第13讲 导数的概念及其意义、导数的运算讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第13讲 导数的概念及其意义、导数的运算 第13讲 导数的概念及其意义、导数的运算 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解导数的定义式与几何意义，能识别并计算与导数定义相关的极限式； 2．熟练掌握八个基本求导公式与四则运算法则，能对乘积型、分式型函数求导； 3．分清"在点处的切线"与"过点的切线"，会用设切点的方法求过点的切线； 4．能用"斜率相等 + 切点在曲线上"两条等式求参数，会处理切线的最值型问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 导数的定义与极限式 选择题、填空题 第4~6题 中 看系数、看符号，直接写导数值 求导公式与四则运算 选择题、填空题 第4~6题／第13题 中 先化简再求导，乘积与分式用对应法则 在点处的切线方程 选择题、填空题 第5~6题／第13题 中 斜率取导数值，用点斜式写方程 过点的切线（设切点） 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 设切点列方程，解的个数即切线条数 含参切线与切线最值 选择题、填空题、解答题 第8题／第14题／第17题 中偏难 斜率相等加切点在曲线上，联立求参 命题规律分析 导数是承载函数问题的核心工具，本专题打牢"概念、运算、切线"三块地基。新高考中，求导运算与切线方程多出现在选择题第4~6题、填空题第13~14题；含参切线与切线的综合应用常压在第8题、第14题这一档，也是解答题第15~17题的常见起点。培优阶段的三条主线是：一是把导数定义式中的"系数"与"符号"看穿，迅速转化为已知的导数值；二是把乘积型、分式型函数的求导练到一次成功，尤其警惕 与除法法则；三是用"设切点"统一处理"过点的切线"与含参切线，借"切点既在曲线上又在切线上"列方程组。抓住这三条，本专题的分数可以全部拿满。 考点1 导数的概念、公式与运算法则 知识点1 导数的定义与几何意义 在 处的导数 ，它是一个确定的数，反映函数在 处的瞬时变化率。 几何意义：曲线 在点 处切线的斜率 ，切线方程为 。 【易错清单】 1．题给极限式必须"配凑"成定义式的形状：分子中自变量的增量系数之和决定倍数，如 ； 2． 是一个数、 是一个函数，写答案时不要混用； 3． 可正可负，化简时不能默认它是正数。 知识点2 基本求导公式与四则运算法则 常用公式：，，，，，。 运算法则：，。 【易错清单】 1． 的负号最容易漏； 2．，乘积求导必须用"前导后不导加前不导后导"两项相加； 3．分式求导前若能先分离常数（如 ），先化简再求导更省力。 考点2 切线的"在点"与"过点"及含参问题 知识点3 在点处的切线与过点的切线 "在点 处的切线"： 就是切点，直接求 得斜率；"过点 的切线"： 未必是切点，须先设切点 ，写出切线方程后把 的坐标代入求出 。 过点 的切线条数等于关于 的方程解的个数，可能为 条、 条或 条。 【易错清单】 1．把"过点的切线"当成"在点处的切线"，漏设切点会导致漏解； 2．求出切点后要确认切线确实经过题设的点，含参时还要回代检验； 3．"在点处"的切线只有一条，而"过点"的切线可能有多条，不要凭直觉认定唯一。 知识点4 由切线条件求参数 核心是两条等式：① 切点处的导数值等于切线斜率；② 切点坐标既满足曲线方程，也满足切线（或已知直线）方程。 若"曲线与直线相切"，也可把直线方程代入曲线方程，令所得方程的判别式为零。 【易错清单】 1．只用一个条件就下结论，是含参切线题的主要失分点； 2．把参数当成变量一起求导，导致导函数算错； 3．切线斜率与已知直线的斜率抄错，或忘记两直线平行、垂直的斜率关系。 【题型1 导数的定义与极限式的计算】 【例1】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 基本求导公式与四则运算】 【例2】函数 （）的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 导数的几何意义与在点处的切线】 【例3】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】曲线 在点 处的切线方程为____________。 【变式3-3】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 过点的切线（设切点法）】 【例4】过点 作曲线 的切线，则切线的条数为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】过点 作曲线 的切线，则切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】过原点作曲线 的切线，则切点横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】过原点作曲线 的切线，则切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 由切线条件求参数】 【例5】已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】若曲线 在点 处的切线经过原点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】若函数 的图象在 处的切线斜率为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】若直线 与曲线 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 切线的综合应用（最短距离）】 【例6】曲线 上的点到直线 的最短距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】曲线 上的点到直线 的最短距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】曲线 上的点到直线 的最短距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】若曲线 的切线与直线 平行，则切点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 （）的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）设函数 在 处可导，若 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）过点 作曲线 的切线，若可以作三条不同的切线，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列求导运算正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D．曲线在点 处的切线方程为 11．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．曲线 在点 与点 处的切线互相平行　C．过原点可作曲线 的三条切线　D．曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．若 ，则曲线 上任一点处切线的斜率都不小于 　C．曲线 上存在两条互相垂直的切线，当且仅当 　D．过原点作曲线 的切线，当 时恰有两条 三、填空题 13．（★★）已知函数 ，则 ____________。 14．（★★）曲线 在点 处的切线方程为 ____________。 15．（★★★）若曲线 在点 处的切线与曲线 也相切，则实数 ____________。 16．（★★★）已知函数 （），若曲线 上存在两条互相垂直的切线，则实数 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求曲线 在点 处的切线方程。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求曲线 在 处的切线方程。 19．（★★）已知函数 的图象在 处的切线斜率为 。 (1) 求 的值； (2) 求该切线方程。 20．（★★★）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。 (1) 求 ， 的值； (2) 求曲线 在 处的切线方程。 21．（★★★）已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直。 (1) 求实数 的值； (2) 求曲线 的斜率为 的切线方程。 22．（★★★）已知函数 。 (1) 求曲线 的斜率为 的切线方程； (2) 若直线 是曲线 的切线，求实数 的值。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求曲线 在点 处的切线方程； (2) 若过点 作曲线 的切线，恰好可作两条，求实数 的值； (3) 若过点 作曲线 的切线，可以作三条，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 若曲线 存在与直线 平行的切线，求实数 的取值范围； (3) 若曲线 上存在两条互相垂直的切线，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第13讲 导数的概念及其意义、导数的运算 第13讲 导数的概念及其意义、导数的运算 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解导数的定义式与几何意义，能识别并计算与导数定义相关的极限式； 2．熟练掌握八个基本求导公式与四则运算法则，能对乘积型、分式型函数求导； 3．分清"在点处的切线"与"过点的切线"，会用设切点的方法求过点的切线； 4．能用"斜率相等 + 切点在曲线上"两条等式求参数，会处理切线的最值型问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 导数的定义与极限式 选择题、填空题 第4~6题 中 看系数、看符号，直接写导数值 求导公式与四则运算 选择题、填空题 第4~6题／第13题 中 先化简再求导，乘积与分式用对应法则 在点处的切线方程 选择题、填空题 第5~6题／第13题 中 斜率取导数值，用点斜式写方程 过点的切线（设切点） 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 设切点列方程，解的个数即切线条数 含参切线与切线最值 选择题、填空题、解答题 第8题／第14题／第17题 中偏难 斜率相等加切点在曲线上，联立求参 命题规律分析 导数是承载函数问题的核心工具，本专题打牢"概念、运算、切线"三块地基。新高考中，求导运算与切线方程多出现在选择题第4~6题、填空题第13~14题；含参切线与切线的综合应用常压在第8题、第14题这一档，也是解答题第15~17题的常见起点。培优阶段的三条主线是：一是把导数定义式中的"系数"与"符号"看穿，迅速转化为已知的导数值；二是把乘积型、分式型函数的求导练到一次成功，尤其警惕 与除法法则；三是用"设切点"统一处理"过点的切线"与含参切线，借"切点既在曲线上又在切线上"列方程组。抓住这三条，本专题的分数可以全部拿满。 考点1 导数的概念、公式与运算法则 知识点1 导数的定义与几何意义 在 处的导数 ，它是一个确定的数，反映函数在 处的瞬时变化率。 几何意义：曲线 在点 处切线的斜率 ，切线方程为 。 【易错清单】 1．题给极限式必须"配凑"成定义式的形状：分子中自变量的增量系数之和决定倍数，如 ； 2． 是一个数、 是一个函数，写答案时不要混用； 3． 可正可负，化简时不能默认它是正数。 知识点2 基本求导公式与四则运算法则 常用公式：，，，，，。 运算法则：，。 【易错清单】 1． 的负号最容易漏； 2．，乘积求导必须用"前导后不导加前不导后导"两项相加； 3．分式求导前若能先分离常数（如 ），先化简再求导更省力。 考点2 切线的"在点"与"过点"及含参问题 知识点3 在点处的切线与过点的切线 "在点 处的切线"： 就是切点，直接求 得斜率；"过点 的切线"： 未必是切点，须先设切点 ，写出切线方程后把 的坐标代入求出 。 过点 的切线条数等于关于 的方程解的个数，可能为 条、 条或 条。 【易错清单】 1．把"过点的切线"当成"在点处的切线"，漏设切点会导致漏解； 2．求出切点后要确认切线确实经过题设的点，含参时还要回代检验； 3．"在点处"的切线只有一条，而"过点"的切线可能有多条，不要凭直觉认定唯一。 知识点4 由切线条件求参数 核心是两条等式：① 切点处的导数值等于切线斜率；② 切点坐标既满足曲线方程，也满足切线（或已知直线）方程。 若"曲线与直线相切"，也可把直线方程代入曲线方程，令所得方程的判别式为零。 【易错清单】 1．只用一个条件就下结论，是含参切线题的主要失分点； 2．把参数当成变量一起求导，导致导函数算错； 3．切线斜率与已知直线的斜率抄错，或忘记两直线平行、垂直的斜率关系。 【题型1 导数的定义与极限式的计算】 【例1】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把分子拆成"右增量"与"左增量"两段，各自配凑成导数定义式，再相加。 【解答过程】把分子拆开：。 第一段 ； 第二段 。 所以原式 。故选C。 【多解·巧解】也可令 ，则 时 ，原式 。而"对称差商"满足 ，于是原式 。记住结论"分子中自变量增量系数之和为 ，则极限为 "可以秒答。 【易错提醒】只把 看成 （漏掉系数）就会得到 而误选A。分子中自变量的增量系数之和决定了最终的倍数，两个 贡献的总系数是 。 【变式1-1】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分母是 ，把系数提出来即可。 【解答过程】。故选A。 【变式1-2】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】分子增量系数为 ，极限等于 。 【解答过程】。故选C。 【变式1-3】设函数 在 处可导，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 看成"从 到 "的增量，直接对应定义式。 【解答过程】令 ，则 时 ，。所以原式 。故选B。 【题型2 基本求导公式与四则运算】 【例2】函数 （）的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用除法法则求导，也可以改写成 后用乘法法则。 【解答过程】用除法法则：。故选A。 【多解·巧解】改写成 后可用乘法法则：。分式型函数"化成负指数幂再求导"，可以避开除法法则中分母平方的繁琐运算。 【易错提醒】分母写成 而没有约分到 ，就会误选C。除法的分母是"原分母的平方"，但分子中的公因式 还要与分母约分，最后必须整理到最简。 【变式2-1】函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】乘积形式，用乘法法则。 【解答过程】。故选A。 【变式2-2】函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先对 用乘法法则，再逐项求导合并。 【解答过程】，。所以 。故选A。 【多解·巧解】本题出现的 与 恰好抵消，这是"求导后简化为单项"的典型结构；先整体求导再合并同类项，比逐项验证选项快。 【变式2-3】函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分别对 与 求导后相减。 【解答过程】，。所以 。故选A。 【题型3 导数的几何意义与在点处的切线】 【例3】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导得斜率，再用点斜式写方程。 【解答过程】，在 处 。切点为 ，由点斜式得 ，即 。故选A。 【多解·巧解】用"代点验证"快速排除：把 代入四个选项，只有 A、C 的纵坐标为 ；再看斜率 ，排除 C，故选A。含 的点必须先确认是否在曲线上（这里 ，确在曲线上）。 【易错提醒】把 当成 而不是 ，会把切点算成 而写错方程。、 是必须条件反射的常用值。 【变式3-1】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】，在 处斜率为 。 【解答过程】，在 处 。由点斜式得 ，即 。故选A。 【变式3-2】曲线 在点 处的切线方程为____________。 【答案】 【解题思路】求导后代入横坐标得斜率，再用点斜式。 【解答过程】，在 处 。由点斜式得 ，即 。 【变式3-3】曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】常数项求导为零，斜率由 决定。 【解答过程】，在 处 。由点斜式得 ，即 。故选A。 【题型4 过点的切线（设切点法）】 【例4】过点 作曲线 的切线，则切线的条数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】设切点 写出切线方程，把已知点代入得关于 的方程，解的个数即切线条数。 【解答过程】设切点为 。由 得切线斜率 ，切线方程为 。 把点 代入：，整理得 ，即 ，解得 或 。 所以共有两条切线（ 时为 ， 时为 ）。故选C。 【多解·巧解】画草图可以预判条数：点 在曲线下方偏右，从它出发可作一条过原点的切线 ，再作一条切于第一象限的切线。"解的个数就是切线条数"，不必真的把每条切线都求出来。 【易错提醒】把 （二重根）当成"两个不同切点"或者干脆漏掉 ，都会把条数数错。切线 与曲线在原点相切，是完全合法的切线，不能因为它是 轴就舍去。 【变式4-1】过点 作曲线 的切线，则切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设切点 ，切线过 列方程。 【解答过程】设切点为 ，则切线为 。把 代入得 ，整理得 ，解得 。切线为 ，即 。故选A。 【变式4-2】过原点作曲线 的切线，则切点横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】设切点 ，切线过原点列方程，注意 。 【解答过程】设切点为 ，切线斜率为 ，切线方程为 。把原点 代入：，所以 ，即 。故选B。 【变式4-3】过原点作曲线 的切线，则切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设切点 ，代入原点坐标解 。 【解答过程】设切点为 ，切线斜率为 ，切线方程为 。把原点代入：，整理得 ，解得 ，故切线为 。故选A。 【题型5 由切线条件求参数】 【例5】已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】由"斜率相等"求 ，再由"切点在切线上"求 。 【解答过程】，由 得 。 又 ，所以切点为 。把 代入 得 。 所以 。故选C。 【多解·巧解】也可用"切线方程对照系数"：由点斜式知切线为 ，即 ；与 对照常数项得 ，即 。含参切线题用"切线方程对照系数"，往往比逐条代值更快。 【易错提醒】切点的纵坐标是 ，若把它当成独立未知数、又忘记"切点在切线上"这一条，就只剩一个方程而算不出 。两条等式缺一不可。 【变式5-1】若曲线 在点 处的切线经过原点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】写出切线方程，代入原点坐标。 【解答过程】，在 处 。切线为 ，即 。过原点则 ，即 。故选B。 【变式5-2】若函数 的图象在 处的切线斜率为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用"导数值等于切线斜率"列方程。 【解答过程】，由 得 。故选B。 【变式5-3】若直线 与曲线 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用切点处导数值等于直线斜率，或用判别式。 【解答过程】设切点横坐标为 。，由 得 ，切点为 。把 代入 得 ，即 。故选A。 【易错提醒】直线与曲线"相切"时切点处斜率相等，但切点本身也要在直线上，只用斜率条件会漏掉 的求解。 【题型6 切线的综合应用（最短距离）】 【例6】曲线 上的点到直线 的最短距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】与已知直线平行的切线，其切点到直线的距离最短。 【解答过程】直线 的斜率为 。令 ，得 ，切点为 。 点 到直线 的距离为 。故选B。 【多解·巧解】也可用"平行线间距离"：过切点 且斜率为 的切线为 ，它与直线 平行，两平行线之间的距离 即最短距离。把"点线距离"转化为"平行线距离"，可以避开求具体点的坐标。 【易错提醒】不要顺手把曲线上的某个"好看的点"（如 之外的点）代入求距离，必须先"令导数等于直线斜率"求出平行切线的切点，该切点才对应最短距离。 【变式6-1】曲线 上的点到直线 的最短距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令 求切点，再算距离。 【解答过程】，令 得 ，切点为 。点 到直线 的距离为 。故选A。 【变式6-2】曲线 上的点到直线 的最短距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令 求切点，再算点线距离。 【解答过程】，令 得 ，切点为 。点 到直线 的距离为 。故选A。 【变式6-3】若曲线 的切线与直线 平行，则切点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】切线与已知直线平行，斜率相等。 【解答过程】直线 的斜率为 。由 得 ，代入曲线得 ，故切点为 。故选A。 一、单选题 1．（★★）已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】求导函数后代入横坐标。 【解答过程】，所以 。故选C。 2．（★★）函数 （）的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】乘积形式，用乘法法则。 【解答过程】。故选B。 3．（★★）曲线 在点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】斜率取导数值，再用点斜式。 【解答过程】，在 处 ，切线为 ，即 。故选A。 4．（★★）曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】化为 求导后代入。 【解答过程】，所以 。故选B。 5．（★★）函数 的导函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】乘积形式，用乘法法则，注意 。 【解答过程】。故选B。 6．（★★★）设函数 在 处可导，若 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把极限式配凑成导数定义式先定出 ，再由求导公式解 。 【解答过程】把分子拆成两段：。 于是 、，故原式 ，得 。 又 ，所以 ，解得 。故选B。 7．（★★★）过点 作曲线 的切线，若可以作三条不同的切线，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】设切点写切线、代入已知点得关于切点横坐标的三次方程，三条切线即方程有三个不同实根。 【解答过程】设切点为 ，因为 ，切线方程为 。 把 代入得 ，即 。 令 ，则 。 在 处取极大值 ，在 处取极小值 。 方程有三个不同实根等价于极大值大于零且极小值小于零，即 且 ，所以 。故选C。 8．（★★★）已知曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设两个切点，先用“斜率相等”统一斜率，再由“同一条直线”比较截距，把 表示成切点横坐标的函数后求最小值。 【解答过程】设公切线切 于点 、切 于点 ，其中 、。 由 得 。 过 的切线为 ，过 的切线为 。 两条直线重合，除斜率相等外还需截距相等：，即 。 把 代入得 （）。 令 ，则 。 由 得 ，此时 取最小值 。 又 与 时 ，故存在公切线等价于 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列求导运算正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照基本求导公式与乘法法则。 【解答过程】A 中 ，正确； B 中 ，正确； C 中 ，正确； D 中 ，不是 ，错误。 故选ABC。 10．（★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D．曲线在点 处的切线方程为 【答案】ABD 【解题思路】先求导，再逐项代值或写切线。 【解答过程】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，，切线为 ，即 ，正确。 故选ABD。 11．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．曲线 在点 与点 处的切线互相平行　C．过原点可作曲线 的三条切线　D．曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 【答案】ABD 【解题思路】逐项求导、代值或用“设切点求切线”验证，其中 C 要用三次方程实根个数判断。 【解答过程】A：，正确； B：、，两处切线斜率都为 且不是同一条直线，互相平行，正确； C：设切点为 ，切线为 ， 代入原点得 ，即 。 令 ，则 ， 的极大值为 ， 而 时 ，故 只有一个实根，过原点只能作一条切线，错误； D：，，切线为 ，即 ， 它与两坐标轴围成的三角形面积为 ，正确。 故选ABD。 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．若 ，则曲线 上任一点处切线的斜率都不小于 　C．曲线 上存在两条互相垂直的切线，当且仅当 　D．过原点作曲线 的切线，当 时恰有两条 【答案】ABC 【解题思路】A、B 直接看导函数；C 需考察切线斜率的取值范围；D 用“设切点代入原点”检验切线条数。 【解答过程】A：，正确； B：，故任一点处切线斜率都不小于 ，正确； C：切线斜率的取值范围为 。若 ，斜率都非负，两斜率之积不可能等于 ； 若 ，在 处斜率为 ，在满足 处斜率为 ， 两者之积为 ，即存在两条互相垂直的切线。故 C 正确； D：设切点为 ，切线为 ，代入原点得 ， 故只有一条切线 ，与 是否为零无关，错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知函数 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】求导后代入。 【解答过程】，所以 。 14．（★★）曲线 在点 处的切线方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】斜率为 ，再用点斜式。 【解答过程】，在 处 ，切线为 ，即 。 15．（★★★）若曲线 在点 处的切线与曲线 也相切，则实数 ____________。 【答案】 或 【解题思路】先求切线（注意截距与 无关），再由“与抛物线相切”得判别式为零。 【解答过程】，在 处的斜率为 ，切点为 ， 切线方程为 ，即 （截距与 无关）。 把它代入 得 。两曲线相切要求判别式为零： ，即 ，解得 ， 所以 或 。 16．（★★★）已知函数 （），若曲线 上存在两条互相垂直的切线，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 或 【解题思路】两条切线垂直等价于两处导数值之积为 ，导数值域为 ，据此定条件。 【解答过程】，故切线斜率的取值范围是 。 两条切线垂直要求两处斜率之积为 ，即一个为正、一个为负，故值域中必须既有正数又有负数， 从而最小值 ，解得 或 。 反过来，当 或 时，取斜率为 （在 处）与 ， 二者一负一正且都在取值范围内，其乘积为 ，故存在。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求曲线 在点 处的切线方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先逐项求导，再用"斜率取导数值"和点斜式写切线。 【解答过程】(1) 。 (2) 先确认 在曲线上：，符合。，切线斜率为 ，故切线方程为 ，即 。 【多解·巧解】求"在点处的切线"两步走：先求 得斜率，再用点斜式。养成"先用 验证点是否在曲线上"的习惯，若点不在曲线上就要改设为切点。 【易错提醒】跳过"验证点在曲线上"这一步时，若题目给的恰是曲线外的点，就会把点斜式套错。在点处的切线要求已知点就是切点，"验证"这一步不能省。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求曲线 在 处的切线方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】乘积求导，再求切点坐标与斜率。 【解答过程】(1) 。 (2) 切点横坐标为 ，，切点为 。，切线为 ，即 。 【多解·巧解】把切点坐标算出来再写点斜式，不要凭" 时 大概很小"估一个纵坐标。含 的题最容易在""上失手。 【易错提醒】把 误算成 ，就会把切点写成 而写错方程。 是本题的关键数值。 19．（★★）已知函数 的图象在 处的切线斜率为 。 (1) 求 的值； (2) 求该切线方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用斜率条件求参数，再求切点写切线。 【解答过程】(1) ，由 得 。 (2) 此时 ，，切点为 。切线为 ，即 。 【多解·巧解】(2) 也可用"切线方程对照系数"验算：切线为 ，把 代入得 ，与 一致，说明计算无误。 【易错提醒】求 时忘记"切线斜率等于 "而误用 ；或者求出 后忘记回代去算 。斜率条件用来定参数，点的坐标用来定截距，两者分工不同。 20．（★★★）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。 (1) 求 ， 的值； (2) 求曲线 在 处的切线方程。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】用“斜率相等”与“切点在切线上”两条等式解 、，再求 处的切线。 【解答过程】(1) ，由切线斜率得 ，故 。 又 ，由切点在切线上得 ， 即 ，把 代入得 。 (2) 此时 ，，， 故切线为 ，即 。 【多解·巧解】含参切线题两条等式缺一不可：斜率相等定 ，切点在切线上定 。也可用“切线方程对照系数”快速验算。 【易错提醒】只用斜率条件而漏掉“切点也在切线上”，就会算不出 ；求出后应回代检验切点是否同时满足曲线与切线。 21．（★★★）已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直。 (1) 求实数 的值； (2) 求曲线 的斜率为 的切线方程。 【答案】(1) ； (2) 或 。 【解题思路】用“两直线垂直斜率之积为 ”定 ，再令导数为 求切点。 【解答过程】(1) ，在 处切线斜率为 。 直线 的斜率为 ，由垂直关系得 ，即 。 (2) 此时 ，。令 得 或 。 当 时切点为 ，切线为 ，即 ； 当 时切点为 ，切线为 ，即 。 【多解·巧解】“斜率相等”用于求参数，“导数为定值”用于求切点；写完切线后把切点代入切线方程即可自检。 【易错提醒】第(2)问方程 有两个解 ，只取一个会漏解，两条切线都要写出。 22．（★★★）已知函数 。 (1) 求曲线 的斜率为 的切线方程； (2) 若直线 是曲线 的切线，求实数 的值。 【答案】(1) 或 ； (2) 。 【解题思路】第(1)问由导数为 求切点；第(2)问设切点，由切线在 轴上的截距为 定切点后再求 。 【解答过程】(1) ，令 得 或 。 时切点为 ，切线为 ，即 ； 时切点为 ，切线为 ，即 。 (2) 设切点为 ，切线为 。 与 对照得 且 ，由后者得 ，代入得 。 【多解·巧解】第(2)问把切线写成“点斜式展开”后与已知直线对照系数，可同时读出斜率和截距两个条件。 【易错提醒】第(2)问切线在 轴上的截距是 ，不是切点的纵坐标 ，混淆两者会算错 。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求曲线 在点 处的切线方程； (2) 若过点 作曲线 的切线，恰好可作两条，求实数 的值； (3) 若过点 作曲线 的切线，可以作三条，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 或 ； (3) 。 【解题思路】设切点把“切线条数”转化为方程实根个数，再用辅助函数的极值符号夹出 。 【解答过程】(1) ，，切点为 ，切线为 。 (2) 设切点为 ，切线为 ， 代入 得 。 令 ，则 。 在 处取极小值 ，在 处取极大值 ， 且 时 、 时 。 切线条数就是方程 的不同实根个数，恰有两个实根时直线 过极值点，故 或 。 (3) 方程 有三个不同实根，需 介于极小值与极大值之间，即 。 【多解·巧解】把“过点能作几条切线”统一转化为“辅助函数 有几个实根”，极值点是分界；临界的 单独回代即可确认条数。 【易错提醒】第(3)问区间端点 、 不能取，此时方程出现重根，切线只有两条；判断条数必须看不同实根个数而非重数。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 若曲线 存在与直线 平行的切线，求实数 的取值范围； (3) 若曲线 上存在两条互相垂直的切线，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】第(2)问“存在某斜率”看导数能否取到该值；第(3)问“两条垂直切线”看导数值域能否同时含正数与负数。 【解答过程】(1) 。 (2) 与 平行的切线斜率应为 ，只需方程 有解， 即 有解，故 ，解得 。 (3) ，所以切线斜率的取值范围是 。 两条切线垂直要求两处斜率之积为 ，即一个为正、一个为负，故值域中须同时含正数与负数， 从而最小值 ，解得 。反之，当 时，取斜率为 （在 处）与 ，其乘积为 ，故存在。 【多解·巧解】第(2)问是“存在斜率等于定值”，第(3)问是“存在两斜率之积为 ”，都可归结为考察导函数的值域（或判别式）。 【易错提醒】第(2)问判别式应取 而不能写成 ， 时切线斜率仍可取到 （在 处），切线存在。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $