4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义围绕同角三角函数基本关系及诱导公式，按课标要求整合平方关系、商数关系及六组诱导公式，通过考点分层（知一求二、齐次式、sin±cos关系等）、方法指导（如“奇变偶不变”口诀）、真题训练（改编题与模拟题），构建系统复习框架，助力学生突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为核心，创新采用口诀记忆与分层突破策略，如诱导公式用“奇变偶不变”口诀简化理解，同角关系通过例3训练“sinθ±cosθ与sinθcosθ”知一求二。设置诊断自测与跟踪训练，配合例题精讲，培养学生运算与推理能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

4．2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 [课标解读] 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.　2.掌握诱导公式，并会简单应用． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 常用结论 1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α.(应用见例3) 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．(应用见诊断自测3) 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(湘教必修一P168例5改编)已知α是第三象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． 解析：B　由题意得cos α＝－，故tan α＝.故选B. 3．(人A必修一P195T5)已知sin ＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：B　因为sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－.故选B. 4．(北师大必修二P24例8(3))求值：sin cos ＋sin cos ＝________. 解析：　sin cos ＋sin cos ＝cos ＋sin cos ＝sin cos ＋＝2×. 答案： 考点一　同角三角函数的基本关系 角度1　“知一求二”问题 例1　(1)已知sin α>0，tan α＝，则＝(　　) A．　　　　　　 B．－ C． D．－ 解析：D　由题意，得 解得sin α＝，cos α＝， 所以.故选D. (2)(2025·陕西汉中二模)若α是第二象限角，3sin 2α＝tan α，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　由3sin 2α＝tan α得6sin αcos α＝，因为sin α≠0，所以cos2α＝，因为α是第二象限角，所以cosα＝－，所以sin α＝，所以tan α＝ .故选A． 角度2　sin α，cos α的齐次式问题 例2　(2026·河北唐山期中)已知tan α＝－3，则＝(　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：D　原式，因为tan α＝－3，所以.故选D. 角度3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 例3　(多选)(人A必修一P256T24改编)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则下列等式正确的是(　　) A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝ C．tan θ＝－ D．sin3θ＋sin3θ＝ 解析：ABD　将sinθ＋cos θ＝两边同时平方可得1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝故A正确；因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝ ＝ ＝ ＝，故B正确；由上可得，sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝，故C错误；sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cos θ)(sin2θ＋cos2θ－sinθcos θ)＝＝，故D正确．故选ABD. 1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2．形如，a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α等类型可进行弦化切． 3．对于sinα＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 跟踪训练1　(1)已知α为锐角，若cos α＝，则tan α＝(　　) A． B．2 C．2 D． 解析：C　已知α为锐角，则sin α＝，则tan α＝ .故选C. (2)若，则sin2α－sinαcos α－3cos2α＝(　　) A． B． C． D．－ 解析：C　由，得，即tan α＝－3，所以sin2α－sinαcos α－3cos2α＝.故选C. (3)(2025·内蒙古赤峰一模)已知锐角α满足sinα－cos α＝，则tan α的值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　由题意，sin α－cos α＝，　① 则(sin α－cos α)2＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以2sinαcos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋，因为α为锐角，所以sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝，　② 由①和②联立解得sin α＝，cos α＝，所以tan α＝.故选B. 考点二　诱导公式 例4　(1)已知sin ＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：A　cos ＝cos [＋]＝＝－.故选A． (2)(人A必修一P195T7改编)在△ABC中，下列等式一定成立的是(　　) A．sin (A＋B)＝－sin C B．cos (A＋B)＝cos C C．cos ＝sin D．sin ＝sin 解析：C　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，对于A，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故A错误；对于B，cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故B错误；对于C，cos ＝cos ＝sin ，故C正确；对于D，sin ＝sin ＝cos ，故D错误．故选C. 1．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．常见的互余和互补的角 应用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α与＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与＋θ与－θ等． 注意：运用诱导公式计算含有2π的整数倍的三角函数式时，可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos (5π－α)＝cos (π－α)＝－cos α. 跟踪训练2　(1)(2025·贵州黔南模拟)已知角α的终边经过点P(－3，4)，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：B　因为角α的终边经过点P(－3，4)，则sin α＝，所以cos ＝－sin α＝－.故选B. (2)sin (－1200°)·cos 1290°＝________. 解析：原式＝－sin 1200°cos 1290°＝－sin (3×360°＋120°)cos (3×360°＋210°)＝－sin 120°cos 210°＝－sin (180°－60°)cos (180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＝. 答案： 考点三　基本关系式与诱导公式的综合应用 例5　已知0<α<，sin α＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解：(1)因为sin α＝，0<α<，所以cos α＝ ＝，故tan α＝. (2)由(1)得，tan α＝. 1．利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． 2．注意角的范围对三角函数符号的影响． 跟踪训练3　(1)若sin ＝，且α是第三象限角，则cos ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：B　因为sin ＝－cos α＝，即cos α＝－，且α是第三象限角，则sin α＝－ ＝－，所以cos ＝cos ＝cos ＝－sin α＝.故选B. (2)已知α∈，且－4＝0，则tan α＝(　　) A． 　　 B．　　 C．　　 D． 解析：A　因为－4＝0，所以－4＝0，解得：＝4或＝－1，因为α∈，则cos α>0，所以cos α＝，sin α＝，所以tan α＝ .故选A． 学科网（北京）股份有限公司 $