5.6函数y=Asin(ωx+φ)教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第5章 5.6　函数y=Asin(ωx+φ) 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　图象变换的先后次序与相位平移量 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.6.2 函数 的图象 正文对 的探究；教材 P237 例 1（画出 的简图）；P239 练习中的图象变换题；习题 5.6（P240—P241）中与变换、解析式有关的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 。由 的图象出发： · 相位变换：。 时向左平移 个单位， 时向右平移 个单位。 · 周期变换：。横坐标缩短（）或伸长（）到原来的 倍，纵坐标不变。 · 振幅变换：。纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的 倍，横坐标不变。 两条常用路线。路线一（先平移后伸缩）： 路线二（先伸缩后平移）： 路线一的平移量是 ；路线二的平移量是 。核心原因：横向变换只作用于自变量 ，而 图 1　两条变换路线：①先平移后伸缩，②先伸缩后平移；两路线的相位平移量不同 （3）推导证明 · 相位变换：设 在 上，则 。把点向左平移 （）得 。令 ，则 ，故 。向右平移同理。 · 周期变换：设 在 上，则 。横坐标变为原来的 后，点变为 。令 ，则 ，故 。 · 振幅变换：纵坐标变为原来的 倍，点的纵坐标由 变为 ，而 ，故新图象为 。 · 路线二的平移量：由 ，把 的图象向左（）或向右（）平移 个单位即得。 · 次序不可交换：以 为例。路线一：先左移 得 ，再横坐标压缩为原来的 ，得 。路线二：先压缩得 ，再左移 得 。若路线二误左移 ，则得 ，与目标不符。 （4）适用条件与易错提醒 · 标准形式必须先化为 。若 ，先用诱导公式把 的系数化为正；若 ，先关于 轴翻折。 · 横向平移和伸缩都只对 本身操作，不能把 当作整体。例： 向右平移 ，得到 ，不是 。 · 路线一平移 ，路线二平移 ；两数不能混用。题目问“平移多少个单位”时，先看变换顺序。 · “横坐标缩短到原来的 ”是变为 倍；“缩短了 ”是减少一半，结果也是 倍；但“伸长到原来的 2 倍”是变为 2 倍，“伸长了 2 倍”是变为 3 倍。读题时看清“到”与“了”。 · 异名函数先化同名：如 与 之间先用诱导公式统一，再谈平移；不能直接按 的平移量套用。 · 若还含上下平移 ，纵向伸缩与上下平移也不能随意交换：先上移 1 再纵向伸长 2 倍得 ，先伸长 2 倍再上移 1 得 。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题高频，常考： · 判断由 到 的变换过程，或指出平移方向与单位； · 已知变换前后的解析式，反求原函数或参数； · 图象变换与交点个数、单调性、对称性结合。 难度基础到中档。近年真题：2021 全国乙卷·理 7（逆向变换求 ）、2022 浙江卷·6（由 到 的平移量）、2024 新课标Ⅰ卷·7（ 与 的交点个数，直接源于教材 P237 例 1）。 （6）方法归纳 · 第一步　化标准　把目标函数写成 （），异名先用诱导公式统一。 · 第二步　定路线　优先选“先平移后伸缩”：平移量直接是 ，不易漏除 ；若题目指定先伸缩，则用路线二。 · 第三步　算平移量　路线一平移 ；路线二先提取 ，平移 。方向按“左加右减”对 本身判断。 · 第四步　回验　把变换后的解析式展开，与目标式比较；或取一个特殊点（如最高点）验证坐标是否对应。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 画出函数 在一个周期内的简图，并说明它可由 的图象经过怎样的变换得到。 解析 令 。当 取 时， 依次取 ， 依次取 。描点连线，得一个周期内的简图（图 2）。 图 2　 在一个周期内的简图与五个关键点 变换路线一： 向右平移 个单位，得 ；再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得 ；最后把纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得 。 变换路线二：先把 的横坐标缩短到原来的 ，得 ；再向右平移 个单位，得 ；最后纵坐标伸长到原来的 2 倍。 例题 2（教材原题改编） 说明由 的图象经过怎样的变换可以得到 的图象，写出两种路线。 解析 路线一（先平移后伸缩）： 向左平移 ，得 ；横坐标缩短到原来的 ，得 ；纵坐标伸长到原来的 3 倍，得 。 路线二（先伸缩后平移）： 横坐标缩短到原来的 ，得 ；向左平移 ，得 ；纵坐标伸长到原来的 3 倍。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 。 变式 1-2（优质模拟改编） 把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象；若改为先向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象。 1. 求 与 ； 1. 若要由第二种路线得到与 相同的图象，应先向右平移多少个单位长度？ 条目二　由图象求解析式的四步定参 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.6.2 函数 的图象 正文关于由图象确定参数的讨论；习题 5.6 第 4、5 题（教材 P241）中“由部分图象求解析式”“由最高点、最低点与 轴交点求解析式”的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：习题结论。 设 （），图象的最大值为 ，最小值为 。四步定参： · 第一步　定 ：，。若图象关于水平线 对称，这条线就是平衡位置。 · 第二步　定 ：由图象读出周期 ，。常用关系见下表。 图象给出的相邻特征 周期关系 相邻最高点与最低点 相邻两个零点 相邻最高点与零点 相邻两个最高点（或两个最低点） · 第三步　定 ：代入一个特殊点。最高点 满足 ；最低点满足 ；上升零点满足 ；下降零点满足 。解出 后，按题目给定的范围（如 ）取舍。 · 第四步　回验：把 代回，检查另一个已知点、单调区间或最值是否吻合。 “五点法”对应：令 依次取 ，解得的 就是作图用的五个横坐标；其中第一个点是上升零点，第三个点是下降零点。 （3）推导证明 · 定 ：由 ，，两式相加得 ，相减得 ，故 ，。 · 定 ： 在 取最大值，在 取最小值，两者相位差 ，对应横坐标差 ；相邻零点对应相位差 ，也差 ；最高点与相邻零点相位差 ，差 ；相邻两个最高点相位差 ，差 。 · 定 ：最高点处 ，故 ；最低点处 ，故 。上升零点处图象从负变正， 且相位为 ；下降零点处相位为 。 · 为什么优先用最高点或最低点：方程 只有一族解，代入后 在给定范围内唯一；而 有两族解，若不分上升、下降，容易把 算错 。 · 回验：将求得的解析式代入另一个已知点，或检查相邻最值的横坐标差是否为 。 （4）适用条件与易错提醒 · 先确认 。若题目给出的表达式是 或 ，先用诱导公式化标准，再定参。 · 最高点纵坐标是 ，最低点是 ；只有 时才是 。忘记 是常见错误。 · 相邻最高点与最低点的横坐标差是 ，不是 ；相邻两个零点的横坐标差也是 ，不是 。 · 代入零点时必须区分上升零点与下降零点：上升零点相位为 ，下降零点相位为 。代错会使 相差 ，图象整体上下颠倒。 · 最高点代入得 ，最低点得 ，不要漏写 ；最后用题目给的 范围取舍。 · 若题目只给“图象经过某点”而不说明该点在上升段还是下降段，解可能不唯一；应结合图象的升降趋势、单调区间或对称轴排除。 · 若图象不是完整的半个周期，先补全或利用对称性确定周期，不要直接把两点横坐标差当成 。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，常以“给出部分图象求解析式”“由解析式判断图象”出现；也常与图象变换、单调性、对称性、零点个数结合。难度基础到中档。近年真题：2023 新课标Ⅱ卷·16（由图象中直线 与曲线的两个交点及 定参）、2021 全国甲卷（由 的部分图象求函数值）。 （6）方法归纳 · 第一步　读最值　从图象读出最大值 、最小值 ，算 、。 · 第二步　读周期　找相邻最高点与最低点、相邻零点或相邻最高点，按上表算 ，再算 。 · 第三步　代特殊点　优先代最高点或最低点；若代零点，先判断上升还是下降。解出 的全部可能值，再用给定范围取舍。 · 第四步　回验　代另一个已知点，检查最值、零点、单调性是否与图象一致；不一致则回到第三步修正。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知函数 （）的图象与 轴的交点为 ，它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和 。求 的解析式及 的值。 解析 由最高点纵坐标 2、最低点纵坐标 ，得 ，。第一个最高点与第一个最低点的横坐标差为 ，即 ，故 ，。由 得 ，即 。又 ，故 。所以 。第一个最高点满足 ，解得 。回验最低点：，吻合。 图 3　 的图象与最高点、最低点、 轴交点 例题 2（教材原题改编） 已知函数 （）的图象与 轴交于点 ，在 轴右侧的第一个最高点为 ，第一个最低点为 。求 的解析式。 解析 由最大值 3、最小值 ，得 ，。第一个最高点与第一个最低点的横坐标差为 ，故 ，，。由 得 ，即 。又 ，故 。所以 。回验最高点：，吻合。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 已知函数 （），如图， 是直线 与曲线 的两个交点，若 ，求 。 图 4　 是直线 与曲线 的两个交点 变式 2-2（优质模拟改编） 如图是函数 （）的部分图象，图象的最高点为 ，最低点为 ，且图象经过原点。求 的解析式。 图 5　函数 的部分图象 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：从所得函数 逆向操作。先把它向左平移 ，得 ；再把横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得 。故 。 变式 1-2 答案与解析 答案：(1) ，；(2) 应先向右平移 个单位长度。 解析： (1) 路线一： 横坐标缩短到原来的 ，得 ；再向右平移 ，得 。 路线二： 先向右平移 ，得 ；再横坐标缩短到原来的 ，得 。 (2) 设第二种路线先向右平移 个单位，则最终为 。要与 相同，需 。取最小正平移量 。即先平移时，平移量应是 ，是后平移时 的 2 倍。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：设 ，，。由 得 。在 中， 的两族解为 或 。由图， 是同一峰两侧的相邻交点，故相位差为 。于是 ，即 ，解得 。 图象在 处从正变负，是下降零点，故 ，即 。又 ，取 。所以 ，。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：由最高点纵坐标 3、最低点纵坐标 ，得 ，。最高点与最低点的横坐标差为 ，故 ，，。最高点满足 ，即 。由 ，取 。所以 。回验原点：，吻合。 人教A版·必修第一册　第5章 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $