专题4.4 三角函数的图象与性质（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题4.4 三角函数的图象与性质（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 4 知识点2　三角函数的定义域与值域（最值） 6 知识点3　三角函数的单调性与单调区间 7 知识点4　三角函数的奇偶性、对称性与周期性 7 知识点5　三角函数的图象变换（平移与伸缩） 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　求三角函数的单调区间　★★ 10 重难点培优02　由单调性（或最值）求参数范围　★★★ 13 重难点培优03　三角函数的周期性与对称性　★★★ 16 重难点培优04　三角函数的值域与最值（换元法/整体法）　★★ 19 重难点培优05　三角函数的图象变换与解析式确定　★★★ 23 重难点培优06　由图象求解析式（含参数）　★★★ 25 重难点培优07　三角函数性质的综合应用　★★★★ 29 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 32 五、过关检测 36 一、单选题 36 二、多选题 38 三、填空题 40 四、解答题 42 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 三角函数的图象 能画出 、、 的图象，会用"五点法"作 的简图，理解正弦曲线与余弦曲线之间的平移关系 三角函数的性质 理解三个基本函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性与对称性，能把 整体当作一个角来处理 三角函数的图象变换 理解平移变换与伸缩变换的规律，能由 的图象经过变换得到 的图象 三角函数的综合应用 会用整体代换与换元法求定义域、值域、单调区间与最值，能由性质或图象反向确定参数 近三年高考真题对三角函数的图象与性质板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T13 由偶函数与单调递增双条件确定参数 ，再求函数值 ★★★ 2026 北京卷 T8 图象平移后与原图象关于 轴对称，求参数个数 ★★★★ 2026 天津卷 T16 正弦型函数的最小正周期、区间最值与单调性 ★★★ 2025 全国一卷 T4 正切函数的对称中心，求参数的最小值 ★★ 2025 全国二卷 T6 二倍角公式与三角函数的化简求值 ★★ 2025 北京卷 T8 由恒成立与存在零点求 的最小值 ★★★★ 2025 天津卷 T8 由单调性、对称轴与对称中心求解析式及最值 ★★★★ 2025 上海卷 T5 余弦型函数在给定区间上的值域 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T7 正弦型函数与 图象的交点个数 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T9 两个正弦型函数的零点、最值、周期与对称轴 ★★★ 2024 天津卷 T7 正弦型函数的周期与区间最值 ★★ 2024 全国甲卷·文 辅助角公式化简后求区间最大值 ★★ 考情分析 三角函数的图象与性质是高考的"高频主战场"，近三年在全国卷与各自主命题省份卷中几乎年年现身，考查方式以小题为主、兼顾解答题首问，分值 5～15 分。从 2024—2026 年的真题看，命题呈现三个鲜明特征：一是由性质反求参数成为主流，2026 年全国一卷第 13 题由偶函数与单调递增双条件筛出参数，2026 年北京卷第 8 题借图象平移与轴对称求参数个数；二是数形结合与整体代换并用，2024 年新课标Ⅰ卷以两曲线的交点个数考查图象直观，2024 年天津卷以整体代换求区间最值；三是交汇性增强，三角函数与函数零点、奇偶性、恒成立等交汇命题，如 2024 年新课标Ⅱ卷把函数零点与余弦函数捆绑考查。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本板块的核心素养指向"直观想象、数学运算与逻辑推理"。预测 2027 年高考仍以"图象与性质的综合"为主线，并以"含参讨论、图象变换、新定义交汇"为载体提升区分度。 复习目标 1．准确记忆三个基本函数的图象与性质，能用"五点法"迅速作出 的简图； 2．熟练运用整体代换求三角函数的定义域、值域、单调区间与对称轴（对称中心）； 3．掌握由性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）反求参数的通性通法，形成"列式—筛选—检验"的固定动作； 4．突破图象变换与由图象求解析式两类问题，理清"先平移后伸缩"与"先伸缩后平移"的本质区别。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　三角函数图象与性质知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 用"五点法"可以作出 与 在一个周期内的简图： 的五个关键点为 、、、、； 的五个关键点为 、、、、。正切曲线则由直线 分隔成无数支，每支都单调递增。 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 函数 对称轴 对称中心 单调递增区间 单调递减区间 无 无 上表各式中均默认 。其中三点结论最为核心： ①正弦曲线与余弦曲线只相差一个平移：把 的图象向左平移 个单位即得 的图象，故 ； ②正弦、余弦曲线的对称中心都在 轴（零点）上，而正切曲线的对称中心还包括它与 轴的交点，即形如 ，这是最易漏掉的一类对称中心； ③正切函数在每个区间 内单调递增，但在整个定义域上并不单调。 【方法技巧】 1．画图优先"五点法"：列表时让 依次取 ，再反解对应的 与 ，标点连线即成简图； 2．求对称轴即令 （正弦型）或 （余弦型），求对称中心即令 （正弦型）或 （余弦型），解出 即可； 3．遇到 ，先用诱导公式把 化为正，再套用上述结论，可避免单调性判断反向。 【易错清单】 1．正切曲线的对称中心是 而不是 ，正切函数的对称中心比正弦、余弦函数"多一倍"； 2．对称轴一定出现在最值点处，自变量取到对称轴时函数值必须等于 ，这是检验对称轴是否算错的最快办法； 3．正切函数的定义域中不要漏写 ，更不能把定义域写成 而丢掉 的范围。 知识点2　三角函数的定义域与值域（最值） 求三角函数的值域（最值），核心是把式子"化归"为同一角、同一函数名的形式，再借助基本函数的取值规律求解。常用路径有三条： ①化为 的形式，先由自变量的限制求出整体角 的范围，再用 （或 ）的图象求值域； ②利用 降幂换元，把式子化归为关于 或 的二次函数，注意换元后新变量的取值范围必须同步求出； ③利用有界性 、 或辅助角公式，把含参的分式型、平方式化为可解的不等式。 三个基本函数在给定区间上的值与整体角密切相关，掌握下表即可快速定位： 整体角 的范围 的取值要点 的取值要点 含 于内部 最大值在 处取 最大值在 处取 不含最值点 在区间端点处比较大小取最值 在区间端点处比较大小取最值 跨越 或 最小值可由 取 最小值可由 取 【方法技巧】 1．区间端点"取不取"决定最值"要不要"：若整体角的范围是闭区间，最值一定存在；若为开区间，须判断最值点是否落在内部； 2．含 与 的式子，统一换元 ，并牢记 、； 3．分式型 可反解出 ，再由 列不等式求值域。 【易错清单】 1．换元后忘记限定新元的范围是最常见的失分点，例如令 却仍按 讨论二次函数； 2．由 列不等式时，必须考虑分母的符号，不等式两边同乘含参式子时符号会改变方向； 3．求值域前先确认定义域，尤其含 或含根式时，定义域会直接"削掉"一部分取值。 知识点3　三角函数的单调性与单调区间 求 （，）的单调区间，采用整体代换法：把 整体看作一个新角 ，先写出 的单调区间，再解出 的范围。以 ， 为例： ①递增区间由 解出； ②递减区间由 解出； ③若 ，则单调性整体取反：由 的减区间解出的 范围恰是原函数的增区间。 对余弦型函数 （），把上述区间的两端点分别换成 、（增）与 、（减）即可。对正切型函数 （），递增区间由 解出，且正切型函数只有递增区间。 【方法技巧】 1．先把 化为正数是求单调区间的第一动作：若 ，先用 、 变形，再整体代换； 2．写出单调区间后务必补上""，并检查区间的开闭：正弦、余弦型用闭区间，正切型一律用开区间； 3．比较两个函数单调性时，可先化为同名函数，再比较"整体角"的系数与相位，避免逐段硬算。 【易错清单】 1． 时直接套用 的结论，区间会反向，这是本知识点最隐蔽的陷阱； 2．单调区间必须写成 的区间，写成整体角 的区间不能作为最终答案； 3．正切型单调区间不能取等号（端点处无定义），把开区间误写成闭区间会导致失分。 知识点4　三角函数的奇偶性、对称性与周期性 三角函数的对称性与周期性由"整体角"决定，核心结论如下（均设 ）： ①周期： 与 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ； ②对称轴：正弦型函数的对称轴满足 ，余弦型函数的对称轴满足 ，正切型函数没有对称轴； ③对称中心：正弦型函数的对称中心满足 ，余弦型函数的对称中心满足 ； ④奇偶性： 为奇函数 ；为偶函数 ； 的结论恰好互换。 两条常用推论值得牢记：相邻两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻两个对称中心之间的距离为半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心之间的距离为四分之一周期。 【方法技巧】 1．"求参数"问题的标准流程是先列恒等式、再解方程、最后代回检验，尤其是由奇偶性求 时，闭区间上的单调性条件常用来"筛掉"多余的解； 2．判断一个点是否为对称中心，只需检验函数值是否为 （正弦型）或是否为 之下的中心值（余弦型）； 3．遇到"恒成立"条件（如 对一切 成立），应立刻翻译为"对称轴（最值点）"来处理。 【易错清单】 1．对称中心是点而不是数，答案必须写成坐标形式 ，只写横坐标要扣分； 2．正切型函数没有对称轴，其对称中心为 ，套用正弦型结论必然出错； 3．由 求参数时，不要漏掉 的整周期解， 之类限制必须落实到最终答案上。 知识点5　三角函数的图象变换（平移与伸缩） 由 的图象得到 （，）的图象，有两条常用路径： ①先平移后伸缩：先把 的图象向左（）或向右（）平移 个单位，得到 ；再把横坐标缩短为原来的 倍（）或伸长到原来的 倍（），得到 ；最后把纵坐标变为原来的 倍； ②先伸缩后平移：先把横坐标缩短或伸长，得到 ；再向左或向右平移 个单位，得到 ；最后调整纵坐标。 两条路径中平移量不同是最大区别：先平移平移 ，先伸缩平移 。牢记口诀"看 的"净变化量""，即把式子写成 后再判断平移量，最不易错。 【方法技巧】 1．凡是"由 变换得 "的问题，优先选"先平移后伸缩"，因为平移量就是 ，直观不易错； 2．若题目已给出"先把横坐标变为原来的 倍"，则后续平移量必须改为 ，这一步是命题人最爱设的陷阱； 3．逆向问题（由 回到 ）按相反顺序、相反方向操作，且平移量仍看 的净变化量。 【易错清单】 1．把"先伸缩后平移"的平移量仍写成 ，导致图象"多走"或"少走"若干距离； 2．横坐标伸缩时只说"缩短"不说"到原来的几分之一"，表述含糊会直接丢分，务必写成"缩短为原来的 倍（纵坐标不变）"； 3．纵坐标伸缩与横坐标伸缩容易张冠李戴，口诀是"横变看 前系数，纵变看整个函数前的系数"。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　求三角函数的单调区间　★★ 【解题技巧】求 （或余弦型）单调区间的通法是整体代换：把 整体看作一个新角 ，先写出 的单调区间，再解出 的范围。务必先把 化为正数——当 时，先用诱导公式变号，否则所求区间会"整体反向"。 【注意事项】① 时绝不能直接套用 的结论，这是本重难点最隐蔽的陷阱；②单调区间必须化成 的范围并补上""；③正切型的单调区间端点一律取开，与正弦、余弦型不同；④系数 时，单调性整体取反。 【例1-1】（2026·湖北·武汉·五月学情调研）函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】整体代换：令整体角 落在 的增区间内，解出 的范围。 【解答过程】令 （）。 各边同加 得 ， 再同除以 得 。 故单调递增区间为 （）。故选 A。 【例1-2】（2025·山东·青岛·二模）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用 把 化为正数，再整体代换求减区间。 【解答过程】因为 ， 令 （）， 各边同加 得 ， 故 ， 即单调递减区间为 。故选 A。 【变式1-1】（2026·江苏·南京·三模）函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把" 的系数为负"化为余弦型，再用余弦函数的增区间求解。 【解答过程】因为 ， 令 （）， 解得 ，即 。 故单调递增区间为 。故选 A。 【变式1-2】（2026·河南·郑州·模拟）函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】正切型函数只有一个递增区间，令整体角落在 内，注意端点取开。 【解答过程】令 （）， 各边同加 得 ， 故 ， 即单调递增区间为 ，注意端点不能取到。故选 D。 【变式1-3】（2025·安徽·合肥·模拟）函数 的一个单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出全部单调递减区间，再取 得到题目要求的一个区间。 【解答过程】令 （）， 各边同减 得 ， 故 。取 ，得减区间 。故选 A。 【变式1-4】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用 把 的系数化为正，此时原函数的增区间对应 的减区间。 【解答过程】。 因为系数 ，所以 递增等价于 递减， 令 （）， 各边同加 得 ， 故 。故选 C。 【变式1-5】（2026·河北·石家庄·模拟）函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先化归为余弦型函数，常数 不影响单调性，再整体代换求减区间。 【解答过程】因为 ， 令 （），解得 ， 故单调递减区间为 。故选 A。 重难点培优02　由单调性（或最值）求参数范围　★★★ 【解题技巧】此类问题的通法是把"已知区间"整体代入整体角，再令其落入某个单调区间：即由 的范围求出 的范围，令这个范围是 （或其它单调区间）的子集，列出关于 的不等式组。掌握"区间是单调区间的子集"这一句话，题目就变成了解不等式。 【注意事项】①忽略 （或 为整数、 的范围）等附加条件会导致多解；②包含关系的方向写反是高频错误——必须是"已知区间 单调区间"；③端点取等号后必须回代检验，因为取等时单调性可能由"严格"变为"非严格"，也可能直接越出定义域。 【例2-1】（2026·全国一卷·高考真题改编）已知函数 （，）是偶函数，且 在区间 单调递增，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用偶函数条件把 筛到两个候选值，再用单调递增条件排除其中一个。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 对一切 成立，即 ，展开得 ， 整理得 对一切 成立，故 。 又 ，所以 或 。 若 ，则 ，此时 是最大值，函数在 上不可能单调递增，舍去； 若 ，则 ，取 得 ，它在 上单调递增，符合题意。 所以 。故选 C。 【例2-2】（2025·四川·成都·三模）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出整体角的范围，令其成为 的子集，解不等式组。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递增，需 落在 的增区间内，取 的情形，只需 ，解得 （左端点 恒成立）。 又 ，故 的取值范围为 。故选 A。 【变式2-1】（2026·辽宁·大连·模拟）若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出整体角范围，令其是余弦函数的减区间 的子集。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递减，需该区间是 （取 ）的子集，故 ，解得 。又 ，故 。故选 C。 【变式2-2】（2025·浙江·杭州·模拟）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出整体角范围并列两个端点不等式，取交集后再求最大值。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递增，需该区间是 的子集，于是 且 ， 解得 且 ，两者取交集得 。 所以 的最大值为 （此时 ，符合要求）。故选 B。 【变式2-3】（2026·福建·厦门·模拟）若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】整体角须落在正弦函数的减区间 内，两端点各列一式。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递减，需该区间是 （取 ）的子集，于是 且 ， 解得 且 ，即 （此时整体角确在减区间内部，端点取等可以）。故选 B。 【变式2-4】（2025·陕西·西安·模拟）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】整体角须落在余弦函数的增区间 内，只需控制右端点。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递增，需该区间是 （取 ）的子集， 故 ，解得 。又 ， 所以 。故选 B。 【变式2-5】（2026·重庆·模拟）已知函数 （，，）的最大值为 ，且其图象关于直线 对称，与该对称轴相邻的一个对称中心为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由最大值定 ，由"对称轴到相邻对称中心的距离等于四分之一周期"定 ，再由对称轴条件定 。 【解答过程】由最大值为 得 。 因为对称轴 与其相邻的对称中心 之间的距离为 ， 所以 ，得 ，从而 。 又 是对称轴，故 ，即 。 结合 ，取 得 。 所以 。故选 B。 重难点培优03　三角函数的周期性与对称性　★★★ 【解题技巧】对称性问题的"三步定音"：第一步化"整体角"，第二步列对称方程 （对称中心）或 （对称轴），第三步用 与已知条件解参数。相邻对称轴与对称中心之间恒为 ，这是联系"对称"与"周期"的最常用桥梁。 【注意事项】①正切函数的对称中心是 而不是 ，且正切型函数没有对称轴；②判断对称性前必须先化成"一个角、一个函数名"，否则结论不成立；③对称中心是点，答案必须写成坐标 。 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正切函数对称中心的结论，令整体角等于 ，解出 后取最小的正值。 【解答过程】因为 的对称中心为 （）， 所以 的对称中心的横坐标满足 ，即 。 当 时 ；当 时 ，不合题意。 故 时的最小值为 。故选 B。 【例3-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）对于函数 和 ，下列正确的有（　　） A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值 C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解题思路】逐项求零点、最值、最小正周期与对称轴，再作比较；比较技巧是代入特殊值排除。 【解答过程】A 项：由 得 的零点为 ；由 得 的零点为 。取 ，它是 的零点而不是 的零点，故 A 错误。 B 项：两个函数的振幅都是 ，最大值都是 ，故 B 正确。 C 项：两者的最小正周期都是 ，故 C 正确。 D 项： 的对称轴满足 ，即 ； 的对称轴满足 ，即 ，两者不同，故 D 错误。 故选 BC。 【变式3-1】（2026·广东·广州·模拟）函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】正弦型函数取到最值时的 即为对称轴，令整体角等于 求解。 【解答过程】令 （），得 ，即 。 取 得 。故选 B。 【变式3-2】（2025·江西·南昌·模拟）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】余弦型函数的对称中心处函数值为 ，令整体角等于 求解。 【解答过程】令 （），得 ，即 。 取 得 ，故一个对称中心为 。故选 A。 【变式3-3】（2026·山西·太原·模拟）已知函数 的最小正周期为 ，且 是 的最大值，则 的一个值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由周期定 ，再把"取得最大值"翻译为整体角等于 。 【解答过程】由 得 。 因为 是最大值，所以 （）， 即 。取 得 。故选 C。 【变式3-4】（2025·云南·昆明·模拟）已知函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】正弦型函数的对称中心处整体角等于 ，由此解出 关于 的表达式再取最小值。 【解答过程】因为图象关于点 对称，所以 （）， 即 ，故 。 又 ，取 得 的最小值为 （此时整体角为 ，函数值为 ，符合）。故选 B。 【变式3-5】（2026·广西·南宁·模拟）函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】相邻两条对称轴之间的距离等于半个周期。 【解答过程】 的最小正周期 ， 相邻两条对称轴之间的距离为 。故选 B。 【变式3-6】（2026·湖南·长沙·模拟）下列函数中，最小正周期为 且图象关于直线 对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由周期排除 D，再逐项把 代入对称轴方程检验。 【解答过程】D 项的最小正周期为 ，排除。 A 项：令 ，得 ，取 得 ，均不等于 ，排除。 B 项：令 ，得 ，取 得 ，符合。 C 项：令 ，得 ，不等于 ，排除。 故选 B。 重难点培优04　三角函数的值域与最值（换元法/整体法）　★★ 【解题技巧】求值域的"两条主线"：一是"化一名一角"，把式子化为 ，再借整体角求值域；二是"降幂换元"，把式子化为关于 （或 ）的二次函数，用 的范围求值域。换元后必须立刻写出新元的范围，这一步决定成败。 【注意事项】①换元不换范围是本重难点的头号错误，例如令 却仍按 求二次函数最值；②含 的式子常令 或 ，此时 且 ；③求最值时必须确认最值点是否落在给定区间内，落在区间外则改取端点。 【例4-1】（2024·天津·高考真题）已知函数 的最小正周期为 ，则 在区间 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由周期求 ，再把 的范围翻译为整体角的范围，最后比较端点与顶点处的函数值。 【解答过程】由 得 ，故 。 当 时，。 在 上递增、在 上递减， 而 ，，故 的最小值为 。 所以 的最小值为 。故选 D。 【例4-2】（2026·江苏·苏州·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 降幂，再令 转化为二次函数，注意 。 【解答过程】。 令 ，则 ，。 当 时 取最大值 ；当 时 取最小值 （ 时 的对比下也成立）。 故值域为 。故选 A。 【变式4-1】（2025·山东·济南·模拟）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出整体角的范围，再借助正弦曲线确定最小值与最大值。 【解答过程】当 时，。 在此区间上 的最大值为 （），最小值为 。 所以 的最大值为 ，最小值为 ，值域为 。故选 D。 【变式4-2】（2025·山东·济南·二模）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令 ，把 用 表示，转化为二次函数，注意 。 【解答过程】令 ，则 ，且 ， 故 。于是 。 该二次函数在 上单调递增，当 时取最大值 。故选 A。 【变式4-3】（2026·湖北·宜昌·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令 ，判断分式函数在 上的单调性，再求两端点处的值。 【解答过程】令 ，则 ，。 因为 ，所以 ，从而 。 故值域为 。故选 A。 【变式4-4】（2025·河南·洛阳·模拟）函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】整体角的范围中包含 ，故最大值在 处取到，最小值在区间端点处比较得出。 【解答过程】当 时，。 在此区间上 的最大值为 （），最小值为 。 所以 的最大值为 ，最小值为 ，值域为 。故选 B。 【变式4-5】（2026·四川·绵阳·模拟）若函数 在 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】降幂后令 ，转化为二次函数在闭区间 上的最值，按顶点位置分类讨论。 【解答过程】。令 ，则 ，。 其图象开口向下、对称轴为 。 若 （即 ），最大值在顶点处取得，为 ，得 ； 若 ，最大值在 处取得，为 ，与 矛盾； 若 ，最大值在 处取得，为 ，与 矛盾。 综上 。故选 C。 重难点培优05　三角函数的图象变换与解析式确定　★★★ 【解题技巧】两条变换路径的区别只在平移量："先平移后伸缩"平移 个单位；"先伸缩后平移"平移 个单位。判断平移量的万能办法是先把式子写成 ，再看 的"净变化量"。 【注意事项】①横坐标伸缩后，平移量必须按新的 系数折算，"忘折算"是最高频失分点；②描述伸缩变换时必须同时说明"纵坐标（横坐标）不变"，表述不全要扣分；③逆向问题（由变换后的式子还原原式）要按相反方向、相反顺序操作，平移量仍看 的净变化量。 【例5-1】（2026·安徽·合肥·八中·学情检测）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位 【答案】B 【解题思路】把目标函数写成 ，由 的净变化量判断平移方向与距离。 【解答过程】。 因为 被减去了 ，所以应把 的图象向右平移 个单位。故选 B。 【例5-2】（2025·辽宁·沈阳·模拟）把函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再把所得图象向左平移 个单位，得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】"先伸缩后平移"，伸缩后 的系数已变为 ，故平移时 的增量要写在括号内。 【解答过程】横坐标缩短为原来的 后得 ； 再向左平移 个单位，得 。故选 B。 【变式5-1】（2026·山西·临汾·模拟）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按"左加右减"写出平移后的解析式，再用诱导公式化简。 【解答过程】平移后得 。故选 B。 【变式5-2】（2025·河北·唐山·模拟）要得到函数 的图象，可将函数 的图象（　　） A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位 【答案】C 【解题思路】把目标函数化为 ，再判断平移量。 【解答过程】， 故需将 的图象向左平移 个单位。故选 C。 【变式5-3】（2026·甘肃·兰州·模拟）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】横坐标伸长为原来的 倍，只需把 换成 ，其余不变。 【解答过程】横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），即把解析式中的 换成 ， 得 。故选 A。 【变式5-4】（2025·吉林·长春·模拟）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先写出平移后的解析式，再代值计算。 【解答过程】由题意 ， 所以 。故选 B。 【变式5-5】（2026·贵州·贵阳·模拟）若把函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出平移后的解析式，由"关于原点对称"得它是奇函数，令初相等于 求 。 【解答过程】平移后得 。 因为 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，故 （）， 即 ，得 。 取 得 （此时 ，确实关于原点对称），故 的最小值为 。故选 A。 重难点培优06　由图象求解析式（含参数）　★★★ 【解题技巧】求 的"四步法"：①由最大值、最小值定 、；②由周期定 ，牢记"[[最高点到其相邻零点为 "；③把最高点（或最低点）坐标代入求 ；④回代检验]]。 【注意事项】①相邻两个零点之间的距离是 而不是 ，读图时最容易数错；②由 求 时必须结合图象的升降走势选取正确的解，"取反解"会得到镜像函数；③若图象给定的是"某一段"，要先确定这一段对应的是哪个周期内的情形，再定 。 【例6-1】（2026·山东·烟台·模拟）已知函数 （，，）的部分图象的最高点为 ，与该最高点相邻的一个零点为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由最高点的纵坐标定 ，由"最高点到相邻零点为 "定 ，再代入最高点求 。 【解答过程】由最高点为 得 。 最高点到与它相邻的零点的距离为 ，即 ， 所以 ，。 又 时取到最大值，故 ，即 。 结合 ，取 得 ，所以 。故选 A。 【例6-2】（2026·河北·衡水·模拟）已知函数 的图象经过最高点 与相邻的最低点 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】最高点与相邻最低点之间的横坐标差为半个周期，由此定 ，再代入最高点求 。 【解答过程】由最高点 与最低点 的横坐标之差为半个周期，得 ，所以 ，。 又 时取得最大值，故 ，即 。 结合 ，取 得 ，所以 。故选 B。 【变式6-1】（2025·福建·福州·模拟）已知函数 （，，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，最大值为 ，且图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】相邻对称轴距离为 ，由此定 ；最大值定 ；再由 求 。 【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离 得 ，。 由最大值为 得 。于是 。 由 得 ，结合 得 。 所以 。故选 B。 【变式6-2】（2026·新疆·乌鲁木齐·模拟）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小值为 ，最小正周期为 ，且在 处取得最大值，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由最大值、最小值定 与 ，由周期定 ，再由最大值点定 。 【解答过程】由 、 解得 ，。 由 得 ，故 。 由 时取得最大值，得 ，即 。 结合 ，取 得 。 所以 。故选 A。 【变式6-3】（2025·湖北·襄阳·模拟）已知函数 的图象经过最高点 ，且其图象与 轴正半轴的第一个交点为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由最高点到相邻零点的距离为 定 ，再由最高点定 。 【解答过程】最高点 与相邻零点 的横坐标之差为 ， 即 ，所以 ，。 由 得 ， 结合 得 。故选 B。 【变式6-4】（2026·广西·桂林·模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，且相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由相邻对称轴距离定 ，再由对称轴定 ，最后代值计算。 【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离 得 ，。 由 是对称轴得 ，即 。 结合 ，取 得 ，所以 。 于是 。故选 A。 【变式6-5】（2025·黑龙江·哈尔滨·模拟）已知函数 的最小正周期为 ，且把 的图象向左平移 个单位后所得图象关于 轴对称，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由周期定 ，写出平移后的解析式，再由"关于 轴对称"得它是偶函数，令初相为 。 【解答过程】由 得 。 向左平移 个单位后得 。 因为 的图象关于 轴对称，所以 为偶函数，故 （）， 即 。结合 ，取 得 。故选 A。 重难点培优07　三角函数性质的综合应用　★★★★ 【解题技巧】综合题的破题顺序是"先化简、再降幂、后整体"：先用和差角与二倍角公式把式子化为 ，再用整体代换一次性解决周期、单调性、对称性与最值。化简的目标只有一个——"一个角、一个函数名"。 【注意事项】①化简时不要漏掉定义域，含 或分式的式子尤须当心；②遇到"恒成立""存在零点""图象交点个数"，优先转化为最值问题或数形结合；③含参问题必须按参数的位置分类讨论，并且分类后要逐类回代检验。 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出两个函数的最小正周期，判断后者在 上的周期个数，再用"五点法"作出草图数交点。 【解答过程】 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 。 因为 ，所以 在 上恰有三个完整周期的图象。 后者振幅为 、前者振幅为 ，每个周期内两曲线都有两次穿越（上升段一次、下降段一次）。 在同一坐标系中用五点法作出两曲线在 上的草图并逐段清点，共有 个交点。故选 C。 【例7-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把交点问题转化为方程 ，观察两边函数的奇偶性，得出交点只能在 轴上，求 后回代检验。 【解答过程】由 得 ，整理得 。 令 ，，则 与 都是偶函数， 故若两曲线有两个交点，它们必关于 轴对称；现恰有一个交点，则该交点必在 轴上。 于是 ，即 ，解得 。 回代检验：当 时，方程化为 。 因为 ，所以 ，，故 ， 且等号成立当且仅当 与 同时成立，即 。 所以方程有且仅有一个实根 ，符合题意。故选 D。 【变式7-1】（2026·浙江·温州·模拟）函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【解题思路】用辅助角公式化为 的形式，再读周期与最大值。 【解答过程】。 所以最小正周期 ，最大值为 。故选 A。 【变式7-2】（2025·江苏·南通·模拟）已知函数 ，则 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用二倍角公式降幂，再化归为一个正弦型函数，最后由整体角的范围定最值。 【解答过程】。 当 时，，其中包含 ， 所以 的最大值为 ，故 的最大值为 。故选 C。 【变式7-3】（2026·安徽·芜湖·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递减 D． 的图象关于直线 对称 【答案】B 【解题思路】逐项检验：周期用公式，对称中心看函数值是否为 ，对称轴看是否为最值点，单调性用整体角。 【解答过程】A 项：，错误。 B 项：当 时，，，故 是对称中心，正确。 C 项：当 时，，函数单调递增，错误。 D 项：当 时，，此时 不是最值，错误。 故选 B。 【变式7-4】（2025·湖南·株洲·模拟）已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解出使 的全部 ，再找相邻两个解之间的最小距离。 【解答过程】由 得 （）， 所以 或 ，即 或 。 把这些解按从小到大排列为 ， 相邻两解之间的距离依次为 ，故最小值为 。故选 A。 【变式7-5】（2026·陕西·宝鸡·模拟）若函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先化归为 ，把"存在零点"翻译为" 落在该函数的值域内"，再求 。 【解答过程】。 当 时，，故 ， 从而 。 在区间上存在零点，等价于 ，即 。故选 A。 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题的"三字诀"：读——逐字读清定义中的条件与运算；译——把新符号翻译成周期、对称、单调等已有性质；算——严格按定义顺序代入，最后回代检验。切忌凭"看起来像"直接套用旧结论。 【注意事项】①新定义题常把"任意""存在"等量词藏在定义里，忽略量词必然出错；②与函数零点、交点个数交汇时，要先确定所讨论的是哪一个半周期；③答案必须落脚到题目所问的对象（求个数还是求范围），不要答非所问。 【例8-1】（2026·云南·曲靖·模拟）定义：设 的定义域为 ，若存在非零常数 ，使得 对任意 恒成立，则称 为 的一个"反周期"。已知 有反周期 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把新定义翻译成恒等式，展开后用"对任意 成立"比较系数，求出 的表达式再取最小正值。 【解答过程】由定义， 对任意 恒成立， 即 恒成立。 展开左边得 ， 比较两边系数知 且 ， 所以 （），即 。 取 得 ，故 的最小值为 （此时 ，确实满足 ）。故选 C。 【例8-2】（2025·上海·模拟改编）定义：若函数 的图象关于点 对称，则称 为 的"零对称数"。已知 ，则 的所有零对称数构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用辅助角公式把 化为一个正弦型函数，再套用对称中心的结论，最后把结论"翻译"回新定义的集合。 【解答过程】。 其图象的对称中心的横坐标满足 （），即 。 所以所有零对称数构成的集合为 。故选 A。 【变式8-1】（2026·山东·临沂·模拟）定义：若函数 满足 ，且不存在比 更小的正数具有这一性质，则称 为 的"基本周期"。函数 的基本周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先代入 验证周期性，再代入更小的 排除，从而确定基本周期。 【解答过程】因为 ， 所以 是它的一个周期。 又 ，而 ，故 不是它的周期， 从而基本周期为 。故选 B。 【变式8-2】（2025·天津·模拟）定义：若对函数 ，存在非零常数 使 对任意 恒成立，则称 为 的正周期。已知 ，则下列数中是 的正周期的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出最小正周期，其正整数倍都是正周期，再逐项比对。 【解答过程】 的最小正周期为 ， 故 的整数倍都是它的正周期，其中 本身是正周期。故选 C。 【变式8-3】（2026·江西·赣州·模拟）定义：若函数 的图象关于直线 对称，则称 为 的"对称轴数"。函数 的所有对称轴数构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把新定义翻译为"取到最大值或最小值时的 "，令整体角等于 即可。 【解答过程】对称轴出现在函数取到最大值或最小值的地方，故令 （），解得 ，即 。 所以所有对称轴数构成的集合为 。故选 D。 【变式8-4】（2025·广东·珠海·模拟）定义：若函数 对任意 都有 ，则称 为"严格增函数"。已知 在 上是严格增函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把"严格增函数"翻译为"单调递增"，再令整体角的范围是 的子集。 【解答过程】由定义知 在 上单调递增。 当 时，。 要使 单调递增，需该区间是 的子集，于是 且 ， 解得 且 ，取交集得 。又 ，故 。故选 A。 【变式8-5】（2026·海南·海口·模拟）定义：若函数 满足 对一切 成立，则称点 是 图象的"中心"。已知 ，则 图象的一个中心为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把新定义翻译为"图象的对称中心"，先由常数项定纵坐标，再由整体角求横坐标。 【解答过程】因为 由 向上平移 个单位得到， 所以它的对称中心是 的形式。 令 （），得 ，即 。 取 得 ，故一个中心为 。故选 B。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接使用 求最小正周期。 【解答过程】由 知 ，故 。故选 B。 2．【巩固】（2026·全国一卷·高考真题改编）已知 （，）是偶函数，且 在区间 单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先用偶函数筛出 ，再用单调递增排除，最后代值计算。 【解答过程】由 为偶函数得 对一切 成立，故 ， 结合 得 或 。 若 ，则 在 上不能单调递增，舍去； 若 ，则 ，取 时在 上单调递增，符合题意。 所以 （取 ），。故选 D。 3．【巩固】函数 的图象的一条对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】余弦型函数的对称轴满足整体角等于 ，解出后取一个值。 【解答过程】令 （），得 。 取 得 。故选 B。 4．【巩固】把函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】横坐标缩短为原来的 ，即把 换成 。 【解答过程】横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），即把解析式中的 换成 ， 得 。故选 B。 5．【进阶】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先化为余弦型函数，再用余弦函数的增区间整体代换。 【解答过程】。 令 （），解得 ， 即 。故选 A。 6．【进阶】若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令整体角的范围是 的子集，只需控制右端点。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递增，需该区间是 的子集， 故 ，解得 。又 ，故 。故选 A。 7．【进阶】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】正弦型函数的对称中心处函数值为 ，令整体角等于 求解。 【解答过程】令 （），得 ，即 。 取 得 ，故一个对称中心为 。故选 A。 8．【进阶】函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用 降幂，令 转化为二次函数在 上的最值。 【解答过程】。 令 ，则 ，，其图象开口向下、对称轴为 。 故当 时取最大值 。故选 C。 二、多选题 9．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称 C． 的图象关于点 对称 D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】逐项检验周期、对称轴、对称中心与单调性。 【解答过程】A 项：，正确。 B 项：当 时，， 为最大值，故是对称轴，正确。 C 项：当 时，，，故 是对称中心，正确。 D 项：当 时，，函数先增后减，不单调，错误。 故选 ABC。 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递增 D．把 的图象向右平移 个单位可得函数 的图象 【答案】ACD 【解题思路】逐项检验最值、对称中心、单调性与平移变换。 【解答过程】A 项：振幅为 ，最大值为 ，正确。 B 项：当 时，，，故不是对称中心，错误。 C 项：当 时，，函数单调递增，正确。 D 项：向右平移 个单位得 ，正确。 故选 ACD。 11．【培优】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称 C． 在 上单调递减 D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到 【答案】ABC 【解题思路】逐项检验周期、对称轴、单调性与平移方向。 【解答过程】A 项：，正确。 B 项：当 时，， 为最大值，故是对称轴，正确。 C 项：当 时，，函数单调递减，正确。 D 项：把 的图象向左平移 个单位得 ，错误。 故选 ABC。 12．【培优】定义：若函数 的图象关于直线 对称，则称 为 的一个"轴上数"。已知 有轴上数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 可以取 B． 可以取 C．当 时， 的最小正周期为 D．当 时， 在 上单调递增 【答案】ACD 【解题思路】先把新定义翻译为对称轴方程，解出 的表达式，再逐项验证。 【解答过程】由 是 的对称轴得 （）， 即 ，故 。 A 项：取 得 ，正确。 B 项： 无整数解，故 不可以取 ，错误。 C 项：当 时，，正确。 D 项：当 时，，当 时 ，单调递增，正确。 故选 ACD。 三、填空题 13．【巩固】函数 的最小正周期为 ______． 【答案】 【解题思路】直接使用周期公式 。 【解答过程】。故填 。 14．【进阶】（2026·全国一卷·高考真题）已知 （，）是偶函数， 在区间 单调递增，则 ______， ______． 【答案】； 【解题思路】先用偶函数定 的两个候选值，再用单调递增筛选，最后代值。 【解答过程】由 为偶函数得 恒成立，即 ， 故 ，结合 得 或 。 当 时 ，在 上不能单调递增，舍去； 当 时 ，其周期满足 ，即 ，可取 或 ， 此时 。 故填 ；。 15．【进阶】（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在 上的最大值是 ______． 【答案】 【解题思路】先用辅助角公式化归为一个正弦型函数，再由整体角的范围求最大值。 【解答过程】。 当 时，，该区间包含 ， 所以 的最大值为 ， 的最大值为 。故填 。 16．【培优】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】整体角的范围须是 的子集，只需控制右端点。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递增，需该区间是 的子集， 故 ，解得 。又 ， 所以 。故填 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与单调递增区间； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值． 【答案】(1) 最小正周期为 ，单调递增区间为 ；(2) 最大值为 ，最小值为 ． 【解题思路】(1) 用周期公式求 ，用整体代换求增区间；(2) 求出整体角范围后借助正弦曲线取值。 【解答过程】(1) 最小正周期 。 令 （），各边同加 得 ，故 ， 即单调递增区间为 。 (2) 当 时，。 在该区间上 的最大值为 （当 ，即 时取到）， 最小值为 （当 时取到）。 所以 的最大值为 ，最小值为 。 18．【进阶】（2026·天津·高考真题改编）已知 ． (1) 求 的最小正周期； (2) 若 ，求 的最大值和最小值． 【答案】(1) ；(2) 最大值为 ，最小值为 ． 【解题思路】(1) 直接用周期公式；(2) 用整体代换求出整体角的范围，再借正弦曲线取最值。 【解答过程】(1) 的最小正周期 。 (2) 若 ，则 。 由正弦函数的性质知，当 ，即 时， 取最小值 ； 当 ，即 时， 取最大值 。 所以 的最大值为 ，最小值为 。 19．【培优】已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与单调递减区间； (2) 求 在 上的值域． 【答案】(1) 最小正周期为 ，单调递减区间为 ；(2) ． 【解题思路】先用二倍角公式化简为 ，再用整体代换求周期、减区间与值域。 【解答过程】(1) ， 故最小正周期 。 令 （），各边同减 得 ，故 ， 即单调递减区间为 。 (2) 当 时，。 该区间上 的最大值为 （当 ，即 时取到）， 最小值为 （当 时取到）。 所以 的值域为 。 20．【培优】已知函数 的最小正周期为 ，其图象关于直线 对称，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的单调递增区间与值域． 【答案】(1) ；(2) 单调递增区间为 ，值域为 ． 【解题思路】(1) 由周期定 ，由对称轴定 ，再由 定 ；(2) 用整体代换求增区间与值域。 【解答过程】(1) 由 得 。 由图象关于直线 对称得 （）， 即 ，结合 取 得 。 又 ，得 。 所以 。 (2) 当 时，。 令 ，解得 ，故单调递增区间为 ； 在此区间上 由 递增到 。 当 时， 单调递减，最小值 。 故 在 上的值域为 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 三角函数的图象与性质（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 4 知识点2　三角函数的定义域与值域（最值） 6 知识点3　三角函数的单调性与单调区间 7 知识点4　三角函数的奇偶性、对称性与周期性 7 知识点5　三角函数的图象变换（平移与伸缩） 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　求三角函数的单调区间　★★ 10 重难点培优02　由单调性（或最值）求参数范围　★★★ 11 重难点培优03　三角函数的周期性与对称性　★★★ 13 重难点培优04　三角函数的值域与最值（换元法/整体法）　★★ 14 重难点培优05　三角函数的图象变换与解析式确定　★★★ 15 重难点培优06　由图象求解析式（含参数）　★★★ 17 重难点培优07　三角函数性质的综合应用　★★★★ 18 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 20 五、过关检测 22 一、单选题 22 二、多选题 23 三、填空题 24 四、解答题 24 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 三角函数的图象 能画出 、、 的图象，会用"五点法"作 的简图，理解正弦曲线与余弦曲线之间的平移关系 三角函数的性质 理解三个基本函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性与对称性，能把 整体当作一个角来处理 三角函数的图象变换 理解平移变换与伸缩变换的规律，能由 的图象经过变换得到 的图象 三角函数的综合应用 会用整体代换与换元法求定义域、值域、单调区间与最值，能由性质或图象反向确定参数 近三年高考真题对三角函数的图象与性质板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T13 由偶函数与单调递增双条件确定参数 ，再求函数值 ★★★ 2026 北京卷 T8 图象平移后与原图象关于 轴对称，求参数个数 ★★★★ 2026 天津卷 T16 正弦型函数的最小正周期、区间最值与单调性 ★★★ 2025 全国一卷 T4 正切函数的对称中心，求参数的最小值 ★★ 2025 全国二卷 T6 二倍角公式与三角函数的化简求值 ★★ 2025 北京卷 T8 由恒成立与存在零点求 的最小值 ★★★★ 2025 天津卷 T8 由单调性、对称轴与对称中心求解析式及最值 ★★★★ 2025 上海卷 T5 余弦型函数在给定区间上的值域 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T7 正弦型函数与 图象的交点个数 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T9 两个正弦型函数的零点、最值、周期与对称轴 ★★★ 2024 天津卷 T7 正弦型函数的周期与区间最值 ★★ 2024 全国甲卷·文 辅助角公式化简后求区间最大值 ★★ 考情分析 三角函数的图象与性质是高考的"高频主战场"，近三年在全国卷与各自主命题省份卷中几乎年年现身，考查方式以小题为主、兼顾解答题首问，分值 5～15 分。从 2024—2026 年的真题看，命题呈现三个鲜明特征：一是由性质反求参数成为主流，2026 年全国一卷第 13 题由偶函数与单调递增双条件筛出参数，2026 年北京卷第 8 题借图象平移与轴对称求参数个数；二是数形结合与整体代换并用，2024 年新课标Ⅰ卷以两曲线的交点个数考查图象直观，2024 年天津卷以整体代换求区间最值；三是交汇性增强，三角函数与函数零点、奇偶性、恒成立等交汇命题，如 2024 年新课标Ⅱ卷把函数零点与余弦函数捆绑考查。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本板块的核心素养指向"直观想象、数学运算与逻辑推理"。预测 2027 年高考仍以"图象与性质的综合"为主线，并以"含参讨论、图象变换、新定义交汇"为载体提升区分度。 复习目标 1．准确记忆三个基本函数的图象与性质，能用"五点法"迅速作出 的简图； 2．熟练运用整体代换求三角函数的定义域、值域、单调区间与对称轴（对称中心）； 3．掌握由性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）反求参数的通性通法，形成"列式—筛选—检验"的固定动作； 4．突破图象变换与由图象求解析式两类问题，理清"先平移后伸缩"与"先伸缩后平移"的本质区别。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　三角函数图象与性质知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 用"五点法"可以作出 与 在一个周期内的简图： 的五个关键点为 、、、、； 的五个关键点为 、、、、。正切曲线则由直线 分隔成无数支，每支都单调递增。 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 函数 对称轴 对称中心 单调递增区间 单调递减区间 无 无 上表各式中均默认 。其中三点结论最为核心： ①正弦曲线与余弦曲线只相差一个平移：把 的图象向左平移 个单位即得 的图象，故 ； ②正弦、余弦曲线的对称中心都在 轴（零点）上，而正切曲线的对称中心还包括它与 轴的交点，即形如 ，这是最易漏掉的一类对称中心； ③正切函数在每个区间 内单调递增，但在整个定义域上并不单调。 【方法技巧】 1．画图优先"五点法"：列表时让 依次取 ，再反解对应的 与 ，标点连线即成简图； 2．求对称轴即令 （正弦型）或 （余弦型），求对称中心即令 （正弦型）或 （余弦型），解出 即可； 3．遇到 ，先用诱导公式把 化为正，再套用上述结论，可避免单调性判断反向。 【易错清单】 1．正切曲线的对称中心是 而不是 ，正切函数的对称中心比正弦、余弦函数"多一倍"； 2．对称轴一定出现在最值点处，自变量取到对称轴时函数值必须等于 ，这是检验对称轴是否算错的最快办法； 3．正切函数的定义域中不要漏写 ，更不能把定义域写成 而丢掉 的范围。 知识点2　三角函数的定义域与值域（最值） 求三角函数的值域（最值），核心是把式子"化归"为同一角、同一函数名的形式，再借助基本函数的取值规律求解。常用路径有三条： ①化为 的形式，先由自变量的限制求出整体角 的范围，再用 （或 ）的图象求值域； ②利用 降幂换元，把式子化归为关于 或 的二次函数，注意换元后新变量的取值范围必须同步求出； ③利用有界性 、 或辅助角公式，把含参的分式型、平方式化为可解的不等式。 三个基本函数在给定区间上的值与整体角密切相关，掌握下表即可快速定位： 整体角 的范围 的取值要点 的取值要点 含 于内部 最大值在 处取 最大值在 处取 不含最值点 在区间端点处比较大小取最值 在区间端点处比较大小取最值 跨越 或 最小值可由 取 最小值可由 取 【方法技巧】 1．区间端点"取不取"决定最值"要不要"：若整体角的范围是闭区间，最值一定存在；若为开区间，须判断最值点是否落在内部； 2．含 与 的式子，统一换元 ，并牢记 、； 3．分式型 可反解出 ，再由 列不等式求值域。 【易错清单】 1．换元后忘记限定新元的范围是最常见的失分点，例如令 却仍按 讨论二次函数； 2．由 列不等式时，必须考虑分母的符号，不等式两边同乘含参式子时符号会改变方向； 3．求值域前先确认定义域，尤其含 或含根式时，定义域会直接"削掉"一部分取值。 知识点3　三角函数的单调性与单调区间 求 （，）的单调区间，采用整体代换法：把 整体看作一个新角 ，先写出 的单调区间，再解出 的范围。以 ， 为例： ①递增区间由 解出； ②递减区间由 解出； ③若 ，则单调性整体取反：由 的减区间解出的 范围恰是原函数的增区间。 对余弦型函数 （），把上述区间的两端点分别换成 、（增）与 、（减）即可。对正切型函数 （），递增区间由 解出，且正切型函数只有递增区间。 【方法技巧】 1．先把 化为正数是求单调区间的第一动作：若 ，先用 、 变形，再整体代换； 2．写出单调区间后务必补上""，并检查区间的开闭：正弦、余弦型用闭区间，正切型一律用开区间； 3．比较两个函数单调性时，可先化为同名函数，再比较"整体角"的系数与相位，避免逐段硬算。 【易错清单】 1． 时直接套用 的结论，区间会反向，这是本知识点最隐蔽的陷阱； 2．单调区间必须写成 的区间，写成整体角 的区间不能作为最终答案； 3．正切型单调区间不能取等号（端点处无定义），把开区间误写成闭区间会导致失分。 知识点4　三角函数的奇偶性、对称性与周期性 三角函数的对称性与周期性由"整体角"决定，核心结论如下（均设 ）： ①周期： 与 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ； ②对称轴：正弦型函数的对称轴满足 ，余弦型函数的对称轴满足 ，正切型函数没有对称轴； ③对称中心：正弦型函数的对称中心满足 ，余弦型函数的对称中心满足 ； ④奇偶性： 为奇函数 ；为偶函数 ； 的结论恰好互换。 两条常用推论值得牢记：相邻两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻两个对称中心之间的距离为半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心之间的距离为四分之一周期。 【方法技巧】 1．"求参数"问题的标准流程是先列恒等式、再解方程、最后代回检验，尤其是由奇偶性求 时，闭区间上的单调性条件常用来"筛掉"多余的解； 2．判断一个点是否为对称中心，只需检验函数值是否为 （正弦型）或是否为 之下的中心值（余弦型）； 3．遇到"恒成立"条件（如 对一切 成立），应立刻翻译为"对称轴（最值点）"来处理。 【易错清单】 1．对称中心是点而不是数，答案必须写成坐标形式 ，只写横坐标要扣分； 2．正切型函数没有对称轴，其对称中心为 ，套用正弦型结论必然出错； 3．由 求参数时，不要漏掉 的整周期解， 之类限制必须落实到最终答案上。 知识点5　三角函数的图象变换（平移与伸缩） 由 的图象得到 （，）的图象，有两条常用路径： ①先平移后伸缩：先把 的图象向左（）或向右（）平移 个单位，得到 ；再把横坐标缩短为原来的 倍（）或伸长到原来的 倍（），得到 ；最后把纵坐标变为原来的 倍； ②先伸缩后平移：先把横坐标缩短或伸长，得到 ；再向左或向右平移 个单位，得到 ；最后调整纵坐标。 两条路径中平移量不同是最大区别：先平移平移 ，先伸缩平移 。牢记口诀"看 的"净变化量""，即把式子写成 后再判断平移量，最不易错。 【方法技巧】 1．凡是"由 变换得 "的问题，优先选"先平移后伸缩"，因为平移量就是 ，直观不易错； 2．若题目已给出"先把横坐标变为原来的 倍"，则后续平移量必须改为 ，这一步是命题人最爱设的陷阱； 3．逆向问题（由 回到 ）按相反顺序、相反方向操作，且平移量仍看 的净变化量。 【易错清单】 1．把"先伸缩后平移"的平移量仍写成 ，导致图象"多走"或"少走"若干距离； 2．横坐标伸缩时只说"缩短"不说"到原来的几分之一"，表述含糊会直接丢分，务必写成"缩短为原来的 倍（纵坐标不变）"； 3．纵坐标伸缩与横坐标伸缩容易张冠李戴，口诀是"横变看 前系数，纵变看整个函数前的系数"。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　求三角函数的单调区间　★★ 【例1-1】（2026·湖北·武汉·五月学情调研）函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2025·山东·青岛·二模）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·江苏·南京·三模）函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河南·郑州·模拟）函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·安徽·合肥·模拟）函数 的一个单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】（2026·河北·石家庄·模拟）函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 重难点培优02　由单调性（或最值）求参数范围　★★★ 【例2-1】（2026·全国一卷·高考真题改编）已知函数 （，）是偶函数，且 在区间 单调递增，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·四川·成都·三模）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·辽宁·大连·模拟）若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·浙江·杭州·模拟）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·福建·厦门·模拟）若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（2025·陕西·西安·模拟）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】（2026·重庆·模拟）已知函数 （，，）的最大值为 ，且其图象关于直线 对称，与该对称轴相邻的一个对称中心为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　三角函数的周期性与对称性　★★★ 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）对于函数 和 ，下列正确的有（　　） A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值 C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴 【变式3-1】（2026·广东·广州·模拟）函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江西·南昌·模拟）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·山西·太原·模拟）已知函数 的最小正周期为 ，且 是 的最大值，则 的一个值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·云南·昆明·模拟）已知函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】（2026·广西·南宁·模拟）函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】（2026·湖南·长沙·模拟）下列函数中，最小正周期为 且图象关于直线 对称的是（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　三角函数的值域与最值（换元法/整体法）　★★ 【例4-1】（2024·天津·高考真题）已知函数 的最小正周期为 ，则 在区间 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·江苏·苏州·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·山东·济南·模拟）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·山东·济南·二模）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·湖北·宜昌·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2025·河南·洛阳·模拟）函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·四川·绵阳·模拟）若函数 在 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　三角函数的图象变换与解析式确定　★★★ 【例5-1】（2026·安徽·合肥·八中·学情检测）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位 【例5-2】（2025·辽宁·沈阳·模拟）把函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再把所得图象向左平移 个单位，得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·山西·临汾·模拟）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河北·唐山·模拟）要得到函数 的图象，可将函数 的图象（　　） A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位 【变式5-3】（2026·甘肃·兰州·模拟）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】（2025·吉林·长春·模拟）将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-5】（2026·贵州·贵阳·模拟）若把函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　由图象求解析式（含参数）　★★★ 【例6-1】（2026·山东·烟台·模拟）已知函数 （，，）的部分图象的最高点为 ，与该最高点相邻的一个零点为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·河北·衡水·模拟）已知函数 的图象经过最高点 与相邻的最低点 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·福建·福州·模拟）已知函数 （，，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，最大值为 ，且图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·新疆·乌鲁木齐·模拟）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小值为 ，最小正周期为 ，且在 处取得最大值，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·湖北·襄阳·模拟）已知函数 的图象经过最高点 ，且其图象与 轴正半轴的第一个交点为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】（2026·广西·桂林·模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，且相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-5】（2025·黑龙江·哈尔滨·模拟）已知函数 的最小正周期为 ，且把 的图象向左平移 个单位后所得图象关于 轴对称，则 的值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　三角函数性质的综合应用　★★★★ 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·浙江·温州·模拟）函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式7-2】（2025·江苏·南通·模拟）已知函数 ，则 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·安徽·芜湖·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递减 D． 的图象关于直线 对称 【变式7-4】（2025·湖南·株洲·模拟）已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】（2026·陕西·宝鸡·模拟）若函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【例8-1】（2026·云南·曲靖·模拟）定义：设 的定义域为 ，若存在非零常数 ，使得 对任意 恒成立，则称 为 的一个"反周期"。已知 有反周期 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2025·上海·模拟改编）定义：若函数 的图象关于点 对称，则称 为 的"零对称数"。已知 ，则 的所有零对称数构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·山东·临沂·模拟）定义：若函数 满足 ，且不存在比 更小的正数具有这一性质，则称 为 的"基本周期"。函数 的基本周期为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·天津·模拟）定义：若对函数 ，存在非零常数 使 对任意 恒成立，则称 为 的正周期。已知 ，则下列数中是 的正周期的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·江西·赣州·模拟）定义：若函数 的图象关于直线 对称，则称 为 的"对称轴数"。函数 的所有对称轴数构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】（2025·广东·珠海·模拟）定义：若函数 对任意 都有 ，则称 为"严格增函数"。已知 在 上是严格增函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】（2026·海南·海口·模拟）定义：若函数 满足 对一切 成立，则称点 是 图象的"中心"。已知 ，则 图象的一个中心为（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】（2026·全国一卷·高考真题改编）已知 （，）是偶函数，且 在区间 单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 3．【巩固】函数 的图象的一条对称轴是（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】把函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称 C． 的图象关于点 对称 D． 在 上单调递增 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的图象关于点 对称 C． 在 上单调递增 D．把 的图象向右平移 个单位可得函数 的图象 11．【培优】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称 C． 在 上单调递减 D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到 12．【培优】定义：若函数 的图象关于直线 对称，则称 为 的一个"轴上数"。已知 有轴上数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 可以取 B． 可以取 C．当 时， 的最小正周期为 D．当 时， 在 上单调递增 三、填空题 13．【巩固】函数 的最小正周期为 ______． 14．【进阶】（2026·全国一卷·高考真题）已知 （，）是偶函数， 在区间 单调递增，则 ______， ______． 15．【进阶】（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在 上的最大值是 ______． 16．【培优】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与单调递增区间； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值． 18．【进阶】（2026·天津·高考真题改编）已知 ． (1) 求 的最小正周期； (2) 若 ，求 的最大值和最小值． 19．【培优】已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与单调递减区间； (2) 求 在 上的值域． 20．【培优】已知函数 的最小正周期为 ，其图象关于直线 对称，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的单调递增区间与值域． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $