专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　平均变化率与瞬时变化率 4 知识点2　导数的定义与几何意义 5 知识点3　导数的运算 6 知识点4　导数的几何意义应用——切线问题 7 知识点5　导数的物理意义与其它应用 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　平均变化率、瞬时变化率与定义求导　★★ 9 重难点培优02　导数的几何意义（在某点处的切线）　★★ 10 重难点培优03　过某点的切线（切点未知）　★★★ 11 重难点培优04　公切线问题　★★★ 13 重难点培优05　复合函数求导与抽象函数求导　★★★ 14 重难点培优06　导数的运算综合（含参数）　★★★ 15 重难点培优07　导数的物理意义与实际应用　★★★★ 16 重难点培优08　新定义与导数交汇问题　★★★★ 18 五、过关检测 20 一、单选题 20 二、多选题 21 三、填空题 22 四、解答题 22 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 平均变化率与瞬时变化率 了解平均变化率、瞬时变化率的实际意义，会用极限刻画瞬时变化率，体会"以直代曲、以匀代变"的逼近思想 导数的概念与几何意义 理解导数 的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线方程 导数的运算 掌握基本初等函数的导数公式，熟练运用导数的四则运算法则，会求形如 的简单复合函数的导数 导数的几何意义应用 能由切线求参数，会求过某点的切线、两曲线的公切线，并能判断切线的条数 导数的物理意义与简单应用 理解导数刻画瞬时变化率（瞬时速度、加速度、边际成本等），能用导数解决简单的实际优化问题 近三年高考真题对本板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T4 曲线 在点 处的切线方程 ★★ 2026 全国二卷 T18 曲线在给定点处的切线（含参数）与导数综合 ★★★★ 2026 上海卷 T11 导数的物理意义（速度的极值）与三角函数模型 ★★★ 2025 全国一卷 T12 已知直线是曲线 的切线求参数 ★★ 2025 全国二卷 T13 已知 为函数的极值点求参数 ★★ 2025 全国二卷 T18 导数与极值点、零点、单调性的综合 ★★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T13 两曲线的公切线（切线重合求参数） ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 导数运算与极值点、单调性判断（多选） ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T10 含参三次函数的零点、极值与对称性（多选） ★★★★ 2024 天津卷 T20 求切线方程及导数的综合应用 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T20 导数与函数单调性、不等式证明 ★★★★ 考情分析 导数是高中数学的核心主干内容，也是高考的"高频考点＋压轴担当"。近三年对本板块的考查呈现三个鲜明特征：一是回归本源、强化概念，2026 年全国一卷第 4 题、第 18 题均以"曲线在某点处的切线"为载体，直接考查导数的几何意义；二是交汇融合、注重运算，2024 新课标Ⅰ卷、2025 全国一卷的公切线问题把"切点、斜率、点在曲线上"三条关系编织成方程组，突出导数运算与方程思想；三是联系实际、突出应用，2026 年上海卷以简谐运动的速度为载体考查导数的物理意义。依据课程标准与高考评价体系，本板块核心素养指向"数学抽象、数学运算、直观想象"。预测 2027 年高考仍以"导数的几何意义"为高频命题点，并以"含参切线、公切线、新定义交汇"提升区分度，一轮复习须把"求导不出错、切线三关系不遗漏"作为底线要求。 复习目标 1．理解平均变化率与瞬时变化率的意义，掌握导数的定义，会用极限刻画瞬时变化率； 2．熟记基本初等函数的导数公式与四则运算法则，会求简单复合函数的导数，做到"求导又快又准"； 3．深刻理解导数的几何意义，熟练解决"在某点处的切线、过某点的切线、公切线"三类问题； 4．会用导数刻画瞬时速度、边际成本等实际量，能解决简单的实际优化问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　导数的概念及其意义、导数的运算知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　平均变化率与瞬时变化率 设函数 在区间 上有定义，称 为函数 从 到 的平均变化率。它刻画的是函数值在区间上"平均变化"的快慢，其几何意义是割线的斜率。 当自变量从 变化到 时，若 时平均变化率 趋近于一个确定的常数，则称此常数为函数 在 处的瞬时变化率，即导数。其几何意义是曲线在点 处切线的斜率。 ①平均变化率是"区间上"的概念，反映一段内整体的变化快慢； ②瞬时变化率是"一点处"的概念，反映某一时刻的变化快慢； ③ 是可正可负但不为 的增量， 指它无限接近 （但不等于 ）。 【方法技巧】 1．求平均变化率"四步走"：定增量 → 算增量 → 作商 → 化简； 2．物理情境中的平均变化率常对应"平均速度"，瞬时变化率常对应"瞬时速度"，先识别物理量，再代数运算； 3．求瞬时变化率时先化简差分商，务必约去分子分母中的 后再令 。 【易错清单】 1． 与 是两个不同的量：前者是自变量增量，后者是自变量的初始值，不可混用； 2．平均变化率与瞬时变化率之间是"逼近"关系，不能直接把 代入求值； 3．化简差分商时忽略 的条件，会出现"分母为零"的运算错误。 知识点2　导数的定义与几何意义 设函数 在 附近有定义，若极限 存在，则称 在 处可导，并称此极限值为 在 处的导数，记作 。 与它等价的写法是 。若函数 在区间 上每一点处都可导，则称 在区间 上可导，此时 是关于 的函数，叫做 的导函数，简称导数。 导数的几何意义：曲线 在点 处的切线斜率 ，相应的切线方程为 。 【方法技巧】 1．用定义求导数的"三部曲"：取增量、作商、取极限；对具体函数求 时，先化简差分商，再令增量趋于 ； 2．遇到形如 的极限，先把分子拆成两个含 的差并"配系数"，再用导数定义求解； 3．"在点 处的切线"与"过点 的切线"不是同一概念：前者 必为切点，后者 只是直线上一点，切点需另设。 【易错清单】 1．导数存在的前提是左右极限相等， 与 不相等时导数不存在； 2．极限式中分母的增量必须与分子中两个函数值的增量"同源"，否则不能直接套用导数定义； 3．把"在点处的切线"与"过点的切线"搞混，是最典型的失分点，务必审清"在"与"过"。 知识点3　导数的运算 基本初等函数的导数公式（ 为常数）： 原函数 导函数 原函数 导函数 导数的四则运算法则：设 ， 均可导，则 ①； ②，特别地 ； ③，特别地 。 复合函数的求导法则（链式法则）：若 ，，则 ，即 。例如 ，，。 【方法技巧】 1．求导"先辨结构、再套法则"：是积商结构先看能否化简，是复合结构先分层，分层时"由外向内、逐层求导、层层相乘"； 2．先化简再求导往往更省力：如 求导得 ，远比套商法则简便； 3．含根式、分式的式子先化为指数形式：如 ，再用幂函数公式求导。 【易错清单】 1．，，切勿"逐项求导"； 2．、 与 三个公式极易混淆，务必看清"变量在指数上还是在底数上"； 3．复合函数求导易漏乘内层导数，如 ，而应为 。 知识点4　导数的几何意义应用——切线问题 求曲线的切线，关键在于抓住"切点、斜率、点在曲线上"三个要素。设切点为 ，则：切点处的导数值等于切线斜率，即 ；切点在切线上，满足切线方程；切点在曲线上，满足曲线方程。三类常见切线问题的处理框架如下： 问题类型 判别特征 处理方法 在某点处的切线 明确"在点 处"， 即切点 直接求 ，再用点斜式写方程 过某点的切线 只说"过点 "， 未必是切点 设切点 写切线，代入 解出 公切线 某直线与两条曲线都相切 设两切点，令斜率相等且切线重合 常用结论：曲线 在点 处的切线方程为 。曲线 过点 的切线，其条数等于关于切点横坐标 的方程 的实数解的个数。 【方法技巧】 1．"过点求切线"的通用模板：设切点 → 写切线 → 代入已知点 → 解出 → 回代得切线； 2．判断切线条数即判断方程根的个数，可借助导数研究函数图象与直线的交点，数形结合更直观； 3．公切线问题的核心是斜率相等＋截距相等，把两条曲线的切点用两个参数联系起来。 【易错清单】 1．"在点处的切线"中，点一定在曲线上；"过点的切线"中，点可能不在曲线上，混淆二者会漏解或多解； 2．切点不一定唯一：一条曲线过某点可能有多条切线，求出 的多个解时要逐一写出； 3．"直线与曲线只有一个公共点""直线是曲线的切线"（如抛物线的对称轴），判断切线必须落脚于"相切"。 知识点5　导数的物理意义与其它应用 导数是刻画"瞬时变化率"的数学工具，在不同情境中有不同的实际含义： 情境 函数关系 导数的实际意义 运动 位移 瞬时速度 运动 速度 瞬时加速度 成本 总成本 边际成本 流量 体积 瞬时流量 一般地，函数 在 处的导数 表示函数在 处"立刻"变化的快慢： 越大变化越快； 表示函数值随自变量增大而增大， 表示函数值减小； 常对应变化的"转折点"（如速度为零的瞬时）。 【方法技巧】 1．解实际应用题的"两步"：先建立函数关系式（建模），再对函数求导并回到实际情境解释（还原）； 2．求"瞬时速度"就是对位移函数求导，求"加速度"就是对速度函数求导，"求导两次"对应"变化率的变化率"； 3．求"某时刻"的量时，先求导、后代入具体时刻，切勿先代入再求导。 【易错清单】 1．单位不能丢：位移单位是 、时间单位是 时，瞬时速度的单位应为 ； 2．"平均速度"是区间 上的 ，与"瞬时速度 "本质不同； 3．物理量的正负表示方向，求瞬时速度的"大小"要取绝对值。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　平均变化率、瞬时变化率与定义求导　★★ 【例1-1】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三质量检测）设 在 处可导，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·江苏·南京师范大学附属中学·一模）函数 在区间 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【例1-3】（2026·湖北·武汉市第二中学·模拟）已知 ，用导数的定义求 ，其值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知 在 处可导，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-2】设 可导，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-4】已知函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】一质点做直线运动，其位移 （单位：），则质点在 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【变式1-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　导数的几何意义（在某点处的切线）　★★ 【例2-1】（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·天津卷·高考真题）设函数 ，则 的图象在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【例2-3】（2026·湖南·长沙市雅礼中学·模拟）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·河北·石家庄市第二中学·二模）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（2026·福建·厦门双十中学·模拟）曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （　　） A． B． C． D． 【变式2-6】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　过某点的切线（切点未知）　★★★ 【例3-1】（2026·湖北·武汉市第六中学·模拟）过点 且与曲线 相切的直线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【例3-2】（2026·广东·广州市执信中学·模拟）过原点 且与曲线 相切的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【例3-3】（2026·四川·成都七中·模拟）已知直线 过点 且与曲线 相切，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【变式3-1】过原点 且与曲线 相切（切点横坐标为正）的直线，其斜率为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】过原点 且与曲线 相切的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·重庆·巴蜀中学·模拟）过点 与曲线 相切的直线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【变式3-4】（2026·云南·昆明市第一中学·模拟）若直线 与曲线 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-5】曲线 过点 的切线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 重难点培优04　公切线问题　★★★ 【例4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线 是曲线 的一条切线，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·北京·海淀区·模拟）若曲线 与曲线 在点 处有公切线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河南·郑州外国语学校·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·浙江·杭州市第二中学·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·安徽·芜湖市第一中学·模拟）曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·江西·九江市第一中学·模拟）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·福建·福州市第一中学·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优05　复合函数求导与抽象函数求导　★★★ 【例5-1】（2026·江西·南昌市第二中学·模拟）函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·河南·郑州市第一中学·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-3】（2026·山西·太原市第五中学·模拟）已知 为可导函数，且 ，则曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知 为可导函数，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-6】设 可导，且 ，则曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　导数的运算综合（含参数）　★★★ 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【例6-2】（2026·山东·青岛市第二中学·模拟）已知函数 的图象在 处的切线斜率为 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例6-3】（2026·湖南·常德市第一中学·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·陕西·西安高新第一中学·模拟）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知函数 的图象在 处的切线与直线 平行，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-5】已知函数 在 处取得极值，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优07　导数的物理意义与实际应用　★★★★ 【例7-1】（2026·广东·梅州市·一模）某弹簧振子在振动过程中的位移 （单位：）与时间 （单位：）满足 ，则 时该弹簧振子的瞬时速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·河北·唐山市·模拟）某商品的总成本 （单位：元）与产量 （单位：件）满足 ，则产量为 件时的边际成本为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【例7-3】（2026·江苏·无锡市第一中学·模拟）一质点沿直线运动，其位移 （单位：，时间单位：），则质点在 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】一质点做直线运动，其位移 （单位：），则 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知物体的运动方程为 （ 为常数，单位：），则物体在 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·辽宁·沈阳市第二中学·模拟）某公司生产 台设备的利润 （单位：万元），则 时的边际利润为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】一质点做直线运动，其速度 （单位：），则质点在 时的瞬时加速度为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】某飞机降落后滑行的距离 （单位：）与时间 （单位：）满足 ，则飞机着陆后滑行的最大距离为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义与导数交汇问题　★★★★ 【例8-1】（2026·浙江·宁波市效实中学·模拟）定义在 上的可导函数 ，若对任意 都有 ，则称 为"优增函数"。若 为"优增函数"，则下列结论一定正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递增 C． 是偶函数 D． 【例8-2】（2026·四川·绵阳中学·模拟）定义：若函数 在区间 上可导，且对任意 （）都有 ，则称 在 上"严格递增"。已知 在区间 上严格递增，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·重庆·西南大学附属中学·模拟）定义：对于可导函数 和 ，若存在实数 使 且 ，则称 与 "相切"。若 与 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·湖南·长沙市长郡中学·模拟）定义在 上的可导函数 ，若对任意 都有 ，则称 为"增函数"。已知 为"增函数"，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·湖南·长沙·模拟）定义：若函数 在点 处满足 ，则称 为 的"不动点"。已知 ，则 的"不动点"的个数为（　　） A． B． C． D．无数个 【变式8-3】（2026·河南·洛阳市第一高级中学·模拟）对于函数 ，定义 为它的"特征函数"。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-4】（2026·贵州·贵阳市第一中学·模拟）定义：对于可导函数 ，若存在 使 ，则称 为 的"驻点"。函数 的"驻点"个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】（2026·安徽·安庆市第一中学·模拟）定义：若两条曲线在公共点处有相同的切线，则称它们在该点处"相切"。已知曲线 与曲线 在原点 处（　　） A．相切 B．不相切 C．垂直 D．无法判断 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．【巩固】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】（2026·河南·郑州市·模拟）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．【进阶】过点 与曲线 相切的直线的斜率为（　　） A． B． C． 或 D． 或 8．【进阶】（2026·广东·深圳市·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】下列求导结果正确的是（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】（2026·全国·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 是 的极小值点 C． 在 上单调递增 D．曲线 在原点处的切线方程为 11．【进阶】（2026·江苏·南京市·模拟）设 在 处可导，则下列极限等于 的是（　　） A． B． C． D． 12．【培优】（2026·湖南·长沙市·模拟）已知定义在 上的可导函数 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． C． D．若 ，则 三、填空题 13．【巩固】已知 ，则 ______． 14．【进阶】曲线 在点 处的切线方程为 ______． 15．【进阶】（2026·山东·济南市·模拟）一质点做直线运动，其位移 （单位：），则质点在 时的瞬时速度为 ______ ． 16．【培优】（2026·浙江·温州市·模拟）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求曲线 在点 处的切线方程； (2) 求方程 的解，并判断 是极大值点还是极小值点． 18．【培优】已知曲线 在点 处的切线方程为 ． (1) 求 ， 的值； (2) 求曲线 过原点 的切线方程． 19．【培优】已知函数 ． (1) 求 的导函数 ； (2) 若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值及该切线方程． 20．【培优】某工厂生产某种产品的总成本 （单位：万元）与产量 （单位：百件）满足 ，销售收入为 （万元），利润 ． (1) 求产量为 百件时的边际利润 ； (2) 求方程 的正实数解，并说明其实际意义． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　平均变化率与瞬时变化率 4 知识点2　导数的定义与几何意义 5 知识点3　导数的运算 6 知识点4　导数的几何意义应用——切线问题 7 知识点5　导数的物理意义与其它应用 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　平均变化率、瞬时变化率与定义求导　★★ 9 重难点培优02　导数的几何意义（在某点处的切线）　★★ 11 重难点培优03　过某点的切线（切点未知）　★★★ 14 重难点培优04　公切线问题　★★★ 17 重难点培优05　复合函数求导与抽象函数求导　★★★ 20 重难点培优06　导数的运算综合（含参数）　★★★ 22 重难点培优07　导数的物理意义与实际应用　★★★★ 25 重难点培优08　新定义与导数交汇问题　★★★★ 27 五、过关检测 31 一、单选题 31 二、多选题 33 三、填空题 34 四、解答题 35 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 平均变化率与瞬时变化率 了解平均变化率、瞬时变化率的实际意义，会用极限刻画瞬时变化率，体会"以直代曲、以匀代变"的逼近思想 导数的概念与几何意义 理解导数 的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线方程 导数的运算 掌握基本初等函数的导数公式，熟练运用导数的四则运算法则，会求形如 的简单复合函数的导数 导数的几何意义应用 能由切线求参数，会求过某点的切线、两曲线的公切线，并能判断切线的条数 导数的物理意义与简单应用 理解导数刻画瞬时变化率（瞬时速度、加速度、边际成本等），能用导数解决简单的实际优化问题 近三年高考真题对本板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T4 曲线 在点 处的切线方程 ★★ 2026 全国二卷 T18 曲线在给定点处的切线（含参数）与导数综合 ★★★★ 2026 上海卷 T11 导数的物理意义（速度的极值）与三角函数模型 ★★★ 2025 全国一卷 T12 已知直线是曲线 的切线求参数 ★★ 2025 全国二卷 T13 已知 为函数的极值点求参数 ★★ 2025 全国二卷 T18 导数与极值点、零点、单调性的综合 ★★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T13 两曲线的公切线（切线重合求参数） ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 导数运算与极值点、单调性判断（多选） ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T10 含参三次函数的零点、极值与对称性（多选） ★★★★ 2024 天津卷 T20 求切线方程及导数的综合应用 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T20 导数与函数单调性、不等式证明 ★★★★ 考情分析 导数是高中数学的核心主干内容，也是高考的"高频考点＋压轴担当"。近三年对本板块的考查呈现三个鲜明特征：一是回归本源、强化概念，2026 年全国一卷第 4 题、第 18 题均以"曲线在某点处的切线"为载体，直接考查导数的几何意义；二是交汇融合、注重运算，2024 新课标Ⅰ卷、2025 全国一卷的公切线问题把"切点、斜率、点在曲线上"三条关系编织成方程组，突出导数运算与方程思想；三是联系实际、突出应用，2026 年上海卷以简谐运动的速度为载体考查导数的物理意义。依据课程标准与高考评价体系，本板块核心素养指向"数学抽象、数学运算、直观想象"。预测 2027 年高考仍以"导数的几何意义"为高频命题点，并以"含参切线、公切线、新定义交汇"提升区分度，一轮复习须把"求导不出错、切线三关系不遗漏"作为底线要求。 复习目标 1．理解平均变化率与瞬时变化率的意义，掌握导数的定义，会用极限刻画瞬时变化率； 2．熟记基本初等函数的导数公式与四则运算法则，会求简单复合函数的导数，做到"求导又快又准"； 3．深刻理解导数的几何意义，熟练解决"在某点处的切线、过某点的切线、公切线"三类问题； 4．会用导数刻画瞬时速度、边际成本等实际量，能解决简单的实际优化问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　导数的概念及其意义、导数的运算知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　平均变化率与瞬时变化率 设函数 在区间 上有定义，称 为函数 从 到 的平均变化率。它刻画的是函数值在区间上"平均变化"的快慢，其几何意义是割线的斜率。 当自变量从 变化到 时，若 时平均变化率 趋近于一个确定的常数，则称此常数为函数 在 处的瞬时变化率，即导数。其几何意义是曲线在点 处切线的斜率。 ①平均变化率是"区间上"的概念，反映一段内整体的变化快慢； ②瞬时变化率是"一点处"的概念，反映某一时刻的变化快慢； ③ 是可正可负但不为 的增量， 指它无限接近 （但不等于 ）。 【方法技巧】 1．求平均变化率"四步走"：定增量 → 算增量 → 作商 → 化简； 2．物理情境中的平均变化率常对应"平均速度"，瞬时变化率常对应"瞬时速度"，先识别物理量，再代数运算； 3．求瞬时变化率时先化简差分商，务必约去分子分母中的 后再令 。 【易错清单】 1． 与 是两个不同的量：前者是自变量增量，后者是自变量的初始值，不可混用； 2．平均变化率与瞬时变化率之间是"逼近"关系，不能直接把 代入求值； 3．化简差分商时忽略 的条件，会出现"分母为零"的运算错误。 知识点2　导数的定义与几何意义 设函数 在 附近有定义，若极限 存在，则称 在 处可导，并称此极限值为 在 处的导数，记作 。 与它等价的写法是 。若函数 在区间 上每一点处都可导，则称 在区间 上可导，此时 是关于 的函数，叫做 的导函数，简称导数。 导数的几何意义：曲线 在点 处的切线斜率 ，相应的切线方程为 。 【方法技巧】 1．用定义求导数的"三部曲"：取增量、作商、取极限；对具体函数求 时，先化简差分商，再令增量趋于 ； 2．遇到形如 的极限，先把分子拆成两个含 的差并"配系数"，再用导数定义求解； 3．"在点 处的切线"与"过点 的切线"不是同一概念：前者 必为切点，后者 只是直线上一点，切点需另设。 【易错清单】 1．导数存在的前提是左右极限相等， 与 不相等时导数不存在； 2．极限式中分母的增量必须与分子中两个函数值的增量"同源"，否则不能直接套用导数定义； 3．把"在点处的切线"与"过点的切线"搞混，是最典型的失分点，务必审清"在"与"过"。 知识点3　导数的运算 基本初等函数的导数公式（ 为常数）： 原函数 导函数 原函数 导函数 导数的四则运算法则：设 ， 均可导，则 ①； ②，特别地 ； ③，特别地 。 复合函数的求导法则（链式法则）：若 ，，则 ，即 。例如 ，，。 【方法技巧】 1．求导"先辨结构、再套法则"：是积商结构先看能否化简，是复合结构先分层，分层时"由外向内、逐层求导、层层相乘"； 2．先化简再求导往往更省力：如 求导得 ，远比套商法则简便； 3．含根式、分式的式子先化为指数形式：如 ，再用幂函数公式求导。 【易错清单】 1．，，切勿"逐项求导"； 2．、 与 三个公式极易混淆，务必看清"变量在指数上还是在底数上"； 3．复合函数求导易漏乘内层导数，如 ，而应为 。 知识点4　导数的几何意义应用——切线问题 求曲线的切线，关键在于抓住"切点、斜率、点在曲线上"三个要素。设切点为 ，则：切点处的导数值等于切线斜率，即 ；切点在切线上，满足切线方程；切点在曲线上，满足曲线方程。三类常见切线问题的处理框架如下： 问题类型 判别特征 处理方法 在某点处的切线 明确"在点 处"， 即切点 直接求 ，再用点斜式写方程 过某点的切线 只说"过点 "， 未必是切点 设切点 写切线，代入 解出 公切线 某直线与两条曲线都相切 设两切点，令斜率相等且切线重合 常用结论：曲线 在点 处的切线方程为 。曲线 过点 的切线，其条数等于关于切点横坐标 的方程 的实数解的个数。 【方法技巧】 1．"过点求切线"的通用模板：设切点 → 写切线 → 代入已知点 → 解出 → 回代得切线； 2．判断切线条数即判断方程根的个数，可借助导数研究函数图象与直线的交点，数形结合更直观； 3．公切线问题的核心是斜率相等＋截距相等，把两条曲线的切点用两个参数联系起来。 【易错清单】 1．"在点处的切线"中，点一定在曲线上；"过点的切线"中，点可能不在曲线上，混淆二者会漏解或多解； 2．切点不一定唯一：一条曲线过某点可能有多条切线，求出 的多个解时要逐一写出； 3．"直线与曲线只有一个公共点""直线是曲线的切线"（如抛物线的对称轴），判断切线必须落脚于"相切"。 知识点5　导数的物理意义与其它应用 导数是刻画"瞬时变化率"的数学工具，在不同情境中有不同的实际含义： 情境 函数关系 导数的实际意义 运动 位移 瞬时速度 运动 速度 瞬时加速度 成本 总成本 边际成本 流量 体积 瞬时流量 一般地，函数 在 处的导数 表示函数在 处"立刻"变化的快慢： 越大变化越快； 表示函数值随自变量增大而增大， 表示函数值减小； 常对应变化的"转折点"（如速度为零的瞬时）。 【方法技巧】 1．解实际应用题的"两步"：先建立函数关系式（建模），再对函数求导并回到实际情境解释（还原）； 2．求"瞬时速度"就是对位移函数求导，求"加速度"就是对速度函数求导，"求导两次"对应"变化率的变化率"； 3．求"某时刻"的量时，先求导、后代入具体时刻，切勿先代入再求导。 【易错清单】 1．单位不能丢：位移单位是 、时间单位是 时，瞬时速度的单位应为 ； 2．"平均速度"是区间 上的 ，与"瞬时速度 "本质不同； 3．物理量的正负表示方向，求瞬时速度的"大小"要取绝对值。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　平均变化率、瞬时变化率与定义求导　★★ 【解题技巧】用定义求导数与极限的通用套路是"一拆、二配、三用定义"：先用加一项、减一项把式子拆成两个含 的差分，再把它配成标准形式 的倍数，最后用 得结果。 【注意事项】本重难点的两个"命门"：一是分子中两个函数值的自变量增量必须与分母"同源"，增量的比值才是导数；二是自变量增量可正可负，故 对应的是 ，符号一旦写错，全题皆错。 【例1-1】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三质量检测）设 在 处可导，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把分母的 配成 的倍数，凑出导数定义的标准结构。 【解答过程】。 由 得 。故选 B。 【例1-2】（2026·江苏·南京师范大学附属中学·一模）函数 在区间 上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按"取增量、算增量、作商、化简"四步计算平均变化率。 【解答过程】， 所以平均变化率 。故选 B。 【例1-3】（2026·湖北·武汉市第二中学·模拟）已知 ，用导数的定义求 ，其值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先写出差分商并通分化简，约去 后取极限。 【解答过程】， 令 得 。故选 A。 【变式1-1】已知 在 处可导，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把 看作一个新的增量 ，化归为标准定义式。 【解答过程】令 ，则当 时 ， 原式 。故选 B。 【变式1-2】设 可导，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】加一项减一项，把分子拆成两段，分别配出导数定义。 【解答过程】， 前一项 ，后一项 ，故原式 ，解得 。故选 A。 【变式1-3】若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分子拆项后，前后两段的系数均为 ，相加即得。 【解答过程】原式 ， 所以 。故选 B。 【变式1-4】已知函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用定义计算差分商的极限，分子有理化是关键。 【解答过程】， 令 得 。故选 A。 【变式1-5】一质点做直线运动，其位移 （单位：），则质点在 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】瞬时速度就是位移对时间的导数，用定义作差分商取极限。 【解答过程】， 令 得 ，即瞬时速度为 。故选 C。 【变式1-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再由"自变量增量为负"判断符号。 【解答过程】，故 。原式 。故选 A。 重难点培优02　导数的几何意义（在某点处的切线）　★★ 【解题技巧】"在某点处的切线"是高考中的送分点，死记三步：① 对函数求导 → ② 把切点横坐标代入导函数得斜率 → ③ 用点斜式写出 。求导是"唯一的风险点"， 的导数是 ，不是 ，也不是 。 【注意事项】三个高频陷阱：一是把 误当成 代入切点坐标；二是求导公式记错（尤以 、 为多）；三是点斜式展开时常数项算错。写方程后建议把切点坐标代回检验。 【例2-1】（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求导，再代切点横坐标得斜率，最后用点斜式写出切线方程。 【解答过程】，所以切线的斜率 。 由点斜式得 ，即 。故选 D。 【例2-2】（2024·天津卷·高考真题）设函数 ，则 的图象在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 与 ，再用点斜式写方程。 【解答过程】，，故 。 切线方程为 ，即 。故选 A。 【例2-3】（2026·湖南·长沙市雅礼中学·模拟）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数公式求导，求出斜率后整理为一般式。 【解答过程】，则 ，。 切线方程为 ，整理得 。故选 A。 【变式2-1】（2026·河北·石家庄市第二中学·二模）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用幂函数公式求导，代点求斜率，点斜式写方程。 【解答过程】，。切线方程为 ，即 。故选 A。 【变式2-2】曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求切线方程，再求它与两坐标轴的交点，最后算三角形面积。 【解答过程】，，切线方程为 ，它与两坐标轴交于 、， 故三角形面积为 。故选 A。 【变式2-3】已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求切线斜率，再由"斜率之积为 "求 。 【解答过程】，故切线斜率 。直线 的斜率为 ， 由垂直得 ，解得 。故选 B。 【变式2-4】（2026·福建·厦门双十中学·模拟）曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用三角函数的导数公式直接代值。 【解答过程】，故所求斜率 。故选 A。 【变式2-5】若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】导数值等于斜率，列方程求 。 【解答过程】，。由切线与 平行得 ，所以 。故选 B。 【变式2-6】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用商法则求导，再代点求斜率，最后写方程。 【解答过程】，故 。 切线方程为 ，即 。故选 A。 重难点培优03　过某点的切线（切点未知）　★★★ 【解题技巧】"过点"问题一律用五步模板：设切点 → 写切线 → 把已知点坐标代入 → 解关于 的方程（组）→ 回代求出每条切线。关键是把"切点"设为变量，而不是把已知点当切点。 【注意事项】两大陷阱：一是把"过点"当成"在点"，直接用已知点写切线，导致漏解；二是由 的方程解出多个根后没有逐一回代，只写出一条切线。此外，"切线条数"就是方程实根的个数，判断时可用导数研究图象交点。 【例3-1】（2026·湖北·武汉市第六中学·模拟）过点 且与曲线 相切的直线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】C 【解题思路】设切点为 ，写出切线方程，代入点 解出 ，实根个数即切线条数。 【解答过程】设切点为 。由 得切线斜率 ，切线方程为 。 代入点 ：，整理得 ，即 ，解得 或 。 两个不同的实根对应两条不同的切线，故共有 条。故选 C。 【例3-2】（2026·广东·广州市执信中学·模拟）过原点 且与曲线 相切的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设切点，写出切线方程，代入原点解出切点横坐标。 【解答过程】设切点为 。由 得切线斜率 ，切线方程为 。 代入原点 ：，即 ，解得 ，故 。 所以切线方程为 。故选 B。 【例3-3】（2026·四川·成都七中·模拟）已知直线 过点 且与曲线 相切，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【解题思路】设切点后写出切线，代入点 得到关于 的方程，解出 再求斜率。 【解答过程】设切点为 。由 得切线斜率 ，切线方程为 。 代入点 ：，整理得 ，解得 或 。 当 时 ；当 时 。故选 D。 【变式3-1】过原点 且与曲线 相切（切点横坐标为正）的直线，其斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设切点写切线，代入原点解出切点横坐标，再求斜率。 【解答过程】设切点为 ，，切线斜率 ，切线方程为 。 代入原点得 ，解得 。取正根 ，则 。故选 B。 【变式3-2】过原点 且与曲线 相切的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设切点写切线，代入原点解出切点横坐标。 【解答过程】设切点为 ，，切线斜率 ，切线方程为 。 代入原点得 ，故 ，，切线方程为 。故选 B。 【变式3-3】（2026·重庆·巴蜀中学·模拟）过点 与曲线 相切的直线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】C 【解题思路】设切点，代入已知点得到关于 的三次方程，判断其实根个数。 【解答过程】设切点为 。由 得切线斜率为 ， 切线方程为 。代入点 ： ，整理得 ，即 。 因为 的判别式 ，无实根，故只有 一个解，切线共 条。故选 C。 【变式3-4】（2026·云南·昆明市第一中学·模拟）若直线 与曲线 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点，写出切线方程，利用切线过原点求 。 【解答过程】设切点为 ，，切线斜率 ，切线方程为 。 代入原点得 ，即 ，所以 。故选 C。 【变式3-5】曲线 过点 的切线共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】B 【解题思路】点 在曲线上，但"过点"含"在该点处"与"经过该点"两种情况，需完整求解。 【解答过程】设切点为 ，切线方程为 。代入点 ： ，整理得 ，即 ，解得 或 。 两个不同的实根对应两条切线，故共有 条。故选 B。 重难点培优04　公切线问题　★★★ 【解题技巧】公切线问题的核心是两个"相等"：① 两条曲线在各自切点处的导数相等（斜率相同）；② 两条切线方程完全相同（截距相同）。设两切点横坐标为 ，先由 建立联系，再由 消元求解。 【注意事项】三个易错点：一是把"公切线"误当作"两曲线在公共点处相切"，公切线可以不经过两曲线的公共点；二是只列斜率相等却漏列截距相等，导致参数漏解；三是遇到含指数的方程不会变形，如 应直接解出 。 【例4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出第一条曲线的切线方程，再设第二条曲线的切点，由"斜率相等"确定切点，最后用"切点在切线上"求 。 【解答过程】由 得 ，故 ，切线方程为 。 对 ，。设切点横坐标为 ，由公切线斜率相等得 ，解得 。 切点为 。由切点在切线 上得 ， 即 。故选 A。 【例4-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线 是曲线 的一条切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由切线斜率确定切点横坐标，再由切点在曲线上求出 。 【解答过程】由 得 。由切线斜率为 得 ，即 ，解得 。 将 代入 得 ，故切点为 。 由切点在曲线上得 ，解得 。故选 C。 【例4-3】（2026·北京·海淀区·模拟）若曲线 与曲线 在点 处有公切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求第一条曲线在 处的切线，再令第二条曲线在该点处导数相等。 【解答过程】曲线 的导数为 ，故在 处的切线斜率为 ，切线方程为 ，即 。 曲线 的导数为 ，由公切线得 ，所以 。故选 A。 【变式4-1】（2026·河南·郑州外国语学校·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由斜率确定切点，再由切点在切线上求 。 【解答过程】由 得 。由切线斜率为 得 ，即 ，切点为 。 由切点在 上得 。故选 B。 【变式4-2】（2026·浙江·杭州市第二中学·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由切线斜率 求切点横坐标，再代入直线求 。 【解答过程】由 得 ，令 得 ，切点为 。 由切点在直线 上得 ，所以 。故选 B。 【变式4-3】（2026·安徽·芜湖市第一中学·模拟）曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求指数曲线的切线，再由对数曲线的导数值确定切点，最后由切点在切线上求 。 【解答过程】由 得 ，，切线方程为 。 设该切线与 相切于横坐标 ，由 得 ，即 ，切点为 。 由切点在 上得 。故选 C。 【变式4-4】（2026·江西·九江市第一中学·模拟）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求第一条曲线的切线，再设第二条曲线的切点，由"斜率相等"确定切点，最后由切点在切线上求 。 【解答过程】由 得 ，，切线方程为 ，即 。 设该切线与 相切于横坐标 ，由 得 ，即 。 切点为 ，由切点在 上得 ，即 ，解得 。故选 A。 【变式4-5】（2026·福建·福州市第一中学·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设切点，由斜率与切点坐标双条件求 。 【解答过程】设切点为 ，由 得 ，切线方程为 。 与 对照，截距为 ，故 ，，所以 。故选 B。 重难点培优05　复合函数求导与抽象函数求导　★★★ 【解题技巧】复合函数求导坚持"由外向内、逐层求导、层层相乘"：把函数拆成 、 两层，则 。对抽象函数，如 ，则 ，系数来自内层函数的导数，与 中的自变量无关。 【注意事项】两类典型错误：一是漏乘内层导数，如 ；二是抽象函数求导时把 与 混为一谈。凡遇"已知 ，求 在对应点的导数"，先对外层整体求导，再乘内层常数。 【例5-1】（2026·江西·南昌市第二中学·模拟）函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把函数看成 、 的复合，用链式法则。 【解答过程】令 ，则 ，由链式法则 。故选 B。 【例5-2】（2026·河南·郑州市第一中学·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用链式法则求出导函数，再代值计算。 【解答过程】， 所以 。故选 B。 【例5-3】（2026·山西·太原市第五中学·模拟）已知 为可导函数，且 ，则曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对 求导，再代入 ，用已知的导数值计算。 【解答过程】由链式法则 。当 时，。故选 C。 【变式5-1】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】指数函数与一次函数的复合，内层导数为 。 【解答过程】令 ，则 ，。故选 B。 【变式5-2】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用链式法则，外层为余弦函数的导数，内层导数为 。 【解答过程】。故选 D。 【变式5-3】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把 看作整体，用幂函数与一次（二次）函数的链式法则。 【解答过程】。故选 B。 【变式5-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求导函数，再代值。 【解答过程】，故 。故选 A。 【变式5-5】已知 为可导函数，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】抽象函数复合求导，外层导数乘内层导数。 【解答过程】令 ，则 。故选 B。 【变式5-6】设 可导，且 ，则曲线 在 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】链式法则求导后代入 。 【解答过程】，当 时 。故选 B。 重难点培优06　导数的运算综合（含参数）　★★★ 【解题技巧】含参求导"三步走"：① 先按法则准确求导；② 把已知条件（切线斜率、极值点、导数取值）翻译成关于参数的方程；③ 解方程并检验。凡是"在某点处导数为…"，就是把该点代入导函数，绝不要代入原函数。 【注意事项】本重难点的失分点很集中：一是把"导数值"与"函数值"用反；二是积商法则中分子项写反，如商的法则中分子是"前导后不减"，顺序不可颠倒；三是解出参数后没有回代检验。多选判断时要逐项算，切忌"看着像"就下结论。 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】ACD 【解题思路】先用积的求导法则求出 ，由此确定单调性与极小值点，再逐项分析。 【解答过程】。 A 选项：当 时 ， 时 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减， 是极小值点，A 正确； B 选项：当 时，，而 在 上单调递增，故 ，B 错误； C 选项：当 时，，而 在 上单调递减，故 ，即 ，C 正确； D 选项：当 时，，即 ，D 正确。 故选 ACD。 【例6-2】（2026·山东·青岛市第二中学·模拟）已知函数 的图象在 处的切线斜率为 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导后把两个条件翻译成方程组，解出 再求和。 【解答过程】。 由 得 ；由 得 ，即 ，所以 ，。 故 。故选 A。 【例6-3】（2026·湖南·常德市第一中学·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用商的求导法则求导函数，再代值。 【解答过程】，故 。故选 B。 【变式6-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用幂函数公式与和法则求导，再代值。 【解答过程】，故 。故选 C。 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别求两项的导数再相加，最后代值。 【解答过程】，故 。故选 B。 【变式6-3】（2026·陕西·西安高新第一中学·模拟）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用积的求导法则求导函数，再解关于 的方程。 【解答过程】，由 得 ，即 。故选 B。 【变式6-4】已知函数 的图象在 处的切线与直线 平行，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出导函数，令 ，解方程求 。 【解答过程】，故 。由平行得 ，解得 。故选 A。 【变式6-5】已知函数 在 处取得极值，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】极值点处导数为 ，据此列方程求 。 【解答过程】，由 为极值点得 ，解得 。故选 B。 重难点培优07　导数的物理意义与实际应用　★★★★ 【解题技巧】解导数应用题的黄金两步是"建模 → 求导 → 还原"：先把实际问题翻译成函数关系（位移求导得速度，速度求导得加速度，成本求导得边际成本），再对函数求导，最后回到实际情境解释结果的单位和意义。求"某时刻的量"要先求导、后代入。 【注意事项】三个易错点：一是先代入时刻再求导，把瞬时量算成了常量的导数；二是丢掉单位或混淆平均量与瞬时量；三是忽略实际情境对自变量范围的限制（如产量 、时间 ），得出不合实际的解。 【例7-1】（2026·广东·梅州市·一模）某弹簧振子在振动过程中的位移 （单位：）与时间 （单位：）满足 ，则 时该弹簧振子的瞬时速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】瞬时速度是位移对时间的导数，先用链式法则求导，再代入 。 【解答过程】， 故 时的瞬时速度 ，其大小为 。故选 A。 【例7-2】（2026·河北·唐山市·模拟）某商品的总成本 （单位：元）与产量 （单位：件）满足 ，则产量为 件时的边际成本为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【解题思路】边际成本即总成本函数的导数，求导后代入产量。 【解答过程】，故 ，即产量为 件时的边际成本为 元。故选 C。 【例7-3】（2026·江苏·无锡市第一中学·模拟）一质点沿直线运动，其位移 （单位：，时间单位：），则质点在 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对位移函数求导得速度函数，再代入 。 【解答过程】，故 ， 即质点在 时的瞬时速度为 （负号表示运动方向与正方向相反）。故选 A。 【变式7-1】一质点做直线运动，其位移 （单位：），则 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对位移求导得速度，再代值。 【解答过程】，故 。故选 B。 【变式7-2】已知物体的运动方程为 （ 为常数，单位：），则物体在 时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导后代入时间。 【解答过程】，故 。故选 B。 【变式7-3】（2026·辽宁·沈阳市第二中学·模拟）某公司生产 台设备的利润 （单位：万元），则 时的边际利润为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】边际利润是利润函数的导数，求导后代入产量。 【解答过程】，故 。故选 B。 【变式7-4】一质点做直线运动，其速度 （单位：），则质点在 时的瞬时加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】加速度是速度函数的导数，求导后代入时间。 【解答过程】，故 时的瞬时加速度为 。故选 C。 【变式7-5】某飞机降落后滑行的距离 （单位：）与时间 （单位：）满足 ，则飞机着陆后滑行的最大距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】滑行距离最大即速度为零的时刻，由 求出时刻，再求距离。 【解答过程】，令 得 。 此时 ，即所求最大距离为 。故选 B。 重难点培优08　新定义与导数交汇问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题的"三字诀"是"读、译、算"：读清定义中的条件与运算 → 把新符号翻译成求导、单调性、切线等已知工具 → 严格按定义顺序代入计算。凡定义中出现""""等结构，优先联想构造函数 或 。 【注意事项】本重难点考验的是"读题能力"而非"记忆能力"：切忌用惯性思维把新定义当作常规公式套用。另外，由新定义推出的结论必须回代验证，尤其要注意定义中的"任意""存在""当且仅当"等关键措辞。 【例8-1】（2026·浙江·宁波市效实中学·模拟）定义在 上的可导函数 ，若对任意 都有 ，则称 为"优增函数"。若 为"优增函数"，则下列结论一定正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递增 C． 是偶函数 D． 【答案】B 【解题思路】按定义构造函数 ，研究其导数的符号。 【解答过程】令 ，则 。 由 得 ，故 ，所以 在 上单调递增，B 正确。 A 中 本身不一定递增（如 满足 ，但 在 上为负）；C 中未涉及奇偶性；D 中 与已知条件形式不同。故选 B。 【例8-2】（2026·四川·绵阳中学·模拟）定义：若函数 在区间 上可导，且对任意 （）都有 ，则称 在 上"严格递增"。已知 在区间 上严格递增，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】差商恒正等价于 在区间上恒成立（且不在子区间上恒为 ），据此求 的范围。 【解答过程】。 要使差商恒正，需 对任意 成立。由 得 或 ， 故在 上 要求 ，即 的最小值为 。故选 C。 【例8-3】（2026·重庆·西南大学附属中学·模拟）定义：对于可导函数 和 ，若存在实数 使 且 ，则称 与 "相切"。若 与 相切，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把新定义"相切"翻译成两个等式：函数值相等与导数值相等，联立解出 与 。 【解答过程】，。由 得 ，即 （）。 所以 ，此时 。由 得 ， 解得 。故选 B。 【变式8-1】（2026·湖南·长沙市长郡中学·模拟）定义在 上的可导函数 ，若对任意 都有 ，则称 为"增函数"。已知 为"增函数"，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义把条件翻译为 恒成立，转化为二次函数的最值问题。 【解答过程】。由定义需 对任意 恒成立， 而 ，当且仅当 时恒有 。故选 A。 【变式8-2】（2026·湖南·长沙·模拟）定义：若函数 在点 处满足 ，则称 为 的"不动点"。已知 ，则 的"不动点"的个数为（　　） A． B． C． D．无数个 【答案】B 【解题思路】按定义列出方程 并求解。 【解答过程】。由 得 ，解得 。 所以"不动点"只有 个。故选 B。 【变式8-3】（2026·河南·洛阳市第一高级中学·模拟）对于函数 ，定义 为它的"特征函数"。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求导函数，再按定义代入 。 【解答过程】，故 。故选 B。 【变式8-4】（2026·贵州·贵阳市第一中学·模拟）定义：对于可导函数 ，若存在 使 ，则称 为 的"驻点"。函数 的"驻点"个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按定义列出 ，解方程并数实根个数。 【解答过程】。由 得 或 ，共 个驻点。故选 C。 【变式8-5】（2026·安徽·安庆市第一中学·模拟）定义：若两条曲线在公共点处有相同的切线，则称它们在该点处"相切"。已知曲线 与曲线 在原点 处（　　） A．相切 B．不相切 C．垂直 D．无法判断 【答案】A 【解题思路】分别求两条曲线在原点处的切线斜率，按定义判断。 【解答过程】曲线 在原点处的切线斜率为 ，曲线 在原点处的切线斜率也为 。 两条曲线在 处斜率相同，故在该点处相切。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用幂函数求导公式求导函数，再代值。 【解答过程】，故 。故选 B。 2．【巩固】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导后代入切点横坐标得斜率，再用点斜式写方程。 【解答过程】，，切线方程为 ，即 。故选 A。 3．【巩固】函数 的导数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】指数函数与一次函数复合，用链式法则。 【解答过程】。故选 B。 4．【巩固】曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用对数函数的导数公式直接代值。 【解答过程】，故切线斜率为 。故选 B。 5．【进阶】（2026·河南·郑州市·模拟）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导后代入切点横坐标得斜率，再用点斜式。 【解答过程】，，切线方程为 ，即 。故选 A。 6．【进阶】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用积的求导法则求导函数，再代值。 【解答过程】，故 。故选 B。 7．【进阶】过点 与曲线 相切的直线的斜率为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【解题思路】设切点写切线，代入已知点解切点横坐标，再求斜率。 【解答过程】设切点为 ，切线斜率为 ，切线方程为 。 代入点 得 ，即 ，解得 或 ，故斜率为 或 。故选 D。 8．【进阶】（2026·广东·深圳市·模拟）若直线 是曲线 的切线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由切线斜率求切点横坐标，再代入直线求 。 【解答过程】，令 得 ，切点为 。 由切点在直线 上得 ，所以 。故选 B。 二、多选题 9．【进阶】下列求导结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】逐个用基本初等函数的导数公式检验。 【解答过程】，A 正确；，B 正确；，C 正确； ，而不是 ，D 错误。故选 ABC。 10．【进阶】（2026·全国·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 是 的极小值点 C． 在 上单调递增 D．曲线 在原点处的切线方程为 【答案】ABD 【解题思路】求导后研究单调性与极值，再逐项验证。 【解答过程】，A 正确。 由 得 ；当 时 ，故 在 上单调递减，C 错误。 左右两侧导数由负变正，故 是极小值点，B 正确。 ，故原点处切线方程为 ，即 ，D 正确。故选 ABD。 11．【进阶】（2026·江苏·南京市·模拟）设 在 处可导，则下列极限等于 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】逐个化归为导数定义的标准形式，或判断其与原定义的关系。 【解答过程】A 即导数定义式，正确； B 中令 ，则原式为 ，正确； C 是与定义等价的写法，正确； D 中 ，不等于 ，错误。故选 ABC。 12．【培优】（2026·湖南·长沙市·模拟）已知定义在 上的可导函数 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． 在 上单调递增 B． C． D．若 ，则 【答案】ACD 【解题思路】构造 研究其单调性，再由单调性比较函数值。 【解答过程】令 ，则 ，故 在 上单调递增，A 正确。 由 得 ，C 正确。 又 ，则 ，故 ，D 正确。 无法由条件推出（如 时不满足条件，而满足条件的 虽有 ，但一般不一定成立），B 错误。故选 ACD。 三、填空题 13．【巩固】已知 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】求导函数后代入 。 【解答过程】，故 。 14．【进阶】曲线 在点 处的切线方程为 ______． 【答案】 【解题思路】求导得斜率，再用点斜式写方程并整理。 【解答过程】，故切线斜率为 ，切线方程为 ，即 。 15．【进阶】（2026·山东·济南市·模拟）一质点做直线运动，其位移 （单位：），则质点在 时的瞬时速度为 ______ ． 【答案】 【解题思路】瞬时速度是位移的导数，求导后代入时间。 【解答过程】，故 ，即所求瞬时速度为 。 16．【培优】（2026·浙江·温州市·模拟）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求指数曲线的切线，再设抛物线切点，由斜率相等确定切点，最后由切点在切线上求 。 【解答过程】由 得 ，切线方程为 。 设该切线与 相切于横坐标 ，由 得 ，即 ，切点为 。 由切点在 上得 ，解得 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求曲线 在点 处的切线方程； (2) 求方程 的解，并判断 是极大值点还是极小值点． 【答案】(1) ；(2) 或 ， 是极大值点． 【解题思路】(1) 求导后代点得斜率，用点斜式写方程；(2) 解 并考察导数在根两侧的符号变化。 【解答过程】(1) ，故 。 切线方程为 ，即 。 (2) 由 得 或 。 当 时 ，当 时 ，故 在 两侧由正变负， 是极大值点。 18．【培优】已知曲线 在点 处的切线方程为 ． (1) 求 ， 的值； (2) 求曲线 过原点 的切线方程． 【答案】(1) ，；(2) ． 【解题思路】(1) 由"切点在曲线上"与"斜率等于导数值"列方程组；(2) 设切点写切线，代入原点解出切点。 【解答过程】(1) 。由切线斜率为 得 ，解得 ； 再由切点 在曲线上得 ，代入 得 。 (2) 此时曲线为 。设切点为 ，切线斜率为 ， 切线方程为 。代入原点 ： ，整理得 ，即 ，解得 。 此时切点为原点，斜率为 ，故切线方程为 。 19．【培优】已知函数 ． (1) 求 的导函数 ； (2) 若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值及该切线方程． 【答案】(1) ；(2) ，切线方程为 ． 【解题思路】(1) 用和法则与幂函数公式求导；(2) 由平行关系令 求 ，再写切线。 【解答过程】(1) 。 (2) 由切线与 平行得 ，解得 。 此时 ，，切线斜率为 ，故切线方程为 ，即 。 20．【培优】某工厂生产某种产品的总成本 （单位：万元）与产量 （单位：百件）满足 ，销售收入为 （万元），利润 ． (1) 求产量为 百件时的边际利润 ； (2) 求方程 的正实数解，并说明其实际意义． 【答案】(1) 万元/百件；(2) ，表示当产量为 百件时边际利润为零，此时利润达到最大． 【解题思路】(1) 先由 写出利润函数，求导后代入产量；(2) 解 并结合实际范围取舍，解释其意义。 【解答过程】(1) ， 则 ，故 （万元/百件）。 (2) 由 得 ，即 ，解得 或 。 结合 ，正实数解为 。 其实际意义是：当产量为 百件时，边际利润为 ，此时利润达到最大。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $