专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）复习讲义-2027届高三数学一轮复习

专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　、、 的物理意义与图象特征 4 知识点2　用"五点法"作 的图象 6 知识点3　由图象求解析式 6 知识点4　三角函数的图象变换（先平移后伸缩与先伸缩后平移） 7 知识点5　三角函数模型的实际应用 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　由图象求解析式　★★ 9 重难点培优02　三角函数的图象变换（平移与伸缩）　★★ 10 重难点培优03　函数 的单调性与最值　★★★ 12 重难点培优04　由性质求参数（、 的范围）　★★★ 14 重难点培优05　三角函数图象与性质的综合　★★★ 15 重难点培优06　三角函数模型的实际应用　★★★ 16 重难点培优07　三角函数与向量、数列、导数的交汇　★★★★ 18 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 19 五、过关检测 22 一、单选题 22 二、多选题 23 三、填空题 24 四、解答题 24 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 参数 的意义 理解振幅 、角频率 、初相 的几何意义与物理意义，明确 决定振幅、 决定周期 、 决定图象"起点"的位置 "五点法"作图 会用"五点法"画出 的图象，掌握令 依次取 确定五个关键点的流程 由图象求解析式 能依据图象的最值点、周期与特殊点确定 、、、，会处理多解并借助 的范围取舍 三角函数的图象变换 理解先平移后伸缩与先伸缩后平移两条路径的差异，准确求出平移量（注意 的影响）与伸缩倍数，并能与对称性、周期性交汇求解 三角函数模型的应用 能用 刻画简谐运动、潮汐、气温、摩天轮等周期变化现象，会求解析式并解决区间最值、时长与范围问题 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 天津卷 T4 由函数图象识别解析式（含 型），用奇偶性与特殊点排除 ★★ 2026 北京卷 T8 图象沿 轴平移后与原图象关于 轴对称，求 的取值个数 ★★★★ 2026 全国一卷 T13 由 的奇偶性与单调性求 、 ★★★ 2026 上海卷·填空 简谐运动模型，由初速度与速度最大值求初相 ★★★★ 2025 北京卷·选择 的周期性（恒成立）与零点，求 的最小值 ★★★ 2025 天津卷·选择 由单调区间、对称轴、对称中心求 、，再求区间最小值 ★★★ 2025 全国一卷·选择 正切型函数图象的对称中心，求参数的最小值 ★★ 2025 全国二卷 T15 的初相及 的值域与单调区间 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T7 曲线 与 的交点个数 ★★★ 2024 天津卷·选择 正弦型函数的最小正周期与区间最值 ★★ 2024 全国甲卷·文·填空 三角函数的区间最值 ★★ 2024 上海卷·填空 三角函数的最小正周期与图象变换 ★★ 考情分析 本专题是三角函数图象与性质的"集大成者"。2024 年新课标Ⅰ卷第 7 题以 与 的交点个数为载体，考查周期与数形结合；2025 年北京卷以 的"周期性恒成立＋存在零点"设问，天津卷把单调区间、对称轴、对称中心"三重条件"糅于一体，均指向"由性质求参数"这一核心难点；2026 年北京卷第 8 题把"平移＋关于 轴对称"与参数个数结合，全国一卷、上海卷分别以"偶函数＋单调递增""简谐运动的初速度与最值"立题，凸显"图象变换"与"三角函数模型"的考查力度。可见命题呈现三大趋势：一是"由图定式"与"由性质求参数"轮换出现；二是平移伸缩必考且常与对称性交汇；三是实际应用与创新定义升温。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本专题的核心素养指向"直观想象、数学运算、逻辑推理与数学建模"。预测 2027 年高考仍以选择、填空为主，分值 分，难度中等偏上，并将继续向"多参数联动、图象与性质综合"加压。 复习目标 1．理解 、、 的几何意义与物理意义，熟记周期公式 ，熟练运用"五点法"作图； 2．打通"由图定式"的全流程：由图象求 、、、，并能结合给定范围排除增解； 3．厘清"先平移后伸缩"与"先伸缩后平移"两条路径，准确处理平移量 ，并会与对称性、周期性交汇； 4．突破"由性质求参数"与"三角函数模型"两大难点，会解单调性、最值、零点个数与实际问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　函数y=Asin(ωx+φ)知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　、、 的物理意义与图象特征 对于函数 （，），四个参数各有分工： ①振幅 ：图象最高点与最低点纵坐标之差的一半，值域为 ； ②周期 ： 越大，周期越小，图象越"密"；频率 ； ③初相 与相位 ：图象可由 向左（）或向右（）平移 个单位得到； ④对称性：对称轴由 确定，对称中心由 确定（此时 ，即"平衡位置点"）。 由 出发得到 （，）的两种典型路径： 变换顺序 第一步 第二步 平移量 先平移后伸缩 向左（）平移 个单位，得 横坐标变为原来的 倍、纵坐标变为原来的 倍，得 先伸缩后平移 横坐标变为原来的 倍，得 向左平移 个单位，再纵坐标变为原来的 倍，得 【方法技巧】 1．三看定参数：看最值定 与 ，看周期定 ，看特征点定 ； 2．整体代换是处理对称轴、对称中心、单调区间、最值的通法：令 ，把问题转化为对 的研究； 3．两条路径"平移量不同、终点相同"，判断变换方式时先统一函数名、统一 ，再比较"自变量与常数项"的差异。 【易错清单】 1． 为负时必须先化正：用诱导公式把 化为 的形式再研究周期与平移，否则结论全错； 2．最值不要漏 ： 的最大值为 、最小值为 ； 3．平移方向易记反： 向左移、 向右移，符号与方向"同号向左"。 知识点2　用"五点法"作 的图象 "五点法"的实质是"整体代换"：令 ，分别取 ，求出对应的 与 ，描点后用光滑曲线连接。 五个关键点中，第一、三、五个点是图象与平衡位置的交点，第二、四点是最高点与最低点。画出一条完整曲线后，按周期 向左右延拓即可得到整个图象。 【方法技巧】 1．列表—描点—连线三步走：先列 的五个等间距值，再反解 ，可有效避免算错横坐标； 2．作草图时只需确定"最高点、最低点、与平衡位置的三个交点"的相对位置，不必精确到 的分数； 3．比较两曲线的交点个数、零点个数时，作图＋数形结合比纯计算更快更稳。 【易错清单】 1．反解 时忘记除以 ，把"相位"直接当成"自变量"； 2．取 的五个值必须等间距，否则五点的位置错乱，图象失真； 3．作开区间上的图象时，端点应画成空心，端点是否取到由定义域决定。 知识点3　由图象求解析式 由图象求解析式，通常按""的顺序进行： 1．定 、：，； 2．定 ：由相邻的最高点与最低点的横坐标之差为 ，或由相邻两个零点（或相邻两条对称轴）之差为 ，得 ，再由 求 ； 3．定 ：把图象上的一个特征点（通常取最高点、最低点或与平衡位置的交点）代入解析式，结合 的限定范围求解。 【方法技巧】 1．抓"特征点"：最高点、最低点、与平衡位置的交点，这三类点信息量最大； 2．求 时优先代最值点——最值点的相位是确定的 （或 ），比代零点更不易增解； 3．若图中给出"相邻对称轴之差"或"相邻零点之差"，先算周期再定位 ，避免多参数联立的繁琐运算。 【易错清单】 1． 的多值性：同一图象可能对应 与 ，必须结合题给的 之类的范围逐一检验； 2．周期看错：把"两个相邻零点"之间的长度当成一个周期，导致 取值恰好小了一半； 3． 的符号：若题目未限定 ，需结合图象"先升后降还是先降后升"确定 的符号。 知识点4　三角函数的图象变换（先平移后伸缩与先伸缩后平移） 设 ，，由 出发得到 ，常用两条路径： 路径 变换步骤 先平移后伸缩 向左（）平移 个单位，得 ；再横坐标变为原来的 倍、纵坐标变为原来的 倍，得 先伸缩后平移 横坐标变为原来的 倍，得 ；再向左平移 个单位，最后纵坐标变为原来的 倍，得 两条路径"平移量不同"，但终点相同。处理"为了得到……只需把……的图象如何变换"这类问题时，先把目标函数与初始函数化为同名同形（同一个 ），再比较自变量与常数项的差异。 【方法技巧】 1．"只对自变量下手"：横向伸缩只改变 的系数，纵向伸缩只改变整体倍数；横向平移量为 ，切勿漏除 ； 2．逆向问题（已知变换求原函数）用"设元回代＋逆变换"：设原函数为 ，经"横坐标变为原来的 倍、再平移 "后得到 ，则 ，代入比较即可； 3．涉及"平移后关于 轴对称/关于原点对称"的问题，先写出平移后的解析式，再套用 或 。 【易错清单】 1．"横坐标变为原来的 倍"对应 ，因此 的横坐标变为原来的 倍得 ，而非 ； 2．先伸缩后平移时平移量必须除以 ，这是本专题最高频的失分点； 3． 与 互化要先统一函数名： 与 比较前，先用诱导公式把二者化为同名函数。 知识点5　三角函数模型的实际应用 现实中的周期变化现象，如简谐运动、潮汐、气温、摩天轮、交流电等，常用模型 刻画： ①：振幅，即"变化幅度的一半"，； ②：平衡位置（中位值），； ③：周期，由实际问题的"循环一次所需时间"确定，； ④：初相，由"初始时刻的状态"（初始值的大小、升降方向）确定。 【方法技巧】 1．建模"四步法"：定模型（正弦型）→ 算 、 → 求 → 定 ； 2．确定 的"择时点"：常取图象的最高点、最低点或平衡位置的上升点作为参照代入求解； 3．求"某时段内满足条件的时长"时，转化为解三角不等式，再用单位圆或图象求区间长度并累加。 【易错清单】 1．自变量有实际范围（如 、），求最值与解不等式都必须在该范围内进行； 2．首次达到与第几次达到要分清："第一次达到最大值的时间"是多个解中的最小正解，不能只解一个方程就作答； 3．单位与精度要统一：角度制与弧度制不可混用， 中 与 的单位必须一致。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　由图象求解析式　★★ 【例1-1】（2026·山东·青岛·一模改编）已知函数 的部分图象如图所示，图象的最高点为 ，与 轴相邻的一个交点为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·天津卷·高考真题）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，且最大值为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数 的图象与 轴的交点为 ，最高点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】若函数 的图象经过点 ，且相邻两条对称轴间的距离为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】函数 的部分图象如图所示，其最高点为 ，图象在 轴上的截距为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知函数 的图象如图所示，、 是图象与 轴相邻的两个交点，且 ，图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-6】已知函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　三角函数的图象变换（平移与伸缩）　★★ 【例2-1】（2026·浙江·杭州·二模）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【例2-2】（2026·湖北·武汉·三模）将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把所得图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【变式2-3】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到偶函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-6】（2026·湖南·长沙·模拟）把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优03　函数 的单调性与最值　★★★ 【例3-1】（2025·天津卷·高考真题）已知函数 在 上单调递增，且 是它的一条对称轴， 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】函数 在区间 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知函数 的最小正周期为 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】（2026·四川·成都·二模）已知函数 ，若 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　由性质求参数（、 的范围）　★★★ 【例4-1】（2025·北京卷·高考真题）设函数 ，若 恒成立，且 在 上存在零点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·江苏·南京·三模）已知函数 的图象关于点 对称，且在区间 上单调，则 的所有可能取值个数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数 的图象关于直线 对称，则 的一个值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·福建·福州·模拟）已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】已知函数 的最小正周期为 ，且其图象关于点 对称，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-6】（2026·河北·石家庄·一模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　三角函数图象与性质的综合　★★★ 【例5-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2025·全国一卷·高考真题）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】函数 的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数图象的一个对称中心为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】（2026·江西·南昌·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的最大值为 C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上单调递减 【变式5-6】函数 在 上的零点个数为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　三角函数模型的实际应用　★★★ 【例6-1】（2026·广东·广州·二模改编）某摩天轮的半径为 米，轮心距地面的高度为 米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 分钟转一圈。若从某游客所在座舱经过最低点开始计时，则该游客离地面的高度 （米）与时间 （分钟）的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·山东·济南·三模改编）某海滨城市的潮水高度 （米）随时间 （时）的变化近似满足 ，已知凌晨 时潮水高度达到最大值 米，则一个潮汐周期内潮水高度超过 米的时长约为（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时 【变式6-1】某简谐振动的位移 （厘米）与时间 （秒）满足 ，则它的振幅和周期分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（2026·河南·郑州·模拟）某地一天的气温 （℃，）随时间 （时）的变化满足 ，则该地这一天的最高气温为（　　） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【变式6-3】某单摆偏离竖直方向的角度 与时间 （秒）满足 ，则单摆偏离竖直方向的最大角度为（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】（2026·辽宁·大连·二模）海水受日月的引力会产生潮汐现象。某港口在某天 时的水深 （米）满足 ，则该港口这一天水深不低于 米的时长为（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时 【变式6-5】某商品的出厂价格 （元）随时间 （月）的变化满足 ，则出厂价格最低的月份是（　　） A．第 个月 B．第 个月 C．第 个月 D．第 个月 【变式6-6】（2026·陕西·西安·一模）已知某交流电的电流强度 （安培）与时间 （秒）满足 ，则电流强度第一次达到 安培所用的时间为（　　） A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒 重难点培优07　三角函数与向量、数列、导数的交汇　★★★★ 【例7-1】（2026·浙江·温州·二模改编）已知函数 ，则曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·湖北·宜昌·三模改编）已知向量 ，，则函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·江苏·苏州·模拟）已知数列 的通项公式为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】（2026·重庆·二模）已知函数 ，则方程 在 内的解的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知向量 ，，则函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【变式7-6】（2026·福建·厦门·三模）设函数 ，若 在 处取得极大值，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 【例8-1】（2026·山东·青岛·二模改编）定义：若存在非零常数 ，使得对任意实数 都有 ，则称函数 为"-反周期函数"。下列函数中是"-反周期函数"的是（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·湖南·长沙·三模改编）定义：在平面直角坐标系中，若点 满足 ，，则称 为"单位圆点"。已知 、 均为"单位圆点"，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·辽宁·沈阳·模拟）定义：若数列 满足 ，且 是周期函数，则称 为"周期数列"。已知 ，则该数列的一个周期为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·安徽·芜湖·二模改编）定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-3】定义：若函数 对任意 都有 ，则称 的图象关于点 对称。已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的图象关于点 对称 B． 的最小正周期为 C． 的最大值为 D． 为偶函数 【变式8-4】（2026·广西·南宁·三模改编）定义：若对任意 ，，且 是使该式成立的最小正数，则称 为 的最小正周期。已知 ，则 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】定义：对于函数 ，称集合 为它的零点集。已知 ，则 在 上的零点集为（　　） A． B． C． D． 【变式8-6】（2026·云南·昆明·一模改编）定义：若函数 的图象上存在两个不同点关于原点对称，则称 具有"对径点"。下列函数中具有"对径点"的是（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的振幅与最小正周期分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．【巩固】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】已知函数 ，则 的一条对称轴是（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知函数 的最大值为 ，相邻两条对称轴之间的距离为 ，且图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．【进阶】函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】（2026·浙江·模拟）函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 8．【培优】（2026·湖南·模拟）已知函数 ，若 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．图象关于直线 对称 C．最大值为 D． 10．【进阶】（2026·四川·成都·模拟）已知函数 的最小正周期为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的图象关于点 对称 C． 在 上的最小值为 D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到 11．【培优】（2026·江苏·模拟）已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 的图象关于点 对称 D． 在 上单调递增 12．【培优】（2026·湖北·模拟）已知函数 ，则（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称 C． 在 上单调递减 D． 三、填空题 13．【巩固】函数 的最小正周期为 ______． 14．【进阶】把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数的解析式为 ______． 15．【进阶】（2026·山东·模拟）已知函数 的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 ______． 16．【培优】（2026·安徽·模拟）已知函数 ，若方程 在区间 上恰有 个解，则 的取值范围是 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 在 上的单调递增区间． 18．【培优】已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，图象过点 ，且最高点为 ． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的值域． 19．【培优】已知函数 的图象关于点 对称，且相邻两条对称轴之间的距离为 ． (1) 求 、； (2) 求 在 上的最小值． 20．【培优】（2026·广东·模拟）某地一天的气温 （℃，）与时间 （时）近似满足 ，已知 时气温达到最大值 ℃． (1) 求 及该地这一天的最高、最低气温； (2) 求这一天内气温不低于 ℃ 的时长． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　、、 的物理意义与图象特征 4 知识点2　用"五点法"作 的图象 6 知识点3　由图象求解析式 6 知识点4　三角函数的图象变换（先平移后伸缩与先伸缩后平移） 7 知识点5　三角函数模型的实际应用 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　由图象求解析式　★★ 9 重难点培优02　三角函数的图象变换（平移与伸缩）　★★ 13 重难点培优03　函数 的单调性与最值　★★★ 16 重难点培优04　由性质求参数（、 的范围）　★★★ 20 重难点培优05　三角函数图象与性质的综合　★★★ 23 重难点培优06　三角函数模型的实际应用　★★★ 26 重难点培优07　三角函数与向量、数列、导数的交汇　★★★★ 30 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 33 五、过关检测 37 一、单选题 37 二、多选题 39 三、填空题 41 四、解答题 42 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 参数 的意义 理解振幅 、角频率 、初相 的几何意义与物理意义，明确 决定振幅、 决定周期 、 决定图象"起点"的位置 "五点法"作图 会用"五点法"画出 的图象，掌握令 依次取 确定五个关键点的流程 由图象求解析式 能依据图象的最值点、周期与特殊点确定 、、、，会处理多解并借助 的范围取舍 三角函数的图象变换 理解先平移后伸缩与先伸缩后平移两条路径的差异，准确求出平移量（注意 的影响）与伸缩倍数，并能与对称性、周期性交汇求解 三角函数模型的应用 能用 刻画简谐运动、潮汐、气温、摩天轮等周期变化现象，会求解析式并解决区间最值、时长与范围问题 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 天津卷 T4 由函数图象识别解析式（含 型），用奇偶性与特殊点排除 ★★ 2026 北京卷 T8 图象沿 轴平移后与原图象关于 轴对称，求 的取值个数 ★★★★ 2026 全国一卷 T13 由 的奇偶性与单调性求 、 ★★★ 2026 上海卷·填空 简谐运动模型，由初速度与速度最大值求初相 ★★★★ 2025 北京卷·选择 的周期性（恒成立）与零点，求 的最小值 ★★★ 2025 天津卷·选择 由单调区间、对称轴、对称中心求 、，再求区间最小值 ★★★ 2025 全国一卷·选择 正切型函数图象的对称中心，求参数的最小值 ★★ 2025 全国二卷 T15 的初相及 的值域与单调区间 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T7 曲线 与 的交点个数 ★★★ 2024 天津卷·选择 正弦型函数的最小正周期与区间最值 ★★ 2024 全国甲卷·文·填空 三角函数的区间最值 ★★ 2024 上海卷·填空 三角函数的最小正周期与图象变换 ★★ 考情分析 本专题是三角函数图象与性质的"集大成者"。2024 年新课标Ⅰ卷第 7 题以 与 的交点个数为载体，考查周期与数形结合；2025 年北京卷以 的"周期性恒成立＋存在零点"设问，天津卷把单调区间、对称轴、对称中心"三重条件"糅于一体，均指向"由性质求参数"这一核心难点；2026 年北京卷第 8 题把"平移＋关于 轴对称"与参数个数结合，全国一卷、上海卷分别以"偶函数＋单调递增""简谐运动的初速度与最值"立题，凸显"图象变换"与"三角函数模型"的考查力度。可见命题呈现三大趋势：一是"由图定式"与"由性质求参数"轮换出现；二是平移伸缩必考且常与对称性交汇；三是实际应用与创新定义升温。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本专题的核心素养指向"直观想象、数学运算、逻辑推理与数学建模"。预测 2027 年高考仍以选择、填空为主，分值 分，难度中等偏上，并将继续向"多参数联动、图象与性质综合"加压。 复习目标 1．理解 、、 的几何意义与物理意义，熟记周期公式 ，熟练运用"五点法"作图； 2．打通"由图定式"的全流程：由图象求 、、、，并能结合给定范围排除增解； 3．厘清"先平移后伸缩"与"先伸缩后平移"两条路径，准确处理平移量 ，并会与对称性、周期性交汇； 4．突破"由性质求参数"与"三角函数模型"两大难点，会解单调性、最值、零点个数与实际问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　函数y=Asin(ωx+φ)知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　、、 的物理意义与图象特征 对于函数 （，），四个参数各有分工： ①振幅 ：图象最高点与最低点纵坐标之差的一半，值域为 ； ②周期 ： 越大，周期越小，图象越"密"；频率 ； ③初相 与相位 ：图象可由 向左（）或向右（）平移 个单位得到； ④对称性：对称轴由 确定，对称中心由 确定（此时 ，即"平衡位置点"）。 由 出发得到 （，）的两种典型路径： 变换顺序 第一步 第二步 平移量 先平移后伸缩 向左（）平移 个单位，得 横坐标变为原来的 倍、纵坐标变为原来的 倍，得 先伸缩后平移 横坐标变为原来的 倍，得 向左平移 个单位，再纵坐标变为原来的 倍，得 【方法技巧】 1．三看定参数：看最值定 与 ，看周期定 ，看特征点定 ； 2．整体代换是处理对称轴、对称中心、单调区间、最值的通法：令 ，把问题转化为对 的研究； 3．两条路径"平移量不同、终点相同"，判断变换方式时先统一函数名、统一 ，再比较"自变量与常数项"的差异。 【易错清单】 1． 为负时必须先化正：用诱导公式把 化为 的形式再研究周期与平移，否则结论全错； 2．最值不要漏 ： 的最大值为 、最小值为 ； 3．平移方向易记反： 向左移、 向右移，符号与方向"同号向左"。 知识点2　用"五点法"作 的图象 "五点法"的实质是"整体代换"：令 ，分别取 ，求出对应的 与 ，描点后用光滑曲线连接。 五个关键点中，第一、三、五个点是图象与平衡位置的交点，第二、四点是最高点与最低点。画出一条完整曲线后，按周期 向左右延拓即可得到整个图象。 【方法技巧】 1．列表—描点—连线三步走：先列 的五个等间距值，再反解 ，可有效避免算错横坐标； 2．作草图时只需确定"最高点、最低点、与平衡位置的三个交点"的相对位置，不必精确到 的分数； 3．比较两曲线的交点个数、零点个数时，作图＋数形结合比纯计算更快更稳。 【易错清单】 1．反解 时忘记除以 ，把"相位"直接当成"自变量"； 2．取 的五个值必须等间距，否则五点的位置错乱，图象失真； 3．作开区间上的图象时，端点应画成空心，端点是否取到由定义域决定。 知识点3　由图象求解析式 由图象求解析式，通常按""的顺序进行： 1．定 、：，； 2．定 ：由相邻的最高点与最低点的横坐标之差为 ，或由相邻两个零点（或相邻两条对称轴）之差为 ，得 ，再由 求 ； 3．定 ：把图象上的一个特征点（通常取最高点、最低点或与平衡位置的交点）代入解析式，结合 的限定范围求解。 【方法技巧】 1．抓"特征点"：最高点、最低点、与平衡位置的交点，这三类点信息量最大； 2．求 时优先代最值点——最值点的相位是确定的 （或 ），比代零点更不易增解； 3．若图中给出"相邻对称轴之差"或"相邻零点之差"，先算周期再定位 ，避免多参数联立的繁琐运算。 【易错清单】 1． 的多值性：同一图象可能对应 与 ，必须结合题给的 之类的范围逐一检验； 2．周期看错：把"两个相邻零点"之间的长度当成一个周期，导致 取值恰好小了一半； 3． 的符号：若题目未限定 ，需结合图象"先升后降还是先降后升"确定 的符号。 知识点4　三角函数的图象变换（先平移后伸缩与先伸缩后平移） 设 ，，由 出发得到 ，常用两条路径： 路径 变换步骤 先平移后伸缩 向左（）平移 个单位，得 ；再横坐标变为原来的 倍、纵坐标变为原来的 倍，得 先伸缩后平移 横坐标变为原来的 倍，得 ；再向左平移 个单位，最后纵坐标变为原来的 倍，得 两条路径"平移量不同"，但终点相同。处理"为了得到……只需把……的图象如何变换"这类问题时，先把目标函数与初始函数化为同名同形（同一个 ），再比较自变量与常数项的差异。 【方法技巧】 1．"只对自变量下手"：横向伸缩只改变 的系数，纵向伸缩只改变整体倍数；横向平移量为 ，切勿漏除 ； 2．逆向问题（已知变换求原函数）用"设元回代＋逆变换"：设原函数为 ，经"横坐标变为原来的 倍、再平移 "后得到 ，则 ，代入比较即可； 3．涉及"平移后关于 轴对称/关于原点对称"的问题，先写出平移后的解析式，再套用 或 。 【易错清单】 1．"横坐标变为原来的 倍"对应 ，因此 的横坐标变为原来的 倍得 ，而非 ； 2．先伸缩后平移时平移量必须除以 ，这是本专题最高频的失分点； 3． 与 互化要先统一函数名： 与 比较前，先用诱导公式把二者化为同名函数。 知识点5　三角函数模型的实际应用 现实中的周期变化现象，如简谐运动、潮汐、气温、摩天轮、交流电等，常用模型 刻画： ①：振幅，即"变化幅度的一半"，； ②：平衡位置（中位值），； ③：周期，由实际问题的"循环一次所需时间"确定，； ④：初相，由"初始时刻的状态"（初始值的大小、升降方向）确定。 【方法技巧】 1．建模"四步法"：定模型（正弦型）→ 算 、 → 求 → 定 ； 2．确定 的"择时点"：常取图象的最高点、最低点或平衡位置的上升点作为参照代入求解； 3．求"某时段内满足条件的时长"时，转化为解三角不等式，再用单位圆或图象求区间长度并累加。 【易错清单】 1．自变量有实际范围（如 、），求最值与解不等式都必须在该范围内进行； 2．首次达到与第几次达到要分清："第一次达到最大值的时间"是多个解中的最小正解，不能只解一个方程就作答； 3．单位与精度要统一：角度制与弧度制不可混用， 中 与 的单位必须一致。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　由图象求解析式　★★ 【解题技巧】由图象定参数的"四步定式"：先看最值定 与 ，再看周期定 ，最后代入特征点定 。求 的"黄金两招"：一是代最值点（相位为 ），二是代零点（相位为 ）；后者更易增解，务必结合给定范围筛选。 【注意事项】本重难点有三处"暗礁"：①"相邻零点之差为 而非 "， 因此最易算错；② 的多值性，题目给出 之类的范围时必须逐一检验；③ 的情形，若图象"先降后升"，需先考虑 的符号，或先用诱导公式转化。看清图象"起点"的位置，是定 的关键。 【例1-1】（2026·山东·青岛·一模改编）已知函数 的部分图象如图所示，图象的最高点为 ，与 轴相邻的一个交点为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由最高点纵坐标定 ，由最高点与相邻零点的横坐标差为 定 与 ，再由最高点的相位定 。 【解答过程】由最高点为 ，得 ，且 。 最高点与相邻零点 的横坐标之差为 ，即 ，所以 ，。 代入得 ，即 。由 ，取 得 。 所以 。故选 A。 【例1-2】（2026·天津卷·高考真题）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由图可知函数为奇函数，且当 时函数值为负；先由奇偶性缩小范围，再由特殊点函数值的符号排除。 【解答过程】由图知 的图象关于原点对称，故 为奇函数。 对 A，，与图象不符，排除 A； 对 B，，与图象不符，排除 B； 对 D，，与图象不符，排除 D； 对 C，，为奇函数，且 ，与图象相符。故选 C。 【变式1-1】已知函数 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，且最大值为 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由相邻两条对称轴的距离为 求 ，由最大值定 。 【解答过程】相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 ，；又最大值为 ，得 。 所以 。故选 A。 【变式1-2】已知函数 的图象与 轴的交点为 ，最高点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由最高点定 与相位，再与截距联立求 ，最后用范围筛选。 【解答过程】由最高点为 ，得 ，且 。 又 ，得 ，故 或 。 若 ，代入 得 ，即 ，当 时 ，此时图象在 轴左侧即上升，与最高点在右侧矛盾，舍去； 取 ，此时 ，，符合题意。故选 A。 【变式1-3】若函数 的图象经过点 ，且相邻两条对称轴间的距离为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由对称轴间距定 ，由过点 与 定 ，再求函数值。 【解答过程】相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 ，。 由 ，得 ，结合 得 ，故 。 所以 。故选 A。 【变式1-4】函数 的部分图象如图所示，其最高点为 ，图象在 轴上的截距为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由最值与截距分别定 与 的候选值，再由 的相位条件排除增解。 【解答过程】由最高点纵坐标为 得 。 由截距 ，得 ；结合 ，得 或 。 又最高点为 ，即 。 代入 得 ，不符合 且图象右侧上升的特征，舍去； 取 ，得 ，即 。 所以 。故选 A。 【变式1-5】已知函数 的图象如图所示，、 是图象与 轴相邻的两个交点，且 ，图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由相邻零点的距离为 求 ，由过点 与范围求 ，再计算函数值。 【解答过程】相邻两个零点的距离 ，所以 ，。 由 且 ，得 ，故 。 所以 。故选 A。 【变式1-6】已知函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由"右移 得 "列方程，再把 换成 回代即得 。 【解答过程】由题意 。 令 ，则 ，故 ， 所以 ，其中 ，，，满足 。故选 A。 重难点培优02　三角函数的图象变换（平移与伸缩）　★★ 【解题技巧】图象变换题"三统一"：先统一函数名（都用 或都用 ），再统一 （都化为 ），最后比较 的"净增量"。牢记两条"硬结论"：先平移后伸缩，平移量为 ；先伸缩后平移，平移量为 。"横坐标变为原来的 倍"对应""。 【注意事项】①平移量的"分母"问题——由 到 必须左移 ，漏掉 是最大失分点；②"缩短到原来的 "与"变为原来的 倍"含义相同，注意题干措辞；③已知变换后的函数反求原函数时用"设元回代＋逆变换"，切忌"想当然地反向平移"。 【例2-1】（2026·浙江·杭州·二模）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】B 【解题思路】两个函数已同名同 ，只需把目标函数写成""的形式，比较 即得平移量与方向。 【解答过程】因为 ， 所以把 的图象上所有点向左平移 个单位长度，即得 的图象。故选 B。 【例2-2】（2026·湖北·武汉·三模）将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把所得图象向右平移 个单位长度，得到的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按"先伸缩后平移"的顺序逐步写出解析式，横向平移时遵循"只对 动手"的原则。 【解答过程】把 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得 ； 再把 的图象向右平移 个单位长度，得 。故选 C。 【变式2-1】把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按"左加右减、只对 动手"写出平移后的解析式，再用诱导公式化简。 【解答过程】左移 后得 。故选 A。 【变式2-2】为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把 化为 ，再比较两函数的"自变量净增量"确定平移方向与平移量。 【解答过程】。 设向左平移 个单位（）后得 ，要使其等于 ，只需 ，即 。 所以应向左平移 个单位长度。故选 A。 【变式2-3】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出平移后的解析式，令其为偶函数（关于 轴对称），解出 的通式后取正的最小值。 【解答过程】向左平移 个单位后得 。 由 为偶函数，得 ，即 ，所以 。 取 得 的最小正值 。故选 B。 【变式2-4】将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】横坐标伸长为原来的 倍即把 换成 ，再左移 即把 换成 ，逐步代入。 【解答过程】横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得 ； 再向左平移 个单位长度，得 。故选 B。 【变式2-5】已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到偶函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由周期定 ，由平移后为偶函数求出 （结合范围），再计算函数值。 【解答过程】由 得 ，故 。 右移 后得 ，记 。 由 为偶函数，即 恒成立，得 ，所以 。 结合 ，取 得 ，故 。 所以 。故选 C。 【变式2-6】（2026·湖南·长沙·模拟）把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】沿变换的逆方向"倒推"：先由"右移 得 "求出中间函数，再由"横坐标缩短到 "求出原函数。 【解答过程】设横坐标缩短后的函数为 ，由 得 。 又横坐标缩短到原来的 即把 中的 换成 ，故 。 令 ，得 ，所以 。故选 D。 重难点培优03　函数 的单调性与最值　★★★ 【解题技巧】单调性与最值问题的核心是"整体代换法"：令 ，先求出当 时 的取值范围，再借助 的图象与单调性求解。"三步走"：定区间（ 的范围）→ 画草图（）→ 读数值（最值与单调区间）。求单调区间时，把 代入 或 后解出 。 【注意事项】① 的符号影响最值位置： 时最大值在 处取得， 时相反；②单调区间必须在定义域内取，写出形如 的区间后要注明 ，并保证 ；③区间最值不一定在端点取得，若 的范围跨过 或 ，最值在内部点取得。 【例3-1】（2025·天津卷·高考真题）已知函数 在 上单调递增，且 是它的一条对称轴， 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由对称轴与相邻对称中心的距离为 求 ，联立对称轴、对称中心的条件求 ，最后整体代换求区间最小值。 【解答过程】因为 为对称轴， 为对称中心，且二者相邻，所以 ，得 ，。 由对称轴 得 ，即 ； 由对称中心 得 ，即 。 两式联立得 ，此时 。 验证单调性：当 时，，确为增函数，符合题意。 当 时，。由 的图象知，当 （即 ）时 取得最小值 。故选 A。 【例3-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接代入 得到关于 的方程，再结合 定值。 【解答过程】由 ，且 ，得 。故选 B。 【变式3-1】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出 的范围即得增区间。 【解答过程】令 ，由 得 ， 解得 ，所以增区间为 。故选 A。 【变式3-2】函数 在区间 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】整体代换求出相位区间，再借助 的图象读出最值。 【解答过程】当 时，。 在 上， 由 增至 （当 ）再减至 ，故 。 所以 。故选 A。 【变式3-3】已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把"在区间上单调递增"翻译为"相位区间是 的子集"，解不等式求 的范围。 【解答过程】当 时，。 要使 在 上单调递增，需 ， 即 ，解得 ，所以 的最大值为 。故选 B。 【变式3-4】函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】整体代换求相位范围，判断 是否落在区间内，再读最大值。 【解答过程】当 时，。 因为 ，所以当 （即 ）时 取最大值 。故选 A。 【变式3-5】已知函数 的最小正周期为 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由周期定 ，再令相位落在余弦函数的单调递减区间内解出 。 【解答过程】由 得 ，故 。 令 ，解得 ， 所以单调递减区间为 。故选 A。 【变式3-6】（2026·四川·成都·二模）已知函数 ，若 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出函数的全部零点通式，再统计落在 内的零点个数恰为 时 所处的范围。 【解答过程】令 ，得 。 在 内的零点依次为 时 ， 时 ， 时 。 要使 内恰有 个零点，需包含 与 、但不包含 ，即 。故选 A。 重难点培优04　由性质求参数（、 的范围）　★★★ 【解题技巧】由性质求参数，核心是"把性质翻译成相位 的等式或不等式"。常用翻译清单：对称轴 ；对称中心 ；相邻对称轴（或对称中心）间距为 ，对称轴与其相邻对称中心间距为 ；"在 上单调" 相位区间的长度不超过 。含"范围"的结论最后务必逐一检验取等情形。 【注意事项】①"在 上单调"必须转化为"相位区间是某单调区间的子集"，用"区间长度 "只能作为必要条件，还需检验端点相位是否落在同一单调区间内；② 的取值要逐一枚举，不要凭感觉猜；③同时给出对称轴与对称中心时，先由二者距离定 的"基本值"，再讨论 是否为基本值的整数倍。 【例4-1】（2025·北京卷·高考真题）设函数 ，若 恒成立，且 在 上存在零点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用辅助角公式化简，由 恒成立得 是周期的整数倍，推出 为偶数；再由区间上存在零点限制 的下界，取最小的偶数。 【解答过程】，其最小正周期 。 由 恒成立，知 为 周期的整数倍，即 ，得 ，故 为偶数。 令 得 ，即零点为 。 取 得 ，要求该零点落在 内，即 ，解得 。 结合 为偶数， 的最小值为 。故选 C。 【例4-2】（2026·江苏·南京·三模）已知函数 的图象关于点 对称，且在区间 上单调，则 的所有可能取值个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由对称中心得 与 的关系，由"区间长度不超过半个周期"得 ，再对 逐一验证单调性。 【解答过程】由 为对称中心，得 ，即 。 由 ，得 ，即 时 。 又 在 上单调，则 ，即 ，故 。 验证：当 时 ，相位区间 ，单调递减，符合； 当 时 ，相位区间 ，单调递减，符合； 当 时 ，相位区间 ，单调递减，符合。 所以 的所有可能取值为 ，共 个。故选 C。 【变式4-1】已知函数 的图象关于直线 对称，则 的一个值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把"关于直线 对称"翻译为相位取 ，解出 的通式后取整值。 【解答过程】由对称轴条件得 ，即 。 取 得 （选项 A 符合，其余选项均不满足 ）。故选 A。 【变式4-2】（2026·福建·福州·模拟）已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由相邻对称轴间距定 ，再由最值点 定 。 【解答过程】相邻两条对称轴之间的距离为 ，得 ，。 由 ，得 ，即 。 结合 ，取 得 。故选 A。 【变式4-3】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出相位区间，令其为 的子集，解不等式求 的范围。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递增，需 ， 即 ，解得 ，故 。故选 A。 【变式4-4】若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出相位区间，令其包含于正弦函数的某个单调递减区间内，解不等式组求 的范围。 【解答过程】当 时，。 要使 单调递减，需该区间包含于 ，取 ，则 且 ，解得 且 。 所以 。故选 A。 【变式4-5】已知函数 的最小正周期为 ，且其图象关于点 对称，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由周期定 ，再把"关于点对称"翻译为相位取 （余弦的对称中心对应零点）求 。 【解答过程】由 得 ，故 。 由 为对称中心，得 ，即 ，所以 。 结合 ，取 得 。故选 D。 【变式4-6】（2026·河北·石家庄·一模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】相位区间为 ，令其包含于 ，两个端点各给一个上限，取较小者。 【解答过程】当 时，。 要使其单调递增，需 且 ，即 且 。 所以 ， 的最大值为 。故选 A。 重难点培优05　三角函数图象与性质的综合　★★★ 【解题技巧】综合问题的通法是"一化、二代、三结合"：先用三角恒等变换（辅助角公式、降幂公式）化为 的标准形，再用整体代换研究单调性、对称性、最值，最后数形结合处理交点、零点与方程解的个数。判断"两图象交点个数"时，画草图＋比较关键点函数值是最快路径。 【注意事项】①化简必须彻底： 要化为 ，、 要合成一个角，未化成标准形就讨论性质必然出错；②"零点个数"与"解的个数"是同一个问题，注意端点是否计入；③图象识别题先看奇偶性，再看特殊点的函数值（常取 、、），往往一击即可排除三个选项。 【例5-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求 的最小正周期，判断它在 上包含几个周期；再在同一坐标系内作出两函数的草图，数形结合数交点。 【解答过程】函数 的最小正周期为 ，故它在 上恰有 个完整周期的图象，振幅为 ；而 在 上恰有一个周期的图象，振幅为 。 作出两函数在 上的草图： 在每个周期内穿过 的对应"波"两次（升降结构不同）， 个周期共产生 个交点（端点处两函数值分别为 与 ，不重合）。 所以两曲线的交点个数为 。故选 C。 【例5-2】（2025·全国一卷·高考真题）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正切曲线对称中心的通式，令相位取 ，求出对称中心横坐标的通式，再取正的最小值。 【解答过程】正切曲线 的对称中心为 及 ，即横坐标满足 。 令 ，得 。 当 时 ； 时 ，舍去。 所以 的最小值为 。故选 B。 【变式5-1】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令相位等于 ，求出对称轴横坐标的通式后比对选项。 【解答过程】令 ，得 ，即 。 取 得一条对称轴为 。故选 A。 【变式5-2】函数 的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令相位等于 求出对称中心横坐标的通式，再比对选项。 【解答过程】令 ，得 ，即 ，对称中心为 。 取 得对称中心 。故选 A。 【变式5-3】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数图象的一个对称中心为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先写出平移后的解析式并化简，再令相位取 求对称中心。 【解答过程】左移 个单位后得 。 令 ，得 ，取 得对称中心 。故选 A。 【变式5-4】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用辅助角公式化为标准形，再整体代换求增区间。 【解答过程】。 令 ，解得 ， 所以增区间为 。故选 A。 【变式5-5】（2026·江西·南昌·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的最大值为 C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上单调递减 【答案】C 【解题思路】逐一验证：用周期定义判断 A，用平方后求最大值判断 B，用对称的定义判断 C，用特殊值判断 D。 【解答过程】对 A，，故 是周期， 不是最小正周期，A 错误； 对 B，，故 ，最大值为 ，B 错误； 对 C，，， 由 、 知二者相等，C 正确； 对 D，取 与 ，得 ，，二者相等但中间值 更大，故不是单调递减，D 错误。故选 C。 【变式5-6】函数 在 上的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解方程求出零点通式，再统计落在 内的个数。 【解答过程】令 ，得 。 在 内： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ； 时 ，舍去； 时 ，舍去。 所以共有 个零点。故选 C。 重难点培优06　三角函数模型的实际应用　★★★ 【解题技巧】建模问题"四步定式"：① 设模型 ；② 由最值定 、；③ 由周期定 ；④ 由初始状态定 。确定 的"择时点"：若从"平衡位置且上升"开始，取 ；若从"最高点"开始，取 ；其余情形代 的初始值求解。求"某量超过某值持续多久"时，解三角不等式并求区间长度。 【注意事项】①自变量有实际范围（如 、），求最值与解不等式都须在该范围内进行；②"第一次"与"第几次"：求首次达到最大（小）值对应的时间，要取最小正解，不能只解一个方程就作答；③单位要统一， 中 与自变量单位必须一致（如 以"时"为单位）。 【例6-1】（2026·广东·广州·二模改编）某摩天轮的半径为 米，轮心距地面的高度为 米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 分钟转一圈。若从某游客所在座舱经过最低点开始计时，则该游客离地面的高度 （米）与时间 （分钟）的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由轮心高度与半径定 、，由转动周期定 ，再由"从最低点计时"确定初相。 【解答过程】轮心距地面 米，半径为 米，故高度的最大值为 、最小值为 ， 所以 ，。 每 分钟转一圈，故周期 ，。 因为从最低点开始计时，即 时 取最小值 ，所以 。 验证： 时 （最低点）， 时 （最高点），符合题意。故选 B。 【例6-2】（2026·山东·济南·三模改编）某海滨城市的潮水高度 （米）随时间 （时）的变化近似满足 ，已知凌晨 时潮水高度达到最大值 米，则一个潮汐周期内潮水高度超过 米的时长约为（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时 【答案】A 【解题思路】由 时取最大值定 ，化简解析式后用三角不等式求"超过 米"的时间区间长度。 【解答过程】由 时 取最大值 ，得 ，取 ，故 。 由 得 ，即 ， 解得 ，即 。 一个周期（）内为 ，总时长为 小时。故选 A。 【变式6-1】某简谐振动的位移 （厘米）与时间 （秒）满足 ，则它的振幅和周期分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】由解析式直接读出振幅与角频率，再用 求周期。 【解答过程】振幅 ，，故周期 。故选 A。 【变式6-2】（2026·河南·郑州·模拟）某地一天的气温 （℃，）随时间 （时）的变化满足 ，则该地这一天的最高气温为（　　） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【答案】A 【解题思路】正弦型函数的最大值为 ，并验证取最大值的时间落在 内。 【解答过程】 的最大值为 。 验证： 时 ，即 ，取 得 ，可取到最大值。 所以最高气温为 ℃。故选 A。 【变式6-3】某单摆偏离竖直方向的角度 与时间 （秒）满足 ，则单摆偏离竖直方向的最大角度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】正弦型函数振幅即最大偏离量的绝对值。 【解答过程】由 知振幅为 ，故偏离竖直方向的最大角度为 。故选 A。 【变式6-4】（2026·辽宁·大连·二模）海水受日月的引力会产生潮汐现象。某港口在某天 时的水深 （米）满足 ，则该港口这一天水深不低于 米的时长为（　　） A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时 【答案】C 【解题思路】解三角不等式求出 的时间集合，再与 取交集并累加区间长度。 【解答过程】由 得 ，即 。 所以 ，解得 。 在 内为 ，总时长为 小时。故选 C。 【变式6-5】某商品的出厂价格 （元）随时间 （月）的变化满足 ，则出厂价格最低的月份是（　　） A．第 个月 B．第 个月 C．第 个月 D．第 个月 【答案】C 【解题思路】令正弦部分取 求出价格最低的时间通式，再取最小的正时间。 【解答过程】令 ，得 ，即 ，所以 。 由 取 得 ，即第 个月出厂价格最低。故选 C。 【变式6-6】（2026·陕西·西安·一模）已知某交流电的电流强度 （安培）与时间 （秒）满足 ，则电流强度第一次达到 安培所用的时间为（　　） A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒 【答案】A 【解题思路】令 解出 的通式，取最小的正时间即"第一次"所用的时间。 【解答过程】令 ，得 ，即 ， 所以 ，即 。 取 得第一次达到 安培所用时间为 秒。故选 A。 重难点培优07　三角函数与向量、数列、导数的交汇　★★★★ 【解题技巧】交汇问题的"拆解三招"：① 先"分离"——把向量、数列、导数的条件各自翻译成三角函数关系式；② 再"归一"——统一化为 的标准形式；③ 后"回归"——用三角函数的图象与性质（单调、最值、零点、极点、对称）解决问题。与导数交汇时，正弦型函数的极值点与对称轴一一对应；与向量交汇时，数量积、模、夹角都可用坐标化为三角式；与数列交汇时，通项取值为三角函数值的形式，周期性是解题钥匙。 【注意事项】①范围是交汇题的命门：向量夹角、数列下标 、参数取值范围都有隐含限制；②导数与单调性的关系需验证（ 且不恒为 才是严格递增）；③数列的自变量是离散的整数， 的周期性要求 的增量是 的整数倍，注意"连续"与"离散"的差别。 【例7-1】（2026·浙江·温州·二模改编）已知函数 ，则曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】切线斜率即导数值，先求导，再代入 计算。 【解答过程】， 所以 。故选 B。 【例7-2】（2026·湖北·宜昌·三模改编）已知向量 ，，则函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用数量积的坐标公式写出 ，再用辅助角公式化为标准形求最大值。 【解答过程】， 所以 的最大值为 。故选 C。 【变式7-1】已知函数 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用二倍角公式把 化为关于 的二次式，换元后用二次函数求最值。 【解答过程】。令 ，得 。 因为 ，所以 的最大值为 。故选 C。 【变式7-2】（2026·江苏·苏州·模拟）已知数列 的通项公式为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出一个周期（ 项）内各项之和，再由 化归。 【解答过程】因为 以 为周期，且一个周期内 。 又 ，所以 。故选 B。 【变式7-3】已知函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把对称中心条件翻译为相位等于 ，解出 的通式后取最小正值。 【解答过程】由 为对称中心，得 ，即 。 由 取 得 ，即 的最小值为 。故选 D。 【变式7-4】（2026·重庆·二模）已知函数 ，则方程 在 内的解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求导，再解三角方程并结合区间筛选。 【解答过程】。由 得 ，故 。 在 内只有 一个解。故选 A。 【变式7-5】已知向量 ，，则函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用数量积的坐标公式化简，再用二倍角公式化为标准形求周期。 【解答过程】，其最小正周期 。故选 B。 【变式7-6】（2026·福建·厦门·三模）设函数 ，若 在 处取得极大值，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由极大值对应的相位求出 的通式，再求 。 【解答过程】 取得极大值 时，，即 。 所以 。故选 D。 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题的"三字诀"：读（逐字读清定义的条件、运算与量词）、译（把新符号翻译成已有的三角函数知识）、算（严格按定义代入，逐项检验）。三角函数新定义常以"数列的周期性、图象的对称性、点的对应关系"为载体，破解的关键是把"抽象定义"转化为"具体的三角函数值或图象特征"。遇到"存在/任意"量词，先取特殊值试探，再作一般性验证。 【注意事项】①切忌惯性思维：新定义的"""-反周期函数""好点"等符号，一律按定义理解，不可套用旧公式；②注意定义中的范围与端点（如 、）；③多选题中"存在"与"任意"要分清，举出一个反例即可否定"任意"结论。 【例8-1】（2026·山东·青岛·二模改编）定义：若存在非零常数 ，使得对任意实数 都有 ，则称函数 为"-反周期函数"。下列函数中是"-反周期函数"的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐项验证 是否对任意 恒成立。 【解答过程】对 A，，不满足； 对 B，，不满足； 对 D，，不满足； 对 C，，则 ，满足。故选 C。 【例8-2】（2026·湖南·长沙·三模改编）定义：在平面直角坐标系中，若点 满足 ，，则称 为"单位圆点"。已知 、 均为"单位圆点"，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把"单位圆点"翻译为"单位圆上的点"，两点距离的最大值即直径。 【解答过程】由定义，、 都在以原点为圆心、 为半径的单位圆上。 所以 的最大值为该圆的直径 （当 、 为圆的一对直径端点时取到）。故选 C。 【变式8-1】（2026·辽宁·沈阳·模拟）定义：若数列 满足 ，且 是周期函数，则称 为"周期数列"。已知 ，则该数列的一个周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 恒成立推出 是 的整数倍，取最小正周期。 【解答过程】由 ，要使其恒等于 ，需 ，即 。 所以最小正周期为 。故选 C。 【变式8-2】（2026·安徽·芜湖·二模改编）定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用周期性把自变量化到 内，再求函数值。 【解答过程】由周期 ，， 所以 。故选 B。 【变式8-3】定义：若函数 对任意 都有 ，则称 的图象关于点 对称。已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的图象关于点 对称 B． 的最小正周期为 C． 的最大值为 D． 为偶函数 【答案】A 【解题思路】按定义验证 A，再逐一否定其余选项。 【解答过程】对 A，，符合定义，A 正确； 对 B， 的最小正周期为 ，B 错误； 对 C， 的最大值为 ，C 错误； 对 D， 不是偶函数（， 但 ，图象不对称），D 错误。故选 A。 【变式8-4】（2026·广西·南宁·三模改编）定义：若对任意 ，，且 是使该式成立的最小正数，则称 为 的最小正周期。已知 ，则 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用周期定义检验 成立且比 小的正数均不成立。 【解答过程】，故 是周期。 又 ，而 ，但 ，故 不是周期。 所以最小正周期为 。故选 B。 【变式8-5】定义：对于函数 ，称集合 为它的零点集。已知 ，则 在 上的零点集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解方程求出零点通式，再筛选落在 内的所有解。 【解答过程】令 ，得 。 在 内： 时 ； 时 ； 时 ，舍去； 时 ，舍去。 所以零点集为 。故选 A。 【变式8-6】（2026·云南·昆明·一模改编）定义：若函数 的图象上存在两个不同点关于原点对称，则称 具有"对径点"。下列函数中具有"对径点"的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】"图象上存在两个不同点关于原点对称"等价于存在 使 且两点为此关系；逐一检验。 【解答过程】设存在两个不同点关于原点对称，则需方程 有解。 对 A，，无解； 对 B，，令其为 得 ，此时两点 与 是两个不同点，具有"对径点"； 对 C，，仅 时为 ，对应同一个点，不符合"两个不同点"； 对 D，，无解。故选 B。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的振幅与最小正周期分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】由解析式读出振幅，再用 求周期。 【解答过程】振幅为 ，，故 。故选 A。 2．【巩固】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求 的周期，确定它在 上的周期数，再数形结合。 【解答过程】 的最小正周期为 ，在 上共有 个完整周期； 在 上有 个周期。 作出两条曲线的草图，由图象可知两曲线在每个周期内相交 次，共 个交点。故选 C。 3．【巩固】把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先平移后伸缩，逐步代入变换关系。 【解答过程】右移 个单位得 ； 再横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），即把 换成 ，得 。故选 A。 4．【巩固】已知函数 ，则 的一条对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令相位等于 ，解出对称轴通式后比对选项。 【解答过程】令 ，得 ，即 。 取 得 。故选 B。 5．【进阶】已知函数 的最大值为 ，相邻两条对称轴之间的距离为 ，且图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由最值定 ，由对称轴间距定 ，再由截距与范围定 。 【解答过程】由最大值 得 ；由相邻对称轴间距 得 ，，故 。 由 ，得 ，结合 得 。故选 A。 6．【进阶】函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出相位区间，令其为 的子集，解不等式求 。 【解答过程】当 时，。 需 ，解得 ，故 。故选 A。 7．【进阶】（2026·浙江·模拟）函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】整体代换求相位范围，再借余弦图象读最值。 【解答过程】当 时，。 在 上， 在 处取最大值 ，在 处取最小值 。 所以值域为 。故选 A。 8．【培优】（2026·湖南·模拟）已知函数 ，若 在区间 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出相位区间，令其含于增区间内，取端点不等式求解。 【解答过程】当 时，。 需 ，解得 ，故 的最大值为 。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．图象关于直线 对称 C．最大值为 D． 【答案】ABC 【解题思路】逐一验证周期、对称轴、最值与特殊点函数值。 【解答过程】对 A，，正确； 对 B，令 得 ，取 得 是它的一条对称轴，正确； 对 C，最大值为 ，正确； 对 D，，错误。故选 ABC。 10．【进阶】（2026·四川·成都·模拟）已知函数 的最小正周期为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的图象关于点 对称 C． 在 上的最小值为 D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到 【答案】AC 【解题思路】由周期定 ，再逐一验证对称中心、区间最值与图象变换。 【解答过程】由 得 ，A 正确； 此时 ，，B 错误； 当 时，， 的最小值为 ，故 的最小值为 ，C 正确； 把 左移 得 ，D 错误。故选 AC。 11．【培优】（2026·江苏·模拟）已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 的图象关于点 对称 D． 在 上单调递增 【答案】AD 【解题思路】由对称轴间距定 ，由最值点定 ，再验证对称中心与单调性。 【解答过程】由 得 ，，A 正确； 由 ，得 ，即 ，结合 得 ，B 错误； 此时 ，，C 错误； 当 时，，单调递增，D 正确。故选 AD。 12．【培优】（2026·湖北·模拟）已知函数 ，则（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称 C． 在 上单调递减 D． 【答案】AB 【解题思路】逐一验证周期、对称轴、单调性与特殊点函数值。 【解答过程】对 A，，正确； 对 B，令 得 ，取 得 是它的一条对称轴，正确； 对 C，当 时，， 在 上递增、在 上递减，故 不是单调递减，错误； 对 D，，错误。故选 AB。 三、填空题 13．【巩固】函数 的最小正周期为 ______． 【答案】 【解题思路】直接使用周期公式 。 【解答过程】，故最小正周期 。 14．【进阶】把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数的解析式为 ______． 【答案】 【解题思路】左加右减，且只对自变量 进行平移。 【解答过程】左移 个单位得 。 15．【进阶】（2026·山东·模拟）已知函数 的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】由最值定 ，由周期定 ，再由 与范围定 。 【解答过程】由最大值 得 ；由 得 ；故 。 由 得 ，结合 得 。 16．【培优】（2026·安徽·模拟）已知函数 ，若方程 在区间 上恰有 个解，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】解三角方程求出解的通式，再统计 内恰有 个解时 所处范围。 【解答过程】由 ，得 或 ， 即 或 。 在 内的解依次为 。 要使 上恰有 个解，需包含 而不包含 ，故 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 在 上的单调递增区间． 【答案】(1) 最小正周期为 ，最大值为 ；(2) ． 【解题思路】(1) 由公式求周期与最大值；(2) 整体代换求增区间并与给定区间取交集。 【解答过程】(1) 最小正周期 ，最大值为 。 (2) 令 ，解得 ，即 的增区间为 。 取 得 ，与 求交集得 。 所以 在 上的单调递增区间为 。 18．【培优】已知函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，图象过点 ，且最高点为 ． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的值域． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 由对称轴间距定 ，由最值定 ，由最高点定 ，并用 检验；(2) 整体代换求值域。 【解答过程】(1) 由 得 ，；由最高点纵坐标为 得 。 由最高点 得 ，即 ，结合 取 。 检验：，符合题意。所以 。 (2) 当 时，。 在 上， 的最小值为 ，最大值为 。 所以 的值域为 。 19．【培优】已知函数 的图象关于点 对称，且相邻两条对称轴之间的距离为 ． (1) 求 、； (2) 求 在 上的最小值． 【答案】(1) ，；(2) ． 【解题思路】(1) 由对称轴间距定 ，由对称中心与范围定 ；(2) 整体代换求最小值。 【解答过程】(1) 由 得 ，。 由 为对称中心，得 ，即 ，所以 。 结合 ，取 得 ，故 。 (2) 当 时，，其中 。 所以 的最大值为 ，最小值在端点处取得，为 。 故 在 上的最小值为 。 20．【培优】（2026·广东·模拟）某地一天的气温 （℃，）与时间 （时）近似满足 ，已知 时气温达到最大值 ℃． (1) 求 及该地这一天的最高、最低气温； (2) 求这一天内气温不低于 ℃ 的时长． 【答案】(1) ，最高气温 ℃、最低气温 ℃；(2) 小时． 【解题思路】(1) 由 取最大值定 ，再由振幅与中位值定最值；(2) 解三角不等式求时长。 【解答过程】(1) 由 时 取最大值 ，得 ，即 ，取 。 所以 ，最高气温为 （℃），最低气温为 （℃）。 （验证： 时 ，即 ，取 得 ，可取到最低气温。） (2) 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 。 在 内为 ，故气温不低于 ℃ 的时长为 （小时）。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $