3.1导数的概念及其意义、导数的运算讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、运算及几何意义等核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑架构知识点，细分导数定义、求导运算、切线问题（含在点/过点切线、公切线等六类）等题型，通过考点梳理、解题技巧指导、分层训练及真题演练，帮助学生系统构建知识网络，突破高频难点。 讲义以题型为载体创新教学策略，如“过点P的切线”题型通过设切点、列方程求参数，培养学生数学思维与模型观念，结合巩固训练与三年真题实战，确保复习高效。助力学生提升导数应用能力，为教师把控复习节奏、精准突破考点提供实用指导。

3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 目录 知识点一：导数的概念和几何意义 2 知识点二：导数的运算 2 题型一：导数的定义 4 题型二：求函数的导数 5 题型三：导数的几何意义 6 1.在点P处切线 6 2.过点P的切线 7 3.公切线 8 4.切线的条数问题 9 5.切线平行、垂直、重合问题 10 6.最值问题 11 巩固训练 12 三年真题演练 15 知识点一：导数的概念和几何意义 1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． 知识点诠释： ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3.物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3.复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ： 题型一：导数的定义 1. 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 2. 设函数满足，则（       ） A． B．1 C． D．2 3. （2026·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（       ） A． 米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒 4. 已知函数，则的值为（       ） A． B． C．10 D．20 题型二：求函数的导数 【解题技巧】 对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 5. 求下列函数的导数 (1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6)；(7)；(8)． 6. 已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C． D．4 7. 已知函数（是的导函数），则（       ） A． B． C． D． 【练习】(多选)下列命题正确的有(　　) A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)=2，则=2 B.= C.已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f'(x0)=1，则x0= D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=x2+3xf'(2)+ln x，则f'(2)=- 题型三：导数的几何意义 1.在点P处切线 【解题技巧】 在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 8. 已知函数f(x)=ex+x，则f(x)在x=0处的切线方程为(　　) A.y=1 B.y=x+1 C.y=-x+1 D.y=2x+1 9. 曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 10. 曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ） A． B． C． D．1 【练习】曲线在处的切线方程为（       ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 2.过点P的切线 【解题技巧】过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 11. （2026·四川·广安二中二模）函数过点的切线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 12. 若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（       ） A． B． C． D． 13. （2026·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ） A．e B．1 C． D． 【练习】曲线过点的切线方程是（       ） A． B． C． D． 3.公切线 【解题技巧】 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解. 14. (2025·邯郸模拟)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则实数b等于(　　) A.ln 2+1 B.ln 2+ C.ln 2- D.ln 2 15. 已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 16. 若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【练习】若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ） A．0 B．1 C．e D． 【练习】若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4.切线的条数问题 17. （2026·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 18. （2026·河南洛阳·三模）若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 19. 若过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，则(　　) A.b>ln a B.b<ln a C.a<0 D.b>ea 【练习】若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 5.切线平行、垂直、重合问题 20. 若曲线f(x)=和g(x)=ln x在公共点处的切线互相垂直，则k等于(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 21. 对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（       ） A． B． C． D． 22. 已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式不可能成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=1 D.x1x2= 【练习】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（       ） A． B． C． D． 6.最值问题 23. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 24. 动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 25. 若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为　　　　　.  26. 已知直线是曲线的切线，则的最小值为（       ） A． B．0 C． D．3 巩固训练 1．若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，则a＝（       ） A．1 B． C．2 D．E 2．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（       ） A．2 B．-1 C．1 D． 3.（2026·贵州黔东南·一模）一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ） A．5米/秒 B．8米/秒 C．14米/秒 D．16米/秒 4．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（       ） A．0 B． C．3 D．或3 5．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 6．已知函数则曲线在点处的切线方程为_______. 7．若直线与曲线和都相切，则的斜率为______． 8．（已知函数f(x)=2 025cos，则f'等于(　　) A.0 B.-2 025 C.2 025 D.4 050 9．求下列函数的导函数 （1）； （2）； （3）； （4）. 10．设函数. (1)若在点处的切线为，求a，b的值； 11.(12分)已知函数f(x)=axln x+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直. (1)求实数a的值；(5分) (2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值.(7分) 12.(14分)已知曲线C1：y=ln x+2和曲线C2：y=ln(x+2). (1)若P为曲线C1上的一动点，当点P到直线y=ex+2的距离最小时，求点P的坐标；(5分) (2)若直线l既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线l的方程.(9分) 三年真题演练 1.（2026·全国一卷T4）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷T13）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 3．（2025·全国一卷T12）若直线是曲线的一条切线，则_________. 4.（2026·天津卷T20）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； 5.（2026·北京卷T20）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； 6.（2025·天津卷T20）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； 7.（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 8.（2024·天津卷T20）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 目录 知识点一：导数的概念和几何意义 2 知识点二：导数的运算 2 题型一：导数的定义 4 题型二：求函数的导数 6 题型三：导数的几何意义 7 1.在点P处切线 7 2.过点P的切线 9 3.公切线 12 4.切线的条数问题 15 5.切线平行、垂直、重合问题 18 6.最值问题 20 巩固训练 22 三年真题演练 27 知识点一：导数的概念和几何意义 1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． 知识点诠释： ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3.物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3.复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ： 题型一：导数的定义 1. 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率， 表示切线斜率， 又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率， 结合图象，可得，即. 故选：C. 2. 设函数满足，则（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】因为， ，， 所以， 故选：A 3. （2026·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（       ） A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒 【答案】B 【解析】，当时，，故当时，该质点的瞬时速度为3米/秒. 故选：B. 4. 已知函数，则的值为（       ） A． B． C．10 D．20 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以. 故选：D 题型二：求函数的导数 【解题技巧】 对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 5. 求下列函数的导数 (1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6)；(7)；(8)． 【解析】(1)因为，所以； (2) (3)因为，所以； (4) (5)，. (6)因为，所以； (7)，. (8)因为所以 6. 已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【解析】因为， 所以， 把代入， 得，解得：， 所以，所以. 故选：C. 7. 已知函数（是的导函数），则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， 故选：D. 【练习】(多选)下列命题正确的有(　　) A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)=2，则=2 B.= C.已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f'(x0)=1，则x0= D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=x2+3xf'(2)+ln x，则f'(2)=- 【答案】　CD 【解析】　对于A，=2=2f'(1)=4，故A错误； 对于B，=，故B错误； 对于C，f'(x)=(2x+1)'=，若f'(x0)=1，则=1，即x0=，故C正确； 对于D，f'(x)=2x+3f'(2)+(x>0)，故f'(2)=4+3f'(2)+，故f'(2)=-，故D正确. 题型三：导数的几何意义 1.在点P处切线 【解题技巧】 在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 8. 已知函数f(x)=ex+x，则f(x)在x=0处的切线方程为(　　) A.y=1 B.y=x+1 C.y=-x+1 D.y=2x+1 答案　D 解析　∵f'(x)=ex+1，f(0)=e0+0=1，f'(0)=e0+1=2， ∴f(x)在x=0处的切线方程为y-1=2(x-0)， 即y=2x+1. 9. 曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ∴，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为：，即. 故选：A. 10. 曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由切点在曲线上，得①； 由切点在切线上，得②； 对曲线求导得，∴，即③， 联立①②③，解之得 故选：A. 【练习】曲线在处的切线方程为（       ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 【答案】B 【解析】因为，所以，所以． 又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为． 故选：B. 2.过点P的切线 【解题技巧】过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 11. （2026·四川·广安二中二模）函数过点的切线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题设，若切点为，则， 所以切线方程为，又切线过， 则，可得或， 当时，切线为；当时，切线为，整理得. 故选：C 12. 若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，所以， 设切点为，则切线方程为：， 将点代入得， 即，解得或， 所以切点横坐标之和为 故选：D. 13. （2026·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ） A．e B．1 C． D． 【答案】B 【解析】设切点， 由，得，所以， ∴曲线在点处的切线方程为， 又过（0，0），∴，解得， ∴切点，纵坐标为1． 故选：B． 【练习】曲线过点的切线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得点不在曲线上， 设切点为，因为， 所以所求切线的斜率， 所以. 因为点是切点，所以， 所以，即. 设，明显在上单调递增，且， 所以有唯一解，则所求切线的斜率， 故所求切线方程为. 故选：B. 3.公切线 【解题技巧】 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解. 14. (2025·邯郸模拟)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则实数b等于(　　) A.ln 2+1 B.ln 2+ C.ln 2- D.ln 2 【答案】　C 【解析】　根据题意，设直线y=kx+b与曲线y=ex-1的切点为(x1，-1)，与曲线y=ex-2的切点为(x2，)，而y=ex-1的导数为y'=ex，y=ex-2的导数为y'=ex-2， 所以两曲线的切线方程分别为y-+1=(x-x1)，y-=(x-x2)， 由两条切线相同，可得解得 所以切线方程为y-e-ln 2+1=e-ln 2(x+ln 2)， 即y=x+ln 2-，则b=ln 2-. 15. 已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，由题知，∴，， 两点处的切线方程分别为和， 故，即. 故选：D. 16. 若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围. 【解析】设 切线：，即 切线：，即， 令 在上单调递增，在上单调递减， 所以 故选：A． 【练习】若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】D 【解析】设l与的切点为，则由，有. 同理，设l与的切点为，由，有. 故 解得 或 则或. 因，所以l为时不成立.故， 故选：D. 【练习】若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围. 【解析】设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即. 故选：B. 4.切线的条数问题 17. （2026·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点在切线上，即可代入切线方程，解得，即可得解； 【解析】设切点为，由，所以，所以， 所以切线方程为，即，因为切线过点， 所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条， 故选：C 18. （2026·河南洛阳·三模）若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，与，借助导数研究函数的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解. 【解析】由已知，曲线，即令，则，设切点为，切线方程的斜率为，所以切线方程为：， 将点代入方程得：，整理得，设函数，过点可作出曲线的三条切线，可知两个函数图像与有三个不同的交点，又因为，由，可得或， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，函数的极小值为， 如图所示， 当时，两个函数图像有三个不同的交点. 故选：C 19. 若过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，则(　　) A.b>ln a B.b<ln a C.a<0 D.b>ea 【答案】　A 【解析】　方法一　函数y=ln x的定义域为(0，+∞)，设切点坐标为(x0，y0)，由于y'=，因此切线方程为y-ln x0=(x-x0)， 又切线过点(a，b)，则b-ln x0=，即b+1=ln x0+， 设f(x)=ln x+，x∈(0，+∞)， 则直线y=b+1与曲线f(x)=ln x+有两个不同的交点，f'(x)=-=， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，与y=b+1只有一个交点，不合题意； 当a>0，0<x<a时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x>a时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(a)=ln a+1， 结合图象可知b+1>ln a+1，即b>ln a. 方法二　过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，由图可知点(a，b)在曲线y=ln x的上方且在y轴右侧，所以a>0，且b>ln a. 【练习】若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为过点的切线，切点为，可得切线方程， 代入点P坐标整理为，即与有三个交点． 【解析】由，则，设切点为，则切线斜率 则在点的切线方程为，代入点P坐标得 整理为，即这个方程有三个不等式实根，令， 则 ，令则 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故得，即， 故选：D． 5.切线平行、垂直、重合问题 20. 若曲线f(x)=和g(x)=ln x在公共点处的切线互相垂直，则k等于(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【答案】　C 【解析】　由函数f(x)=和g(x)=ln x，可得f'(x)=-，g'(x)=， 设两曲线公共点的横坐标为t，可得f'(t)=-，g'(t)=， 因为公共点处的切线互相垂直，可得f'(t)g'(t)=-1，即=1，解得t=1， 又由f(1)=g(1)，可得k+1=0，解得k=-1. 21. 对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得． 【解析】设， ， 设，则，即……① 又，即……② 由①②可得，. 故选：B. 22. 已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式不可能成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=1 D.x1x2= 【答案】　AD 【解析】　因为f(x)=x2+2ln x，所以f'(x)=2x+，x>0， 又f(x)在A，B两个不同点处的切线相互平行，所以f'(x1)=f'(x2)，即2x1+=2x2+， 整理得(x1-x2)=0，因为x1≠x2，所以x1x2=1，D不可能成立； 又x1+x2≥2=2，且x1≠x2，所以x1+x2>2，A不可能成立. 【练习】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，∴， 设切点坐标为，则切线的斜率， 解得，所以， 故切线的方程为，即． 故选：A 6.最值问题 23. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【解析】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为， 由，则，令， 解得或（舍去），故点P的坐标为， 故点P到直线的最小值为：. 故选：A. 24. 动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解. 【解析】设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐因为直线的斜率等于，曲线的导数，令， 可得或(舍去)，故此时点的坐标为，， 故选：A. 25. 若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为　　　　　.  【答案】　 【解析】　点A(a，a)在直线y=x上，点B(b，eb)在曲线y=ex上， 所以求|AB|的最小值等价于求直线y=x上的点到曲线y=ex上的点的距离的最小值， 过y=ex上的点(m，em)作y=ex的切线，切线方程为y-em=em(x-m)， 令em=1，可得m=0，故该切线为y=x+1， 则直线y=x+1与y=x的距离即为|AB|的最小值， 此时|AB|==，即|AB|min=. 26. 已知直线是曲线的切线，则的最小值为（       ） A． B．0 C． D．3 【答案】A 【分析】对曲线求导，求出其在处的切线方程，从而得到了切线中的关系，然后将所求进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求解最小值即可. 【解析】设直线与曲线相切于点， 当时，直线不是曲线的切线，故， 由得，所以切线方程为，即， 所以，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 巩固训练 1．若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，则a＝（       ） A．1 B． C．2 D．e 【答案】A 【解析】因为曲线，所以， 又因为曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，所以， 故选：A 2．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（       ） A．2 B．-1 C．1 D． 【答案】D 【解析】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，因为时，，所以， 所以在点处的切线斜率为， 故选：D. 3.（2026·贵州黔东南·一模）一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ） A．5米/秒 B．8米/秒 C．14米/秒 D．16米/秒 【答案】C 【解析】由题得，当时，， 故当时，该质点的瞬时速度为14米/秒． 故选：C 4．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（       ） A．0 B． C．3 D．或3 【答案】D 【解析】因为，所以，则，所以 所以函数在处的切线方程为，由得， 由，解得或， 故选：D 5．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．曲线的切线斜率可以是1 B．曲线的切线斜率可以是 C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条 D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条 【答案】AC 【解析】因为函数，所以 A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确； B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误； C. 因为在曲线上，所以点是切点，则， 所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确； D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误； 故选：AC 6．已知函数则曲线在点处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】因为，又， 切线方程为：，即； 故答案为：. 7．若直线与曲线和都相切，则的斜率为______． 【答案】 【分析】设出的切点坐标，求导，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，根据圆心到半径距离为半径列出方程，求出，从而求出斜率. 【解析】设的切点为，，故， 则切线方程为：，即 圆心到圆的距离为，即， 解得：或（舍去） 所以，则的斜率为 故答案为： 8．（已知函数f(x)=2 025cos，则f'等于(　　) A.0 B.-2 025 C.2 025 D.4 050 【答案】　B 【解析】　因为f(x)=2 025cos， 则f'(x)=-4 050sin， 故f'=-4 050sin =-4 050cos=-2 025. 9．求下列函数的导函数 （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. 10．设函数. (1)若在点处的切线为，求a，b的值； 【答案】(1)，； 【解析】(1)的定义域为，， 因为在点处的切线为， 所以，所以；所以 把点代入得：. 即a，b的值为：，. 11.(12分)已知函数f(x)=axln x+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直. (1)求实数a的值；(5分) (2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值.(7分) 【解析】(1)函数f(x)=axln x+3的定义域为(0，+∞)，f'(x)=a(1+ln x)，则f'(1)=a， 由曲线在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，得a=2， 所以实数a的值是2. (2)由(1)知，f(x)=2xln x+3，x>0，f'(x)=2(1+ln x)，平移直线2x-y-4=0与函数f(x)的图象相切， 设切点为(t，2tln t+3)(t>0)， 则切线的斜率k=2(1+ln t)=2，解得t=1， 所以切点为(1，3)， 所以点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值为=. 12.(14分)已知曲线C1：y=ln x+2和曲线C2：y=ln(x+2). (1)若P为曲线C1上的一动点，当点P到直线y=ex+2的距离最小时，求点P的坐标；(5分) (2)若直线l既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线l的方程.(9分) 【解析】(1)由题意知，当曲线C1在点P处的切线与直线y=ex+2平行时，点P到直线y=ex+2的距离最小，对y=ln x+2(x>0)求导，得y'=，令=e，得x=，此时y=1， 所以点P的坐标为. (2)设直线l与曲线C1的切点为A(x1，ln x1+2)(x1>0)，则在点A处的切线斜率为， 可得切线方程为y-(ln x1+2)=(x-x1)，整理得y=x+ln x1+1， ① 对y=ln(x+2)(x>-2)求导，得y'=， 设直线l与曲线C2的切点为B(x2，ln(x2+2))(x2>-2)， 则在点B处的切线斜率为，切线方程为y-ln(x2+2)=(x-x2)， 整理得y=x+ln(x2+2)-， ② 因为①②表示同一条直线， 则 由③可得x1=x2+2，将其代入④得ln(x2+2)+1=ln(x2+2)-， 即1=-，解得x2=-1，所以x1=x2+2=1. 把x1=1代入①式得切线方程为y=x+1， 即直线l的方程为x-y+1=0. 三年真题演练 1.（2026·全国一卷T4）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 2．（2024·新课标Ⅰ卷T13）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 3．（2025·全国一卷T12）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 4.（2026·天津卷T20）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； 【解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； 5.（2026·北京卷T20）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； 【解】（1），则， ，又，解得； 6.（2025·天津卷T20）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； 【解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； 7.（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即 8.（2024·天津卷T20）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $