个角的某个三角函数值求出其余三角函数值 三角函数值的符号 "一全正、二正弦、三正切、四余弦"，会依据角所在的象限（或终边位置）判断三角函数值的正负 诱导公式（公式一至六） 能借助单位圆的对称性推导 、、 的诱导公式，会用公式把任意角的三角函数化为锐角三角函数 诱导公式的记忆与应用 理解"奇变偶不变，符号看象限"的含义，能准确判断函数名是否改变与结果的正负 同角关系与诱导公式的综合 能对三角函数式进行化简、求值与证明，会处理齐次式、 与 的互化及含参问题 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国二卷 T7 同角关系与齐次式，求含 的分式的值 ★★★ 2026 全国一卷 T7 诱导公式与两角和（差）公式的化简求值 ★★★ 2025 全国二卷 T8 由半角余弦值经二倍角、同角关系求 ★★ 2025 全国一卷 T11 解三角形背景下二倍角公式、诱导公式的综合 ★★★★ 2025 北京卷 T13 由 探求角的关系（诱导公式、和差公式） ★★★ 2025 天津卷 T1 ""与""的充分必要性（诱导公式） ★★ 2025 天津卷 T7 由终边上两点坐标结合同角关系求 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T4 同角（商数）关系与两角和的余弦公式求值 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T13 同角基本关系与两角和的正切公式求 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T9 正、余弦齐次式与两角和的正切公式求值 ★★★ 2024 上海卷 T4 同角关系、二倍角公式与三角函数的最小正周期 ★★ 考情分析 同角三角函数的两个基本关系式与诱导公式，是三角函数化简、求值的"通用工具"。近三年高考对本板块的考查呈现三个特点：一是"常态直接考"，如 2025 年全国二卷 T8、2026 年全国二卷 T7，均以"给出一个三角关系式、求另一个三角函数值"的形式出现；二是"隐蔽工具化"，把诱导公式与同角关系嵌入解三角形、函数性质等问题中，如 2024 年新课标Ⅰ卷 T4、2025 年全国一卷 T11；三是"重视变形与符号"，正、余弦齐次式，"三兄弟"式，含参化简与求最值，是拉开区分度的主战场。依据《普通高中数学课程标准》，本板块核心素养指向"数学运算、逻辑推理与直观想象"。预测 2027 年高考仍以选择、填空为主，分值 5～10 分。 复习目标 1．准确理解并熟记平方关系与商数关系，掌握"知一求二"的完整流程：定象限、定符号、定数值； 2．熟练掌握"齐次式化切"与"、 互化"两大核心变形技巧； 3．牢记诱导公式一至六，能用"奇变偶不变，符号看象限"快速化简任意角的三角函数式； 4．突破诱导公式与同角关系的综合应用，以及含参三角函数式的化简、求值与最值问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　同角三角函数基本关系式及诱导公式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　同角三角函数的基本关系 对同一个角 （在使函数有意义的范围内），成立如下两个基本关系： ①平方关系：，对一切 恒成立； ②商数关系：，其中 。 常用变形有：，，，以及 。由同一个角的某个三角函数值求其余三角函数值，称为"知一求二"，其一般步骤为：先由角 的终边所在象限确定三角函数值的符号，再用平方关系求出另一个三角函数值，最后由商数关系求出正切。 【方法技巧】 1．"知一求二"三步定音：定象限 → 定符号 → 定数值；若未给出象限，则需分象限讨论，或先求出"平方值"再回代； 2．求 时"弦化切、切化弦"灵活切换，已知 与 之比可直接得 ； 3．平方关系可用于"配方"：见到 、、 中的任意一个，都可借助 求出其余两个。 【易错清单】 1．使用商数关系时忽略 的条件，导致增解或错误； 2．由平方关系开方时忘记"符号由象限决定"，只取正号，是本专题最高频的失分点； 3．"知一求二"所得结果必须满足 、，出现绝对值大于 的"解"应直接舍去。 知识点2　 与 的关系（"三兄弟"） 记 ，，，三者由下列关系式相互联系，常称为"三兄弟"： ①，即 与 可互求； ②，即 与 可互求； ③，即两个和差式可互求，但符号需由角 的范围确定。 由 还可得 、，于是 、、 三者"知一求二"。 【方法技巧】 1．"三兄弟"问题"知一求二"：只需知道 、、 中的一个，就能用 、 求出另外两个； 2．求 或 时，符号由 的范围决定：先找出 所在区间，据此判断 与 的大小关系定号； 3．把 视为整体参与运算，可快速化简 一类分式。 【易错清单】 1．由 求 时漏掉负号，忘记根据角的范围判断 的正负； 2．两类关系极易记反： 而 ，中间的符号务必分清； 3．求得 后还需检验 是否成立，否则说明条件本身自相矛盾。 知识点3　诱导公式（公式一至六） 借助单位圆的对称性，可得以下六组诱导公式（）： 组别 角的形式 公式 公式一 ，， 公式二 ，， 公式三 ，， 公式四 ，， 公式五 ， 公式六 ， 公式一至四中函数名保持不变，公式五、六中函数名改变（正弦与余弦互换）。 【方法技巧】 1．任意角的三角函数都可化为 内角的三角函数：先"去周"（公式一），再"化正"（公式三），最后"化锐"（公式二或公式四）； 2． 型用公式五、公式六，实现"正弦与余弦互换"； 3．记忆口诀"奇变偶不变，符号看象限"：把 中的 分为奇数、偶数， 为奇数时函数名改变， 为偶数时函数名不变；符号则把 视为锐角，看原函数在原角所在象限内的符号。 【易错清单】 1．"符号看象限"看的是原函数在原角所在象限的符号，而不是变形后新函数的符号； 2．把 "视为锐角"只是判断符号的手段，并不改变 本身的取值范围； 3．正切的诱导公式易与正弦、余弦混淆，注意 而 ，两者形式相同但来源不同，需分别理解记忆。 知识点4　诱导公式的记忆与应用（奇变偶不变，符号看象限） 所有诱导公式都可统一成 的形式，其化简规律概括为口诀"奇变偶不变，符号看象限"： ①奇变偶不变：当 为奇数时函数名改变（ 与 互换），当 为偶数时函数名不变； ②符号看象限：把 看作锐角，判断原角（把 视为一个整体）所在象限，取原函数在该象限内的符号作为结果的符号。 例如，化简 ： 为奇数，函数名由 变为 ；把 视为锐角，则 在第四象限，而 在第四象限为负，故 。 【方法技巧】 1．"两步走"：先看 中 的奇偶定"变不变"，再看象限定"正负"，两问都答对才算完成； 2．化任意角为锐角三角函数时，"负化正、大化小、小化锐"是固定路线； 3．遇到含 、、 的式子，既可先用和差关系拆开，也可直接用口诀一次到位。 【易错清单】 1．把"奇变偶不变"中的"奇偶"误记为 的系数，实际看的是 的系数 ； 2．判断象限时忽略"把 看作锐角"这一前提，导致符号判断错误； 3．对 型，务必注意 前的符号，切勿把 与 混为一谈。 知识点5　同角关系与诱导公式的综合应用 同角关系与诱导公式的综合应用，常见于"化简—求值—证明"三类问题，其通法是：先用诱导公式把角统一到 （或某个基本角），再用同角关系把函数名统一，最后代入求值。 注意两条常用结论： ①、 是"名变换"的桥梁，常用于沟通已知条件与待求式； ②化简时常用"切化弦"，即把 化为 ，统一成 、 后再约分化简。 【方法技巧】 1．综合化简讲"三统一"：统一角、统一函数名、统一次数（齐次化）； 2．已知角与所求角互补或互余时，优先用诱导公式"凑角"，如 与 互余，两者可通过 相互转化； 3．证明三角恒等式有"由繁到简"与"左右归一"两法：从较繁的一边出发，逐步向另一边靠拢。 【易错清单】 1．化简时约去含 、 的因式前，先确认其不为零，否则会失根或产生错误； 2．"凑角"时符号与函数名必须同步处理，切忌只改角而不改名； 3．证明恒等式要"一步一变形、步步有依据"，不可对等式两边同时变形，以免出现循环论证。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　由同角关系求三角函数值（知一求二）　★★ 【解题技巧】"知一求二"的通用路线是：先定象限（或参数范围）→ 再定符号 → 后用平方关系与商数关系求值。若题目未限定象限，则以平方关系为核心，先求"平方值"，再分象限讨论符号。 【注意事项】①开方必判号：由 求 时，正负由角所在象限决定；②注意隐含范围：由 求值时要借助 的符号辅助定象限；③结果要检验：所得值必须满足 、。 【例1-1】（2025·天津卷·高考真题·T7）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】、 都在角 的终边上，由三角函数定义得 、，结合 求出 ，再用同角关系求 。 【解答过程】因为 、 都在角 的终边上，所以 ，即 ，。 由 ，得 。 于是 。故选 B。 【例1-2】已知 ，且 为第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由第四象限确定 ，用平方关系求 ，再由商数关系求 。 【解答过程】因为 为第四象限角，所以 。 由 得 ，故 。 所以 。故选 B。 【例1-3】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 的范围确定 ，用平方关系求 ，再整体代入化简求值。 【解答过程】因为 ，所以 。 由 ，得 。 所以 。故选 C。 【变式1-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由 在第二象限得 ，用平方关系求 ，再由商数关系求 。 【解答过程】因为 ，所以 。由 ，得 。 所以 。故选 B。 【变式1-2】已知 ，且 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 的绝对值求出 ，再由第二象限确定符号。 【解答过程】由 ，解得 ，故 。 因为 为第二象限角，所以 ，故 。故选 C。 【变式1-3】已知 是第二象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由 求出 ，再由象限定号。 【解答过程】由 得 ，故 。 因为 为第二象限角，所以 ，故 。故选 B。 【变式1-4】（2026·河北·石家庄·模拟改编）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】题目未限定象限，故 的符号无法确定，需分象限讨论，结果取正负两值。 【解答过程】由 得 ，故 。 由于 的象限未知， 的正负均可能成立。故选 C。 【变式1-5】已知 ， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用平方关系求出 ，再计算 。 【解答过程】由 ， 所以 。故选 A。 【变式1-6】已知 ， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用平方关系求 后开方，符号由第二象限确定。 【解答过程】由 ，得 。 因为 为第二象限角，所以 ，故 。故选 B。 【变式1-7】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数定义求 、，再代入计算。 【解答过程】由 ，得 ，。 所以 。故选 B。 重难点培优02　关于 、 的齐次式求值　★★ 【解题技巧】齐次式的处理口诀是"分子分母同除以 的幂，一次一除、二次二次除，化为 的式子再代入"。当分子分母同次时直接除；当分母缺失时，用 补一个"1"作分母，实现齐次化。 【注意事项】①先确认 才能除以 的幂；②齐次化时"1"的拆补要准确，一般把常数写成 ；③代入 的值后注意符号与分母是否为零，及时排除无意义的情形。 【例2-1】（2024·全国甲卷·文·高考真题·T9）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对已知分式的分子分母同除以 ，把条件化为 的方程，求出 后再代入两角和的正切公式。 【解答过程】由已知分子分母同除以 （）得 ， 所以 ，即 。 于是 。故选 B。 【例2-2】（2026·全国二卷·高考真题·T7）若 为第二象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用二倍角公式展开并约去 ，把条件化为 与 的齐次关系，结合平方关系求出 、，再代入求值。 【解答过程】因为 为第二象限角，所以 ，。 由 ，代入 、，并约去 ，得 ，即 ，整理得 。 结合 ，得 ，故 。 因为 为第二象限角，所以 ，。 于是 。故选 C。 【例2-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分子、分母都是关于 、 的二次齐次式，同除以 化为 的式子。 【解答过程】分子分母同除以 得 。 将 代入，得 。故选 B。 【变式2-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】一次齐次式，分子分母同除以 化为 的式子。 【解答过程】分子分母同除以 得 。故选 A。 【变式2-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分子分母同除以 ，化为只含 的式子。 【解答过程】。故选 A。 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】一次齐次式，分子分母同除以 。 【解答过程】分子分母同除以 得 。故选 A。 【变式2-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件得 ，把所求式齐次化后同除以 。 【解答过程】由 得 。 。故选 A。 【变式2-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分子分母同除以 ，把条件化为 的方程求解。 【解答过程】由已知得 ，即 ，解得 。故选 A。 【变式2-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 构造成分母为 的分式，再用平方关系齐次化。 【解答过程】。故选 A。 重难点培优03　 与 的互化　★★★ 【解题技巧】"三兄弟"互化的核心是两条恒等式：、。解题时"知一求二、整体代换"，并务必用 的范围锁定符号。 【注意事项】①符号判断是本题型的命门：由平方关系求 时，须借助 所在区间判断 与 的大小；②三次式的分解 要用 ；③验证相容性：所得 应满足 。 【例3-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用 求 ，再用 ，最后由 定符号。 【解答过程】由 ，得 ，即 。 因为 且 ，所以 ，，于是 。 又 ，故 。故选 A。 【例3-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用 求 ，再用立方差分解式求值。 【解答过程】由 ，得 。 所以 。故选 A。 【例3-3】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 求平方值，再由 判断正负。 【解答过程】由 。 因为 ，所以 ，故 ，从而 。故选 A。 【变式3-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 直接求解。 【解答过程】由 ，得 ，故 。故选 A。 【变式3-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 求解。 【解答过程】由 ，得 ，故 。故选 A。 【变式3-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 求解。 【解答过程】由 ，得 ，故 。故选 A。 【变式3-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再把 化为 。 【解答过程】由 ，得 。 而 。故选 A。 【变式3-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再用立方差分解式求值。 【解答过程】由 ，得 。 所以 。故选 A。 【变式3-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 求 ，再求 ；因 的范围未知，符号不能确定。 【解答过程】由 ，得 。 所以 ，故 。故选 C。 重难点培优04　利用诱导公式化简求值　★★★ 【解题技巧】诱导公式化简"三步走"：一看角（化为 、、 的标准形式）→ 二定名（ 的奇偶决定变不变）→ 三判号（把 看作锐角，取原函数的符号）。合并同类项前，先把每个三角函数都化成"同名单角"。 【注意事项】①"奇变偶不变"看的是 的系数，不是 的系数；②"符号看象限"看的是原函数，例如 ，符号取 在第二象限的符号；③化简含有 的式子时，角与函数名要同时改变。 【例4-1】（2025·天津卷·高考真题·T1）""是""成立的（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解题思路】分别验证充分性与必要性：充分性用诱导公式 ；必要性举反例。 【解答过程】若 ，则 ，由诱导公式得 ，充分性成立。 反之，取 ，则 ，但 ，必要性不成立。 故""是""成立的充分不必要条件。故选 A。 【例4-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把两个式子化为只含 、 的形式，再代入。 【解答过程】由诱导公式 ，。 所以原式 。故选 A。 【例4-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】观察两角关系：，用诱导公式"凑角"转化。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选 A。 【变式4-1】（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用公式一"去周"，再用公式三、四化为锐角三角函数。 【解答过程】。故选 A。 【变式4-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用 凑角转化。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选 A。 【变式4-3】（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用诱导公式把各角化为锐角后求值。 【解答过程】； ； 。 所以原式 。故选 A。 【变式4-4】已知 为第三象限角，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式求出 ，再由第三象限用平方关系求 ，最后由商数关系求 。 【解答过程】由 ，得 。 因为 为第三象限角，所以 ，由 得 。 所以 。故选 A。 【变式4-5】化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逐个用诱导公式化简，再合并同类项。 【解答过程】，，，。 所以原式 。故选 A。 【变式4-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用 凑角转化。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选 A。 重难点培优05　诱导公式与同角关系的综合　★★★ 【解题技巧】综合题的"三统一"策略：统一角（把各角都归结到同一个角）、统一函数名（弦化切或切化弦）、统一次数（齐次化）。遇到"和差式＋同角式"的条件，务必先判断式中各项的符号，再与同角关系联立。 【注意事项】①符号取舍来自范围：如 时 但 的符号需再判；②联立方程后要检验，所求解必须同时满足 、；③不要遗漏隐含条件，如分母不为零、正切有意义。 【例5-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题·T4）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 得 与 的关系，代入两角和的余弦展开式，求出 、，再求 。 【解答过程】由 ，得 。 又 ，代入 ， 得 ，即 ，所以 ，。 于是 。故选 A。 【例5-2】（2025·全国二卷·高考真题·T8）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先用二倍角公式求出 ，再由范围用同角关系求 ，最后代入两角和的正弦公式。 【解答过程】由二倍角公式 。 因为 ，所以 ，由 得 。 所以 。故选 D。 【例5-3】已知 ，且 为第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式由条件求 ，再由第四象限求 、，最后化简待求式代入。 【解答过程】由 ，得 。 因为 为第四象限角，所以 ，由 得 ，。 化简原式：，，。 所以原式 。故选 A。 【变式5-1】化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逐个用诱导公式化简，再约分。 【解答过程】，，，。 所以原式 。故选 A。 【变式5-2】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式求 ，再用同角关系求 ，最后合并。 【解答过程】由 ，且 ，得 。 又 ，所以 。故选 A。 【变式5-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件求 ，再用诱导公式化简各项。 【解答过程】由 ，得 。 ；。 所以原式 。故选 A。 【变式5-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把条件化为 ，再用平方关系求 。 【解答过程】由 ，，得 。 两边平方得 ，故 。故选 A。 【变式5-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式化简，再把结果化为含 的式子。 【解答过程】，，。 所以原式 。故选 A。 【变式5-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用 凑角转化。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选 A。 重难点培优06　含参三角函数式的化简与求值　★★★ 【解题技巧】含参问题的"两条主线"：一是用 建立参数的方程，二是用象限（或范围）对参数取舍。若参数出现在 与 中，则常用韦达定理结合"三兄弟"关系联立。 【注意事项】①参数取舍必须依赖条件：求出的参数要代回检验，确保角所在象限与题意一致；②判别式与范围：把 、 视为二次方程的根时，须验证判别式不小于零；③定义域意识：分母中的 、 不为零，正切要有意义。 【例6-1】已知 ，，且 为第四象限角，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【解题思路】由 列方程求 ，再用第四象限的符号条件取舍。 【解答过程】由 得 ， 即 ，展开整理得 ， 化简得 ，解得 或 。 当 时，，，符合第四象限； 当 时，，不符合第四象限，舍去。 所以 。故选 A。 【例6-2】已知 、 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由韦达定理得 与 ，再用 列方程求 。 【解答过程】由韦达定理，，。 由 得 ， 所以 ，解得 。 检验：当 时，方程判别式 ，方程有两个实根，符合题意。故选 A。 【例6-3】设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把 化简为 的式子，再代入 。 【解答过程】，，，。 所以 。 于是 。故选 A。 【变式6-1】已知 ，， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由第二象限确定 ，再由平方关系求 。 【解答过程】因为 为第二象限角，所以 ，故 。 由 得 ，即 ，故 （ 舍去）。故选 A。 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 求解。 【解答过程】由 ，得 ，故 。故选 A。 【变式6-3】已知 、 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用韦达定理结合 求 。 【解答过程】由韦达定理，，。 由 得 ，故 。 检验： 时，，符合题意。故选 A。 【变式6-4】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 化为 ，由 的范围求整体角的范围，进而求 的范围。 【解答过程】。 由 得 ，所以 。 故 。故选 A。 【变式6-5】设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式化简 ，再代入求值。 【解答过程】，，。 所以 ，故 。故选 A。 【变式6-6】已知 ，且 为第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 求出 、，再由第三象限确定符号。 【解答过程】由 得 ，故 ，。 因为 为第三象限角，所以 ，，即 ，。 所以 。故选 A。 重难点培优07　三角函数式的最值（配方法与换元）　★★★★ 【解题技巧】三角函数求最值有两大通法：一是二次型用配方——把式子化成关于某个三角函数（或关于 ）的二次函数，由该三角函数的取值范围定最值；二是换元法——令 ，则 ，把问题转化为 的二次函数，注意 。 【注意事项】①换元必须同步换范围：令 后，务必写清 ，否则最值会取在区间外；②顶点是否落在区间内要判断，不可直接套用顶点值；③等号成立条件要能取到，需说明对应的角是否存在。 【例7-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令 ，用"三兄弟"关系把 化为 的式子，转化为二次函数在区间上求最值。 【解答过程】令 ，则 ，故 ，且 。 于是 。 因为 ，抛物线开口向上，且 的对称轴更靠近右端点，故当 （即 ）时 取最大值， 最大值为 。故选 A。 【例7-2】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用平方关系与二倍角公式把函数化为 的形式，再由正弦函数的有界性求最值。 【解答过程】 。 因为 ，所以 的最小值为 。故选 A。 【例7-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令 ，则 ，把问题转化为关于 的函数在给定区间上的最值。 【解答过程】令 ，则 ，且 。 于是 。 因为 在 上单调递增，所以当 （即 ）时取最大值， 最大值为 。故选 A。 【变式7-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用辅助角公式化为正弦型函数后求最值。 【解答过程】，其最大值为 。故选 A。 【变式7-2】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用平方关系化为关于 的二次函数，再在 上求最值。 【解答过程】。 因为 ，当 时 ，当 时 ，而顶点 处 。 所以 的最小值为 。故选 A。 【变式7-3】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令 ，转化为二次函数在 上求最值。 【解答过程】令 ，则 ，。 ，对称轴 ， 所以当 时 取最小值 。故选 A。 【变式7-4】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用"乘 法"与柯西不等式的思想：，再结合 求下界。 【解答过程】由柯西不等式得 。 又 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立。所以最小值为 。故选 A。 【变式7-5】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用平方关系化为关于 的二次函数，判断顶点是否在 内。 【解答过程】。 这是关于 的二次函数，开口向下，对称轴 ， 所以当 时取最大值 。故选 A。 【变式7-6】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由"三兄弟"关系把 表示为 的式子，再由 求最大值。 【解答过程】由 得 。 因为 ，所以 ，故 的最大值为 （当 时取到）。故选 A。 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题的"三字诀"：读（逐字读清定义中的运算符号与条件）、译（把新符号翻译成同角关系与诱导公式）、算（代入计算并检验取值范围）。与集合、函数交汇时，先算值、再定集合、后判断关系，切忌凭印象套用旧结论。 【注意事项】①新符号不是旧公式的"换皮"，务必按定义逐步代入；②与集合交汇时要用互异性去重，相同元素只算一个；③涉及值域时要同时考虑定义域的限制（如分母不为零），不可只做形式化简。 【例8-1】（2026·江苏·南京·模拟）已知集合 ，则集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用诱导公式求出三个三角函数值，再由集合中元素的互异性确定元素个数。 【解答过程】； ； 。 所以 ，由元素的互异性知 中元素的个数为 。故选 B。 【例8-2】（2026·湖北·武汉·模拟）定义运算 。若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义把新符号翻译成诱导公式，逐项代入求值。 【解答过程】由定义 。 代入 ，，得 。故选 A。 【例8-3】（2026·四川·成都·模拟）对于任意角 ，定义 ，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用诱导公式化简 ，注意分母不为零给出定义域，再结合余弦函数的值域求值域。 【解答过程】由诱导公式，，，。 所以 ，其中 ，即 。 当 时， 可以取遍 内的一切值，所以 的值域为 。故选 B。 【变式8-1】定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义用诱导公式化简后代入求值。 【解答过程】由定义 。 代入 ，，得 。故选 A。 【变式8-2】定义 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用诱导公式化简后合并同类项。 【解答过程】，，所以 。故选 A。 【变式8-3】已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求三个三角函数值，再由互异性去重。 【解答过程】；；。 所以 ，含 个元素。故选 B。 【变式8-4】对于任意角 ，定义 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用诱导公式化简后套用平方关系。 【解答过程】，，所以 。故选 A。 【变式8-5】定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义用诱导公式化简后再代入。 【解答过程】由定义 。 代入 ，得 。故选 A。 【变式8-6】已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求三个三角函数值，再判断是否互异。 【解答过程】；；。 三个值互不相同，所以 中含 个元素。故选 C。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知 ， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由第二象限确定 ，再用平方关系求值。 【解答过程】由 ，且 为第二象限角知 ， 所以 。故选 C。 2．【巩固】（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用诱导公式化为锐角三角函数。 【解答过程】。故选 B。 3．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】齐次式，分子分母同除以 化为 的式子。 【解答过程】。故选 D。 4．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用"三兄弟"关系 求解。 【解答过程】由 ，得 ，故 。故选 B。 5．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用 凑角转化。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选 C。 6．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分子分母同除以 ，把条件化为 的方程。 【解答过程】由 得 ，即 ， 所以 。故选 A。 7．【进阶】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】配方为关于 的二次函数，在 上求最大值。 【解答过程】。 因为 ，当 时 ，当 时 ， 所以最大值为 。故选 D。 8．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把前两项齐次化后用 表示，再加上常数 。 【解答过程】。 所以原式 。故选 C。 二、多选题 9．【进阶】已知 ，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】用"齐次化"把各选项表示为 的式子，逐一验证。 【解答过程】由 。 A．，正确； B．，正确； C．，正确； D．，错误。 故选 ABC。 10．【进阶】已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】先用"三兄弟"关系求 与 ，再由范围求出 、。 【解答过程】由 得 。 因为 ，所以 ，，。 由 ，得 。 联立 ，，解得 ，，。 所以 A、B、C 正确，D 错误。故选 ABC。 11．【培优】已知 ，且 为第三象限角，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】先用诱导公式求 ，再由第三象限求 、，逐项判断。 【解答过程】由 ，得 ，A 正确。 因为 为第三象限角，由 得 ，B 正确。 ，C 错误。 ，D 正确。 故选 ABD。 12．【培优】已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． D． 为奇函数 【答案】ABD 【解题思路】先用诱导公式化简 ，再判断最值、特殊值与奇偶性。 【解答过程】。 由 得 ，故 A、B 正确。 ，C 错误。 对任意 ，，故 为奇函数，D 正确。 故选 ABD。 三、填空题 13．【巩固】（2026·山东·模拟）已知 ，且 为第四象限角，则 ______． 【答案】 【解题思路】由第四象限确定 ，再用平方关系与商数关系求 。 【解答过程】由 且 ，得 ， 所以 。 14．【进阶】（2026·浙江·模拟）已知 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】把分子分母都齐次化为 的式子后代入。 【解答过程】。 代入 得 。 15．【进阶】（2026·安徽·模拟）已知 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】利用 凑角转化。 【解答过程】因为 ， 所以 。 16．【培优】（2026·湖南·模拟）已知 ，，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求 与 ，再联立求出 、。 【解答过程】由 得 。因为 ，所以 。 由 得 。 联立解得 ，，所以 。 四、解答题 17．【进阶】已知 ，． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 【答案】(1) ，；(2) ． 【解题思路】(1) 由范围定符号后用平方关系与商数关系；(2) 先用诱导公式化简，再代入。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 。 由 ，得 ，从而 。 (2) 由诱导公式，，，，。 所以原式 。 18．【进阶】已知 ，求下列各式的值： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】两个式子都通过"除以 的幂"齐次化，化为 的式子后代入。 【解答过程】(1) 分子分母同除以 ，得 。 (2) ， 所以原式 。 19．【培优】已知 ，． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 【答案】(1) ，；(2) ． 【解题思路】(1) 用"三兄弟"关系求出两个量；(2) 联立方程组求 、 后求 。 【解答过程】(1) 由 ，得 。 因为 ，所以 ，，从而 。 由 ，得 。 (2) 由 解得 ，， 所以 。 20．【培优】已知函数 ． (1) 化简 ； (2) 若 ，求 的值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 逐个用诱导公式化简分子分母，再约分；(2) 代入 的值。 【解答过程】(1) 由诱导公式，，，，。 所以 。 (2) 当 时，。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　同角三角函数的基本关系 4 知识点2　 与 的关系（"三兄弟"） 5 知识点3　诱导公式（公式一至六） 6 知识点4　诱导公式的记忆与应用（奇变偶不变，符号看象限） 7 知识点5　同角关系与诱导公式的综合应用 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　由同角关系求三角函数值（知一求二）　★★ 9 重难点培优02　关于 、 的齐次式求值　★★ 10 重难点培优03　 与 的互化　★★★ 11 重难点培优04　利用诱导公式化简求值　★★★ 13 重难点培优05　诱导公式与同角关系的综合　★★★ 14 重难点培优06　含参三角函数式的化简与求值　★★★ 15 重难点培优07　三角函数式的最值（配方法与换元）　★★★★ 17 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 18 五、过关检测 20 一、单选题 20 二、多选题 21 三、填空题 22 四、解答题 22 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 同角三角函数的基本关系 理解平方关系 与商数关系 ，能由同一个角的某个三角函数值求出其余三角函数值 三角函数值的符号 "一全正、二正弦、三正切、四余弦"，会依据角所在的象限（或终边位置）判断三角函数值的正负 诱导公式（公式一至六） 能借助单位圆的对称性推导 、、 的诱导公式，会用公式把任意角的三角函数化为锐角三角函数 诱导公式的记忆与应用 理解"奇变偶不变，符号看象限"的含义，能准确判断函数名是否改变与结果的正负 同角关系与诱导公式的综合 能对三角函数式进行化简、求值与证明，会处理齐次式、 与 的互化及含参问题 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国二卷 T7 同角关系与齐次式，求含 的分式的值 ★★★ 2026 全国一卷 T7 诱导公式与两角和（差）公式的化简求值 ★★★ 2025 全国二卷 T8 由半角余弦值经二倍角、同角关系求 ★★ 2025 全国一卷 T11 解三角形背景下二倍角公式、诱导公式的综合 ★★★★ 2025 北京卷 T13 由 探求角的关系（诱导公式、和差公式） ★★★ 2025 天津卷 T1 ""与""的充分必要性（诱导公式） ★★ 2025 天津卷 T7 由终边上两点坐标结合同角关系求 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T4 同角（商数）关系与两角和的余弦公式求值 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T13 同角基本关系与两角和的正切公式求 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T9 正、余弦齐次式与两角和的正切公式求值 ★★★ 2024 上海卷 T4 同角关系、二倍角公式与三角函数的最小正周期 ★★ 考情分析 同角三角函数的两个基本关系式与诱导公式，是三角函数化简、求值的"通用工具"。近三年高考对本板块的考查呈现三个特点：一是"常态直接考"，如 2025 年全国二卷 T8、2026 年全国二卷 T7，均以"给出一个三角关系式、求另一个三角函数值"的形式出现；二是"隐蔽工具化"，把诱导公式与同角关系嵌入解三角形、函数性质等问题中，如 2024 年新课标Ⅰ卷 T4、2025 年全国一卷 T11；三是"重视变形与符号"，正、余弦齐次式，"三兄弟"式，含参化简与求最值，是拉开区分度的主战场。依据《普通高中数学课程标准》，本板块核心素养指向"数学运算、逻辑推理与直观想象"。预测 2027 年高考仍以选择、填空为主，分值 5～10 分。 复习目标 1．准确理解并熟记平方关系与商数关系，掌握"知一求二"的完整流程：定象限、定符号、定数值； 2．熟练掌握"齐次式化切"与"、 互化"两大核心变形技巧； 3．牢记诱导公式一至六，能用"奇变偶不变，符号看象限"快速化简任意角的三角函数式； 4．突破诱导公式与同角关系的综合应用，以及含参三角函数式的化简、求值与最值问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　同角三角函数基本关系式及诱导公式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　同角三角函数的基本关系 对同一个角 （在使函数有意义的范围内），成立如下两个基本关系： ①平方关系：，对一切 恒成立； ②商数关系：，其中 。 常用变形有：，，，以及 。由同一个角的某个三角函数值求其余三角函数值，称为"知一求二"，其一般步骤为：先由角 的终边所在象限确定三角函数值的符号，再用平方关系求出另一个三角函数值，最后由商数关系求出正切。 【方法技巧】 1．"知一求二"三步定音：定象限 → 定符号 → 定数值；若未给出象限，则需分象限讨论，或先求出"平方值"再回代； 2．求 时"弦化切、切化弦"灵活切换，已知 与 之比可直接得 ； 3．平方关系可用于"配方"：见到 、、 中的任意一个，都可借助 求出其余两个。 【易错清单】 1．使用商数关系时忽略 的条件，导致增解或错误； 2．由平方关系开方时忘记"符号由象限决定"，只取正号，是本专题最高频的失分点； 3．"知一求二"所得结果必须满足 、，出现绝对值大于 的"解"应直接舍去。 知识点2　 与 的关系（"三兄弟"） 记 ，，，三者由下列关系式相互联系，常称为"三兄弟"： ①，即 与 可互求； ②，即 与 可互求； ③，即两个和差式可互求，但符号需由角 的范围确定。 由 还可得 、，于是 、、 三者"知一求二"。 【方法技巧】 1．"三兄弟"问题"知一求二"：只需知道 、、 中的一个，就能用 、 求出另外两个； 2．求 或 时，符号由 的范围决定：先找出 所在区间，据此判断 与 的大小关系定号； 3．把 视为整体参与运算，可快速化简 一类分式。 【易错清单】 1．由 求 时漏掉负号，忘记根据角的范围判断 的正负； 2．两类关系极易记反： 而 ，中间的符号务必分清； 3．求得 后还需检验 是否成立，否则说明条件本身自相矛盾。 知识点3　诱导公式（公式一至六） 借助单位圆的对称性，可得以下六组诱导公式（）： 组别 角的形式 公式 公式一 ，， 公式二 ，， 公式三 ，， 公式四 ，， 公式五 ， 公式六 ， 公式一至四中函数名保持不变，公式五、六中函数名改变（正弦与余弦互换）。 【方法技巧】 1．任意角的三角函数都可化为 内角的三角函数：先"去周"（公式一），再"化正"（公式三），最后"化锐"（公式二或公式四）； 2． 型用公式五、公式六，实现"正弦与余弦互换"； 3．记忆口诀"奇变偶不变，符号看象限"：把 中的 分为奇数、偶数， 为奇数时函数名改变， 为偶数时函数名不变；符号则把 视为锐角，看原函数在原角所在象限内的符号。 【易错清单】 1．"符号看象限"看的是原函数在原角所在象限的符号，而不是变形后新函数的符号； 2．把 "视为锐角"只是判断符号的手段，并不改变 本身的取值范围； 3．正切的诱导公式易与正弦、余弦混淆，注意 而 ，两者形式相同但来源不同，需分别理解记忆。 知识点4　诱导公式的记忆与应用（奇变偶不变，符号看象限） 所有诱导公式都可统一成 的形式，其化简规律概括为口诀"奇变偶不变，符号看象限"： ①奇变偶不变：当 为奇数时函数名改变（ 与 互换），当 为偶数时函数名不变； ②符号看象限：把 看作锐角，判断原角（把 视为一个整体）所在象限，取原函数在该象限内的符号作为结果的符号。 例如，化简 ： 为奇数，函数名由 变为 ；把 视为锐角，则 在第四象限，而 在第四象限为负，故 。 【方法技巧】 1．"两步走"：先看 中 的奇偶定"变不变"，再看象限定"正负"，两问都答对才算完成； 2．化任意角为锐角三角函数时，"负化正、大化小、小化锐"是固定路线； 3．遇到含 、、 的式子，既可先用和差关系拆开，也可直接用口诀一次到位。 【易错清单】 1．把"奇变偶不变"中的"奇偶"误记为 的系数，实际看的是 的系数 ； 2．判断象限时忽略"把 看作锐角"这一前提，导致符号判断错误； 3．对 型，务必注意 前的符号，切勿把 与 混为一谈。 知识点5　同角关系与诱导公式的综合应用 同角关系与诱导公式的综合应用，常见于"化简—求值—证明"三类问题，其通法是：先用诱导公式把角统一到 （或某个基本角），再用同角关系把函数名统一，最后代入求值。 注意两条常用结论： ①、 是"名变换"的桥梁，常用于沟通已知条件与待求式； ②化简时常用"切化弦"，即把 化为 ，统一成 、 后再约分化简。 【方法技巧】 1．综合化简讲"三统一"：统一角、统一函数名、统一次数（齐次化）； 2．已知角与所求角互补或互余时，优先用诱导公式"凑角"，如 与 互余，两者可通过 相互转化； 3．证明三角恒等式有"由繁到简"与"左右归一"两法：从较繁的一边出发，逐步向另一边靠拢。 【易错清单】 1．化简时约去含 、 的因式前，先确认其不为零，否则会失根或产生错误； 2．"凑角"时符号与函数名必须同步处理，切忌只改角而不改名； 3．证明恒等式要"一步一变形、步步有依据"，不可对等式两边同时变形，以免出现循环论证。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　由同角关系求三角函数值（知一求二）　★★ 【例1-1】（2025·天津卷·高考真题·T7）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-2】已知 ，且 为第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-3】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知 ，且 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知 是第二象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（2026·河北·石家庄·模拟改编）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知 ， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-6】已知 ， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-7】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　关于 、 的齐次式求值　★★ 【例2-1】（2024·全国甲卷·文·高考真题·T9）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·全国二卷·高考真题·T7）若 为第二象限角，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例2-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优03　 与 的互化　★★★ 【例3-1】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例3-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例3-3】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优04　利用诱导公式化简求值　★★★ 【例4-1】（2025·天津卷·高考真题·T1）""是""成立的（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例4-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】已知 为第三象限角，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】化简 （　　） A． B． C． D． 【变式4-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优05　诱导公式与同角关系的综合　★★★ 【例5-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题·T4）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2025·全国二卷·高考真题·T8）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-3】已知 ，且 为第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-1】化简 （　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优06　含参三角函数式的化简与求值　★★★ 【例6-1】已知 ，，且 为第四象限角，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【例6-2】已知 、 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 【例6-3】设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知 ，， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知 、 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-6】已知 ，且 为第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优07　三角函数式的最值（配方法与换元）　★★★★ 【例7-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例7-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-6】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【例8-1】（2026·江苏·南京·模拟）已知集合 ，则集合 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·湖北·武汉·模拟）定义运算 。若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·四川·成都·模拟）对于任意角 ，定义 ，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-2】定义 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-3】已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】对于任意角 ，定义 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-5】定义运算 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-6】已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知 ， 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 2．【巩固】（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．【进阶】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】已知 ，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．【培优】已知 ，且 为第三象限角，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 12．【培优】已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． D． 为奇函数 三、填空题 13．【巩固】（2026·山东·模拟）已知 ，且 为第四象限角，则 ______． 14．【进阶】（2026·浙江·模拟）已知 ，则 ______． 15．【进阶】（2026·安徽·模拟）已知 ，则 ______． 16．【培优】（2026·湖南·模拟）已知 ，，则 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知 ，． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 18．【进阶】已知 ，求下列各式的值： (1) ； (2) ． 19．【培优】已知 ，． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 20．【培优】已知函数 ． (1) 化简 ； (2) 若 ，求 的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $