第21讲 函数y=Asin（ωx+φ）讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第21讲 函数y=Asin（ωx+φ） 第21讲 函数y=Asin（ωx+φ） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解 、、 的几何意义，能由解析式直接读出最值、周期与初相； 2．掌握图象平移与伸缩变换的两条路径，能在"先伸缩后平移"时正确处理平移量； 3．会由最值、周期、特殊点求解析式，能按"最值、周期、特殊点"的顺序求解三个参数； 4．熟练运用整体代入法求单调区间、闭区间上的值域与对称轴（中心），并会由性质反求 。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 、、 的意义与最值周期 选择题、填空题 第4~6题 中 定最值、 定周期，先读参数再动手 图象的平移与伸缩变换 选择题 第5~8题 中偏难 "左加右减"作用于 ；先伸缩后平移除以 由性质（图象）求解析式 选择题、填空题、解答题 第6~8题／第13题／第15题 中偏难 按"最值、周期、特殊点"顺序求解并回代验证 单调区间与闭区间上的值域 选择题、解答题 第7~8题／第14题／第15题 中偏难 整体代入，闭区间先算内层整体范围 对称轴、对称中心与反求 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 对称轴取最值、对称中心取零点，解出通式后取最小正值 命题规律分析 本专题是三角函数图象与性质的综合应用，在新高考中多以选择题第5~8题、填空题第13~14题出现，也常作为解答题第15题的第一问。命题热点有三：参数意义的直接考查、"先伸缩后平移"的变换辨析、以及由图象或性质求解析式。培优层面还要突破两类第8题、第14题档的问题：含参 在给定区间上的单调性与值域约束、由对称性产生的参数范围。本讲统一用"整体代入法"贯通全章：把 看成一个整体 ，所有关于单调、最值、对称的讨论都化为对 的讨论。三个高频陷阱： 的符号与平移方向；先伸缩后平移忘记除以 ；闭区间求值域直接答 。 考点1 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 中参数的意义 知识点1 、、 的几何意义 在 （，）中： 是振幅，值域为 ； 决定最小正周期 ； 是初相，决定图象左右平移的位置。 若函数为 ，则值域为 ，最大值为 。 【易错清单】 1． 不影响周期，把初相当作周期的一部分是概念错误； 2．有纵向平移 时最大值是 而不是 ； 3．把 与 的作用弄反（ 管高矮、 管疏密）。 知识点2 图象变换的两种顺序 先平移后伸缩：把 左移（）或右移 个单位得 ，再把横坐标变为原来的 ，最后把纵坐标变为原来的 倍。 先伸缩后平移：先得 ，再平移 个单位，此时平移量必须除以 。 【易错清单】 1．"先伸缩后平移"时平移量忘记除以 ，直接写 ； 2．把"横坐标变为原来的 "错记成"变为 倍"； 3．左右平移的方向写反（左加右减针对 ，不是针对函数值）。 考点2 性质、解析式与综合应用 知识点3 由性质（或图象）求解析式 求参数顺序固定：由最值定 ，由周期定 ，由特殊点定 。最高点对应 ，最低点对应 ，上升零点对应 。 若已知图象关于某直线（或某点）对称，则把它代入对称轴（中心）方程；若已知在某区间上单调，则把整体 限制在相应单调区间内。 【易错清单】 1．代入点时看错横纵坐标； 2．忽略 的范围限制而写出多个解； 3．求 时把周期公式写成 。 知识点4 单调区间与闭区间上的值域 求 （）的递增区间：令 ，解出 即可；递减区间令 。 求闭区间 上的值域：先算出 的取值范围，再求 在该范围上的取值，最后乘以 （并加上纵向平移）。 【易错清单】 1．闭区间求值域时直接写 ，忽略区间限制； 2．解不等式时三边没有同时运算，端点算错； 3． 时不先化正就直接套用区间公式。 【题型1 参数的意义：最值与周期】 【例1】函数 的最大值与最小正周期分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【变式1-1】函数 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 图象的平移与伸缩变换】 【例2】要由 的图象得到 的图象，若采用"先伸缩后平移"的顺序，则（　　） A．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位　B．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位　C．先向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 　D．先向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 【变式2-1】要由 的图象得到 的图象，若采用"先伸缩后平移"，则平移量应为（　　） A．向右平移 个单位　B．向右平移 个单位　C．向右平移 个单位　D．向左平移 个单位 【变式2-2】把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】把函数 的图象向左平移 个单位长度，再把图象上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 由性质反求参数】 【例3】已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 。求 、、。 A．，，　B．，，　C．，，　D．，， 【变式3-1】已知函数 （）的最大值为 ，则 ____________。 【变式3-2】已知函数 （）的最小正周期为 ，则 ____________。 【变式3-3】已知函数 （）在 处取得最大值，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 单调区间与闭区间上的值域】 【例4】函数 在 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】函数 在 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 对称轴与对称中心】 【例5】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】若函数 （）的图象关于点 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】若函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 综合应用】 【例6】已知函数 。 (1) 求 的单调递增区间； (2) 求 图象的对称中心。 【变式6-1】已知函数 ，求 在 上的值域。 【变式6-2】要由 的图象得到 的图象，写出一种"先平移后伸缩"的变换方案。 【变式6-3】已知函数 ，求 的值及 的最大值。 一、单选题 1．（★★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知函数 （）在 上单调递增，在 上单调递减，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知函数 （）在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最大值为 　B．最小正周期为 　C．当 时函数取到最大值　D．图象关于直线 对称 10．（★★）关于三角函数图象的变换，下列说法正确的是（　　） A．把 的图象向左平移 个单位得到 　B．把 的图象向左平移 个单位得到 　C．把 图象上各点横坐标缩短到原来的 得到 　D．把 的图象向左平移 个单位得到 11．（★★★）已知函数 （），则下列说法正确的是（　　） A． 的图象关于点 对称时， 的最小值为 　B． 的图象关于直线 对称时， 的最小值为 　C．若 在 上单调递增，则 　D．若 在 上恰有 个零点，则 12．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 在 上的值域为 　C．直线 是 图象的一条对称轴　D．若 在 上单调递增，则 的最大值为 三、填空题 13．（★★）函数 的最大值是 ____________。 14．（★★）函数 的最小正周期是 ____________。 15．（★★★）若函数 （）在区间 内单调递减，则 的取值范围是____________。 16．（★★★）已知函数 （）的图象在区间 上恰有两个对称中心，则 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 的值及 在 上的值域。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 图象的对称轴方程； (2) 求 的单调递增区间。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期； (2) 求 的单调递减区间。 20．（★★★）已知函数 （，）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的单调递增区间与最小值。 21．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 的最小正周期为 ，求 图象的对称轴方程； (2) 若 的图象关于点 对称，求 的最小值。 22．（★★★）已知函数 。 (1) 要由 的图象经过变换得到 的图象，写出一种"先平移后伸缩"的方案； (2) 求 在 上的值域。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在 上单调递增，求 的取值范围； (2) 若 ，求 在 上的值域； (3) 在 (2) 的条件下，若关于 的方程 在 上有两个不同的实根，求 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称。 (1) 求 ； (2) 求 在 上的单调区间与最值； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第21讲 函数y=Asin（ωx+φ） 第21讲 函数y=Asin（ωx+φ） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解 、、 的几何意义，能由解析式直接读出最值、周期与初相； 2．掌握图象平移与伸缩变换的两条路径，能在"先伸缩后平移"时正确处理平移量； 3．会由最值、周期、特殊点求解析式，能按"最值、周期、特殊点"的顺序求解三个参数； 4．熟练运用整体代入法求单调区间、闭区间上的值域与对称轴（中心），并会由性质反求 。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 、、 的意义与最值周期 选择题、填空题 第4~6题 中 定最值、 定周期，先读参数再动手 图象的平移与伸缩变换 选择题 第5~8题 中偏难 "左加右减"作用于 ；先伸缩后平移除以 由性质（图象）求解析式 选择题、填空题、解答题 第6~8题／第13题／第15题 中偏难 按"最值、周期、特殊点"顺序求解并回代验证 单调区间与闭区间上的值域 选择题、解答题 第7~8题／第14题／第15题 中偏难 整体代入，闭区间先算内层整体范围 对称轴、对称中心与反求 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 对称轴取最值、对称中心取零点，解出通式后取最小正值 命题规律分析 本专题是三角函数图象与性质的综合应用，在新高考中多以选择题第5~8题、填空题第13~14题出现，也常作为解答题第15题的第一问。命题热点有三：参数意义的直接考查、"先伸缩后平移"的变换辨析、以及由图象或性质求解析式。培优层面还要突破两类第8题、第14题档的问题：含参 在给定区间上的单调性与值域约束、由对称性产生的参数范围。本讲统一用"整体代入法"贯通全章：把 看成一个整体 ，所有关于单调、最值、对称的讨论都化为对 的讨论。三个高频陷阱： 的符号与平移方向；先伸缩后平移忘记除以 ；闭区间求值域直接答 。 考点1 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 中参数的意义 知识点1 、、 的几何意义 在 （，）中： 是振幅，值域为 ； 决定最小正周期 ； 是初相，决定图象左右平移的位置。 若函数为 ，则值域为 ，最大值为 。 【易错清单】 1． 不影响周期，把初相当作周期的一部分是概念错误； 2．有纵向平移 时最大值是 而不是 ； 3．把 与 的作用弄反（ 管高矮、 管疏密）。 知识点2 图象变换的两种顺序 先平移后伸缩：把 左移（）或右移 个单位得 ，再把横坐标变为原来的 ，最后把纵坐标变为原来的 倍。 先伸缩后平移：先得 ，再平移 个单位，此时平移量必须除以 。 【易错清单】 1．"先伸缩后平移"时平移量忘记除以 ，直接写 ； 2．把"横坐标变为原来的 "错记成"变为 倍"； 3．左右平移的方向写反（左加右减针对 ，不是针对函数值）。 考点2 性质、解析式与综合应用 知识点3 由性质（或图象）求解析式 求参数顺序固定：由最值定 ，由周期定 ，由特殊点定 。最高点对应 ，最低点对应 ，上升零点对应 。 若已知图象关于某直线（或某点）对称，则把它代入对称轴（中心）方程；若已知在某区间上单调，则把整体 限制在相应单调区间内。 【易错清单】 1．代入点时看错横纵坐标； 2．忽略 的范围限制而写出多个解； 3．求 时把周期公式写成 。 知识点4 单调区间与闭区间上的值域 求 （）的递增区间：令 ，解出 即可；递减区间令 。 求闭区间 上的值域：先算出 的取值范围，再求 在该范围上的取值，最后乘以 （并加上纵向平移）。 【易错清单】 1．闭区间求值域时直接写 ，忽略区间限制； 2．解不等式时三边没有同时运算，端点算错； 3． 时不先化正就直接套用区间公式。 【题型1 参数的意义：最值与周期】 【例1】函数 的最大值与最小正周期分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】 定最大值， 定周期，直接读参数即可。 【解答过程】振幅 ，所以最大值为 ；，所以 。故选A。 【多解·巧解】"读参数"是本专题最快的拿分方式：最大值直接读 ，周期直接算 ，初相和常数项一概不影响。注意 时周期会被拉长到 ，不要凭"周期是 的整数分之一"想当然。 【易错提醒】把周期算成 的倒数、或把振幅与周期混用，都会出错。固定动作：先圈出 与 ，再分别套公式。 【变式1-1】函数 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】最小值等于 。 【解答过程】，所以最小值为 。故选B。 【变式1-2】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入周期公式，注意 。 【解答过程】，所以 。故选B。 【变式1-3】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】正弦项带负号时取最小值处函数取最大；别忘纵向平移 。 【解答过程】当 时， 取最大值 ，此时 。故选B。 【题型2 图象的平移与伸缩变换】 【例2】要由 的图象得到 的图象，若采用"先伸缩后平移"的顺序，则（　　） A．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位　B．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位　C．先向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 　D．先向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 【答案】A 【解题思路】"先伸缩后平移"时平移量要除以 ，先缩后移的顺序不能颠倒。 【解答过程】先缩横坐标得 ，再把 换成 得 ，即向左平移 个单位。故选A。 【多解·巧解】同一目标有两条路径：①先平移后伸缩——左移 得 ，再缩到 得 ；②先伸缩后平移——缩到 ，再左移 。两条路径都通往同一函数，但平移量一个是 、一个是 ，正好相差 倍，这正是本题最值得记的结论。 【易错提醒】选项C是"先平移后伸缩"的正确做法，但它不满足题设的"先伸缩后平移"顺序；而把它误当成"先伸缩后平移"的答案（即平移量不除以 ）正是最常见的错误。 【变式2-1】要由 的图象得到 的图象，若采用"先伸缩后平移"，则平移量应为（　　） A．向右平移 个单位　B．向右平移 个单位　C．向右平移 个单位　D．向左平移 个单位 【答案】A 【解题思路】"先伸缩后平移"的平移量等于 。 【解答过程】本题 ，目标可写成 ，即把 换成 ，所以平移量为 ，方向向右。故选A。 【易错提醒】直接取 是忘记除以 的典型错误。速算口诀：先伸缩后平移的平移量 。 【变式2-2】把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】向右平移把 换成 ，整体替换后化简。 【解答过程】把 换成 ，得 。故选A。 【变式2-3】把函数 的图象向左平移 个单位长度，再把图象上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先做平移（整体替换 ），再做纵向伸缩（乘系数）。 【解答过程】左移 ：把 换成 ，得 ； 再把纵坐标变为 倍，得 。故选A。 【题型3 由性质反求参数】 【例3】已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 。求 、、。 A．，，　B．，，　C．，，　D．，， 【答案】A 【解题思路】按"最值定 、周期定 、点定 "的顺序求解，注意 的范围限制。 【解答过程】由最大值 得 ；由 得 。 把 代入得 ，即 。由 得 。故选A。 【多解·巧解】求 时"范围限制"是筛掉多余解的关键： 的解还有 ，但它落在 之外，被排除。求出解析式后把 回代检验：，成立。 【易错提醒】漏写 的检验，会保留 而多解；另外由点 求 时不要忘记前面还有系数 。 【变式3-1】已知函数 （）的最大值为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】最大值等于振幅 。 【解答过程】由最大值为 得 。 【变式3-2】已知函数 （）的最小正周期为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由周期公式反解 。 【解答过程】由 得 。 【变式3-3】已知函数 （）在 处取得最大值，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"取最大值"对应整体等于 ，解出通式后取最小正值。 【解答过程】由题意，，所以 ，解得 （）。取 得最小值 。故选A。 【题型4 单调区间与闭区间上的值域】 【例4】函数 在 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算内层整体范围，再求 在该范围的取值，最后乘 。 【解答过程】当 时，。在 上 递增，在 上递减，所以最大值为 ，最小值为 ，故 。故选A。 【多解·巧解】闭区间求值域的三步：算内层范围 → 判断 在该范围的单调性 → 求端点（含顶点）值。比较两端 与 ，取较小者作为最小值。"内层范围含不含 "决定了能否取到最大值 。 【易错提醒】直接答 是忽略区间限制的最典型错误；只算两个端点的正弦值、漏看 落在区间内，还会把最大值算错。 【变式4-1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦在 上递增，把整体代入。 【解答过程】令 ，各边减 得 ，同除以 得 。故选A。 【变式4-2】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式化正，再把整体代入递增区间（因外层带负号）。 【解答过程】，它递减当且仅当 递增。 令 ，各边加 得 。故选A。 【易错提醒】本题 ，所以最后的周期是 ；选项C错误地把周期写成了 。另外别忘记外层的负号会让"里增外减"。 【变式4-3】函数 在 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算内层整体范围，再求正弦的最小值。 【解答过程】当 时，，其中 的最小值为 ，故 的最小值为 。故选A。 【题型5 对称轴与对称中心】 【例5】函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】对称轴处取最值，令整体等于 后解出 。 【解答过程】令 ，得 ，即 。取 得 。故选A。 【多解·巧解】可用"最值点"快速自检：把 代入，整体 ，函数取到最大值 ，确实是"取最值"，故为对称轴。对称中心则对应函数值为零，即整体 ，两者不要混用。 【易错提醒】把对称轴与对称中心的公式用反，会得到 （对称中心横坐标）。判断依据：对称轴对应最值（整体为 ），对称中心对应零点（整体为 ）。 【变式5-1】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦的对称中心在零点，令整体等于 。 【解答过程】令 ，得 ，即 。取 得 ，所以一个对称中心为 。故选A。 【变式5-2】若函数 （）的图象关于点 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把对称中心的横坐标代入对称中心方程，解出通式后取最小正值。 【解答过程】由题意，，所以 ，解得 （）。取 得最小值 。故选A。 【易错提醒】取 得负值而误判无解；正确做法是解出通式后按 挑最小正整数 。另外本题是"关于点对称"（代入 ），不要用成对称轴的 。 【变式5-3】若函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】对称轴处取最值，代入 后取最小正值。 【解答过程】由对称轴条件，，所以 ，解得 （）。取 得最小值 。故选A。 【题型6 综合应用】 【例6】已知函数 。 (1) 求 的单调递增区间； (2) 求 图象的对称中心。 【答案】(1) （）； (2) （）。 【解题思路】两问都用整体代入法，分别代入递增区间与零点条件。 【解答过程】(1) 令 ，得 ，同除以 得 。 (2) 令 ，得 ，故对称中心为 。 【多解·巧解】两问的结果可互相印证：对称中心横坐标序列 与递增区间的端点 、 相对照，可以发现递增区间的两个端点恰好是"两个相邻对称中心的中点"。对称中心、对称轴、单调区间端点三者的位置关系是固定几何结构，记住后可快速自检。 【易错提醒】(1) 中三边运算要同步：减 得 ，再除以 得 ，端点符号极易写错。(2) 中不要漏掉"再除以 "这一步，直接把 之外的项漏掉。 【变式6-1】已知函数 ，求 在 上的值域。 【答案】。 【解题思路】先算内层整体范围，再求正弦在该范围的取值。 【解答过程】当 时，。在 上递增、在 上递减，最大值为 ，最小值为 ，故值域为 。 【变式6-2】要由 的图象得到 的图象，写出一种"先平移后伸缩"的变换方案。 【答案】先向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 ，最后把纵坐标变为原来的 倍。 【解题思路】按"先平移、后伸缩、再纵向伸缩"的顺序逐句描述。 【解答过程】第一步：向右平移 个单位，由 得 ；第二步：横坐标缩短到原来的 ，得 ；第三步：纵坐标变为原来的 倍，得 。 【变式6-3】已知函数 ，求 的值及 的最大值。 【答案】，最大值为 。 【解题思路】代入求值先把括号内整体算出，再查三角值；最大值直接读振幅。 【解答过程】；振幅 ，所以最大值为 。 一、单选题 1．（★★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入周期公式 。 【解答过程】，所以 。故选B。 2．（★★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】最大值等于振幅 。 【解答过程】，所以最大值为 。故选B。 3．（★★）把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"右减"：把 换成 。 【解答过程】向右平移 个单位，得 。故选B。 4．（★★）函数 的图象的一条对称轴方程是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦的对称轴在最值点，令整体等于 。 【解答过程】令 ，得 。取 得 。故选A。 5．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把整体代入正弦函数的递减区间。 【解答过程】令 ，各边减 得 ，同除以 得 。故选A。 6．（★★★）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最值定 、周期定 、特殊点定 ，最后用 的范围筛解。 【解答过程】由最大值 得 ；由 得 。由 得 ，即 ，故 ，即 。结合 得 。故选A。 7．（★★★）已知函数 （）在 上单调递增，在 上单调递减，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 处先增后减，说明它是最大值点；再用"单调递增区间的长度不超过半个周期"限制 。 【解答过程】由 在 处由增转减知 是最大值点，故 ，即 （）。结合 得 。又 在 上整体单调递增，故该区间长度 不超过半个周期 ，即 ，得 。所以只能取 。故选A。 8．（★★★）已知函数 （）在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】零点对应整体 ，把"恰有两个零点"翻译为"第二个零点在内、第三个零点在外"。 【解答过程】当 时，。零点对应 ，即 （）。第二个零点 须落在区间内：，得 ；第三个零点 须落在区间外：，得 。故 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最大值为 　B．最小正周期为 　C．当 时函数取到最大值　D．图象关于直线 对称 【答案】ABC 【解题思路】逐项用参数意义、最值点与对称轴（中心）判断。 【解答过程】A中振幅为 ，最大值为 ，正确；B中 ，正确； C中 时 ，取到最大值，正确； D中对称轴须满足 ，解得 ， 不是对称轴，错误。故选ABC。 10．（★★）关于三角函数图象的变换，下列说法正确的是（　　） A．把 的图象向左平移 个单位得到 　B．把 的图象向左平移 个单位得到 　C．把 图象上各点横坐标缩短到原来的 得到 　D．把 的图象向左平移 个单位得到 【答案】ABC 【解题思路】逐项按"整体替换 "算出结果再比对。 【解答过程】A中左移 得 ，正确； B中左移 得 ，正确； C中横坐标缩短到 即把 换成 ，得 ，正确； D中左移 得 ，不是 ，错误。故选ABC。 11．（★★★）已知函数 （），则下列说法正确的是（　　） A． 的图象关于点 对称时， 的最小值为 　B． 的图象关于直线 对称时， 的最小值为 　C．若 在 上单调递增，则 　D．若 在 上恰有 个零点，则 【答案】BCD 【解题思路】四个选项分别对应中心、对称轴、单调与零点，都要先把条件转成关于 的方程或不等式再判断。 【解答过程】A：中心条件给出 ，即 ， 时最小值为 ，故 A 错误；B：对称轴条件给出 ，即 ，最小值为 ，B 正确；C：当 时整体范围是 ，要使它落在递增区间 内需 ，得 ，又 ，C 正确；D：零点满足 ，第一个零点 须在 内，得 ，第二个零点 须在区间外，得 ，D 正确。故选BCD。 12．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 在 上的值域为 　C．直线 是 图象的一条对称轴　D．若 在 上单调递增，则 的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】先由对称轴定 ，再把值域、对称轴、单调区间逐一转化为对 的分析。 【解答过程】由对称轴条件 得 ，结合 得 ，故 ，A 正确；当 时，，最大值为 （在 处），最小值为 （在 处），值域为 ，B 正确；对称轴满足 ，即 ，而 不对应整数 ，C 错误；当 时，，要使 递增需 ，即 ，D 正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）函数 的最大值是 ____________。 【答案】 【解题思路】最大值等于振幅。 【解答过程】，所以最大值为 。 14．（★★）函数 的最小正周期是 ____________。 【答案】 【解题思路】代入周期公式。 【解答过程】，所以 。 15．（★★★）若函数 （）在区间 内单调递减，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】把 上的整体范围限制在同一个递减区间内，两端必须对齐同一个整数 。 【解答过程】当 时，。递减要求该区间落在 内，即 且 。两式整理得 与 。取 得 与 ；取 或 均无解。故 。 16．（★★★）已知函数 （）的图象在区间 上恰有两个对称中心，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】余弦的对称中心是零点，令整体等于 ，再把"恰有两个"翻译成第二个中心在内、第三个在外。 【解答过程】对称中心对应 ，当 时整体范围为 ，对称中心横坐标为 。第二个中心（）：，得 ；第三个中心（）：，得 。故 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 的值及 在 上的值域。 【答案】(1) 最小正周期为 ，最大值为 ； (2) ，值域为 。 【解题思路】(1) 读参数；(2) 先代入求 ，再算内层整体范围求值域。 【解答过程】(1) ，所以 ；振幅 ，所以最大值为 。 (2) 。 当 时，，在 上递增、在 上递减，最大值为 ，最小值为 ，故 。 【多解·巧解】(2) 求值域时先看内层范围是否包含 ：本题 包含 ，所以最大值一定取到 （对应 ）；最小值则比较两端 与 ，取较小者。这种"顶点在内、端点比大小"的结构是闭区间值域的通用套路。 【易错提醒】直接把值域写成 是忽略区间限制；只算两个端点的正弦值而忘记看 是否在区间内，也会漏掉最大值 。闭区间求值域一定先标出内层范围的两个端点与 的位置关系。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 图象的对称轴方程； (2) 求 的单调递增区间。 【答案】(1) （）； (2) （）。 【解题思路】两问都用整体代入法。 【解答过程】(1) 令 ，得 ，即 。 (2) 令 ，得 ，同除以 得 。 【多解·巧解】对称轴横坐标序列 与递增区间右端点 共享首个数值 ，而相邻两条对称轴之间的"中点"（即区间的左端点 平移到同一周期）也落在递增区间上。用这类位置关系可快速核对答案。 【易错提醒】(1) 中忘记"再除以 "会写成 （错误）；(2) 中端点符号易错，，再除以 得 。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期； (2) 求 的单调递减区间。 【答案】(1) ； (2) （）。 【解题思路】先化正，再整体代入（注意外层负号使"里增外减"）。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) ，它递减当且仅当 递增。 令 ，各边加 得 ，同除以 得 。 【多解·巧解】负系数题的"化正"有两种写法：，三种写法的单调区间必须一致，可用其中两种互相验算。 【易错提醒】看到 直接套正弦递减区间，会把递减区间求成递增区间（答案正好相反）。另外除以 时 不要误写成 。 20．（★★★）已知函数 （，）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的单调递增区间与最小值。 【答案】(1) ； (2) 单调递增区间为 ，最小值为 。 【解题思路】相邻对称轴距离恒为半个周期，(1) 由此反求 ；再用 求 ，(2) 整体代入判断。 【解答过程】(1) 相邻两条对称轴之间的距离为 ，得 ，从而 。由 得 ，即 ，结合 得 ，故 。 (2) 当 时，。递增需 ，即 ；整体范围右端 处 为最小值，故 的最小值为 。 【多解·巧解】相邻对称轴（或相邻最高点、相邻零点）之间的距离都是半个周期，这是"由图象反求周期"最直接的依据；(2) 中最小值只需比较整体范围两端与峰值点即可。 【易错提醒】求 时若忽略 会保留 ；(2) 中容易只盯住左端 ，而忽略右端 才是最小值点。 21．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 的最小正周期为 ，求 图象的对称轴方程； (2) 若 的图象关于点 对称，求 的最小值。 【答案】(1) （）； (2) 。 【解题思路】(1) 由周期定 后代对称轴条件；(2) 由对称中心条件解出含 的通式，再取最小正值。 【解答过程】(1) 由 得 ，令 ，得 （）。 (2) 关于点 对称要求 ，即 （）。由 取最小正整数 ，得 的最小值为 。 【多解·巧解】对称中心对应整体等于 ；求出含 的通式后，按 挑最小的可行 即可，不必逐个检验。 【易错提醒】对称轴与对称中心的公式极易混用——对称轴对应最值（整体 ），对称中心对应零点（整体 ）；(2) 中 给出 ，必须舍去。 22．（★★★）已知函数 。 (1) 要由 的图象经过变换得到 的图象，写出一种"先平移后伸缩"的方案； (2) 求 在 上的值域。 【答案】(1) 先向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 ，最后把纵坐标变为原来的 倍； (2) 。 【解题思路】(1) 按"先平移、再横向伸缩、最后纵向伸缩"的顺序描述；(2) 先算内层整体范围再求值域。 【解答过程】(1) 第一步：向右平移 个单位，得 ；第二步：横坐标缩短到原来的 ，得 ；第三步：纵坐标变为原来的 倍，得 。 (2) 当 时，，在 上递增、在 上递减，最大值 ，最小值 ，故值域为 。 【多解·巧解】"先平移后伸缩"的平移量就是 ；若改成"先伸缩后平移"，平移量必须除以 ，变成 。两种方案得到的图象完全相同。 【易错提醒】(1) 中把顺序写成"先伸缩后平移"却仍用平移量 是最典型的错误；(2) 中直接答 是忽略区间限制，须先算内层整体范围并判断 是否落在其中。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在 上单调递增，求 的取值范围； (2) 若 ，求 在 上的值域； (3) 在 (2) 的条件下，若关于 的方程 在 上有两个不同的实根，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 把区间整体代入递增区间；(2) 用内层整体范围求值域；(3) 把"两个实根"转化为"水平直线与图象有两个交点"，关键是分清单调分段。 【解答过程】(1) 当 时，。因为左端 已落在递增区间 内，只需右端不超过 ，即 ，得 ，故 。 (2) 当 时 。当 时整体范围是 ，最大值在 处取到 ，最小值在 处取到 ，故值域为 。 (3) 由 (2) 知 在 上从 递增到 ，在 上从 递减到 。水平直线 与图象的交点个数为：当 或 时恰有 个，当 时恰有 个。故 的取值范围是 。 【多解·巧解】(3) 可"看图定数"：先写清 (2) 中函数在两个单调段上的取值走势，再数水平直线 与图象的交点，比逐段解方程更快。 【易错提醒】(3) 中 仍有两个根（ 与 ），不能当成 个；(1) 中须注意左端 本来就在递增区间内，起约束作用的是右端。 24．（★★★）已知函数 （）的图象关于直线 对称。 (1) 求 ； (2) 求 在 上的单调区间与最值； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 递增区间 、递减区间 ，最大值为 ，最小值为 ； (3) 。 【解题思路】(1) 对称轴处取最值列方程；(2) 写出解析式后整体代入求单调区间与最值；(3) 恒成立等价于 的最小值。 【解答过程】(1) 由对称轴条件 得 ，结合 得 ，故 。 (2) 当 时，，在 上递增、在 上递减，故递增区间为 、递减区间为 ；最大值为 （在 处），最小值比较两端 与 得 。 (3) 对一切 恒成立等价于 在 上的最小值，即 。 【多解·巧解】(1) 求出 后可用"取最值"回代检验： 时整体为 ，函数取最大值 ，与"关于直线 对称"一致。 【易错提醒】(1) 中把"关于直线对称"当成"关于点对称"（代入 ）会得到错误答案；(2) 中最大值在 处取得，最小值在左端点 处取得，两端不可混淆；(3) 中方向不能反，恒成立对应最小值。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $